人教版九年级数学上册教学讲义，复习补习资料（巩固练习）：18二次函数y=ax^2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质【基础】含答案

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）

【学习目标】
1. 会用描点法画二次函数/的图象；会用配方法将二次函数/的解析式写成/的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数/的性质；
3.经历探索/与/的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数/与/之间的相互关系
1.顶点式化成一般式　　从函数解析式/我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称/为顶点式，将顶点式/去括号，合并同类项就可化成一般式/．
2.一般式化成顶点式
/
/．
对照/，可知/，/．
∴ 抛物线/的对称轴是直线/，顶点坐标是/．
要点诠释：
1．抛物线/的对称轴是直线/，顶点坐标是/，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线/的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数/的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线/与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数/的图象与性质
1.二次函数/图象与性质
函数
二次函数/（a、b、c为常数，a≠0）
图象
/
/
/
/
开口方向
向上
向下
对称轴
直线/
直线/
顶点坐标
/
/
增减性
在对称轴的左侧，即当/时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当/时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当/时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当/时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当/时，y有最小值，/
抛物线有最高点，当/时，y有最大值，/
2.二次函数/图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
要点四、求二次函数/的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当/时，/．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看/是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当/时，/，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，/；当x＝x1时，/，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，/时y值的情况．
【典型例题】
类型一、二次函数/的图象与性质
/1．求抛物线/的对称轴和顶点坐标．
【答案与解析】
解法1（配方法）：/
/
/．
∴ 顶点坐标为/，对称轴为直线/．
解法2（公式法）：∵ /，/，/，∴ ，
/．
∴ 顶点坐标为/，对称轴为直线/．
解法3（代入法）：∵ /，/，/，
∴ /．
将/代入解析式中得，/．
∴ 顶点坐标为/，对称轴为直线/．
【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式/直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
举一反三：

【变式】把一般式/化为顶点式．
（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；
（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.
【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).
（2）C（0，-6）；A（1,0）；B（3,0）.
/2．（2019?泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（　　）
/
A．/ B．/
C．/ D．/
【思路点拨】由y=ax2+bx+c的图象判断出a＞0，b＞0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．
【答案】A．
【解析】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．
故选A．
【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围．
类型二、二次函数/的最值
/3．求二次函数/的最小值.
【答案与解析】
解法1(配方法)：∵ /
/，
∴ 当x＝-3时，/．
解法2(公式法)：∵ /，b＝3，/
∴ 当/时，
/．
解法3(判别式法)：∵ /，∴ /．
∵ x是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y≥-4．
∴ y有最小值-4，此时/，即x＝-3．
【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．
举一反三：

【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化．当L是多少时，矩形场地的面积S最大？
【答案】/
/
/
（0/（m）时，场地的面积S最大，为225m2．
类型三、二次函数/性质的综合应用
/4．（2019?衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
/
【答案与解析】
解：（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，
∴A（﹣1，0），
又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，
∴B（2，3），
∵抛物线顶点在y轴上，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，
把A、B两点坐标代入可得/，解得/，
∴抛物线解析式为y=x2﹣1；
（2）△ABM为直角三角形．理由如：
由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），
∴AM=/，AB=/=/=3/，BM=/=2/，
∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，
∴△ABM为直角三角形；
（3）当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，
联立y=x，可得/，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，
∵平移后的抛物线总有不动点，
∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，
∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，
解得m≤/，
即当m≤/时，平移后的抛物线总有不动点．
【总结升华】本题主要涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题1. 将二次函数/化为/的形式，结果为（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
2．（2019?咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（　　）
/
1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．（2019?益阳）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
4．抛物线/的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式
为/，则b、c的值为（ ）．
A.b=2，c=2 B. b=2，c=0 C. b= -2，c= -1 D. b= -3，c=2
5．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值(　 ) A. 等于0　　　 B.等于1　　　 C. 等于-1 　　　D. 不能确定
6．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( 　 ) 　　 /
二、填空题
7．二次函数/的最小值是________．
8．已知二次函数/，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．
9．（2019?怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为　　，对称轴是直线　　．
10．二次函数/的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m的值是________．
/ /
第10题 第11题
11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴 第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___ ； 第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __.
12．（2019?玄武区一模）如图为函数：y=x2﹣1，y=x2+6x+8，y=x2﹣6x+8，y=x2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x2﹣6x+8的图象的序号是　 　．
/
三、解答题
13．（2019?齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣/x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．
/
14. 如图所示，抛物线/与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．
（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
/
15.已知抛物线/：
(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？
【答案与解析】
一、选择题1.【答案】D；
【解析】根据配方法的方法及步骤，将/化成含/的完全平方式为/，
所以/．
2.【答案】B.
【解析】∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，
故选：B．
3.【答案】D．
【解析】画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象，如图所示．
/
A、∵a=1，
∴抛物线开口向上，A正确；
B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；
C、∵﹣/=﹣/=1，
∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；
D、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确．
故选D．
4.【答案】B；
【解析】/，把抛物线/向左平移2个单位长度，
再向上平移3个单位长度后得抛物线/，
∴ /，∴ /，/．
5.【答案】A；
【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式
得a+b+c=0.
6.【答案】A；
【解析】分类讨论，当a＞0，a＜0时分别进行分析.
二、填空题
7．【答案】-3；
【解析】∵ /，∴ 函数有最小值．
当/时，/．
8．【答案】4；
【解析】由对称轴/，∴ x＝3与x＝-1关于x＝1对称，∴ x＝3时，y＝4.
9．【答案】(1，-4) ；
【解析】求出解析式/.
10．【答案】4；
【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把/，/代入/，得/，解得/．
11．【答案】①④，②③④；
12.【答案】③
【解析】y=x2﹣1对称轴是x=0，图象中第二个，
y=x2+6x+8对称轴是x=﹣3，图象中第一个，
y=x2﹣6x+8对称轴是x=3，图象中第三个，
y=x2﹣12x+35对称轴是x=6，图象中第四个.
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），
把B与C坐标代入y=﹣/x2+bx+c得：/，
解得：b=2，c=4，
则解析式为y=﹣/x2+2x+4；
（2）∵y=﹣/x2+2x+4=﹣/（x﹣2）2+6，
∴抛物线顶点坐标为（2，6），
则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=/×4×4+/×4×2=8+4=12．
14.【答案与解析】
（1）把点C(5，4)代入抛物线/得，/，解得/．
∴ 该二次函数的解析式为/．
∵ /，
∴ 顶点坐标为/．
（2）（答案不唯一，合理即正确）
如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，
得到二次函数解析式为/，即/．
15.【答案与解析】
(1)∵ /，b＝-3，∴ /，
把x＝-3代入解析式得，/．
∴ 抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝-3，顶点坐标是(-3，2)．
(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x＝-3．抛物线与x轴两交点为B(-5，0)和
C(-1，0)，与y轴的交点为/，取D关于对称轴的对称点/，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数/的图象，如图所示．
/
从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x＜-3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，
即当x＞-3时，y随x的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A是抛物线的最高点，
所以函数有最大值，当x＝-3时，/．