人教版高中物理必修3-4讲义资料，复习补习资料：11波的传播的多解性(基础)
文档属性
| 名称 | 人教版高中物理必修3-4讲义资料，复习补习资料：11波的传播的多解性(基础) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 487.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2019-12-15 08:16:32 | ||
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文档简介
波的传播的多解性
【学习目标】
1．理解波传播的时间周期性特征。
2．理解波传播的空间周期性特征。
【要点梳理】
要点一、波的传播的多解性的形成原因
机械波传播过程中在时间和空间上的周期性、传播方向上的双向性、质点振动方向的不确定性都是形成波动问题多解的主要原因．解题时常出现漏解，现归类分析．
1．波动图像的周期性形成多解
机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像的形状则是相同的．机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多值与之对应，即这三个物理量可分别表示为：，，，其中；．
2．波的传播方向的双向性形成多解
在一维条件下，机械波既可以向轴正方向传播，也可以向轴负方向传播，这就是波传播的双向性．
3．波形的隐含性形成多解
许多波动习题往往只给出完整波形的一部分，或给出了几个特点，而其余部分处于隐含状态．这样，一道习题就有多个图形与之对应，从而形成多解．
由于波动的时间周期性、空间周期性及传播的双向性，从而造成波动问题的多解．解题时要先建立通式，再根据限制条件从中取出符合题意的解．
要点二、波的传播的多解性的解题方法
1．多解问题的解题技巧
（1）方向性不确定出现多解．
波总是由波源发出向外传播的，介质中各质点的振动情况是根据波的传播方向来确定的，反之亦然．因此，题目中不确定波的传播方向或者不确定质点的振动方向，就会出现多解，学生在解题时往往凭主观选定某一方向为波的传播方向或质点振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的解．
【例】图为一列简谐横波在某时刻的波形图，其中点为介质中一质点，此时刻恰好过平衡位置，已知振动周期为，问至少过多长时间达到波峰位置？
/
【解析】题设条件中没有给出点过平衡位置的振动方向，也没给出波的传播方向，故我们应分情况讨论，当波向右传播时，点向下振动，则至少经过才能达到波峰；当波向左传播时，质点向上振动，则至少需要才能够到达波峰，所以此题应该有两个答案．即至少再经过或，点到达波峰．
（2）时间、距离不确定形成多解．
沿波的传播方向，相隔一个波长的两个相邻的质点振动的步调是完全相同的，相隔一定周期的前后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以题目中没有给定传播时间与周期的关系或传播距离与波长的关系，就会出现多解现象，学生解题时只按小于或小于来解，就会造成用特解取代通解的现象．
【例】如图所示。实线表示时刻的波形图线，箭头表示波的传播方向，虚线表示经过时的波形图线，已知波长为，求波的传播速度是多大？
/
【解析】此题并未给定传播距离，将实线波形和虚线波形相比较，在出时间内，波向右传播的距离可能是，，，即，则可求出波速的通解．即．
（3）波形的隐含性形成多解．
在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定或者相位之间的关系不确定，就会形成多解，学生在想不到所有可能的情况下，就会出现漏解．
【例】如图所示，是一列简谐横波中的两点．某时刻，正处于正向最大位移处，另一点恰好通过平衡位置向方向振动．已知的横坐标分别为，，并且波长符合不等式：，求波长．
/
【解析】根据题目中点和点的位置，作出间的两种最简波形图（如图中的实、虚两种曲线波形）．
/
①由实线最简波形图写出这种情况的通式为，得．
所以波长通式为，其中，将依次代入通式解得，由已知的限制条件，波长应为或或，且该波向方向传播。
②由虚线最简波形，写出这种情况的通式为，得，所以波长的通式，其中，将依次代入通式解得由已知的限制条件，波长应为或，且波向方向传播．
即波长可能为，，，，．
2．波动的周期性理解要点
内容
说明或提示
（1）质点振动路程的周期性
（2）传播距离的周期性：
（3）传播时间的周期性：
（4）传播速度可能的多解性：
（1）式中为振幅，为不足一次全振动通过的路程
（2）式中为波长，是不足一个波长的那部分距离，如等
（3）式中为周期，是不足一个周期的那部分时间，如等
（4）式中
【典型例题】
类型一、波的周期与双向性引起多解的问题
例1．一列横波在某时刻的波形图如图中实线所示，经后的波形如图中虚线所示，则该波的波速和频率可能是（ ）．
/
A．为 B．为 C．为 D．为
【思路点拨】假设向右传播，对问题进行处理，得出一系列结论，然后再假设向左传播得出一系列结论．
【答案】A、B、D
【解析】由两时刻的波形图可以直接读出：若波向右传播时波传播的最小距离为；若波向左传播时波传播的最小距离为．，考虑到波形图的时间、空间周期性知，这列波向右、向左可能传播的距离分别是：
向右、向左传播对应的周期分别为，则：
或
由得
，
，
由得
，
．
令取不同的值可得A、B、D三项正确．
【总结升华】由于没有明确波的传播方向，则两波形所间隔的时间与周期的关系是不明确的，解此类问题，可以假设向右传播，对问题进行处理，得出一系列结论，然后再假设向左传播得出一系列结论．
举一反三: 【 波的传播的多解性 例1】
【变式1】有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为，振动方向沿竖直方向．当绳上的质点到达其平衡位置且向下运动时，在其右方相距处的质点刚好到达最高点．由此可知波速和传播方向可能是（ ）
A、， 向右传播 B、， 向左传播；
C、，向右传播 D、，向左传播；
【答案】BC
【 波的传播的多解性 例8】
【变式2】在波的传播直线上有两个介质质点,它们相距,当质点在平衡位置处向上振动时,质点处于波谷位置.若波速的大小为,则波的频率可能值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】向右传播：
，
．
向左传播：
，
．
对左右传播方向的频率分别代入可得ABD正确。
类型二、波的传播方向不确定引起的多解
例2．（2019 嘉兴校级期中）如图所示，实线是沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波形图，虚线是这列波在t＝0.2 s时刻的波形图．已知该波的波速是0.8 m/s，则下列说法正确的是( )
/
A．这列波的波长是14 cm
B．这列波的周期是0.125 s
C．这列波可能是沿x轴正方向传播的
D．t＝0时，x＝4 cm处的质点的速度方向沿y轴负方向
【答案】D
【解析】由图象可知该波的波长为12 cm，选项A错误；波的周期，选项B错误；若波沿x轴正方向传播则满足，把周期和时间间隔代入解得n不符合条件，所以选项C错误；由C选项错误可知这列波是沿x轴负方向传播的，所以在t＝0时，x＝4 cm处的质点的速度方向沿y轴负方向．答案为D.
举一反三: 【 波的传播的多解性 例2】
【变式】如图所示，实线是一列简谐横波在时刻的波形图，虚线是这列简谐横波在时刻的波形图，波中质点的振动周期大于，求：
/
（1）由图中读出波的振幅和波长；
（2）若波沿轴正方向传播，波速是多大？波动周期是多大？
（3）若波沿轴负方向传播，波速是多大？波动周期是多大？
【答案】（1）
（2）
（3）
例3．一列简谐横波沿直线传播，该直线上的两点相距．图中实、虚两条曲线分别表示平衡位置在两点处质点的振动曲线．从图示可知（ ）．
/
A．此列波的频率一定是 B．此列波的波长一定是
C．此列波的传播速度可能是 D．点一定比点距波源近
【思路点拨】有些问题我们可以判断，但有些问题我们却不能判断。
【答案】A、C
【解析】本题考查机械波和机械振动有关的知识，本题为中等难度题目．由振动图像可得其周期为，可得其振动频率为，和相距，由图像可知：
或
，
所以
或
．
在前一个等式中若，则
，
，
和哪个质点更靠近波源，我们是无法判断的．
【总结升华】有些问题我们可以判断，但有些问题我们却不能判断。
类型三、传播时间与周期关系不确定引起的多解
例4．一列简谐横波图像如图所示，时刻的波形如图中实线所示，时刻的波形如图中虚线所示，已知，求：
/
（1）这列波的可能波速的表达式？
（2）若波向左传播，且，波速多大？
（3）若波速，则波向哪个方向传播？
【答案】见解析
【解析】（1）未明确波的传播方向和与的关系，故有两组系列解．
当波向右传播时：
；
当波向左传播时：
．
（2）明确了波的传播方向，并限定，设此时间内波传播距离为s，则有，即，代入得
．
（3）由给定的波速，则给定时间内波传播距离
，
故波向右传播．
【总结升华】未明确波的传播方向时，要分别对向左、向右做出运算；当给定方向后即可选定该方向上的运算式；给定波速是要按给定条件判断波的传播方向。
举一反三: 【 波的传播的多解性 例3】
【变式1】如图所示，实线为一列沿轴正方向传播的简谐波在时的波形，而虚线是该波在时的波形，此列波的周期大于而小于，该波的波速为( )
/
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图可知。根据和的波形有
有题设知
代入得
取整数代入得
所以该波的波速为
．
B项正确。
【 波的传播的多解性 例4】
【变式2】一根张紧的水平弹性长绳上的两点相距，点在点的右方，一列简谐波沿水平绳向右传播，波速为，波长大于。某时刻点达到波峰位置，而点正处于平衡位置且向上运动，则这列波的周期可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】根据题意
取整数
当时，， ；
当时，， ．
选项AB正确.
举一反三: 【 波的传播的多解性 例5】
【变式3】一根张紧的水平弹性长绳上的两点，相距，点在点的右方。当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若点的位移达到正极大时，点的位移恰为零，且向下运动。经过后，点的位移为零，且向下运动，而点的位移恰达到负极大。则这简谐横波的波速可能等于( )
/
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】根据题意
波长关系：
波长为
．
周期关系：
周期为
．
波速关系：
．
分别代入和，只有和符合要求，选项AC正确。
类型四、由条件的不确定引起的多解问题
例5．（2019 福建卷）简谐横波在同一均匀介质中沿x轴正方向传播，波速为v。若某时刻在波的传播方向上，位于平衡位置的两质点a、b相距为s，a、b之间只存在一个波谷，则从该时刻起，下列四副波形中质点a最早到达波谷的是（ ）
/
【答案】D
【解析】图A：波长λ=2s，周期，由图知质点a此时向上振动，经周期第一次到达波谷，用时
图B：波长λ=s，周期，由图知质点a此时向下振动，经周期第一次到达波谷，用时
图C：波长λ=s，周期，由图知质点a此时向上振动，经周期第一次到达波谷，用时
图D：波长，周期，由图知质点a此时向下振动，经周期第一次到达波谷，用时故选D
举一反三: 【 波的传播的多解性 例7】
【变式】如图所示，一列简谐横波在轴上传播，轴上两点相距.时，点为波峰，点为波谷；时，点为波谷，点为波峰. 下列判断中正确的是（ ）
/
A．这列波一定沿轴正方向传播
B．这列波的波长可能是
C．波中介质点的振动周期可能是
D．波的传播速度一定是
【答案】B
【解析】，?．根据题设条件，不能确定传播方向，A错；当时（为整数），B正确；是半周期的整数倍，不可能是整周期，C错；只有当时波的传播速度才是，D错。
【巩固练习】
一、选择题
1．有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为10 Hz，振动方向沿竖直方向，当绳上的质点P到达其平衡位置且向下运动时，在其右方相距0.6 m处的质点Q刚好到达最高点，由此可知波速和传播方向可能是（ ）．
A．8 m／s，向右传播 B．8 rn／s，向左传播
C．24 m／s，向右传播 D．24 rn／s，向左传播
2．一列在竖直方向振动的简谐横波，波长为，沿正x方向传播．某一时刻，在振动位移向上且大小等于振幅一半的各点中，任取相邻的两点P1、P2，已知P1的x轴坐标小于P2的x轴坐标，则（ ）．
A．若，则P1向下运动，P2向上运动
B．若，则P1向上运动，P2向下运动
C．若，则P1向上运动，P2向下运动
D．若，则P1向下运动，P2向上运动
3．M、N为介质中波的传播方向上的两点，间距s=1.5 m，它们的振动图像如图所示，这列波的波速的可能值为（ ）．
/
A．15 m／s B．7.5 m／s C．5 m／s D．3 m／s
4．在波传播的直线上有两个质点A、B，它们相距60 cm，当A质点在平衡位置处向上振动时，B质点处在波谷位置．已知波的速度是24 m／s，则此列波的频率可能是（ ）．
①30 Hz ②410 Hz ③400 Hz ④430 Hz
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
5．（2019 乐至县校级期中）图中实线和虚线分别是x轴上传播的一列简谐横波在t＝0和t＝0.03 s时刻的波形图，x＝1.2 m处的质点在t＝0.03 s时刻向y轴正方向运动，则( )
/
A．该波的频率可能是125 Hz
B．该波的波速可能是10 m/s
C．t＝0时，x＝1.4 m处质点的加速度方向沿y轴正方向
D．各质点在0.03 s内随波迁移0.9 m
6．一列简谐横波沿x轴传播，周期为T，t=0时刻的波形如图所示。此时平衡位置位于x=3 m处的质点正在向上运动，若a、b两质点平衡位置的坐标分别为xa=2.5 m， xb=5.5 m，则（ ）
/
A．当a质点处在波峰时，b质点恰在波谷
B．t=T/4时，a质点正在向y轴负方向运动
C．t=3T/4时，b质点正在向y轴负方向运动
D．在某一时刻，a、b两质点的位移和速度可能相同
7．一列简谐横波沿x轴正方向传播，振幅为A。t=0时，平衡位置在x=0处的质元位于y=0处，且向y轴负方向运动；此时，平衡位置在x＝0．15m处的质元位于y＝A处。该波的波长可能等于（ ）
A．0．60 m B．0．20 m ? C．0．12m D．0．086m
8．(2019 唐山市高三模拟)如图所示，a、b是水平绳上的两点，相距42厘米，一列正弦波沿绳传播，方向从a到b，每当a点经过平衡位置向上运动时，b点正好到达上方最大位移处，则此波的波长可能是( )
/
A．168厘米 B．56厘米 C．42厘米 D．33.6厘米 E．24厘米
二、填空题
9．有四列简谐波同时沿x轴正方向传播，波速分别是v，2v，3v和4v，a、b是x轴上所给定的两点，且ab=L，在t时刻a、b两点间四列波的波形分别如图所示，则由该时刻起a点出现波峰的先后顺序依次是________；频率由高到低的先后顺序依次是________。
/
10．一列沿着x轴正方向传播的横波，在t = 0时刻的波形如图甲所示。图甲中某质点的振动图象如图乙所示。质点N的振幅是?? m，振动周期为????? s，图乙表示质点??? （从质点K、L、M、N中选填）的振动图象。该波的波速为?? m/s。
/
三、解答题
11．图中实线表示一横波在某时刻的波形图线，虚线是经过0.2 s时的波形图线．
/
（1）若波向右传播，求其最大周期；
（2）若波向左传播，求其在这段时间内前进的距离；
（3）若波传播的速度为35 m／s，试判定波传播的方向．
12．在图所示的图像中，实线是一列简谐横波在某一时刻的图像，经过t=0.2 s后这列波的图像如图中虚线所示．求这列波的波速．
/
13．一列波先后通过相距为4 m的A、B两点，用时为0.01 s，已知A、B两质点运动方向始终相反，问：
（1）这列波的波速是多少？
（2）这列波的最小频率可能是多少？
14．（2019 哈尔滨校级一模）一列横波在x轴上传播，在t1=0时刻波形如图实线所示，t2=0.05s时刻波形如下图虚线所示。若周期大于，则最小波速和最大波速分别是多少？方向如何？
/
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B、C
【解析】先画一个如图（a）、（b）所示的正弦曲线，由题意找出P点、Q点的多种可能位置，由图知：
/
若波向右传：．
则=2.4／(4k+1)m（k=0，1，2，3，…）．
波速v右=f=24／(4k+1) m／s（k=0，1，2，3，…）．
若波向左传：．
即=2.4／(4k+3)m（k=0，1，2，3，…），
波速v左=f=24／(4k+3) m／s（k=0，1，2，3，…）．
即可知B、C正确．
2．【答案】A、C
【解析】本题解题关键是依据题意正确作出图示。然后借助图形分析求解．依图所示可判断选项A、C正确．
/
3．【答案】A、C、D
【解析】因为M、N两点振动时情况恰好相反。所以它们的间距应等于寺的奇数倍．设波长为，则，所以（n=0，1，2，…）．由振动图像知，波的周期为T=0.2 s，因此波速的一般表达式为：（n=0，1，2，…）．当n=0时，v=15 m／s；当n=1时，v=5 m／s；当n=2时，v=3 m／s．
4．【答案】C
【解析】波由A向B传播时，，m．其中n=0，1，2，…
则有．
当波由B向A传播时，，m，其中，n=0，1，2，…
则有．
故C项正确．
5．【答案】 A
【解析】 由题可知波向右传播，则0，，当n＝3时，T＝0.008 s，f＝125 Hz，A选项正确．波速，λ＝1.2 m，代入数据得B选项错误．当t＝0时刻，x＝1.4 m时，质点加速度方向沿y轴负方向，C选项错误．各质点只是上下振动，不随波迁移，D选项错误．
6．【答案】C
【解析】由题图知，波长λ=4m，a、b两质点的平衡位置相距为Δx=5．5m-2．5m=3m，比较Δx和λ，Δx既不是λ/2的奇数倍，亦不是偶数倍，即，a、b两点既不是同相点亦不是反相点，故，A、D都错。
//
由t=0时平衡位置位于x=3 m处的质点正在向上运动，知波沿x轴负方向传播。据此可作出T/4．3T/4时刻的波形如5图中的粗虚线、细虚线所示，可看出，T/4时a质点正向y轴正方向运动，3T/4时b质点正向y轴负方向运动。故，B错C对，故本题选C。
?7．【答案】AC
【解析】设波长为λ，依题意应有：/（n取0和自然数），由此式可以判知，本题中BD错AC对，选AC。
?8．【答案】BE
【解析】由题意可知xab＝42 cm，由于波由a向b传播，则有，得，当n＝0时，λ＝56 cm，当n＝1时，λ＝24 cm，故选项B、E正确，选项A、C、D错误．
二、填空题
9．【答案】B、D、C、A D、B、C、A
【解析】根据已给的波动图像，可得出四列简谐波的波长，周期（频率）关系为：
A=L，TA=A／vA=L／v，fA=v／L．
B=L／2，TB=L／4v，fB=4v／L．
C=2L，TC=2L／3v，fC=3v／2L．
D=2L／3，TD=L／6v，fD=6v／L．
易得频率关系fD＞fB＞fC＞fA．再根据波动图像得出A、B、C选项中，t时刻质点a向上振动，D选项中，在t时刻，质点a向下振动，所以从该时刻起质点a第一次达到波峰的时间分别为：
tA=TA／4=L／4v，fB=TB／4=L／16v，
tC=TC／4=L／6v，tD=3TD／4=L／8v，
得tB＜tD＜tC＜tA．
10．【答案】见解析
【解析】由波动（或振动）图像可看出，质点N的振幅是0．8m，该波的波长是2．0m。振动中各质点的周期相同，由振动图像可知，各质点的振动周期为4s。由振动图像可知，该质点0时刻，过平衡位置向y轴正方向运动，结合波动图像可以看出图乙表示的是质点N的振动图像。由v=λ/T可解得：v=0．5m/s。
三、解答题
11．【答案】见解析
【解析】（1）由于题目对时间t=0.2 s没加限制条件，根据波的周期性。由题图可以看到波向右传播时应有：t=nT+T／4（n=0，1，2，3，…），即T=4t／(4n+1)，故最大周期Tmax=0.8 s．
（2）同理可以得出波在0.2 s内向左传播的距离为Δs=n+3／4=(4n+3) m（n=0，1，2，3，…）．
（3）当波速为35 m／s时，在0.2 s内波传播的距离为Δs=vt=7 m，相当于(1+3／4)，故此波是向左传播的．
12．【答案】见解析
【解析】从波的图像可读出波长=4 m，振幅A=2 cm．此题引起多种可能的原因有两个，一个是传播方向的不确定，一个是时间t和周期T的大小关系不确定．
设波沿x轴正方向传播，t=0.2 s可能是个周期（n=0，1，2，3，…），即，周期，波速m／s（n=0，1，2，3，…）．
设波沿x轴负方向传播，t=0.2 s可能是个周期（n=0，1，2，3，…），即，周期，波速（n=0，1，2，3，…）．
即当波沿x轴正方向传播时，v=5(4n+1)m／s（n=0，1，2，3…），当波沿x轴负方向传播时，v=5(4n+3) m／s（n=0，1，2，3，…）．
13．【答案】见解析
【解析】（1）．
（2）A、B两质点的振动方向始终相反，即属于振动步调始终相反的点，因此两点平衡位置间的距离s=4 m=+n=．所以（n=0，1，2，…），即由v=f可得（n=0，1，2，…），
则当n=0时有最小频率f=50 Hz．
14．【答案】最小速度，方向为沿x轴正方向；
最大速度，方向为沿x轴负方向
【解析】由于，即，故
当波沿x轴正方向传播时，可能的周期为：，且n=0或1
当波沿x轴负方向传播时，可能的周期为：，且0或1
由波速公式可知，当速度v最小时，周期T最大。分析上面两类情况可知：
当周期最大时，波沿x轴正方向传，且在中取n=0，即，则Tmax=0.2s
最小速度，方向为沿x轴正方向；
当速度v最大时，周期T最小。分析上面两类情况可知，当周期最小时，波沿x轴负方向传，且在中n=1，即，则
最大速度，方向为沿x轴负方向
【学习目标】
1．理解波传播的时间周期性特征。
2．理解波传播的空间周期性特征。
【要点梳理】
要点一、波的传播的多解性的形成原因
机械波传播过程中在时间和空间上的周期性、传播方向上的双向性、质点振动方向的不确定性都是形成波动问题多解的主要原因．解题时常出现漏解，现归类分析．
1．波动图像的周期性形成多解
机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像的形状则是相同的．机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多值与之对应，即这三个物理量可分别表示为：，，，其中；．
2．波的传播方向的双向性形成多解
在一维条件下，机械波既可以向轴正方向传播，也可以向轴负方向传播，这就是波传播的双向性．
3．波形的隐含性形成多解
许多波动习题往往只给出完整波形的一部分，或给出了几个特点，而其余部分处于隐含状态．这样，一道习题就有多个图形与之对应，从而形成多解．
由于波动的时间周期性、空间周期性及传播的双向性，从而造成波动问题的多解．解题时要先建立通式，再根据限制条件从中取出符合题意的解．
要点二、波的传播的多解性的解题方法
1．多解问题的解题技巧
（1）方向性不确定出现多解．
波总是由波源发出向外传播的，介质中各质点的振动情况是根据波的传播方向来确定的，反之亦然．因此，题目中不确定波的传播方向或者不确定质点的振动方向，就会出现多解，学生在解题时往往凭主观选定某一方向为波的传播方向或质点振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的解．
【例】图为一列简谐横波在某时刻的波形图，其中点为介质中一质点，此时刻恰好过平衡位置，已知振动周期为，问至少过多长时间达到波峰位置？
/
【解析】题设条件中没有给出点过平衡位置的振动方向，也没给出波的传播方向，故我们应分情况讨论，当波向右传播时，点向下振动，则至少经过才能达到波峰；当波向左传播时，质点向上振动，则至少需要才能够到达波峰，所以此题应该有两个答案．即至少再经过或，点到达波峰．
（2）时间、距离不确定形成多解．
沿波的传播方向，相隔一个波长的两个相邻的质点振动的步调是完全相同的，相隔一定周期的前后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以题目中没有给定传播时间与周期的关系或传播距离与波长的关系，就会出现多解现象，学生解题时只按小于或小于来解，就会造成用特解取代通解的现象．
【例】如图所示。实线表示时刻的波形图线，箭头表示波的传播方向，虚线表示经过时的波形图线，已知波长为，求波的传播速度是多大？
/
【解析】此题并未给定传播距离，将实线波形和虚线波形相比较，在出时间内，波向右传播的距离可能是，，，即，则可求出波速的通解．即．
（3）波形的隐含性形成多解．
在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定或者相位之间的关系不确定，就会形成多解，学生在想不到所有可能的情况下，就会出现漏解．
【例】如图所示，是一列简谐横波中的两点．某时刻，正处于正向最大位移处，另一点恰好通过平衡位置向方向振动．已知的横坐标分别为，，并且波长符合不等式：，求波长．
/
【解析】根据题目中点和点的位置，作出间的两种最简波形图（如图中的实、虚两种曲线波形）．
/
①由实线最简波形图写出这种情况的通式为，得．
所以波长通式为，其中，将依次代入通式解得，由已知的限制条件，波长应为或或，且该波向方向传播。
②由虚线最简波形，写出这种情况的通式为，得，所以波长的通式，其中，将依次代入通式解得由已知的限制条件，波长应为或，且波向方向传播．
即波长可能为，，，，．
2．波动的周期性理解要点
内容
说明或提示
（1）质点振动路程的周期性
（2）传播距离的周期性：
（3）传播时间的周期性：
（4）传播速度可能的多解性：
（1）式中为振幅，为不足一次全振动通过的路程
（2）式中为波长，是不足一个波长的那部分距离，如等
（3）式中为周期，是不足一个周期的那部分时间，如等
（4）式中
【典型例题】
类型一、波的周期与双向性引起多解的问题
例1．一列横波在某时刻的波形图如图中实线所示，经后的波形如图中虚线所示，则该波的波速和频率可能是（ ）．
/
A．为 B．为 C．为 D．为
【思路点拨】假设向右传播，对问题进行处理，得出一系列结论，然后再假设向左传播得出一系列结论．
【答案】A、B、D
【解析】由两时刻的波形图可以直接读出：若波向右传播时波传播的最小距离为；若波向左传播时波传播的最小距离为．，考虑到波形图的时间、空间周期性知，这列波向右、向左可能传播的距离分别是：
向右、向左传播对应的周期分别为，则：
或
由得
，
，
由得
，
．
令取不同的值可得A、B、D三项正确．
【总结升华】由于没有明确波的传播方向，则两波形所间隔的时间与周期的关系是不明确的，解此类问题，可以假设向右传播，对问题进行处理，得出一系列结论，然后再假设向左传播得出一系列结论．
举一反三: 【 波的传播的多解性 例1】
【变式1】有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为，振动方向沿竖直方向．当绳上的质点到达其平衡位置且向下运动时，在其右方相距处的质点刚好到达最高点．由此可知波速和传播方向可能是（ ）
A、， 向右传播 B、， 向左传播；
C、，向右传播 D、，向左传播；
【答案】BC
【 波的传播的多解性 例8】
【变式2】在波的传播直线上有两个介质质点,它们相距,当质点在平衡位置处向上振动时,质点处于波谷位置.若波速的大小为,则波的频率可能值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】向右传播：
，
．
向左传播：
，
．
对左右传播方向的频率分别代入可得ABD正确。
类型二、波的传播方向不确定引起的多解
例2．（2019 嘉兴校级期中）如图所示，实线是沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波形图，虚线是这列波在t＝0.2 s时刻的波形图．已知该波的波速是0.8 m/s，则下列说法正确的是( )
/
A．这列波的波长是14 cm
B．这列波的周期是0.125 s
C．这列波可能是沿x轴正方向传播的
D．t＝0时，x＝4 cm处的质点的速度方向沿y轴负方向
【答案】D
【解析】由图象可知该波的波长为12 cm，选项A错误；波的周期，选项B错误；若波沿x轴正方向传播则满足，把周期和时间间隔代入解得n不符合条件，所以选项C错误；由C选项错误可知这列波是沿x轴负方向传播的，所以在t＝0时，x＝4 cm处的质点的速度方向沿y轴负方向．答案为D.
举一反三: 【 波的传播的多解性 例2】
【变式】如图所示，实线是一列简谐横波在时刻的波形图，虚线是这列简谐横波在时刻的波形图，波中质点的振动周期大于，求：
/
（1）由图中读出波的振幅和波长；
（2）若波沿轴正方向传播，波速是多大？波动周期是多大？
（3）若波沿轴负方向传播，波速是多大？波动周期是多大？
【答案】（1）
（2）
（3）
例3．一列简谐横波沿直线传播，该直线上的两点相距．图中实、虚两条曲线分别表示平衡位置在两点处质点的振动曲线．从图示可知（ ）．
/
A．此列波的频率一定是 B．此列波的波长一定是
C．此列波的传播速度可能是 D．点一定比点距波源近
【思路点拨】有些问题我们可以判断，但有些问题我们却不能判断。
【答案】A、C
【解析】本题考查机械波和机械振动有关的知识，本题为中等难度题目．由振动图像可得其周期为，可得其振动频率为，和相距，由图像可知：
或
，
所以
或
．
在前一个等式中若，则
，
，
和哪个质点更靠近波源，我们是无法判断的．
【总结升华】有些问题我们可以判断，但有些问题我们却不能判断。
类型三、传播时间与周期关系不确定引起的多解
例4．一列简谐横波图像如图所示，时刻的波形如图中实线所示，时刻的波形如图中虚线所示，已知，求：
/
（1）这列波的可能波速的表达式？
（2）若波向左传播，且，波速多大？
（3）若波速，则波向哪个方向传播？
【答案】见解析
【解析】（1）未明确波的传播方向和与的关系，故有两组系列解．
当波向右传播时：
；
当波向左传播时：
．
（2）明确了波的传播方向，并限定，设此时间内波传播距离为s，则有，即，代入得
．
（3）由给定的波速，则给定时间内波传播距离
，
故波向右传播．
【总结升华】未明确波的传播方向时，要分别对向左、向右做出运算；当给定方向后即可选定该方向上的运算式；给定波速是要按给定条件判断波的传播方向。
举一反三: 【 波的传播的多解性 例3】
【变式1】如图所示，实线为一列沿轴正方向传播的简谐波在时的波形，而虚线是该波在时的波形，此列波的周期大于而小于，该波的波速为( )
/
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图可知。根据和的波形有
有题设知
代入得
取整数代入得
所以该波的波速为
．
B项正确。
【 波的传播的多解性 例4】
【变式2】一根张紧的水平弹性长绳上的两点相距，点在点的右方，一列简谐波沿水平绳向右传播，波速为，波长大于。某时刻点达到波峰位置，而点正处于平衡位置且向上运动，则这列波的周期可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】根据题意
取整数
当时，， ；
当时，， ．
选项AB正确.
举一反三: 【 波的传播的多解性 例5】
【变式3】一根张紧的水平弹性长绳上的两点，相距，点在点的右方。当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若点的位移达到正极大时，点的位移恰为零，且向下运动。经过后，点的位移为零，且向下运动，而点的位移恰达到负极大。则这简谐横波的波速可能等于( )
/
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】根据题意
波长关系：
波长为
．
周期关系：
周期为
．
波速关系：
．
分别代入和，只有和符合要求，选项AC正确。
类型四、由条件的不确定引起的多解问题
例5．（2019 福建卷）简谐横波在同一均匀介质中沿x轴正方向传播，波速为v。若某时刻在波的传播方向上，位于平衡位置的两质点a、b相距为s，a、b之间只存在一个波谷，则从该时刻起，下列四副波形中质点a最早到达波谷的是（ ）
/
【答案】D
【解析】图A：波长λ=2s，周期，由图知质点a此时向上振动，经周期第一次到达波谷，用时
图B：波长λ=s，周期，由图知质点a此时向下振动，经周期第一次到达波谷，用时
图C：波长λ=s，周期，由图知质点a此时向上振动，经周期第一次到达波谷，用时
图D：波长，周期，由图知质点a此时向下振动，经周期第一次到达波谷，用时故选D
举一反三: 【 波的传播的多解性 例7】
【变式】如图所示，一列简谐横波在轴上传播，轴上两点相距.时，点为波峰，点为波谷；时，点为波谷，点为波峰. 下列判断中正确的是（ ）
/
A．这列波一定沿轴正方向传播
B．这列波的波长可能是
C．波中介质点的振动周期可能是
D．波的传播速度一定是
【答案】B
【解析】，?．根据题设条件，不能确定传播方向，A错；当时（为整数），B正确；是半周期的整数倍，不可能是整周期，C错；只有当时波的传播速度才是，D错。
【巩固练习】
一、选择题
1．有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为10 Hz，振动方向沿竖直方向，当绳上的质点P到达其平衡位置且向下运动时，在其右方相距0.6 m处的质点Q刚好到达最高点，由此可知波速和传播方向可能是（ ）．
A．8 m／s，向右传播 B．8 rn／s，向左传播
C．24 m／s，向右传播 D．24 rn／s，向左传播
2．一列在竖直方向振动的简谐横波，波长为，沿正x方向传播．某一时刻，在振动位移向上且大小等于振幅一半的各点中，任取相邻的两点P1、P2，已知P1的x轴坐标小于P2的x轴坐标，则（ ）．
A．若，则P1向下运动，P2向上运动
B．若，则P1向上运动，P2向下运动
C．若，则P1向上运动，P2向下运动
D．若，则P1向下运动，P2向上运动
3．M、N为介质中波的传播方向上的两点，间距s=1.5 m，它们的振动图像如图所示，这列波的波速的可能值为（ ）．
/
A．15 m／s B．7.5 m／s C．5 m／s D．3 m／s
4．在波传播的直线上有两个质点A、B，它们相距60 cm，当A质点在平衡位置处向上振动时，B质点处在波谷位置．已知波的速度是24 m／s，则此列波的频率可能是（ ）．
①30 Hz ②410 Hz ③400 Hz ④430 Hz
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
5．（2019 乐至县校级期中）图中实线和虚线分别是x轴上传播的一列简谐横波在t＝0和t＝0.03 s时刻的波形图，x＝1.2 m处的质点在t＝0.03 s时刻向y轴正方向运动，则( )
/
A．该波的频率可能是125 Hz
B．该波的波速可能是10 m/s
C．t＝0时，x＝1.4 m处质点的加速度方向沿y轴正方向
D．各质点在0.03 s内随波迁移0.9 m
6．一列简谐横波沿x轴传播，周期为T，t=0时刻的波形如图所示。此时平衡位置位于x=3 m处的质点正在向上运动，若a、b两质点平衡位置的坐标分别为xa=2.5 m， xb=5.5 m，则（ ）
/
A．当a质点处在波峰时，b质点恰在波谷
B．t=T/4时，a质点正在向y轴负方向运动
C．t=3T/4时，b质点正在向y轴负方向运动
D．在某一时刻，a、b两质点的位移和速度可能相同
7．一列简谐横波沿x轴正方向传播，振幅为A。t=0时，平衡位置在x=0处的质元位于y=0处，且向y轴负方向运动；此时，平衡位置在x＝0．15m处的质元位于y＝A处。该波的波长可能等于（ ）
A．0．60 m B．0．20 m ? C．0．12m D．0．086m
8．(2019 唐山市高三模拟)如图所示，a、b是水平绳上的两点，相距42厘米，一列正弦波沿绳传播，方向从a到b，每当a点经过平衡位置向上运动时，b点正好到达上方最大位移处，则此波的波长可能是( )
/
A．168厘米 B．56厘米 C．42厘米 D．33.6厘米 E．24厘米
二、填空题
9．有四列简谐波同时沿x轴正方向传播，波速分别是v，2v，3v和4v，a、b是x轴上所给定的两点，且ab=L，在t时刻a、b两点间四列波的波形分别如图所示，则由该时刻起a点出现波峰的先后顺序依次是________；频率由高到低的先后顺序依次是________。
/
10．一列沿着x轴正方向传播的横波，在t = 0时刻的波形如图甲所示。图甲中某质点的振动图象如图乙所示。质点N的振幅是?? m，振动周期为????? s，图乙表示质点??? （从质点K、L、M、N中选填）的振动图象。该波的波速为?? m/s。
/
三、解答题
11．图中实线表示一横波在某时刻的波形图线，虚线是经过0.2 s时的波形图线．
/
（1）若波向右传播，求其最大周期；
（2）若波向左传播，求其在这段时间内前进的距离；
（3）若波传播的速度为35 m／s，试判定波传播的方向．
12．在图所示的图像中，实线是一列简谐横波在某一时刻的图像，经过t=0.2 s后这列波的图像如图中虚线所示．求这列波的波速．
/
13．一列波先后通过相距为4 m的A、B两点，用时为0.01 s，已知A、B两质点运动方向始终相反，问：
（1）这列波的波速是多少？
（2）这列波的最小频率可能是多少？
14．（2019 哈尔滨校级一模）一列横波在x轴上传播，在t1=0时刻波形如图实线所示，t2=0.05s时刻波形如下图虚线所示。若周期大于，则最小波速和最大波速分别是多少？方向如何？
/
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B、C
【解析】先画一个如图（a）、（b）所示的正弦曲线，由题意找出P点、Q点的多种可能位置，由图知：
/
若波向右传：．
则=2.4／(4k+1)m（k=0，1，2，3，…）．
波速v右=f=24／(4k+1) m／s（k=0，1，2，3，…）．
若波向左传：．
即=2.4／(4k+3)m（k=0，1，2，3，…），
波速v左=f=24／(4k+3) m／s（k=0，1，2，3，…）．
即可知B、C正确．
2．【答案】A、C
【解析】本题解题关键是依据题意正确作出图示。然后借助图形分析求解．依图所示可判断选项A、C正确．
/
3．【答案】A、C、D
【解析】因为M、N两点振动时情况恰好相反。所以它们的间距应等于寺的奇数倍．设波长为，则，所以（n=0，1，2，…）．由振动图像知，波的周期为T=0.2 s，因此波速的一般表达式为：（n=0，1，2，…）．当n=0时，v=15 m／s；当n=1时，v=5 m／s；当n=2时，v=3 m／s．
4．【答案】C
【解析】波由A向B传播时，，m．其中n=0，1，2，…
则有．
当波由B向A传播时，，m，其中，n=0，1，2，…
则有．
故C项正确．
5．【答案】 A
【解析】 由题可知波向右传播，则0，，当n＝3时，T＝0.008 s，f＝125 Hz，A选项正确．波速，λ＝1.2 m，代入数据得B选项错误．当t＝0时刻，x＝1.4 m时，质点加速度方向沿y轴负方向，C选项错误．各质点只是上下振动，不随波迁移，D选项错误．
6．【答案】C
【解析】由题图知，波长λ=4m，a、b两质点的平衡位置相距为Δx=5．5m-2．5m=3m，比较Δx和λ，Δx既不是λ/2的奇数倍，亦不是偶数倍，即，a、b两点既不是同相点亦不是反相点，故，A、D都错。
//
由t=0时平衡位置位于x=3 m处的质点正在向上运动，知波沿x轴负方向传播。据此可作出T/4．3T/4时刻的波形如5图中的粗虚线、细虚线所示，可看出，T/4时a质点正向y轴正方向运动，3T/4时b质点正向y轴负方向运动。故，B错C对，故本题选C。
?7．【答案】AC
【解析】设波长为λ，依题意应有：/（n取0和自然数），由此式可以判知，本题中BD错AC对，选AC。
?8．【答案】BE
【解析】由题意可知xab＝42 cm，由于波由a向b传播，则有，得，当n＝0时，λ＝56 cm，当n＝1时，λ＝24 cm，故选项B、E正确，选项A、C、D错误．
二、填空题
9．【答案】B、D、C、A D、B、C、A
【解析】根据已给的波动图像，可得出四列简谐波的波长，周期（频率）关系为：
A=L，TA=A／vA=L／v，fA=v／L．
B=L／2，TB=L／4v，fB=4v／L．
C=2L，TC=2L／3v，fC=3v／2L．
D=2L／3，TD=L／6v，fD=6v／L．
易得频率关系fD＞fB＞fC＞fA．再根据波动图像得出A、B、C选项中，t时刻质点a向上振动，D选项中，在t时刻，质点a向下振动，所以从该时刻起质点a第一次达到波峰的时间分别为：
tA=TA／4=L／4v，fB=TB／4=L／16v，
tC=TC／4=L／6v，tD=3TD／4=L／8v，
得tB＜tD＜tC＜tA．
10．【答案】见解析
【解析】由波动（或振动）图像可看出，质点N的振幅是0．8m，该波的波长是2．0m。振动中各质点的周期相同，由振动图像可知，各质点的振动周期为4s。由振动图像可知，该质点0时刻，过平衡位置向y轴正方向运动，结合波动图像可以看出图乙表示的是质点N的振动图像。由v=λ/T可解得：v=0．5m/s。
三、解答题
11．【答案】见解析
【解析】（1）由于题目对时间t=0.2 s没加限制条件，根据波的周期性。由题图可以看到波向右传播时应有：t=nT+T／4（n=0，1，2，3，…），即T=4t／(4n+1)，故最大周期Tmax=0.8 s．
（2）同理可以得出波在0.2 s内向左传播的距离为Δs=n+3／4=(4n+3) m（n=0，1，2，3，…）．
（3）当波速为35 m／s时，在0.2 s内波传播的距离为Δs=vt=7 m，相当于(1+3／4)，故此波是向左传播的．
12．【答案】见解析
【解析】从波的图像可读出波长=4 m，振幅A=2 cm．此题引起多种可能的原因有两个，一个是传播方向的不确定，一个是时间t和周期T的大小关系不确定．
设波沿x轴正方向传播，t=0.2 s可能是个周期（n=0，1，2，3，…），即，周期，波速m／s（n=0，1，2，3，…）．
设波沿x轴负方向传播，t=0.2 s可能是个周期（n=0，1，2，3，…），即，周期，波速（n=0，1，2，3，…）．
即当波沿x轴正方向传播时，v=5(4n+1)m／s（n=0，1，2，3…），当波沿x轴负方向传播时，v=5(4n+3) m／s（n=0，1，2，3，…）．
13．【答案】见解析
【解析】（1）．
（2）A、B两质点的振动方向始终相反，即属于振动步调始终相反的点，因此两点平衡位置间的距离s=4 m=+n=．所以（n=0，1，2，…），即由v=f可得（n=0，1，2，…），
则当n=0时有最小频率f=50 Hz．
14．【答案】最小速度，方向为沿x轴正方向；
最大速度，方向为沿x轴负方向
【解析】由于，即，故
当波沿x轴正方向传播时，可能的周期为：，且n=0或1
当波沿x轴负方向传播时，可能的周期为：，且0或1
由波速公式可知，当速度v最小时，周期T最大。分析上面两类情况可知：
当周期最大时，波沿x轴正方向传，且在中取n=0，即，则Tmax=0.2s
最小速度，方向为沿x轴正方向；
当速度v最大时，周期T最小。分析上面两类情况可知，当周期最小时，波沿x轴负方向传，且在中n=1，即，则
最大速度，方向为沿x轴负方向