江西省山江湖协作体2019-2020学年高一上学期第三次月考（自招班）数学试题
文档属性
| 名称 | 江西省山江湖协作体2019-2020学年高一上学期第三次月考（自招班）数学试题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 252.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-18 15:55:55 | ||
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文档简介
“山江湖”协作体高一年级第三次月考
数学试卷（自招班）
一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．方程的解所在区间是（ ）
A． B． C． D．
3．过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰为，上底长为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．若圆关于直线对称，则的值为（ ）
A．5 B．3 C．1 D．-1
7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，
无袤，上袤三尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面
都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边
长为，则该鳖臑的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是奇函数，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
11．已知为直线上的动点，过点作圆的一条切线，切点为，则面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数的定义域为，满足，且当时，.
若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知点到直线的距离等于，则的值为__________．
14．函数的值域为__________．
15．已知四面体为正四面体，，分别为的中点．
若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面
体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为________．
已知四面体的四个顶点均在球的表面上，为球的直径，
，四面体的体积的最大值为 .
三、解答题（共70分。解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知直线与直线交于点.
求过点且平行于直线的直线的一般方程；
求过点并且在轴上截距是在轴上截距的倍的直线的一般方程.
18．（12分）已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围.
19．（12分）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于的点．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
20．（12分）已知二次函数满足且.
（1）求函数的解析式；
（2）若在上的最大值为，求实数的值.
（12分）如图，四面体中，是正三角形，．
（1）证明：;
（2）已知是直角三角形，. 若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比.
（12分）已知圆心在坐标原点的圆O经过圆与圆的交点，A、B是圆O与y轴的交点，P为直线y=4上的动点，PA、PB与圆O的另一个交点分别为M、N.
求圆O的方程；
求证：直线MN过定点.
“山江湖”协作体高一年级第三次月考
数学试卷（自招班）
选择题
D C A A C C A B C A A B
填空题
或 14. 15. 16.
解答题
解：（1）联立，得，
∴，设平行于直线的直线的一般式方程为，
把代入，得：．
∴过点且平行于直线的直线的一般式方程为： .....（4分）
（2）①当直线过原点时，符合题意
当直线过原点时，且过时
∴斜率，
∴直线l2的方程为；
②当直线l2不过原点时，
∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，
∴可设直线l2的方程为：．
∵直线l2过点P（1，1），
∴，解得a．
∴直线l2的方程为：，即．
综上所述，直线l2的方程为或． .........（10分）
解：（1）须满足， ∴，
∴所求函数的定义域为 ........ （ 5分）
（2）∵不等式有解，∴
令，由于，∴
∴的最大值为
∴实数的取值范围为 ...... （12分）
解：（1）由题设知，平面平面，交线为.
因为,平面,所以平面，
故.因为为上异于的点，且为直径，
所以.又，所以平面.
而平面，故平面平面. ...............（6分）
当为的中点时，∥平面.
证明如下：连结交于. 因为为矩形，所以为中点.
连结,因为为的中点，所以∥.，，所以∥平面. ...............（12分）
解：（1）设二次函数，
所以对称轴，因为
所以. ...............（5分）
当，故在先减后增，又
故最大值为
同理当，故在上最大值为=8，解得 综上：或 ...............（12分）
解：（1）取AC的中点O，连结DO，BO.
因为AD=CD，所以AC⊥DO.
又由于是正三角形，所以AC⊥BO.
从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD. ...............（6分）
（2）连结EO. 由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.
在中，.
又AB=BD，所以，故∠DOB=90°.
由题设知为直角三角形，所以.
又是正三角形，且AB=BD，所以.
故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1. ...............（12分）
解：（1）由解得：或，
即两圆的交点坐标为和，
又因为圆O的圆心为坐标原点，
所以圆O的方程为. ...............（5分）
（2）：不妨设
则直线PA的直线方程为，直线PB的直线方程为，
由得，同理可得，
直线MN的斜率为，
直线MN的的方程为：，
化简得：，
所以直线MN过定点. ...............（12分）
数学试卷（自招班）
一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．方程的解所在区间是（ ）
A． B． C． D．
3．过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰为，上底长为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．若圆关于直线对称，则的值为（ ）
A．5 B．3 C．1 D．-1
7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，
无袤，上袤三尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面
都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边
长为，则该鳖臑的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是奇函数，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
11．已知为直线上的动点，过点作圆的一条切线，切点为，则面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数的定义域为，满足，且当时，.
若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知点到直线的距离等于，则的值为__________．
14．函数的值域为__________．
15．已知四面体为正四面体，，分别为的中点．
若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面
体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为________．
已知四面体的四个顶点均在球的表面上，为球的直径，
，四面体的体积的最大值为 .
三、解答题（共70分。解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知直线与直线交于点.
求过点且平行于直线的直线的一般方程；
求过点并且在轴上截距是在轴上截距的倍的直线的一般方程.
18．（12分）已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围.
19．（12分）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于的点．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
20．（12分）已知二次函数满足且.
（1）求函数的解析式；
（2）若在上的最大值为，求实数的值.
（12分）如图，四面体中，是正三角形，．
（1）证明：;
（2）已知是直角三角形，. 若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比.
（12分）已知圆心在坐标原点的圆O经过圆与圆的交点，A、B是圆O与y轴的交点，P为直线y=4上的动点，PA、PB与圆O的另一个交点分别为M、N.
求圆O的方程；
求证：直线MN过定点.
“山江湖”协作体高一年级第三次月考
数学试卷（自招班）
选择题
D C A A C C A B C A A B
填空题
或 14. 15. 16.
解答题
解：（1）联立，得，
∴，设平行于直线的直线的一般式方程为，
把代入，得：．
∴过点且平行于直线的直线的一般式方程为： .....（4分）
（2）①当直线过原点时，符合题意
当直线过原点时，且过时
∴斜率，
∴直线l2的方程为；
②当直线l2不过原点时，
∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，
∴可设直线l2的方程为：．
∵直线l2过点P（1，1），
∴，解得a．
∴直线l2的方程为：，即．
综上所述，直线l2的方程为或． .........（10分）
解：（1）须满足， ∴，
∴所求函数的定义域为 ........ （ 5分）
（2）∵不等式有解，∴
令，由于，∴
∴的最大值为
∴实数的取值范围为 ...... （12分）
解：（1）由题设知，平面平面，交线为.
因为,平面,所以平面，
故.因为为上异于的点，且为直径，
所以.又，所以平面.
而平面，故平面平面. ...............（6分）
当为的中点时，∥平面.
证明如下：连结交于. 因为为矩形，所以为中点.
连结,因为为的中点，所以∥.，，所以∥平面. ...............（12分）
解：（1）设二次函数，
所以对称轴，因为
所以. ...............（5分）
当，故在先减后增，又
故最大值为
同理当，故在上最大值为=8，解得 综上：或 ...............（12分）
解：（1）取AC的中点O，连结DO，BO.
因为AD=CD，所以AC⊥DO.
又由于是正三角形，所以AC⊥BO.
从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD. ...............（6分）
（2）连结EO. 由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.
在中，.
又AB=BD，所以，故∠DOB=90°.
由题设知为直角三角形，所以.
又是正三角形，且AB=BD，所以.
故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1. ...............（12分）
解：（1）由解得：或，
即两圆的交点坐标为和，
又因为圆O的圆心为坐标原点，
所以圆O的方程为. ...............（5分）
（2）：不妨设
则直线PA的直线方程为，直线PB的直线方程为，
由得，同理可得，
直线MN的斜率为，
直线MN的的方程为：，
化简得：，
所以直线MN过定点. ...............（12分）
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