2019-2020学年上海中学高三（上）期中数学试卷
一.填空题
1．已知集合，，则 ．
2．函数的定义域是 ．
3．等比数列中，公比，且前3项之和是21，则数列的通项公式 ．
4．设奇函数在上为增函数，且（1），则不等式的解集是 ．
5．设，，，则的最小值为 ．
6．若不等式的解集为或，则不等式的解集为 ．
7．已知等差数列的首项及公差均为正数，令，，当是数列的最大项时， ．
8．若不存在整数使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
9．定义：数集的容量是集合中所有元素的和．例如，数集，2，的容量为．则满足条件“，2，3，4，5，6，，且若时，必有”的所有非空集合的容量的总和是 ．
10．是实数，函数．如果函数在区间，上有零点，则的取值范围是 ．
11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 项．
12．设，若的最小值为，则实数的取值范围为 ．
二.选择题
13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．在等比数列中，，公比．若，则
A．9 B．10 C．11 D．12
15．若存在，，使得成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
16．给定函数和，令，，对以下三个论断：
（1）若和都是奇函数，则也是奇函数；（2）若和都是非奇非偶函数，则也是非奇非偶函数；（3）和之一与有相同的奇偶性；
其中正确论断的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三.解答题
17．已知实数、满足，．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值．
18．已知，．
（1）解关于的不等式；
（2）若的解集为，求的取值范围．
19．若函数与在给定的区间上满足恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”．
（1）若函数与在上和谐，求实数的取值范围；
（2）若函数与在上和谐，求实数的取值范围．
20．在数列中，，，其中，．
（1）若、、依次成公差不为0的等差数列，求；
（2）证明：“”是“恒成立”的充要条件；
（3）若，求证：存在，使得．
21．已知，其中，．
（1）若，，写出的单调区间；
（2）若函数恰有三个不同的零点，且这些零点之和为，求、的值；
（3）若函数在，上有四个不同零点、、、，求的最大值．
2019-2020学年上海中学高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．已知集合，，则 ．
【解答】解：集合，
，
．
故答案为：．
2．函数的定义域是 ． ．
【解答】解：由已知可得，解不等式可得
故答案为：，
3．等比数列中，公比，且前3项之和是21，则数列的通项公式 ．
【解答】解：因为公比，且前3项之和是21，
所以，解得，
所以，
故答案为：．
4．设奇函数在上为增函数，且（1），则不等式的解集是 ，， ．
【解答】解：函数是奇函数
不等式可转化为：
根据条件可作一函数图象：
不等式的解集是，，
故答案为：，，
5．设，，，则的最小值为 ．
【解答】解：，，，
则；
由基本不等式有：
；
当且仅当时，
即：，时，即：或时；等号成立，
故的最小值为；
故答案为：
6．若不等式的解集为或，则不等式的解集为 ，， ．
【解答】解：的解集为或，所以其对应的方程有两个根，3，且，
，所以，．
，即，即，
由穿针引线法，得，，．
故答案为：，，．
7．已知等差数列的首项及公差均为正数，令，，当是数列的最大项时， 1010 ．
【解答】解：设，，
，，
根据基本不等式，
得，
当且仅当时，取到最大值，
此时，．
故答案为：1010．
8．若不存在整数使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：设原不等式的解集为，
当时，则，不合题意，
当且时，原不等式化为，
，
，要使不存在整数使不等式成立，
须，解得：；
当时，，合题意，
当时，原不等式化为，
，，，不合题意，
故答案为：．
9．定义：数集的容量是集合中所有元素的和．例如，数集，2，的容量为．则满足条件“，2，3，4，5，6，，且若时，必有”的所有非空集合的容量的总和是 224 ．
【解答】解：若满足条件则下列同一括号里的数，同时属于或不属于，即、、，4
又属于集合是一种情况，不属于集合又是一种情况，共两种情况，同理，，4同类似各有两种情况，
利用乘法原理，可得满足条件的集合个数为
、、，4出现和不出现的次数是相等的，
、、，4出现的次数均为8，
总容量为：，
故答案为：224
10．是实数，函数．如果函数在区间，上有零点，则的取值范围是 ，， ．
【解答】解：时，不符合题意，所以，
在，上有解，在，上有解
在，上有解，
问题转化为求函数在，上的值域．
设，，，则，，，
，
设，，，时，，此函数单调递减，
，时，，此函数单调递增，
的取值范围是，，
，，
或．
故答案为，，．
11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 89 项．
【解答】解：由题可知，数列要想项数最少，需要各项最大；
又因为数列首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，
所以需要数列前面递增，后面对称递减；
又各项之和是2019，中间可能存在相等的项，
设除去相等项后的各项为：1，2，，，，，，2，1；
令各项和：，
得，
当为44时，项数为项，
，
将83分成小于或等于44的项，最少可以分成两项，
故这个数列至少有项，
故答案为：89．
12．设，若的最小值为，则实数的取值范围为 ， ．
【解答】解：（1）若，即时，，
在，上单调递减，最小值为，在上最小值为，
故只需即可，解得；
（2）若，即时，则，
在，上先减后增，最小值为，在上最小值为，
故只需即可，解得，
又，；
（3）若，即时，，
在，上先减后增，最小值为，
在上的最小值为，
而的最小值为，故只需令即可，解得或（舍，
综上，的取值范围是，．
故答案为：，．
二.选择题
13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．
故选：．
14．在等比数列中，，公比．若，则
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：根据等比数列的性质得，，
又，所以，
因为，，
所以，所以，即，
故选：．
15．若存在，，使得成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：命题存在，，使得成立的否定为，，使得成立．
由，，使得成立，得，即，
当，时，的最大值为，的最小值为．
命题，，使得成立为真命题的的取值范围为，，
则命题，，使得成立为假命题的的取值范围为，
即存在，，使得成立的实数的取值范围是．
故选：．
16．给定函数和，令，，对以下三个论断：
（1）若和都是奇函数，则也是奇函数；（2）若和都是非奇非偶函数，则也是非奇非偶函数；（3）和之一与有相同的奇偶性；
其中正确论断的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：（1）若，，则，则为非奇非偶函数，故（1）错误，
（2）若，，则，则为偶函数，故（2）错误，
（3）由（1）（2）知，和与的奇偶性没有关系，故（3）错误，
故正确的个数为0个，
故选：．
三.解答题
17．已知实数、满足，．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值．
【解答】解：已知实数、满足，．
（1）若，，当且仅当成立，故最小值为9，
（2）令，，所以，，，，所以，
由，得，
化简得，当且仅当时成立，
解得，或者（不成立）
故的最小值为4．
18．已知，．
（1）解关于的不等式；
（2）若的解集为，求的取值范围．
【解答】解：（1），，
，，
当时，；当时，；当时，，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）不等式的解集为，
即的解集为．
经过定点，
当时，，满足题意；
当时，关于的不等式的解集为，
则或，且，
的取值范围为，．
19．若函数与在给定的区间上满足恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”．
（1）若函数与在上和谐，求实数的取值范围；
（2）若函数与在上和谐，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由与是公共区间上的“和谐函数”，
可得在公共定义域上，
若，对应的方程是同解方程，
则，解得；
此时．
若，对应的方程不是同解方程，
要保证对于定义域内的任意实数，函数值乘积均为正，
则需要两个二次函数的判别式均小于或等于0，
即，
解得，
即的取值范围是．
当时，函数化为与，
大于等于0，的判别式小于0，大于0恒成立，函数值乘积恒非负，也满足条件．
综上知，实数的取值范围是或；
（2）由定义域可得，由题意可得，
由，可得，由，可得，
由题意可得两零点之间无正整数，
由于，所以当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意．
所以的取值范围是，．
20．在数列中，，，其中，．
（1）若、、依次成公差不为0的等差数列，求；
（2）证明：“”是“恒成立”的充要条件；
（3）若，求证：存在，使得．
【解答】解：（1），，其中，．
当时，，
当时，，
当时，，
若、、依次成公差不为0的等差数列，
，
得．
（2）证明：
充分性：
，其中，．
，
，
恒成立．
“” “恒成立”．
必要性：
，其中，，
，
又恒成立，
，
“恒成立” “”
（3），
又，令，
由，
，
，
将上述不等式相加，得：
，即，
取正整数，就有
．
21．已知，其中，．
（1）若，，写出的单调区间；
（2）若函数恰有三个不同的零点，且这些零点之和为，求、的值；
（3）若函数在，上有四个不同零点、、、，求的最大值．
【解答】解：（1），时，，
在，单调递减，在上单调递增，在，单调递增；
（2）由题意有三个解，且他们的和为，
时，必有两个解，，时，只有一解，△，①，②，联立①②解得，，
综上所述，；
（3）即或，设的两根为，，则，，；设的两根为，，则，，
，，，，均在区间，内，
的负根在区间，内，
，，
，
综上所述的最大值为4；
2019-2020 学年上海中学高三（上）期中数学试卷
一.填空题
1．已知集合 { | 4 2}M x x? ? ? ? ， 2{ | 6 0}N x x x? ? ? ? ，则M N ?? ．
2．函数 2log 2y x? ? 的定义域是 ．
3．等比数列{ }na 中，公比 4q ? ，且前 3项之和是 21，则数列的通项公式 na ? ．
4．设奇函数 ( )f x 在 (0, )?? 上为增函数，且 f （1） 0? ，则不等式 ( ) ( ) 0f x f x
x
? ?
? 的解集
是 ．
5．设 0x ? ， 0y ? ， 2 5x y? ? ，则 ( 1)(2 1)x y
xy
? ?
的最小值为 ．
6．若不等式 2 0px qx r? ? ? 的解集为{ | 2x x ?? 或 3}x? ，则不等式 2( )( 1) 0qx px r x? ? ? ? 的
解集为 ．
7．已知等差数列{ }na 的首项及公差均为正数，令
*
2020 (n n nb a a n N?? ? ? ， 2020)n ? ，当
kb 是数列{ }nb 的最大项时， k ? ．
8．若不存在整数 x使不等式 2( 4)( 4) 0kx k x? ? ? ? 成立，则实数 k的取值范围是 ．
9．定义：数集的容量是集合中所有元素的和．例如，数集{1，2，3}的容量为1 2 3 6? ? ? ．则
满足条件“ {1A? ，2，3，4，5，6，7}，且若 a A? 时，必有8 a A? ? ”的所有非空集合 A
的容量的总和是 ．
10． a是实数，函数 2( ) 2 2 3f x ax x a? ? ? ? ．如果函数 ( )y f x? 在区间 [ 1? ，1]上有零点，
则 a的取值范围是 ．
11．若一个整数数列的首项和末项都是 1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于 1，则我们
称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数
列的各项之和是 2019，则这个数列至少有 项．
12．设
2 2 0
( )
| | | 1 | 0
x ax x
f x
x a x x
? ? ?
? ?
? ? ? ??
?
，若 ( )f x 的最小值为 1a ? ，则实数 a的取值范围为 ．
二.选择题
13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻
破楼兰”是“返回家乡”的 ( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．在等比数列{ }na 中， 1 1a ? ，公比 | | 1q ? ．若 1 2 3 4 5ma a a a a a? ，则 (m ? )
A．9 B．10 C．11 D．12
15．若存在 [1x? ， 2]，使得 | 2 1| 2 0xa ? ? ?? 成立，则实数 a的取值范围是 ( )
A． 1 3( , )
2 4
? B． 1 3( , ) ( , )
2 2
?? ? ???
C． 1 3( , )
4 4
? D． 1 3( , ) ( , )
4 4
?? ? ???
16．给定函数 ( )f x 和 ( )g x ，令 ( ) { ( )h x max f x? ， ( )}g x ，对以下三个论断：
（1）若 ( )f x 和 ( )g x 都是奇函数，则 ( )h x 也是奇函数；（2）若 ( )f x 和 ( )g x 都是非奇非偶函
数，则 ( )h x 也是非奇非偶函数；（3） ( )f x 和 ( )g x 之一与 ( )h x 有相同的奇偶性；
其中正确论断的个数为 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三.解答题
17．已知实数 a、 b满足 0 1a? ? ， 0 1b? ? ．
（1）若 1a b? ? ，求 1 1(1 )(1 )
a b
? ? 的最小值；
（2）若 1
4
ab ? ，求 1 1
1 1a b
?
? ?
的最小值．
18．已知 ( ) | 1| ( )f x ax a R? ? ? ， ( ) 1 | |g x x? ? ．
（1）解关于 x的不等式 ( ) 1f x ? ；
（2）若 ( ) ( )f x g x? 的解集为 R，求 a的取值范围．
19．若函数 ( )y f x? 与 ( )y g x? 在给定的区间上满足 ( ) ( ) 0f x g x? ? 恒成立，则称这两个函数
在该区间上“和谐”．
（1）若函数 2( ) ( 1) 2 2f x x a x a? ? ? ? ? 与 2( ) 2 2g x x ax a? ? ? 在 R上和谐，求实数 a的取值
范围；
（2）若函数 30( )f x a
x
? ? 与 ( ) ( )xg x lg
a
? 在 *N 上和谐，求实数 a的取值范围．
20．在数列{ }na 中， 1 0a ? ，
2
1n na a m? ? ? ，其中m R? ，
*n N? ．
（1）若 2a 、 3a 、 4a 依次成公差不为 0的等差数列，求m；
（2）证明：“ 1
4
m ? ”是“ *1
1 ( )
4n
a n N? ? ? 恒成立”的充要条件；
（3）若 1
4
m ? ，求证：存在 *k N? ，使得 2019ka ? ．
21．已知 2( ) | |f x x a x b? ? ? ，其中 0a ? ， 0b ? ．
（1）若 2a ? ， 1b ? ，写出 ( )f x 的单调区间；
（2）若函数 ( )f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为 2? ，求 a、 b的值；
（3）若函数 ( )f x 在 [ 2? ， 2]上有四个不同零点 1x 、 2x 、 3x 、 4x ，求 1 2 3 4| | | | | | | |x x x x? ? ?
的最大值．
2019-2020 学年上海中学高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．已知集合 { | 4 2}M x x? ? ? ? ， 2{ | 6 0}N x x x? ? ? ? ，则M N ?? { | 2 2}x x? ? ? ．
【解答】解：?集合 { | 4 2}M x x? ? ? ? ，
2{ | 6 0} { | 2 3}N x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ，
{ | 2 2}M N x x? ? ? ? ?? ．
故答案为：{ | 2 2}x x? ? ? ．
2．函数 2log 2y x? ? 的定义域是 [4． )?? ．
【解答】解：由已知可得 2
log 2
0
x
x
?
? ??
?
，解不等式可得{ | 4}x x?
故答案为： [4， )??
3．等比数列{ }na 中，公比 4q ? ，且前 3项之和是 21，则数列的通项公式 na ?
14n? ．
【解答】解：因为公比 4q ? ，且前 3项之和是 21，
所以
3
1(1 4 )21
1 4
a ?
?
?
，解得 1 1a ? ，
所以 1 11 4 4
n n
na a
? ?? ?? ，
故答案为： 14n? ．
4．设奇函数 ( )f x 在 (0, )?? 上为增函数，且 f （1） 0? ，则不等式 ( ) ( ) 0f x f x
x
? ?
? 的解集
是 ( 1? ， 0) (0? ，1) ．
【解答】解：?函数 ( )f x 是奇函数
( ) ( )f x f x? ? ? ?
?不等式
( ) ( ) 0f x f x
x
? ?
? 可转化为：
( ) 0f x x ?
根据条件可作一函数图象：
?不等式
( ) ( ) 0f x f x
x
? ?
? 的解集是 ( 1? ， 0) (0? ，1)
故答案为： ( 1? ， 0) (0? ，1)
5．设 0x ? ， 0y ? ， 2 5x y? ? ，则 ( 1)(2 1)x y
xy
? ?
的最小值为 4 3 ．
【解答】解： 0x ? ， 0y ? ， 2 5x y? ? ，
则
( 1)(2 1) 2 2 1 2 6 62x y xy x y xy xy
xy xy xy xy
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ；
由基本不等式有：
6 62 2 2 4 3xy xy
xy xy
? ??? ；
当且仅当
62 xy
xy
? 时，
即： 3xy ? ， 2 5x y? ? 时，即：
3
1
x
y
??
? ??
或
2
3
2
x
y
??
?
?
???
时；等号成立，
故
( 1)(2 1)x y
xy
? ?
的最小值为 4 3；
故答案为： 4 3
6．若不等式 2 0px qx r? ? ? 的解集为{ | 2x x ?? 或 3}x? ，则不等式 2( )( 1) 0qx px r x? ? ? ? 的
解集为 ( 3? ，1) (2? ， )?? ．
【解答】解： 2 0px qx r? ? ? 的解集为{ | 2x x ?? 或 3}x? ，所以其对应的方程 2 0px qx r? ? ?
有两个根 2? ，3，且 0p ? ，
2 2( 2)( 3) 6px qx r p x x px px p? ? ? ? ? ? ? ? ，所以 q p? ， 6r p? ? ．
2( )( 1) 0qx px r x? ? ? ? ，即 2( 6)( 1) 0p x x x? ? ? ? ，即 ( 3)( 2)( 1) 0x x x? ? ? ? ，
由穿针引线法，得 ( 3x? ? ，1) (2? ， )?? ．
故答案为： ( 3? ，1) (2? ， )?? ．
7．已知等差数列{ }na 的首项及公差均为正数，令
*
2020 (n n nb a a n N?? ? ? ， 2020)n ? ，当
kb 是数列{ }nb 的最大项时， k ? 1010 ．
【解答】解：设 na x? ， 2020 na y? ? ，
? *2020 (n n nb a a n N?? ? ? ， 2020)n ? ，
?根据基本不等式 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2( )x y x y xy x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ，
得 2 22020 2020 1010 1010( ) 2( ) 2(2 ) 4n n n n nb a a a a a a? ?? ? ? ? ?? ，
当且仅当 2020n na a ?? 时， nb 取到最大值，
此时 1010n ? ， 1010k? ? ．
故答案为：1010．
8．若不存在整数 x使不等式 2( 4)( 4) 0kx k x? ? ? ? 成立，则实数 k的取值范围是 1 4k? ? ．
【解答】解：设原不等式的解集为 A，
当 0k ? 时，则 4x ? ，不合题意，
当 0k ? 且 2k ? 时，原不等式化为 [ (x ? 4)]( 4) 0k x
k
? ? ? ，
? 4 4k
k
? ? ，
?
4(4, )A k
k
? ? ，要使不存在整数 x使不等式 2( 4)( 4) 0kx k x? ? ? ? 成立，
须
4 5k
k
? ? ，解得：1 4k? ? ；
当 2k ? 时， A ? ?，合题意，
当 0k ? 时，原不等式化为 [ (x ? 4)]( 4) 0k x
k
? ? ? ，
(A? ? ??， 4) (4k
k
? ? ， )?? ，不合题意，
故答案为：1 4k? ? ．
9．定义：数集的容量是集合中所有元素的和．例如，数集{1，2，3}的容量为1 2 3 6? ? ? ．则
满足条件“ {1A? ，2，3，4，5，6，7}，且若 a A? 时，必有8 a A? ? ”的所有非空集合 A
的容量的总和是 224 ．
【解答】解：若满足条件则下列同一括号里的数，同时属于或不属于 A，即 (1,7)、 (2,6)、
(3,5)，4
又 (1,7)属于集合是一种情况，不属于集合又是一种情况，共两种情况，同理 (2,6)， (3,5)，
4同 (1,7)类似各有两种情况，
?利用乘法原理，可得满足条件的集合个数为 42
(1,7)? 、 (2,6)、 (3,5)，4出现和不出现的次数是相等的，
(1,7)? 、 (2,6)、 (3,5)，4出现的次数均为 8，
?总容量为：8 (8 8 8 4) 224? ? ? ? ? ，
故答案为：224
10． a是实数，函数 2( ) 2 2 3f x ax x a? ? ? ? ．如果函数 ( )y f x? 在区间 [ 1? ，1]上有零点，
则 a的取值范围是 (??， 3 7 ] [1
2
? ? ? ， )?? ．
【解答】解： 0a ? 时，不符合题意，所以 0a ? ，
2( ) 2 2 3 0f x ax x a? ? ? ? ?? 在 [ 1? ，1]上有解， 2(2 1) 3 2x a x? ? ? ? 在[ 1? ，1]上有解
?
21 2 1
3 2
x
a x
?
?
?
在 [ 1? ，1]上有解，
问题转化为求函数
22 1
3 2
xy
x
?
?
?
在 [ 1? ，1]上的值域．
设 3 2t x? ? ， [ 1x? ? ，1]，则 2 3x t? ? ， [1t? ， 5]，
1 7( 6)
2
y t
t
? ? ? ? ，
设
7( )g t t
t
? ? ， 2
7( ) 1g t
t
? ? ? ? ， [1t? ， 7)时， ( ) 0g t? ? ，此函数 ( )g t 单调递减，
( 7t? ， 5]时， ( ) 0g t? ? ，此函数 ( )g t 单调递增，
y? 的取值范围是 [ 7 3? ，1]，
?
1 [ 7 3
a
? ? ，1]，
1a? ? 或 3 7
2
a ? ?? ．
故答案为 (??， 3 7 ] [1
2
? ? ? ， )?? ．
11．若一个整数数列的首项和末项都是 1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于 1，则我们
称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数
列的各项之和是 2019，则这个数列至少有 89 项．
【解答】解：由题可知，数列要想项数最少，需要各项最大；
又因为数列首项和末项都是 1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于 1，
所以需要数列前面递增，后面对称递减；
又各项之和是 2019，中间可能存在相等的项，
设除去相等项后的各项为：1，2， 3?， ( 1)n ? ， n， ( 1)n ? ， 3? ，2，1；
? 令 各 项 和 ：
2( 1) [1 ( 1)]1 2 3 ( 1) ( 1) 2 1 2[1 2 3 ( 1)] 2 ( 1) 2019
2
n nn n n n n n n n n n? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
，
得 44n? ，
当 n为 44时，项数为 43 2 1 87? ? ? 项，
22019 44 83? ? ，
将 83分成小于或等于 44的项，最少可以分成两项，
故这个数列至少有87 2 89? ? 项，
故答案为：89．
12．设
2 2 0
( )
| | | 1 | 0
x ax x
f x
x a x x
? ? ?
? ?
? ? ? ??
?
，若 ( )f x 的最小值为 1a ? ，则实数 a的取值范围为
{ 2 2 2} [ 1? ? ?? ，1] ．
【解答】解：（1）若 0a? ? ，即 0a? 时，
2 2, 0
( ) 1,0 1
2 1, 1
x ax x
f x a x
x a x
? ? ?
?? ? ??
? ? ? ??
?
? ，
( )f x? 在 (??， 0]上单调递减，最小值为 (0) 2f ? ，在 (0, )?? 上最小值为 1a ? ，
故只需 2 1a ?? 即可，解得 0 1a? ? ；
（2）若 0 1a? ? ? ，即 1 0a? ?? 时，则
2 2, 0
2 1,0
( )
1, 1
2 1, 1
x ax x
x a x a
f x
a a x
x a x
? ? ?
?? ? ? ? ??? ?
? ? ? ??
? ? ??
?
?
?
，
( )f x? 在 (??， 0]上先减后增，最小值为
2
( ) 2
2 4
a af ? ? ，在 (0, )?? 上最小值为 1a ? ，
故只需
2
2 1
4
a a? ?? 即可，解得 2 2 2 2 2 2a? ? ? ?? ? ，
又 1 0a? ?? ， 1 0a?? ?? ；
（3）若 1a? ? ，即 1a ? ? 时，
2 2, 0
2 1,0 1
( )
1,1
2 1,
x ax x
x a x
f x
a x a
x a x a
? ? ?
?? ? ? ??? ?
? ? ? ? ??
? ? ? ??
?
?
?
，
( )f x? 在 (??， 0]上先减后增，最小值为
2
( ) 2
2 4
a af ? ? ，
( )f x 在 (0, )?? 上的最小值为 1 0a? ? ? ，
而 ( )f x 的最小值为 1 0a ? ? ，故只需令
2
2 1
4
a a? ? ? 即可，解得 2 2 2a ? ? ? 或 2 2 2a ? ? ?
（舍 )，
综上， a的取值范围是{ 2 2 2} [ 1? ? ?? ，1]．
故答案为：{ 2 2 2} [ 1? ? ?? ，1]．
二.选择题
13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻
破楼兰”是“返回家乡”的 ( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．
故选： B．
14．在等比数列{ }na 中， 1 1a ? ，公比 | | 1q ? ．若 1 2 3 4 5ma a a a a a? ，则 (m ? )
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：根据等比数列的性质得， 21 5 2 4 3a a a a a? ?? ? ，
又 1 2 3 4 5ma a a a a a? ，所以
5
3ma a? ，
因为 1 11
m m
ma a q q
? ?? ? ， 2 23 1a a q q? ? ，
所以 1 2 5( )mq q? ? ，所以 1 10m ? ? ，即 11m ? ，
故选：C．
15．若存在 [1x? ， 2]，使得 | 2 1| 2 0xa ? ? ?? 成立，则实数 a的取值范围是 ( )
A． 1 3( , )
2 4
? B． 1 3( , ) ( , )
2 2
?? ? ???
C． 1 3( , )
4 4
? D． 1 3( , ) ( , )
4 4
?? ? ???
【解答】解：命题存在 [1x? ， 2]，使得 | 2 1| 2 0xa ? ? ?? 成立的否定为 [1x? ? ， 2]，使得
| 2 1| 2 0xa ? ?? ? 成立．
由 [1x? ? ， 2]，使得 | 2 1| 2 0xa ? ?? ? 成立，得 2 2 1 2xa? ??? ? ，即 1 3
2 2x x
a? ? ? ，
当 [1x? ， 2]时， 1
2x
? 的最大值为
1
4
? ，
3
2x
的最小值为
3
4
．
?命题 [1x? ? ， 2]，使得 | 2 1| 2 0xa ? ?? ? 成立为真命题的 a的取值范围为 1[
4
? ，
3]
4
，
则命题 [1x? ? ，2]，使得 | 2 1| 2 0xa ? ?? ? 成立为假命题的 a的取值范围为 1 3( , ) ( , )
4 4
?? ? ??? ，
即存在 [1x? ， 2]，使得 | 2 1| 2 0xa ? ? ?? 成立的实数 a的取值范围是 1 3( , ) ( , )
4 4
?? ? ??? ．
故选： D．
16．给定函数 ( )f x 和 ( )g x ，令 ( ) { ( )h x max f x? ， ( )}g x ，对以下三个论断：
（1）若 ( )f x 和 ( )g x 都是奇函数，则 ( )h x 也是奇函数；（2）若 ( )f x 和 ( )g x 都是非奇非偶函
数，则 ( )h x 也是非奇非偶函数；（3） ( )f x 和 ( )g x 之一与 ( )h x 有相同的奇偶性；
其中正确论断的个数为 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：（1）若 ( )f x x? ? ， 3( )g x x? ，则 3
, 0
( )
, 0
x x
h x
x x
? ??
? ?
? ?
，则 ( )h x 为非奇非偶函数，
故（1）错误，
（2）若 ( ) 2xf x ? ， ( ) 2 xg x ?? ，则 2 , 0( )
2 , 0
x
x
x
h x
x?
?
? ?
??
?
，则 ( )h x 为偶函数，故（2）错误，
（3）由（1）（2）知， ( )f x 和 ( )g x 与 ( )h x 的奇偶性没有关系，故（3）错误，
故正确的个数为 0个，
故选： A．
三.解答题
17．已知实数 a、 b满足 0 1a? ? ， 0 1b? ? ．
（1）若 1a b? ? ，求 1 1(1 )(1 )
a b
? ? 的最小值；
（2）若 1
4
ab ? ，求 1 1
1 1a b
?
? ?
的最小值．
【解答】解：已知实数 a、 b满足 0 1a? ? ， 0 1b? ? ．
（1）若 1a b? ? ， 1 1(1 )(1 ) (1 )(1 ) (2 )(2 ) 4 4 1 9a b a b a b
a b a b b a
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ，当且仅当
a b? 成立，故最小值为 9，
（2）令 1
1
x
a
?
?
，
1
1
y
b
?
?
，所以
1xa
x
?
? ，
1yb
y
?
? ， 1x ? ， 1y ? ，所以 2x y? ? ，
由
1
4
ab ? ，得 1 1 1
4
x y
x y
? ?
?? ，
化简得 2
34( ) 3 4 ( ) 4
4
x y xy x y? ? ? ? ?? ，当且仅当 x y? 时成立，
解得 4x y? ? ，或者 4
3
x y? ? （不成立）
故 x y? 的最小值为 4．
18．已知 ( ) | 1| ( )f x ax a R? ? ? ， ( ) 1 | |g x x? ? ．
（1）解关于 x的不等式 ( ) 1f x ? ；
（2）若 ( ) ( )f x g x? 的解集为 R，求 a的取值范围．
【解答】解：（1） ( ) 1f x? ? ， | 1 | 1ax? ? ? ，
1 1 1ax?? ?? ? ， 0 2ax? ? ? ，
?当 0a ? 时， 20 x
a
? ? ；当 0a ? 时， x R? ；当 0a ? 时， 2 0x
a
? ? ，
?当 0a ? 时，不等式的解集为 2[0, ]
a
；
当 0a ? 时，不等式的解集为 R；
当 0a ? 时，不等式的解集为 2[ ,0]
a
；
（2）不等式 ( ) ( )f x g x? 的解集为 R，
即 | 1 | 1 | |ax x? ?? 的解集为 R．
| 1 |y ax? ?? 经过定点 (0,1)，
?当 0a ? 时， | | 0x ? ，满足题意；
当 0a ? 时，关于 x的不等式 | 1 | 1 | |ax x? ?? 的解集为 R，
则
1 1
a
? 或 1 1
a
?? ， 1 1a?? ? ? 且 0a ? ，
a? 的取值范围为 [ 1? ，1]．
19．若函数 ( )y f x? 与 ( )y g x? 在给定的区间上满足 ( ) ( ) 0f x g x? ? 恒成立，则称这两个函数
在该区间上“和谐”．
（1）若函数 2( ) ( 1) 2 2f x x a x a? ? ? ? ? 与 2( ) 2 2g x x ax a? ? ? 在 R上和谐，求实数 a的取值
范围；
（2）若函数 30( )f x a
x
? ? 与 ( ) ( )xg x lg
a
? 在 *N 上和谐，求实数 a的取值范围．
【解答】解：（1）由 2( ) ( 1) 2 2f x x a x a? ? ? ? ? 与 2( ) 2 2g x x ax a? ? ? 是公共区间上的“和
谐函数”，
可得在公共定义域上 ( ) ( ) 0f x g x? ? ，
若 ( )f x ， ( )g x 对应的方程是同解方程，
则
1
2
2 2
aa
a a
? ? ??
?
?? ? ? ??
，解得 2a ? ；
此时 2 2( 2)(2 2 4) 0x x x x? ? ? ? ? ．
若 ( )f x ， ( )g x 对应的方程不是同解方程，
要保证对于定义域内的任意实数 x，函数值乘积均为正，
则需要两个二次函数的判别式均小于或等于 0，
即
2
2
( 1) 4( 2 2) 0
4 2 ( 2 ) 0
a a
a a
? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
?
?
，
解得 7 0a? ? ? ，
即 a的取值范围是 7 0a? ? ? ．
当 0a ? 时，函数化为 2( ) 2f x x x? ? ? 与 2( ) 2g x x? ，
( )g x 大于等于 0， ( )f x 的判别式小于 0， ( )f x 大于 0恒成立，函数值乘积恒非负，也满足
条件．
综上知，实数 a的取值范围是 7 0a? ? ? 或 2a ? ；
（2）由定义域可得 0x
a
? ，由题意可得 0a ? ，
由 ( ) 0f x ? ，可得 30x
a
? ，由 ( ) 0g x ? ，可得 x a? ，
由题意可得两零点之间无正整数，
由于 5 6 30? ? ，所以当 0 5a? ? 时， 30 6
a
? ，不满足题意；
当 6a ? 时， 300 5
a
? ? ，不满足题意；
当 5 6a? ? 时， 305 6
a
? ? ，满足题意．
所以 a的取值范围是 [5， 6]．
20．在数列{ }na 中， 1 0a ? ，
2
1n na a m? ? ? ，其中m R? ，
*n N? ．
（1）若 2a 、 3a 、 4a 依次成公差不为 0的等差数列，求m；
（2）证明：“ 1
4
m ? ”是“ *1
1 ( )
4n
a n N? ? ? 恒成立”的充要条件；
（3）若 1
4
m ? ，求证：存在 *k N? ，使得 2019ka ? ．
【解答】解：（1） 1 0a ?? ，
2
1n na a m? ? ? ，其中m R? ，
*n N? ．
当 1n ? 时， 2 0a m m? ? ? ，
当 2n ? 时， 23a m m? ? ，
当 3n ? 时， 2 24 ( )a m m m m? ? ? ? ，
?若 2a 、 3a 、 4a 依次成公差不为 0的等差数列，
3 2 42a a a? ? ? ，
得 1 2m ? ? ? ．
（2）证明：
充分性：
2
1n na a m? ? ?? ，其中m R? ，
*n N? ．
1na m?? ? ，
1
4
m ?? ，
*
1
1 ( )
4n
a n N?? ? ? 恒成立．
? “
1
4
m ? ” ? “ *1
1 ( )
4n
a n N? ? ? 恒成立”．
必要性：
2
1n na a m? ? ?? ，其中m R? ，
*n N? ，
1na m?? ? ，
又 *1
1 ( )
4n
a n N? ? ?? 恒成立，
1
4
m? ? ，
? “ *1
1 ( )
4n
a n N? ? ? 恒成立” ? “
1
4
m ? ”
（3） 2 21
1 1 1( ) ( )
2 4 4n n n n n
a a a m a a m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ，
又
1
4
m ? ，?令 1 0
4
d m? ? ? ，
由 1n na a d?? ? ，
1 2n na a d? ?? ? ，
?
2 1a a d? ? ，
将上述不等式相加，得：
1 ( 1)na a n d? ?? ，即 ( 1)na n d?? ，
取正整数
2019 1k
d
? ? ，就有
2019( 1) ( ) 2019ka k d d d
? ? ??? ．
21．已知 2( ) | |f x x a x b? ? ? ，其中 0a ? ， 0b ? ．
（1）若 2a ? ， 1b ? ，写出 ( )f x 的单调区间；
（2）若函数 ( )f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为 2? ，求 a、 b的值；
（3）若函数 ( )f x 在 [ 2? ， 2]上有四个不同零点 1x 、 2x 、 3x 、 4x ，求 1 2 3 4| | | | | | | |x x x x? ? ?
的最大值．
【解答】解：（1） 2a ? ， 1b ? 时，
2 2
2
2 2
2 2, 1 ( 1) 1, 1
( ) 2 | 1|
2 2, 1 ( 1) 3, 1
x x x x x
f x x x
x x x x x
? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
，
( )f x? 在 (??， 1]? 单调递减，在 ( 1,1)? 上单调递增，在[1， )?? 单调递增；
（2）由题意 2( ) | | 0f x x a x b? ? ? ? 有三个解，且他们的和为 2? ，
x b?? 时 ， 2( ) 0f x x ax ab? ? ? ? 必 有 两 个 解 ，
2 4
2
a a abx ? ? ?? ， x b? ? 时 ，
2( ) 0f x x ax ab? ? ? ? 只有一解，△ 2 4 0a ab? ? ? ， 4a b? ①， 2x b? ②，联立①②解得 4a ? ，
1b ? ，
综上所述 4a ? ， 1b ? ；
（3） 2( ) | | 0f x x a x b? ? ? ? 即 2 0x ax ab? ? ? 或 2 0x ax ab? ? ? ，设 2 0x ax ab? ? ? 的两根
为 1x ， 2x ，则 1 2x x a? ? ， 1 0x ? ， 2 0x ? ；设
2 0x ax ab? ? ? 的两根为 3x ， 4x ，则 3 4x x a? ? ? ，
3 4 0x x ab? ? ?? ，
2 2
3 4 3 4 3 4 3 4| | | | | | ( ) 4 4x x x x x x x x a ab? ? ? ? ? ? ? ? ?? ， 1x? ， 2x ， 3x ， 4x 均在区间[ 2? ，2]
内，
2 0x ax ab? ? ? ? 的负根
2 4
2
a a ab? ? ?
在区间 [ 2? ， 2]内，
?
2 4 2
2
a a ab? ? ?
?? ， 2 4 4a a ab? ? ? ? ，
2
1 2 3 4| | | | | | | | 4 4x x x x a a ab? ? ? ? ? ? ? ? ，
综上所述 21 2 3 4| | | | | | | | 4x x x x a a ab? ? ? ? ? ? 的最大值为 4；
