2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中数学试卷
一.填空题
1．方程组的增广矩阵是 ．
2．已知，，若向量与共线，则实数的值为 ．
3．过点且与直线垂直的直线的点法向式方程为 ．
4．计算： ．
5．已知向量、的夹角为，，，则 ．
6．将直线绕着它与轴的交点，按顺时针方向旋转，得到直线，则直线的方程为 ．
7．一直线过点，且点到该直线的距离等于2，则该直线的倾斜角为 ．
8．在中，，，角的平分线与边上的中线交于点，，则的值为 ．
9．已知，，，若时，的最大值为1，则的最小值为 ．
10．已知满足，点为线段上一动点，若的最小值为，则的面积 ．
二.选择题
11．下列命题中，正确的是
A．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．直线的斜率为，则直线的倾斜角是
D．直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
12．向量，与，平行是二元一次方程组存在无穷多解的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
13．已知直线的方程是，的方程是，则下列各示意图中，正确的是
A． B．
C． D．
14．设，，为坐标原点，动点满足，，则的最大值是
A． B． C． D．
三.解答题
15．利用二阶行列式，讨论两条直线的位置关系．
16．已知向量，向量是与向量夹角为的单位向量．
（1）求向量；
（2）若向量与向量共线，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
17．某学校在平面图为矩形的操场内进行体操表演，其中，，为上一点，且，线段、、为表演队列所在位置、分别在线段、上），内的点为领队位置，且到、的距离分别为、，记，我们知道当面积最小时观赏效果最好．
（1）当为何值时，为队列的中点；
（2）怎样安排的位置才能使观赏效果最好？求出此时的面积．
18．如图，坐标原点，从直线上的一点作轴的垂线，垂足记为，过作的平行线，交直线于点，再从作轴的垂线，垂足记为，依次重复上述过程得到一系列点：，，，，，，，记点的坐标为，，2，3，，，现已知．
（1）求、的坐标；
（2）试求的通项公式；
（3）点、之间的距离记为，是否存在最小的正实数，使得对一切的自然数恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．方程组的增广矩阵是 ．
【解答】解：方程可以转化成，
所以增广矩阵为．
故答案为．
2．已知，，若向量与共线，则实数的值为 2 ．
【解答】解：，，
则；
又向量与共线，
则，
解得．
故答案为：2．
3．过点且与直线垂直的直线的点法向式方程为 ．
【解答】解：与直线垂直的直线的法向量为，
则直线的点法向式方程为：，
故答案为：．
4．计算： ．
【解答】解：根据矩阵乘法的计算法则，可知
．
故答案为：．
5．已知向量、的夹角为，，，则 ．
【解答】解：向量、的夹角为，，，
所以，
所以．
故答案为：．
6．将直线绕着它与轴的交点，按顺时针方向旋转，得到直线，则直线的方程为 ．
【解答】解：在方程中，取，可得直线与轴的交点，，
按顺时针方向旋转，设所得直线的斜率为，
则有，求得，故所得直线的方程为，
化简可得，
故答案为：．
7．一直线过点，且点到该直线的距离等于2，则该直线的倾斜角为 或 ．
【解答】解：设该直线的斜率为，倾斜角为，，，则．
直线的方程为，即．
根据点到该直线的距离等于2，可得 ，求得，．
当直线的斜率不存在时，方程为，检验满足条件，此时直线的倾斜角为，
故答案为：或．
8．在中，，，角的平分线与边上的中线交于点，，则的值为 3 ．
【解答】解：在中，，，
设角的平分线与边上的中线交于点，
由内角平分线定理可得，，
；
；
．
故答案为：3．
9．已知，，，若时，的最大值为1，则的最小值为 9 ．
【解答】解：，，
，，，，
，；
，所以
故，当且仅当时，等号成立）．
故答案为：9．
10．已知满足，点为线段上一动点，若的最小值为，则的面积 ．
【解答】解：设，，，
则，，四边形为平行四边形，
，，，．
，
，，
，
，
当且仅当时，取等号，
，，
的面积，
故答案为：．
二.选择题
11．下列命题中，正确的是
A．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．直线的斜率为，则直线的倾斜角是
D．直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
【解答】解：对于，直线的倾斜角为锐角时，斜率大于0，直线的倾斜角为钝角时，斜率小于0，故错误；
对于，直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，故错误；
对于，因为直线的倾斜角应大于等于0度小于180度，而里的可能会超过这个范围，故错；
对于，当时，斜率在上均单调递增，故对，
故选：．
12．向量，与，平行是二元一次方程组存在无穷多解的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【解答】解：设命题：向量，与，平行；
又设命题：二元一次方程组存在无穷多解且；
未必推出，；
是的必要不充分条件；
故选：．
13．已知直线的方程是，的方程是，则下列各示意图中，正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：，
直线与直线的斜率均存在
直线的斜截式方程为
直线的斜截式方程为
对于选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，在轴上的截距应大于0，图象符合；
对于选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应小于0，图象不符合；
对于选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，在轴上的截距应小于0，图象不符合；
对于选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，在轴上的截距应小于0，图象不符合．
故选：．
14．设，，为坐标原点，动点满足，，则的最大值是
A． B． C． D．
【解答】解：，，为坐标原点，动点
，，
，，
，
画出可行域，
令，则，
所以当过点时，，
故选：．
三.解答题
15．利用二阶行列式，讨论两条直线的位置关系．
【解答】解：
当时，或者
时，，两直线重合．
时，，两直线平行．
当，即或者时，两直线相交．
综上所述时，两直线重合；
时，两直线平行；
或者时，两直线相交．
16．已知向量，向量是与向量夹角为的单位向量．
（1）求向量；
（2）若向量与向量共线，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）向量，向量是与向量夹角为的单位向量，
则，，，
所以，，，；
或，，，；
所以向量或；
（2）由向量与向量共线，得，；
又与的夹角为钝角，
则，
即，
解得，
所以实数的取值范围是，，，．
17．某学校在平面图为矩形的操场内进行体操表演，其中，，为上一点，且，线段、、为表演队列所在位置、分别在线段、上），内的点为领队位置，且到、的距离分别为、，记，我们知道当面积最小时观赏效果最好．
（1）当为何值时，为队列的中点；
（2）怎样安排的位置才能使观赏效果最好？求出此时的面积．
【解答】解：（1）以为坐标原点，所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则，，，．；，
设，，，，
到、的距离分别为、，联立解方程组，得，
为的中点，所以，得，，所以，
．
（2）由，， 三点共线，得，，即，
，
，当且仅当成立，
所以面积最小为．
18．如图，坐标原点，从直线上的一点作轴的垂线，垂足记为，过作的平行线，交直线于点，再从作轴的垂线，垂足记为，依次重复上述过程得到一系列点：，，，，，，，记点的坐标为，，2，3，，，现已知．
（1）求、的坐标；
（2）试求的通项公式；
（3）点、之间的距离记为，是否存在最小的正实数，使得对一切的自然数恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），即有，，
，，，，
可得，解得，
则，
由，，，
，可得，解得，
；
（2）由，，，，
，可得
，化为，
即为，
可得数列为首项是4，公比为2的等比数列，
则，
可得，；
（3）
，
，
假设存在最小的正实数，使得对一切的自然数恒成立，
可得，故存在这样的，且的最小值为．
2019-2020 学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中
数学试卷
一.填空题
1．方程组
4 3 7 0
3 5 6 0
x y
x y
? ? ??
? ? ? ??
的增广矩阵是 ．
2．已知 ( 1, )a ?? ?? ， (3,1)b ?
?
，若向量 2a b?
??
与 (10,8)c ?? 共线，则实数 ?的值为 ．
3．过点 (1,4)A 且与直线 7 6
5 2
x y? ?
? 垂直的直线的点法向式方程为 ．
4．计算：
5 4 6
1 1 0
( )(2 2 1)
1 1 2
3 4 2
?
? ．
5．已知向量 a?、 b
?
的夹角为120?， | | 1a ?? ， | | 3b ?
?
，则 | 2 |a b? ?
??
．
6．将直线 2 3 0x y? ? ? 绕着它与 x轴的交点，按顺时针方向旋转
4
?
，得到直线 l，则直线 l
的方程为 ．
7．一直线过点 (1,0)P ，且点 ( 1,1)Q ? 到该直线的距离等于 2，则该直线的倾斜角为 ．
8．在 ABC? 中， 4AB ? ， 3AC ? ，角 A的平分线与 AB边上的中线交于点O， 6AO AB ?
???? ????
? ，
则 AB AC
???? ????
? 的值为 ．
9 ． 已 知 (1,2)OA ?
????
， (0,1)OB ?
????
， ( , )x y OA OB? ?? ?
???? ????
， 若 0 1 2? ?? ? ? ? 时 ，
( 0, 0)x yz m n
m n
? ? ? ? 的最大值为 1，则m n? 的最小值为 ．
10．已知 ABC? 满足 3 13( )
| | | | | |
AB AC AB AC
AB AC AB AC
?
? ?
?
???? ???? ???? ?????
???? ???? ???? ???? ，点D为线段 AB上一动点，若DA DC
???? ????
? 的
最小值为 1? ，则 ABC? 的面积 S ? ．
二.选择题
11．下列命题中，正确的是 ( )
A．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．直线的倾斜角为? ，则直线的斜率为 tan?
C．直线的斜率为 tan? ，则直线的倾斜角是?
D．直线的倾斜角 [0, ) ( , )
2 2
? ?? ?? ? 时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
12．向量 1(a ， 2 )a 与 1(b ， 2 )b 平行是二元一次方程组
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
? ??
? ? ??
存在无穷多解的 ( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
13．已知直线 1l 的方程是 0ax y b? ? ? ， 2l 的方程是 0( 0, )x by a ab a b? ? ? ? ? ，则下列各示
意图中，正确的是 ( )
A． B．
C． D．
14．设 (1,0)OM ?
?????
， (1,2)ON ?
????
，O为坐标原点，动点 ( , )P x y 满足 0 1OP OM
???? ?????
?? ? ，0 2OP ON
???? ????
?? ? ，
则 x y? 的最大值是 ( )
A． 1
2
B． 1
2
? C． 3
2
D． 3
2
?
三.解答题
15．利用二阶行列式，讨论两条直线 1
2
: 5 ( 3) 5 3
: ( 6) 2 8
l x m y m
l m x y
? ? ? ??
? ? ? ??
的位置关系．
16．已知向量 (1, 3)m ?? ，向量 n?是与向量m? 夹角为
6
?
的单位向量．
（1）求向量 n?；
（2）若向量 n?与向量 ( 3,1)q ?? 共线，且 n?与 4 4( 3 , )xp x
x
?
? ?
?
的夹角为钝角，求实数 x的
取值范围．
17．某学校在平面图为矩形的操场 ABCD内进行体操表演，其中 40AB ? ， 15BC ? ，O为 AB
上一点，且 10BO ? ，线段OC 、OD、MN 为表演队列所在位置 (M 、 N分别在线段OD、
OC 上）， OCD? 内的点 P为领队位置，且 P到OC 、OD的距离分别为 13、 5 ，记OM d? ，
我们知道当 OMN? 面积最小时观赏效果最好．
（1）当 d为何值时， P为队列MN 的中点；
（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时 OMN? 的面积．
18．如图，O坐标原点，从直线 1 1
2
y x? ? 上的一点 1 1 1
1( , 1)
2
P x x ? 作 x轴的垂线，垂足记为 1Q ，
过 1Q 作 1OP的平行线，交直线
1 1
2
y x? ? 于点 2 2 2
1( , 1)
2
P x x ? ，再从 2P 作 x轴的垂线，垂足记
为 2Q ，依次重复上述过程得到一系列点： 1P， 1Q ， 2P ， 2Q ，?， nP ， nQ ，记 kP 点的坐标
为
1( , 1)
2k k
x x ? ， 1k ? ，2，3，?， n，现已知 1 2x ? ．
（1）求 2Q 、 3Q 的坐标；
（2）试求 (1 )kx k n? ? 的通项公式；
（3）点 nP 、 1nP ? 之间的距离记为
*
1| | ( )n nP P n N? ? ，是否存在最小的正实数 t ，使得
1 2 2 3 1
1 1 1
| | | | | |n n
t
PP P P P P ?
? ??? ? 对一切的自然数 n恒成立？若存在，求 t的值，若不存在，请
说明理由．
2019-2020 学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．方程组
4 3 7 0
3 5 6 0
x y
x y
? ? ??
? ? ? ??
的增广矩阵是
4 3 7
3 5 6
?? ?
? ??? ?
．
【解答】解：方程可以转化成
4 3 7
3 5 6
x y
x y
? ??
? ? ? ??
，
所以增广矩阵为
4 3 7
3 5 6
?? ?
? ??? ?
．
故答案为
4 3 7
3 5 6
?? ?
? ??? ?
．
2．已知 ( 1, )a ?? ?? ， (3,1)b ?
?
，若向量 2a b?
??
与 (10,8)c ?? 共线，则实数 ?的值为 2 ．
【解答】解： ( 1, )a ?? ?? ， (3,1)b ?
?
，
则 2 (5, 2)a b ?? ? ?
??
；
又向量 2a b?
??
与 (10,8)c ?? 共线，
则 5 8 10( 2) 0?? ? ? ? ，
解得 2? ? ．
故答案为：2．
3 ． 过 点 (1,4)A 且 与 直 线 7 6
5 2
x y? ?
? 垂 直 的 直 线 的 点 法 向 式 方 程 为
5( 1) 2( 4) 0x y? ? ? ? ．
【解答】解：与直线
7 6
5 2
x y? ?
? 垂直的直线的法向量为 (5,2)，
则直线的点法向式方程为： 5( 1) 2( 4) 0x y? ? ? ? ，
故答案为： 5( 1) 2( 4) 0x y? ? ? ? ．
4．计算：
5 4 6
1 1 0
( )(2 2 1)
1 1 2
3 4 2
?
?
3 2 5
13 14 11
? ?
? ?
? ?
．
【解答】解：根据矩阵乘法的计算法则，可知
5 4 6
1 1 0 3 2 5
2 2 1
1 1 2 13 14 11
3 4 2
? ?
?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?
? ?
．
故答案为：
3 2 5
13 14 11
? ?
? ?
? ?
．
5．已知向量 a?、 b
?
的夹角为120?， | | 1a ?? ， | | 3b ?
?
，则 | 2 |a b? ?
?? 7 ．
【解答】解：向量 a?、 b
?
的夹角为120?， | | 1a ?? ， | | 3b ?
?
，
所以 2 2 2(2 ) 4 4 4 1 4 1 3 cos120 9 7a b a a b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?? ，
所以 | 2 | 7a b? ?
??
．
故答案为： 7 ．
6．将直线 2 3 0x y? ? ? 绕着它与 x轴的交点，按顺时针方向旋转
4
?
，得到直线 l，则直线 l
的方程为 6 2 9 0x y? ? ? ．
【解答】解：在方程 2 3 0x y? ? ? 中，取 0y ? ，可得直线与 x轴的交点 3(
2
A ? ， 0)，
按顺时针方向旋转
4
?
，设所得直线的斜率为 k，
则有
2tan 1
4 1 2
k
k
? ? ?
? ?
?
，求得 3k ? ，故所得直线 l的方程为 33( )
2
y x? ? ，
化简可得 6 2 9 0x y? ? ? ，
故答案为： 6 2 9 0x y? ? ? ．
7．一直线过点 (1,0)P ，且点 ( 1,1)Q ? 到该直线的距离等于 2，则该直线的倾斜角为 3arctan
4
或
2
?
．
【解答】解：设该直线的斜率为 k，倾斜角为? ， [0? ? ， )? ，则 tank ?? ．
直线的方程为 0 ( 1)y k x? ? ? ，即 0kx y k? ? ? ．
根据点 ( 1,1)Q ? 到该直线的距离等于 2，可得
2
| 1 | 2
1
k k
k
? ? ?
?
?
，求得
3tan
4
k ?? ? ，
3arctan
4
?? ? ．
当直线的斜率不存在时，方程为 1x ? ，检验满足条件，此时直线的倾斜角为
2
?
，
故答案为：
3arctan
4
或
2
?
．
8．在 ABC? 中， 4AB ? ， 3AC ? ，角 A的平分线与 AB边上的中线交于点O， 6AO AB ?
???? ????
? ，
则 AB AC
???? ????
? 的值为 3 ．
【解答】解：在 ABC? 中， 3AB ? ， 2AC ? ，
设角 A的平分线与 AB边上的中线CD交于点O，
由内角平分线定理可得，
3
2
CO AC
OD AD
? ? ，
?
3 3 2 3 2 3( )
5 5 5 5 5 10
AO AC CD AC AD AC AC AD AC AB? ? ? ? ? ? ? ? ?
???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
；
?
22 3 6
5 10
AO AB AB AC AB? ? ?
???? ???? ???? ???? ????
? ? ；
?
2 25 3 5 3(6 ) (6 4 ) 3
2 10 2 10
AB AC AB? ? ? ? ? ? ?
???? ???? ????
? ．
故答案为：3．
9 ． 已 知 (1,2)OA ?
????
， (0,1)OB ?
????
， ( , )x y OA OB? ?? ?
???? ????
， 若 0 1 2? ?? ? ? ? 时 ，
( 0, 0)x yz m n
m n
? ? ? ? 的最大值为 1，则m n? 的最小值为 9 ．
【解答】解：? (1,2)OA ?
????
， (0,1)OB ?
????
，
(x? ， ) (1y ?? ， 2) (0?? ，1)，
x ?? ? ， 2y ? ?? ? ；
0 1 2? ?? ? ? ? ? ，所以 2 1 4 1( 0, 0)x yz m n
m n m n m n
? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ??
故 2
1 4( )( ) (1 2) 9m n
m n
? ? ? ?? ，当且仅当 1
2
m n? 时，等号成立）．
故答案为：9．
10．已知 ABC? 满足 3 13( )
| | | | | |
AB AC AB AC
AB AC AB AC
?
? ?
?
???? ???? ???? ?????
???? ???? ???? ???? ，点D为线段 AB上一动点，若DA DC
???? ????
? 的
最小值为 1? ，则 ABC? 的面积 S ? 12 3 ．
【解答】解：设
3
| |
ABAM
AB
?
?????????
???? ，
| |
ACAN
AC
?
????????
???? ， 13( )
| |
AB ACAE
AB AC
?
?
?
???? ????????
???? ???? ，
则 / /AM EN ， / /AN ME，四边形 AMEN为平行四边形，
| | 3AM ?
?????
， | | 1AN ?
????
， | | 13AE ?
????
，
3| | | | 3
1
AB AM
AC AN
? ? ?
???? ?????
???? ???? ．
2 23 1 13 1cos
2 3 1 2
EMA ? ?? ? ? ? ?
? ?
，
?
2
3
EMA ?? ? ，?
3
MAN ?? ? ，
? 2
2( ) ( ) | || | cos
3
DA DC DA DA AC DA DA AC ?? ? ? ?
???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
? ? ，
2 2 2 21 1 1 1| | | || | (| | | |) | | | | 1
2 4 16 16
DA AC DA DA AC AC AC? ? ? ? ? ? ? ?
???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
? ，
当且仅当
1| | | |
4
DA AC?
???? ????
时，取等号，
? | | 4AC ?
????
， | | 12AB ?
????
，
ABC?? 的面积 1 | || | sin 12 3
2 3
s AB AC ?? ?
???? ????
，
故答案为：12 3．
二.选择题
11．下列命题中，正确的是 ( )
A．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．直线的倾斜角为? ，则直线的斜率为 tan?
C．直线的斜率为 tan? ，则直线的倾斜角是?
D．直线的倾斜角 [0, ) ( , )
2 2
? ?? ?? ? 时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
【解答】解：对于 A，直线的倾斜角为锐角时，斜率大于 0，直线的倾斜角为钝角时，斜率
小于 0，故 A错误；
对于 B，直线的倾斜角 90? ? ?时，直线的斜率不存在，故 B错误；
对于C，因为直线的倾斜角应大于等于 0度小于 180度，而 tan? 里的? 可能会超过这个范
围，故C错；
对于 D，当 90? ? ?时，斜率 tan? 在 [0, ) ( , )
2 2
? ?? ?? ? 上均单调递增，故 D对，
故选： D．
12．向量 1(a ， 2 )a 与 1(b ， 2 )b 平行是二元一次方程组
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
? ??
? ? ??
存在无穷多解的 ( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【解答】解：?设命题 p：向量 1(a ， 2 )a 与 1(b ， 2 )b 平行 1 2 2 1 0a b a b? ? ? ；
又设命题 q：二元一次方程组 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
? ??
? ? ??
存在无穷多解 1 2 2 1 0a b a b? ? ? 且 1 2 2 1 0a c a c? ? ；
p? 未必推出 q， q p? ；
p? 是 q的必要不充分条件；
故选： B．
13．已知直线 1l 的方程是 0ax y b? ? ? ， 2l 的方程是 0( 0, )x by a ab a b? ? ? ? ? ，则下列各示
意图中，正确的是 ( )
A． B．
C． D．
【解答】解： 0ab ?? ，
?直线 1l 与直线 2l 的斜率均存在
?直线 1l 的斜截式方程为 y ax b? ?
直线 2l 的斜截式方程为
1 ay x
b b
? ? ?
对于 A选项，根据直线 1l 的图象可知 0a ? ，且 0b ? ，因此直线 2l 的斜率应小于 0，在 y轴
上的截距应大于 0，图象符合；
对于 B选项，根据直线 1l 的图象可知 0a ? ，且 0b ? ，因此直线 2l 的斜率应大于 0，在 y轴
上的截距应小于 0，图象不符合；
对于C 选项，根据直线 1l 的图象可知 0a ? ，且 0b ? ，因此直线 2l 的斜率应小于 0，在 y轴
上的截距应小于 0，图象不符合；
对于D选项，根据直线 1l 的图象可知 0a ? ，且 0b ? ，因此直线 2l 的斜率应小于 0，在 y轴
上的截距应小于 0，图象不符合．
故选： A．
14．设 (1,0)OM ?
?????
， (1,2)ON ?
????
，O为坐标原点，动点 ( , )P x y 满足 0 1OP OM
???? ?????
?? ? ，0 2OP ON
???? ????
?? ? ，
则 x y? 的最大值是 ( )
A． 1
2
B． 1
2
? C． 3
2
D． 3
2
?
【解答】解：? (1,0)OM ?
?????
， (1,2)ON ?
????
，O为坐标原点，动点 ( , )P x y
? OP OM x?
???? ?????
? ， 2OP ON x y? ?
???? ????
? ，
? 0 1OP OM
???? ?????
?? ? ， 0 2OP ON
???? ????
?? ? ，
?
0 1
0 2 2
x
x y
?
? ??
? ?
? ? ，
画出可行域，
令 z x y? ? ，则 y x z? ? ? ，
所以当过点
1(1, )
2
A 时， 3
2max
z ? ，
故选：C．
三.解答题
15．利用二阶行列式，讨论两条直线 1
2
: 5 ( 3) 5 3
: ( 6) 2 8
l x m y m
l m x y
? ? ? ??
? ? ? ??
的位置关系．
【解答】解：
5 3
( 1)( 8)
6 2
m
D m m
m
?
? ? ? ? ?
?
3 5 3
14( 1)
2 8x
m m
D m
? ?
? ? ?
5 5 3
(3 10)( 1)
6 8y
m
D m m
m
?
? ? ? ?
?
当 0D ? 时， 1m ? ? 或者 8m ? ?
1m ? ? 时， 0x yD D D? ? ? ，两直线重合．
8m ? ? 时，
0
0x
D
D
??
? ??
，两直线平行．
当 0D ? ，即 1m ? ? 或者 8m ? ? 时，两直线相交．
综上所述 1m ? ? 时，两直线重合；
8m ? ? 时，两直线平行；
1m ? ? 或者 8m ? ? 时，两直线相交．
16．已知向量 (1, 3)m ?? ，向量 n?是与向量m? 夹角为
6
?
的单位向量．
（1）求向量 n?；
（2）若向量 n?与向量 ( 3,1)q ?? 共线，且 n?与 4 4( 3 , )xp x
x
?
? ?
?
的夹角为钝角，求实数 x的
取值范围．
【解答】解：（1）向量 (1, 3)m ?? ，向量 n?是与向量m? 夹角为
6
?
的单位向量，
则
1(
| | 2
m
m
?
?
? ，
3 ) (cos
2 3
?
? ， sin )
3
?
，
所以 (cos( )
3 6
n ? ?? ?? ， sin( )) (cos
3 6 2
? ? ?
? ? ， sin ) (0
2
?
? ，1)；
或 (cos( )
3 6
n ? ?? ?? ， sin( )) (cos
3 6 6
? ? ?
? ? ，
3sin ) (
6 2
?
? ，
1)
2
；
所以向量 (0,1)n ?? 或 3 1( , )
2 2
；
（2）由向量 n?与向量 ( 3,1)q ?? 共线，得 3(
2
n ?? ， 1)
2
；
又 n?与 4 4( 3 , )xp x
x
?
? ?
?
的夹角为钝角，
则
0n p
n p
? ??
?
?
? ?
? ?
与 所成角不是平角
，
即
3 4 4 0
2 2
3 3(4 4) 0( 0)
2 2
xx
x
xx x
x
?? ? ???
?
?? ? ? ???
，
解得
2 0 2
3
2
x x
x
? ? ? ? ??
?
? ? ??
或
，
所以实数 x的取值范围是 (??， 2) ( 2? ?? ， 2) (0
3
? ? ， 2)．
17．某学校在平面图为矩形的操场 ABCD内进行体操表演，其中 40AB ? ， 15BC ? ，O为 AB
上一点，且 10BO ? ，线段OC 、OD、MN 为表演队列所在位置 (M 、 N分别在线段OD、
OC 上）， OCD? 内的点 P为领队位置，且 P到OC 、OD的距离分别为 13、 5 ，记OM d? ，
我们知道当 OMN? 面积最小时观赏效果最好．
（1）当 d为何值时， P为队列MN 的中点；
（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时 OMN? 的面积．
【解答】解：（1）以O为坐标原点， AB所在直线为 x轴，过O垂直于 AB的直线为 y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系．则 (10,15)C ， (10,0)B ， ( 30,15)D ? ， ( 4,4)P ? ． : 1.5OC y x? ? ；
: 0.5OD y x? ? ，
设 ( , )P a b ， ( 2 , )M m m? ， ( ,1.5 )N n n ， ( 0, 0)m n? ? ，
P到OC 、OD的距离分别为 13 、 5 ，联立解方程组
2
2
| 0.5 | 5
0 5 1
|1.5 | 13
1 5 1
a b
a b
?? ?? ??
? ?? ?
? ??
?
?
，得
7( 2, )
2
P ? ，
P? 为MN 的中点，所以
2 4
1.5 7
m n
m n
? ? ? ??
? ? ??
，得
13
4
m ? ， 5
2
n ? ，所以 13 13( , )
2 4
M ? ，
13| | 5
4
d OM? ? ? ．
（2）由M ，N， P 三点共线，得 3.5 1.5 3.5
2 2 2
m n
m n
? ?
?
? ? ?
，5 6.5 4m n mn? ? ，即 5 6.5 4
n m
? ? ，
1 1 65| | 13 | | 5 (2 )
2 2 4OMN
S OM ON m n? ? ? ? ? ，
25 6.5(2 )( ) ( 13 5)m n
n m
? ? ?? ，当且仅当 2 25 13n m? 成立，
所以 OMN? 面积最小为 9 65 65
8
?
．
18．如图，O坐标原点，从直线 1 1
2
y x? ? 上的一点 1 1 1
1( , 1)
2
P x x ? 作 x轴的垂线，垂足记为 1Q ，
过 1Q 作 1OP的平行线，交直线
1 1
2
y x? ? 于点 2 2 2
1( , 1)
2
P x x ? ，再从 2P 作 x轴的垂线，垂足记
为 2Q ，依次重复上述过程得到一系列点： 1P， 1Q ， 2P ， 2Q ，?， nP ， nQ ，记 kP 点的坐标
为
1( , 1)
2k k
x x ? ， 1k ? ，2，3，?， n，现已知 1 2x ? ．
（1）求 2Q 、 3Q 的坐标；
（2）试求 (1 )kx k n? ? 的通项公式；
（3）点 nP 、 1nP ? 之间的距离记为
*
1| | ( )n nP P n N? ? ，是否存在最小的正实数 t ，使得
1 2 2 3 1
1 1 1
| | | | | |n n
t
PP P P P P ?
? ??? ? 对一切的自然数 n恒成立？若存在，求 t的值，若不存在，请
说明理由．
【解答】解：（1） 1 2x ? ，即有 1(2,2)P ， 1 1OPk ? ，
1(2,0)Q ， 2 2(P x ， 2
1 1)
2
x ? ， 1 2 1/ /OP PQ ，
可得
1 2
2
2
1 1
2 1
2Q P
x
k
x
?
? ?
?
，解得 2 6x ? ，
则 2 (6,0)Q ，
由 2 (6,4)P ， 3 3(P x ， 3
1 1)
2
x ? ，
1 3 2/ /OP PQ ，可得
3
3
1 1
2 1
6
x
x
?
?
?
，解得 3 14x ? ，
3 (14,0)Q ；
（2）由 (k kP x ，
1 1)
2 k
x ? ， 1 1(k kQ x? ? ， 0)，
1 1/ / k kOP PQ ? ，可得
1
1 1
2 1
k
k k
x
x x ?
?
?
?
，化为 12 2k kx x ?? ? ，
即为 12 2( 2)k kx x ?? ? ? ，
可得数列{ 2}kx ? 为首项是 4，公比为 2的等比数列，
则 12 4 2kkx
?? ? ? ，
可得 12 2kkx
?? ? ，1 k n? ? ；
（3） 2 21 1 1
1 1| | ( ) ( 1 1)
2 2n n n n n n
P P x x x x? ? ?? ? ? ? ? ?
2 1
1
5 5| | | 2 2 | 5 2
2 2
n n n
n nx x
? ?
?? ? ? ? ? ? ，
1 2 2 3 1
1 1(1 )1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 52 2( ) (1 )
1| | | | | | 2 4 2 5 2 55 5 1
2
n
n n
n nPP P P P P ?
?
? ??? ? ? ??? ? ? ? ?
?
? ，
假设存在最小的正实数 t，使得
1 2 2 3 1
1 1 1
| | | | | |n n
t
PP P P P P ?
? ??? ? 对一切的自然数 n恒成立，
可得
5
5
t? ，故存在这样的 t，且 t的最小值为 5
5
．
