人教版九年级数学上册教学讲义，复习补习资料（巩固练习）：23实际问题与二次函数【基础】含答案

实际问题与二次函数—知识讲解（基础）

【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点诠释：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；　　③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值
/1. （2019?成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．
（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；
（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？
【思路点拨】
（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；
（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【答案与解析】
解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x＜120）；
（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，
则w=（600﹣5x）（100+x）
=﹣5x2+100x+60000
=﹣5（x﹣10）2+60500，
则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式、熟练运用配方法、掌握二次函数的性质是解题的关键．
举一反三：

【变式】（2019?营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为　 　元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
【答案】22.
【解析】
解：设定价为x元，
根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）] =﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870，
=﹣2（x﹣22）2+98
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98．
故答案为：22．
类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题
/2．如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
/
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
【答案与解析】
(1)M(12，0)，P(6，6)．
(2)设抛物线解析式为：．
∵ 抛物线经过点(0，0)，
∴ ，即．
∴ 抛物线解析式为：，即．
(3)设A(m，0)，则B(12-m，0)，C，D．
∴ 支撑架总长
．
∵ 此二次函数的图象开口向下．
∴ 当m＝3时，。AD+DC+CB有最大值为15米．
【点评】根据题意设抛物线解析式为顶点式，又抛物线经过原点，不难求出其解析式，设A(m，0)，
用含m的式子表示支撑架总长AD+DC+CB，根据函数性质求解．
类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题
/3．某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体(看作一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距离水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这条抛物线的关系式；
(2)在某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由．
/

【答案与解析】
(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的关系式为．
由题意知，O、B两点的坐标依次为(0，0)，(2，-10)，且顶点的纵坐标为．
∴ 解得 或
∵ 抛物线对称轴在y轴右侧，∴ ，
又∵ 抛物线开口向下，
∴ a＜0，b＞0，∴ ，，c＝0．
∴ 抛物线关系式为．
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为m时，即
时，．
∴ 此时运动员距水面的高为(m)．
因此，此次跳水会出现失误．
【点评】(1)由图中所示直角坐标系，可知抛物线经过O、A、B三点，O、B两点的坐标由分析可知
O(0，0)、B(2，-10)，且点A的纵坐标为，故可设抛物线，求得a、b、c的值．(2)会不会产生失误即运动员完成动作时到水面的距离是否小于5米，换句话说就是完成动作时所对应的抛物线上的点的纵坐标绝对值是否小于5米．
举一反三：

【变式】一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【答案】如图建立直角坐标系.
/
∵点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点
∴设解析式为：(a≠0)（0≤x≤4），带入点（4,3.05），可求得：a=-0.2
∴（0≤x≤4），
即,
当x=0时，y=2.25，∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米.
类型四、利用二次函数求图形面积问题
/4．在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格矩形场地，如图所示．已知砖墙在地面上占地总长度160 m，问分隔墙在地面上的长度x为多少时所围场地总面积最大?并求最大面积?
/
【思路点拨】
利用矩形的面积公式建立所围场地总面积与分隔墙在地面上的长度x的函数关系式，写成顶点式即可求出面积的最大值．
【答案与解析】
设所围场地总面积是y m2，根据题意得
．
所以分隔墙在地面上的长度x为20m时所围场地总面积最大，这个最大面积是1600 m2．
【点评】此类问题一般是先运用几何图形的面积公式写出图形的面积y与边长x之间的二次函数关系，再求出这个函数关系式的顶点坐标，即为最大面积。
实际问题与二次函数—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题1. 已知某商品的销售利润y(元)与该商品的销售单价x(元)之间满足，
则获利最多为(　 )元.　　A.4500　　　 B.5500　　　 C.450　　　 D.20000
2．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )．
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
3. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1 元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（　 ）. A．5元　　　 B．10元 　　C．0元 　　D．3600元
4．（2019?路南区二模）设计师以y=2x2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（　 　）.
/
　 A．17 B． 11 C． 8 D． 7
5．某民俗旅游村为接待游客住宿的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )．
A．14元 B．15元 C．16元 D．18元
6．（2019?衢州）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为　 　m2．
/
二、填空题
7．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6-x)个，则当x＝_______元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
8．（2019?六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是 .
/
9．有一个抛物线形状的拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则此抛物线的解析式为______ ______.
/
10．如图，铅球运动员掷铅球的高度(m)与水平距离(m)之间的函数关系式是：
，则该运动员此次掷铅球的成绩是 m.

第10题 第11题 第12题
11．某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB
是 m.
12．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．
三、解答题
13．某商场将进价40元的商品按50元出售时，每月能卖500个，已知该商品每涨价2元，其月销售量就减少20个，当单价定为多少时，能够获得最大利润?
14.（2019?东西湖区校级模拟）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．
/
15．（2019?咸宁）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
【答案与解析】
一、选择题1.【答案】A；
【解析】/，所以当/时，获利最多为4500元，故选A.
2.【答案】B；
【解析】根据抛物线的对称性知，抛物线的对称轴为x＝10.5．即在第10秒中炮弹所在高度最高．
3.【答案】A；
【解析】设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则可求出y与x之间的函数关系式，写成顶点式后直接解答．
4.【答案】B；
【解析】∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），
∵AB=4，
∴B点的横坐标为x=3，
把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，
∴CD=14﹣6=8，
∴CE=CD+DE=8+3=11．
故选：B．
5.【答案】C；
【解析】设每张床位的定价为x元，总租金为y元，则y与x之间的函数关系式
为 ，因为要使租出的床位少且租金高，
所以x＝16．
6.【答案】144
【解析】如图，设设总占地面积为S（m2），CD的长度为x（m），
由题意知：AB=CD=EF=GH=x，
∴BH=48﹣4x，
∵0＜BH≤50，CD＞0，
∴0＜x＜12，
∴S=AB?BH=x（48﹣4x）=﹣4（x﹣6）2+144
∴x=6时，S可取得最大值，最大值为S=144．
/

二、填空题
7．【答案】3；
【解析】y＝x(6-x)，当时，y最大．
8．【答案】64m2；
【解析】设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为ym2，
根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，
当x=8m时，ymax=64m2，
则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．
9．【答案】/；
【解析】由图知其顶点为(20，16)，所以令/，把点(40，0)代入得/， 所以解析式为/.
10．【答案】10；
【解析】令，则： ，（舍去），.
11．【答案】3；
【解析】顶点为，设，将点代入，
令，得：，所以OB=3.
12．【答案】；16.5.
【解析】设，将点A代入，得
令，得
，，∴(米)
三、解答题
13.【答案与解析】
设单价定为x元时，月利润为y元，根据题意，得
．
即单价定为70元时，可获得最大利润9000元．
14.【答案与解析】
解：（1）∵AB=x，
∴BC=24﹣4x，
∴S=AB?BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）；
（2）S=﹣4x2+24x=﹣4（x﹣3）2+36，
∵0＜x＜6，
∴当x=3时，S有最大值为36；
（3）∵/，
∴4≤x＜6，
∴当x=4时，花圃的最大面积为32．
15.【答案与解析】
解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．
（2）设每星期利润为W元，
W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．
∴x=55时，W最大值=6750．
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．
（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，
当x=52时，销售300+30×8=540，
当x=58时，销售300+30×2=360，
∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．