人教版九年级数学教学讲义学案，复习补习资料（巩固练习）：27图形的旋转

图形的旋转--知识讲解

【学习目标】
1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中　 心连线所成的角彼此相等的性质；
2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计.
【要点梳理】
要点一、旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
要点二、旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　
　(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点诠释：　
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；　　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；　　(4)连接所得到的各对应点.
【典型例题】
类型一、旋转的概念与性质

/1. 如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是谁?
（2）旋转方向如何?
（3）经过旋转,点A、B的对应点分别是谁？
（4）图中哪个角是旋转角？
（5）四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有何关系？
（6） AO与DO的长度有什么关系？ BO与EO呢？
（7）∠AOD与∠BOE的大小有什么关系？
/
【答案与解析】
（1）旋转中心是点O；（2）旋转方向是顺时针方向；（3）点A的对应点是点D,点B的对应点是点E;(4)∠AOD和∠BOE;(5) 四边形AOBC与四边形DOEF的图形全等，即形状一致，大小相等；
（6）AO=DO,BO=EO;(7)∠AOD=∠BOE.
【总结升华】通过具体实例认识旋转，了解旋转的概念和性质.
举一反三
【变式】 如图所示：O为正三角形ABC的中心．你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．

【答案】下面给出几种解法：　　解法一：连接OA、OB、OC即可．如图甲所示；　　解法二：在AB边上任取一点D，将D分别绕点O旋转120°和240°得到D1、D2，连接OD、OD1、OD2即得，如图乙所示．
　解法三：在解法二中，用相同的曲线连结OD、OD1、OD2 即得如图丙所示
　　　　　　　　　　　　　　/
/2.（2019?枣庄）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　）
/
　 A．/ B． / C． / D． /﹣1
【思路点拨】连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．
【答案】D.
【解析】解：连接AC1，
∵四边形AB1C1D1是正方形，
∴∠C1AB1=/×90°=45°=∠AC1B1，
∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，
∴∠B1AB=45°，
∴∠DAB1=90°﹣45°=45°，
∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，
∵正方形ABCD的边长是1，
∴四边形AB1C1D1的边长是1，
在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1=/=/，
则DC1=/﹣1，
∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，
∴∠C1OD=45°=∠DC1O，
∴DC1=OD=/﹣1，
∴S△ADO=/×OD?AD=/，
∴四边形AB1OD的面积是=2×/=/﹣1，
故选：D．
/
【总结升华】本题考查了正方形及旋转的性质等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，正确的作出辅助线是解题的关键．
类型二、旋转的作图
/3. 如图，已知△ABC与△DEF关于某一点对称，作出对称中心.　　　　　　　　　　　　　　　　/【答案与解析】
　　　　　　　　　　　　　　　/
【总结升华】确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：　　⑴利用中心对称的性质：对称点所连线段被对称中心所平分，所以连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点即为对称中心.
　　⑵利用中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，所以连接任意两对对称点，则这两条线段的交点即为对称中心.
/4.（2019?眉山）如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．
（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称；
（2）请在方格网中标出所有使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的D点．
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【答案与解析】
解：（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称的图形如下：
/
（2）根据题意画图如下：
/
/
/
【总结升华】注意旋转中关键点变换的作法，作平行四边形时注意画出所有符合要求的图形．
举一反三

【变式】如图，画出绕点逆时针旋转所得到的图形．
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【答案】/
(∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=100°)
图形的旋转--巩固练习
【巩固练习】
一. 选择题
1.（2019?洛阳模拟）如图四个圆形网案中，分别以它们所在网的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是（　　）
A．/ B． / C． / D． /
2.下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是(　 )　　/
3. 有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )．
①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )．
A．点A B．点B C．点C D．点D
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5．如图，△ADE绕点D的顺时针旋转，旋转的角是∠ADE，得到△CDB，那么下列说法错误的是( )．
/
A．DE平分∠ADB B．AD＝DC C．AE∥BD D．AE＝BC
6. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为(　 )　　　/　　A.10°　　　 B.15°　 C.20°　　　 D.25°
二. 填空题
7.如图，△ABC与△ADE都是直角三角形，∠C与∠AED都是直角，点E在AB上，∠D=30°，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点______，至少旋转了_____.　　　　　　　　　/
8. 针表的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过15分钟，分针旋转了__________.
9．正三角形绕其中心至少旋转__________ ，可与其自身重合.
10. 一个平行四边形ABCD绕其对角线的交点旋转，至少要旋转________，才可与其自身重合.
11.（2019?吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　 　cm．
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12. 如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为_____，∠APB=_______．　　　　　　/
三． 综合题
13.（2019?湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
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14. 如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，F是DC的延长线上一点，且∠BAE=∠FAE.
求证：BE+DF=AF.　　　　　 　/
15.如图，是边长为的正方形的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在点处，并将纸板绕点旋转，其半径分别交、于点，
求证：正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值
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【答案与解析】
一、选择题1．【答案】D；
【解析】A图形顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合，A不正确；
B图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，B不正确；
C图形顺时针旋转180°后，能与原图形完全重合，C不正确；
D图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，D正确，
故选：D．
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
【解析】连接对应点,做三条线段的垂直平分线，交点即是旋转中心。
5．【答案】C
【解析】因为旋转，△ADE≌△CDB,即可证得A,B,D成立.
6．【答案】B
【解析】因为△BCE旋转90°得到△DCF，所以EC=CF,∠CFD=∠CEB=60°,即
∠EFC=45°，所以∠EFD=60°45°=15°
二、填空题
7.【答案】A;60°.
8.【答案】90°
【解析】°
9.【答案】120°
10.【答案】180°
【解析】平行四边形的对角线互相平分.
11.【答案】42；
【解析】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=CD=12cm，
在Rt△ACB中，AB=/=13，
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），
故答案为：42．
12.【答案】6；150°
【解析】△PAC绕点A逆时针旋转后得到
所以,,即∠=60°，=AP= AP′=6，
所以∠=60°
又因为=6，=8，=10
所以△是直角三角形，
即∠=90°
所以∠APB=150°.
三．解答题
13.【解析】
（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=/AC=/，
∴BD=BE﹣DE=/﹣1．
14.【解析】将△ABE绕A点逆时针旋转90°到△ADE′，则由正方形和旋转的特征可知，DE′=BE，∠DAE′=∠BAE，∠E′=∠AEB，
且DE′与DF成一条直线，
由于∠BAE=∠FAE，
而∠AEB=∠DAE，所以∠AEB=∠FAE′，
即∠E′=∠FAE′，
所以E′F=AF，故BE+DF=AF.　　　　　　　　　　　　　　　　　
15.【解析】如图：因为∠AOD=∠MON=90°，即∠1+∠3=∠2+∠3
所以∠1=∠2
又因为正方形ABCD,所以OA=OD,∠BA0=∠ODA
所以△OAM≌△ODN,即AM=DN
所以AM+AN=AN+DN=AD=
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