人教版九年级数学上册教学讲义，复习补习资料（巩固练习）：30【基础】《旋转》全章复习与巩固含答案

《旋转》全章复习与巩固--知识讲解（基础）

【学习目标】
1、 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；
2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；
3、 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；　
4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
【知识网络】
/
【要点梳理】要点一、旋转
1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　
　 (3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键
沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点诠释：
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
要点二、特殊的旋转—中心对称
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
要点三、平移、轴对称、旋转
平移、轴对称、旋转之间的对比
　
平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．
不同点
定义
把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．
把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．
把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．
图形
/
/
/
要素
平移方向平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、旋转角度
性质
连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．
对应线段平行（或共线）且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．
【典型例题】
类型一、旋转
/1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同学的回答中，错误的是（ ）.
A．甲 　　B. 乙 　　　C. 丙　　　 D. 丁
　　　　　　　　　　　　　/
【答案】B.
【解析】因为圆被平分为8部分,所以旋转45°,90°,135°均能与原图形重合.
【总结升华】同一图形的旋转角可以是多个.
举一反三：
【变式】以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是（ ）.　　　　　
/
【答案】A.
类型二、中心对称
/2. 如图，△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.　　　　　　　　　　　　/
【答案与解析】∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA′
　　　　 　 ∴O点在AA′的垂直平分线上
　　　　 　 同理O点也在BB′的垂直平分线上
　　　　　 ∴两条垂直平分线的交点O就是旋转中心，∠AOA′的度数就是旋转角．
/　
【总结升华】中心对称的对应点到对称中心的距离相等，所以对称中心在对应点的垂直平分线上.
举一反三：
【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）.
/　　　　　 A．　　　　　 B． 　　　　　　C．　　　　　　 D．
【答案】A.
类型三、平移、轴对称、旋转
/3. （2019?裕华区模拟）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
/
【思路点拨】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
（2）结合（1）的结论可作出判断；
（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
【答案与解析】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，
∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．
（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，
∴190°﹣α=α﹣60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，
∴α﹣60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，
∠AOD=/=120°﹣/，
∴190°﹣α=120°﹣/，
解得α=140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【总结升华】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．
举一反三：　

【变式】 已知D是等边△ABC外一点,∠BDC=120o.求证：AD=BD+DC.
【答案】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.
　　　　将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△EAC，
∴△DAB≌△EAC,即∠ABD=∠ACE,
∵四边形ABCD中,∠BDC=120o, ∠BAC=60°,
∴∠DBA+∠DCA=180°,
即∠ACE+∠DCA=180°,点D,C,E三点共线.
∴BD+DC=CE+DC=DE.
又∵∠DAE=60°.
∴△ADE是等边三角形,
即DE=AD.
∴BD+DC=AD.
/4．　如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD. 求证：BD2=AB2+BC2.
/
【思路点拨】利用AD=CD可以将△BCD绕点D逆时针 旋转60°，从而把条件集中到一个三角形中.
【答案与解析】
证明：∵AD=CD，∠ADC=60°，　　　　　∴△BCD绕点D逆时针旋转60°，得到△EAD，　　　　　∴∠BDE=∠CDA=60°，△BCD≌△EAD．　　　　　∴BC=AE， BD=DE，∠DAE=∠DCB,　　　　　∴△BDE为等边三角形．　　　　　∴BE=BD．　　　　　∵在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，　　　　　∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DAE+∠DAB=270°．　　　　　∴∠BAE=90°．　　　　　∵在Rt△BAE中，/，　　　　　∴/．
【总结升华】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有30°，60°的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形.

/5 、正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上
（1）如图连结DF、BF，试问：当正方形AEFG绕点A旋转时，DF、BF的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例.
（2）若将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连结DG，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段DG的长度相等，并画图加以说明.


【答案与解析】
(1)如图， DF、BF的长度不是始终相等，当点F旋转到AB边上时，DF>AD>BF.
（2）线段BE=DG
如图: ∵正方形ABCD和正方形AEFG
∴AD=AB,AG=AE,
∠1+∠2=∠2+∠3
∴∠DAG=∠BAE
∴△ADG≌△ABE
∴ DG=BE
【总结升华】利用旋转图形的不变性确定全等三角形.
举一反三：
【变式】（2019?沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为/，求AK的长？
/
【答案与解析】
解：连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，
/，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH=/∠ABE=30°，AH=EH，
∴AH=/×/=1，
∴EH=1，
∴FH=/﹣1，
在Rt△FKH中，∠FKH=30°，
∴KH=2FH=2（/﹣1），
∴AK=KH﹣AH=2（/﹣1）﹣1=2/﹣3；
故答案为：.
/6. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=900，E、F是BC边上点且∠EAF=45°.　
求证：/．
　　　　　　　　　　　　　　　　/
【思路点拨】通过求证可以猜测要证得直角三角形，所以可以考虑旋转.
【答案与解析】∵ △ABC为等腰直角三角形且∠BAC=90°
　　　　　　 ∴ AB=AC，/
　　　　　　 将△CAF绕点A顺时针旋转90°，如图，得到/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/　　　　　　 ∴ /
　　　　　　 ∴ /，/，/，/,
　　　　　　 ∴ /,
　　　　　　 连结/，则在/中，
　　　　　　 /,
　　　　　　 ∴ /①,
　　　　　　 又∵ /,
　　　　　　 ∵ /.
　　　　　　 又∵ /,
　　　　　　 ∴ 在/与/中,
　　　　　　 / /.
　　　　　　 ∴ /②,
　　　　　　 ∴ 由①②得：/.
【总结升华】旋转性质：旋转前，后的图形全等.
《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（基础）
一、选择题1．（2019?德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）
/
　 A．35° B． 40° C． 50° D． 65°
2.如图，在等腰直角△ABC中，/B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到
△AB′C′,则/等于（　 ）.　　
A.60°　　 　B.105°　 　C.120°　　D.135°
3. 如图，如果一个四边形ABCD旋转后能与另一个正方形重合，那以该图形所在的平面可以作旋转中心的点有（ ）个．　
A、1　　 　 B、2　　 　 C、3　　　 D、4
　　　　　　　　　　　　 　　 　/ /
第2题 第3题 第4题
4．如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（　　）.　　A．（2，1） 　　　B．（﹣2，1） 　　　C．（﹣2，﹣1） 　　　D．（2，﹣l）
5. 如图，边长为1的正方形/绕点/逆时针旋转/到正方形/，
图中阴影部分的面积为( 　).　
A./ 　　　　B./　　 C./ 　 　D./6．右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（　　）.
　A．90°　　　　　　 B．60°　　　　　C．45°　　　　　　　D．30°
第5题 第6题
7．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是(　 ).
　A．经过两次翻折(对称轴平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的
　B．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的
　C．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的
　D．经过几次翻折(对称轴有偶数条且平行)后的图形可以看作是经过—次平移得到的
8．在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是(　 ).　　
A.(-4，3)　　　 B.(-3，4) 　　　C.(3，-4) 　　　D.(4，-3)
二. 填空题
9. 正三角形绕中心旋转＿＿度的整倍数之后能和自己重合.
10. 如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=/，则图中阴影部分的面积等于　_________　．
/
11．（2019?福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=/，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是　 　．
/
12如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边CD上一点，点F是CB延长线上一点，且DE＝BF，连结FE,此时△AEF是＿＿＿．如果FB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积是＿＿．
13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．
/ / /
第12题 第13题 第14题
14. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于__________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是_________．　　　　　　 / /
第15题 第16题
16．如图所示，将△ABC沿AB翻折后形成△ABE，再将△ABE绕点A顺时针旋转一定角度后，使点E与点C重合，若∠1:∠2:∠3＝28:5:3．则此次旋转过程中的旋转角是________．
三 综合题
17．（2019?衡阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．
①旋转角为多少度？
②写出点B2的坐标．
/
18. 如图，在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC内一点，且∠APB=∠APC．
　求证：BP=CP．
/
19.已知：如图在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．　　(1)试猜想AE与BF有何关系？说明理由．　　(2)若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；　　(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．　　/
20. 已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.　（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.　　 ①设AB的长为a，PB的长为b（b（图 1中阴影部分）的面积；
　　 ②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.　（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.
/
【答案与解析】
一.选择题1．【答案】C.
【解析】∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．
2．【答案】 B.
【解析】∠BAC′=∠BAB′+∠B′AC′=60°+45°=105°.
2题图 5题图
3．【答案】C.
【解析】旋转中心的点分别是点D,点C,和线段DC的中点.
4．【答案】C.
5．【答案】C.
【解析】/，∴=
∴.
6．【答案】 C.
【解析】旋转的角度应该是45°的倍数.
7．【答案】 B.
8.【答案】 A.
【解析】逆时针旋转90°，点A′在第二象限，利用三角形全等可得.
二、填空题9.【答案】12O.
10.【答案】；
【解析】∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=/，
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=/BC=1，AF=FC′=/AC′=1，
∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=/×1×1﹣/×（/﹣1）2=/﹣1．
故答案为：.
11．【答案】.
【解析】如图，连接AM，
由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；
∵∠ABC=90°，AB=BC=/，
∴AC=2=CM=2，
∵AB=BC，CM=AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO=/AC=1，OM=CM?sin60°=/，
∴BM=BO+OM=1+/，
故答案为：1+/．
12．【答案】等腰直角三角形；9.
【解析】由△ABF≌△ADE，得到AF=AE,∠BAF=∠DAE,即△AEF是等腰直角三角形.


12题图 13题图
13．【答案】5.
【解析】做DF⊥BC,EG⊥AD,交AD的延长线于点G ,则AD=BF,
可证得△DEG≌△DCF,即EG=FC,又因为，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.
14．【答案】.
【解析】∵AE===AE′，∴EE′=.
15．【答案】(b+1,1-a).
【解析】因为AC=b，BC=a-1, 所以BD=b，A′D=a-1,又因为点B(1,0),所以OD=b+1,A′D=a-1,因为点A′在第四象限，所以点A′（b+1，a-1）.
16．【答案】80°.
三.解答题17.【解析】解：（1）A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）关于x轴的对称点分别为A1（3，﹣2），
B1（3，﹣5），C1（1，﹣2），
如图所示，
/
（2）①∵A（3，2）、B（3，5）、C（1，2），
∴AB=3，AC=2，BC=/，
∵/，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠CAB=90°，
∵AC与AC2的夹角为∠CAC2，
∴旋转角为90°；
②∵AB=AB2=3，
∴CB2=AC+AB2=5，
∴B2的坐标为（6，2）．
18.【解析】证明：将△ABP沿逆时针旋转至△ACQ的位置，则有△ABP≌△ACQ．　　∴AP=AQ，∠APB=∠AQC，BP=CQ．　　∵∠APB=∠APC，∴∠APC=∠AQC．　　连结PQ．则有∠1=∠2，∴∠APC-∠2=∠AQC-∠1，即：∠3=∠4，
即在△CPQ 中，有CP=CQ．
∴BP=CQ.
∴BP=CP．
19.【解析】，(1)AE与BF平行且相等，　　　　　 ∵ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，　　　　　 ∴△ABC与△FEC关于C点中心对称，　　　　　 ∴AC=CF，BC=CE，　　　　　 ∴四边形ABFE为平行四边形，　　　　　 ∴/；　　　 　(2)∵AC=CF，　　　　　 ∴S△BCF=S△ABC=3，　　　　　 ∵BC=CE，　　　　　 ∴S△ABC=S△ACE=3，　　　　　 ∴S△CEF=S△BCF=3，　　　　　 ∴S□ABFE=3×4=12(cm2)． 　　　　 (3)当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形，　　　　　 ∵AB=AC，　　　　　 ∴∠ABC=∠ACB=60°，　　　　　 ∴AB=BC=CA,　　　　　 ∴AF=BE,　　　　　 ∴平行四边形ABFE为矩形.
20.【解析】
（1）①S阴影=/
②连结PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而PC=6;
（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP=90°，再证 ∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上.