人教版九年级数学上册教学讲义，复习补习资料（巩固练习）：33垂径定理【基础】含答案

垂径定理—知识讲解（基础）

【学习目标】
1.理解圆的对称性；
2.掌握垂径定理及其推论；
3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
【要点梳理】
知识点一、垂径定理
1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/要点诠释：　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即　　/　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
　/1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（ ）
A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
/ /
【思路点拨】
欲求CD的长，只要求出⊙O的半径r即可，可以连结OA，在Rt△AOD中，由勾股定理求出OA.
【答案】D；
【解析】连OA，由垂径定理知/，
所以在Rt△AOD中，/（cm）．
所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.
【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：

【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。
【答案】/．
/2．（2019?巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．
/
【答案与解析】
解：∵E为弧AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴AD=/AC=4cm，
∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，
∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE﹣2）2+42，
又知0A=OE，解得：OE=5，
∴OD=OE﹣DE=3cm．
【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形.
举一反三：

【变式】已知：如图，割线AC与圆O交于点B、C，割线AD过圆心O. 若圆O的半径是5，且/，AD=13. 求弦BC的长.
【答案】6.
类型二、垂径定理的综合应用
/3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ）
/
A．5m B．8m C．7m D．/m
【思路点拨】
解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．
【答案】B；
【解析】如图2，/表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为/的中点，
CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为/的圆心，根据垂径定理的推论可知，
C、D、O三点共线，且OC平分AB．
在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．
∴ OD＝5，
∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．
【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.
/4．（2019?蓬溪县校级模拟）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
/
【答案与解析】
解：（1）∵直径AB=26m，
∴OD=/，
∵OE⊥CD，
∴/，
∵OE：CD=5：24，
∴OE：ED=5：12，
∴设OE=5x，ED=12x，
∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，
解得x=1，
∴CD=2DE=2×12×1=24m；
（2）由（1）得OE=1×5=5m，
延长OE交圆O于点F，
∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，
∴/，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
/
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．
举一反三：
【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．　　　　　　　　　　　/　【答案】不需要采取紧急措施　　　　 设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，　　　　 R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，　　　　 解得R=34(m).　　　　 连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，　　　　 342=162+(34-x)2，　　　　 x2-68x+256=0，　　　　 解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，　　　　 ∴DE=4m＞3m，　　　　 ∴不需采取紧急措施．
垂径定理—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题1.下列结论正确的是（　　）
A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴
2．下列命题中错误的有( )．
(1)弦的垂直平分线经过圆心 (2)平分弦的直径垂直于弦
(3)梯形的对角线互相平分 (4)圆的对称轴是直径
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于E，则图中不大于半圆的相等弧有( )．
A．l对 B．2对 C．3对 D．4对
/
第3题 第5题
4．（2019?广元）如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（　　）
/
　 A．CE=DE B． AE=OE C． /=/ D． △OCE≌△ODE
5．如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．已知⊙O的直径AB=12cm，P为OB中点，过P作弦CD与AB相交成30°角，则弦CD的长为（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
二、填空题
7．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．
8．（2019?黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为　　．
/
9．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．
10．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．
/ / /
10题图 11题图 12题图
11．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______°．
12．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．
三、解答题
13．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时是否要采取紧急措施?
/
14. 如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，求⊙O半径．
/
15．（2019?绵阳模拟）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
/
【答案与解析】
一、选择题1.【答案】A；
【解析】图形的对称轴是直线，圆的对称轴是过圆心的直线，或直径所在的直线.
2.【答案】C；
【解析】(1)正确；
（2）“平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦”才是正确的，所以（2）不正确；
（3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以（3）不正确；
（4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以（4）不正确．故选C.
3.【答案】C；
【解析】/；/；/.
4.【答案】B；
【解析】∵⊙O的直径AB⊥CD于点E，
∴CE=DE，弧CB=弧BD，
在△OCE和△ODE中，
/，
∴△OCE≌△ODE，
故选B
5.【答案】C；
【解析】过O作OH⊥CD并延长，交AB于P，易得DH=5，而AM=2，∴MP=3，MN=2MP=2×3=6.
6.【答案】A；
【解析】作OH⊥CD于H，连接OD,则OH=/, OD=6,可求DH=/,CD=2DH=/.
二、填空题
7．【答案】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
8．【答案】/；
【解析】连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=/CD=2，∠OEC=90°，
设OC=OA=x，则OE=x﹣1，
根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，
即22+（x﹣1）2=x2，
解得：x=/；
故答案为：/．
9．【答案】6；
10．【答案】8；
11．【答案】/；
12．【答案】/，/ ；
三、解答题
13.【答案与解析】
设圆弧所在圆的半径为R，则R2-(R-18)2=302， ∴R=34 当拱顶高水面4米时，有/， ∴不用采取紧急措施.
14.【答案与解析】
连结OC．设AP＝k，PB＝5k，
∵ AB为⊙O直径，
∴ 半径/．
且OP＝OA－PA＝3k－k＝2k．
∵ AB⊥CD于P，
∴ CP＝/＝5．
在Rt△COP中用勾股定理，有/，
∴ /．
即/，∴ /(取正根)，
∴ 半径/(cm)．
15.【答案与解析】
（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴/，
∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，/，
∴/，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，
∴/，
又∵BE=OE，
∴OE=2，
∴/，
∴/．