人教版八年级上册11.3.2多边形的内角和 (共26张PPT)

(共26张PPT)
多边形
及其内角和
三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少呢？五边形呢？你是如何得到这个结论的？
合作学习







B
A
C
D
E
探究









5边形内角和=3×180°=540°
请你利用分割的方法探索五边形的内角是多少？





E

A
B
C
D






O
方法2
180°× 5 – 360°= 540°
180°× 5=900°？
五边形内角和540°？？
把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？





A
B
C
D
E




F
180° × 4 – 180° = 540°
方法3
选择同一种方法分别求出任意六边形、七边形、八边形的内角和等于多少度？
你能写出任意n边形的内角和吗？
从五边形的一个顶点出发，可以引（ ）条对角线，他们将五边形分为多少个三角形，五边形的内角和等于180°×（ ）。
从六边形的一个顶点出发，可以引（ ）条对角线，他们将六边形分为多少个三角形，六边形的内角和等于180°×（ ）。
从七边形的一个顶点出发，可以引（ ）条对角线，他们将七边形分为多少个三角形，七边形的内角和等于180°×（ ）。
我们是怎样求多边形内 角和的？







B
A
C
D
G


F
E


就是从多边形的一个顶点出发，能引几条对角线把一个多边形分成几个三角形。
总结：n边形内角和公式







B
A
C
D
G


F
E


n边形内角和=(n－2) ·180°



三角形

六边形




四边形

八边形
……..










五边形


是解决多边形问题的常用辅助线
对角线
多边形问题 三角形问题
转化
（未知）
（已知）

合作学习
请探索任意一个多边形的内角和与外角和的规律.
n边形




……


三角形
四边形
五边形
六边形
多边形 边数 分成三角形的个数 图形 内角和
计算规律
三角形
四边形
五边形
六边形
七边形

n边形
…
…
…
…
…















…

































3
4
5
6
7
n
1
n-2
2
3
4
5
180°
360°
540°
720°
900°
(n－2) ·180°
(n－2) ·180°
5 ×180°
4 ×180°
3 ×180°
2 ×180°
1 ×180°
从上表中得到了什么结论？
结论：n边形的内角和为：
（n－2）×180°(n≥3).
n边形共有对角线 条(n≥3)
n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3)
练一练:
（2）已知一个多边形的内角和为720o ，则这个多边形是______边形
6
（3）在五边形ABCDE中，若∠A=∠D=90o,且
∠B:∠C:∠E=3:2:4,则∠C的度数为_______
80o
（1）求十边形的内角和的度数。
解：(10－2)×180°=8 ×180°=1440°
答:十边形的内角和是1440°
过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形,求:

(1)这个多边形的边数.

(2)这个多边形内角和的度数.

3、填空(求边数)
1、已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为＿＿。
2、已知一个多边形的每一个内角都是156°，则它的边数为＿＿。
8
15
例： 一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。

A
B
C
D
E
F





1
2
3
4
解：如图所示，连结AD，
∵AB∥DE， CD∥AF（已知）
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4（两 直线平行，内错角相等）
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F
∴∠FAB＋∠C＋∠E= 1／2 ×720°=360°
∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F
=（6－2）×180°= 720°
例1 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？

1.任意一个外角和他相邻的内角有什么关系？
2.五个外角加上他们分别相邻的五个内角和是多少？
3.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？

6

E




B
C
D





1
2
3
4
5

A








从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。



由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。
即：多边形的外角和等于360?
多边形 图形 多边形的外角和
三角形
四边形
五边形
六边形
n边形
3×180o-1×180o=360o
4×180o-2×180o=360o
5×180o-3×180o=360o
6×180o-4×180o=360o
n×180o-(n-2)×180o=360o
合作学习
多边形的外角和
从上表中得到了什么结论？
结论：任何多边形的外角和为360°
（1）八边形的内角和为______，外角和为_____
1080°
360o
（2）已知一个多边形的每一个外角都是72o，求这个边形的边数为______
5

A
B
C
D
E
F
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-2）×180°=720°
1
2
P
Q
R








如图所示：可向两个方向分别延长AB，CD，EF三条边，构成△PQR。
解：∵ DE∥AB
∴∠1=∠R,同理∠2=∠R
∴∠1＝∠2，
∴∠CDE=∠FAB
同理∠AFE＝∠BCD，∠ABC=∠DEF
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= ×720°=360°

例： 一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF， CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。


A
B
C
D
E
F

拓展：一个六边形如图，已知 BA∥DE ，∠B= ∠ E，∠C=∠F
（1）求证：CD∥AF



（2）求∠A＋∠C＋∠E的度数．





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这节课你学到了什么?
还有什么困惑？
1.“三个一”（一个定义、一个公式和一个性质）
2. 一种重要数学思想方法（转化思想）
谈一谈
小结:
是解决多边形问题的常用辅助线
对角线
多边形问题 三角形问题
转化
（未知）
（已知）

结论
n边形的内角和为(n－2) ×180°(n≥3)
n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3)
n边形共有对角线 条(n≥3)
任何多边形的外角和为360°