2019-2020学年上海市长宁区建青实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（解析版）

2019-2020学年上海市长宁区建青实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．在下列命题中，真命题是　　
A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似
2．已知与中，，，，，，那么与的度数一定相等的是　　
A． B． C． D．
3．已知，下列说法中，错误的是　　
A． B． C． D．
4．已知中，，分别是边，上的点，下列各式中，不能判断的是　　
A． B． C． D．
5．如图，在中，，于点，为中点，、交于点，则下列结论中不一定正确的是　　
A．
B．
C．
D．的面积四边形的面积
6．如图所示，，，，下列各式中错误的是　　

A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是　 　厘米．
8．实际距离为3000米的两地，在比例尺为的地图上的距离为 　 　厘米．
9．已知，则的值为　 　．
10．已知线段的长是，点为线段的黄金分割点，则较长线段的长度
为　　．
11．如图，已知，，交于点，若，则　 　．

12．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，若的面积为2，则的面积为　 　．

13．如图，与相交于点，，，，，则　　．

14．如图，梯形中，，交于点，若，，则的面积为　　．

15．如图，已知，，是线段的中点，且，，，那么　 　．

16．已知，在中，点在边上，，，，在上找一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，则　　．
17．中，，，，为的重心，则点到中点的距离为　 　．
18．如图把一张的方格纸放在平面直角坐标系内，每个方格的边长为1个单位，的顶点都在方格的格点位置，即点的坐标是．若点也在格点位置（与点不重合），且使与相似，则符合条件的点的坐标是　 　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．已知：，且，求、、的值．
20．如图，中，，的面积等于6，的面积等于9，，求的长．

21．如图，平行四边形中，点在上，点在的延长线上，交于点，交于点，且，求证：．

22．如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）判断与是否相似？并证明．

23．如图，延长的边到，使，取中点，边交于，求的值．

24．如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若菱形边长为8，，，求的长．

25．如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且．
（1）当时，联结，求值；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）联结，若为等腰三角形，求的长．



2019-2020学年上海市长宁区建青实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．在下列命题中，真命题是　　
A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似
【解答】解：不正确，不符合相似三角形的判定方法；
不正确，没有指明相等的角或边比例，故不正确；
不正确，没有指明另一个锐角相等或边成比例，故不正确；
正确，三个角均相等，能通过有两个角相等的三角形相似来判定；
故选：．
2．已知与中，，，，，，那么与的度数一定相等的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，，，
，，，
，
，
，
故选：．
3．已知，下列说法中，错误的是　　
A． B． C． D．
【解答】、如果，那么、．所以由，得，故该选项正确；
、如果那么、．所以由，得，故该选项正确；
、由得，，所以；又由得，即．故该选项错误；
、由得，；又由得，．故该选项正确；
故选：．
4．已知中，，分别是边，上的点，下列各式中，不能判断的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
若使线段，则其对应边必成比例，
即，，故选项、正确；
，即，故选项正确；
而，故选项答案错误．
故选：．

5．如图，在中，，于点，为中点，、交于点，则下列结论中不一定正确的是　　

A．
B．
C．
D．的面积四边形的面积
【解答】解：在中，，于点，
为的中点，，
又为中点，
点为的重心，
，，，
，
如图，连接，则
，即选项错误，
故选：．

6．如图所示，，，，下列各式中错误的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，，
，，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是　4　厘米．
【解答】解：线段是、的比例中项，
，
解得，
又线段是正数，
．
故答案为4．
8．实际距离为3000米的两地，在比例尺为的地图上的距离为 　3　厘米．
【解答】解：根据比例尺图上距离：实际距离．
3000米厘米得，
，两地的图上距离为．
故答案为：3．
9．已知，则的值为　　．
【解答】解：，则，
故答案为：．
10．已知线段的长是，点为线段的黄金分割点，则较长线段的长度为　或2.472　．
【解答】解：根据黄金分割定义：
方法一：设，则，
，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
经检验是原方程的根．
所以的长为．
方法二：，
所以．
故答案为或2.472．
11．如图，已知，，交于点，若，则　　．

【解答】解：，
．
．
．
．
故答案为：．
12．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，若的面积为2，则的面积为　18　．

【解答】解：是平行四边形，
，，
，
，
，
即：，
．
故答案为：18．
13．如图，与相交于点，，，，，则　4　．

【解答】解：，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：4．
14．如图，梯形中，，交于点，若，，则的面积为　15　．

【解答】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为15．
15．如图，已知，，是线段的中点，且，，，那么　4　．

【解答】解：，
，
，即



．
16．已知，在中，点在边上，，，，在上找一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，则　2　．
【解答】解：当时，
，
，
此时；
当时，
，
，
此时；
故答案为：2．
17．中，，，，为的重心，则点到中点的距离为　　．
【解答】解：在中，，，，
，
如图，是的斜边上的中线，
三角形的重心在线段上，
，
，
即的重心与斜边中点之间的距离等于．
故答案为：．

18．如图把一张的方格纸放在平面直角坐标系内，每个方格的边长为1个单位，的顶点都在方格的格点位置，即点的坐标是．若点也在格点位置（与点不重合），且使与相似，则符合条件的点的坐标是　或或或　．

【解答】解：方格中小正方形的边长为1，
、、，
与相似，
、、，
如图可知这样的点如图：
坐标分别为：或或或
故答案为：或或或

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．已知：，且，求、、的值．
【解答】解：设，则，，



，，．
20．如图，中，，的面积等于6，的面积等于9，，求的长．

【解答】解：的面积等于6，的面积等于9，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．如图，平行四边形中，点在上，点在的延长线上，交于点，交于点，且，求证：．

【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
22．如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）判断与是否相似？并证明．

【解答】证明：（1），
，
，
．

（2）．
证明：由（1）知，
，
，
，
，
．
23．如图，延长的边到，使，取中点，边交于，求的值．

【解答】解：过点作，
，，
，
中点，
，
，
，
，
．

24．如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若菱形边长为8，，，求的长．

【解答】（1）证明：
法四边形是菱形，，，，
又是公共边，，
，，
由得，，
，又
，

．
法四边形是菱形
，（1分）
，

．
（2）解：，，，
，，

，
又，
．
25．如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且．
（1）当时，联结，求值；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）联结，若为等腰三角形，求的长．

【解答】解：（1），，
，
，，
，
，
在中，；

（2）过点作于点，则，
，
根据，，可得，
，
，
；

（3），，
，
若为等腰三角形，只有或两种可能：
①当时，点在边上，
过点作于点（如图①，
可得：，
即点在中点，
此时与重合，
；
②当时，点在的延长线上，
过点作于点（如图②，
可证：，
，
，
，
，
综上所述，为6或7．