北师大版九年级数学下册 第3章 圆 单元训练卷 含解析

第3章 圆
一．选择题（共14小题）
1．下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D．相等的弦所对的弧相等
3．如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．110° C．125° D．130°
4．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（　　）

A．10 B．8 C．5 D．3
6．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O与点E，EF＝3m，则⊙O直径的长是（　　）

A．m B．m C．m D．m
7．如图，点A、B、C依次排列在⊙O上，连接AB、BC，点P是⊙O上任意一点，若＝2，则下列结论中正确的是（　　）

A．BC＝2AB B．∠BPC＝2∠APB C．BC＞2AB D．∠BOC＝2∠AOB
8．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO＝22°，∠ACO＝42°，则∠BOC等于（　　）

A．128° B．108° C．86° D．64°
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（　　）

A．140° B．130° C．120° D．110°
10．同一平面内，一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为8cm，则该圆的半径为（　　）
A．1cm B．7cm C．2cm或14cm D．1cm或7cm
11．下列语句中正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，则图中与∠A互余的角为（　　）

A．∠ABC B．∠OBC C．∠ACB D．∠OBA
13．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
14．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共4小题）
15．已知⊙O的半径为3cm，点P在⊙O外，则OP的长可以是　 　cm（写出一个即可）．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．当r＝2cm时，直线AB与⊙C位置关系是　 　．
17．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，P为AC的中点，连接PD，BC＝6，DP＝4．O为边BA上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于　 　．

18．如图，等边△ABC边长为10cm，以AB为直径的⊙O分别交CA、CB于D、E两点，则图中阴影部分的面积（结果保留π）是　 　cm2．

三．解答题（共4小题）
19．如图，AB是⊙O直径，CD为⊙O的切线，C为切点，过A作CD的垂线，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O半径为5，CD＝4，求AD的长．

20．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．

21．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）求BC的长．
（2）求CD的长．

22．如图，∠C＝90°，⊙C与AB相交于点D，AC＝6，CB＝8．求AD的长．




参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
2．下列说法正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D．相等的弦所对的弧相等
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【解答】解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．
B、正确．
C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．
D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．
故选：B．
3．如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．110° C．125° D．130°
【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC＝2∠ABO+2∠ACO．
【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．

在△OAB中，OA＝OB，
则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，
同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，
故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．
故选：A．
4．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】当P为AB的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在直角三角形AOP中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长；当P与A或B重合时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长．
【解答】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝16，∴AP＝BP＝8，
在直角三角形AOP中，OA＝10，AP＝8，
根据勾股定理得：OP＝＝＝6，即OP的最小值为6；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝10，
∴6≤OP＜10，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝6，7，8，9．
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有7个
故选：D．

5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（　　）

A．10 B．8 C．5 D．3
【分析】连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．
【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，CD＝8，
∴PC＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，
∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，
∴OC2＝PC2+OP2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴⊙O的直径为10．
故选：A．

6．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O与点E，EF＝3m，则⊙O直径的长是（　　）

A．m B．m C．m D．m
【分析】根据垂径定理得出EF⊥CD，则CF＝DF＝1，在Rt△COF中，有OC2＝CF2+OF2，进而可求得半径OC．
【解答】解：如图，连接OC，
∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，
∴EF⊥CD．
∴CF＝FD．
∵CD＝2，
∴CF＝1，
设OC＝x，则OF＝3﹣x，
在Rt△COF中，根据勾股定理，得
12+（3﹣x）2＝x2．
解得 x＝，
∴⊙O的直径为．
故选：D．

7．如图，点A、B、C依次排列在⊙O上，连接AB、BC，点P是⊙O上任意一点，若＝2，则下列结论中正确的是（　　）

A．BC＝2AB B．∠BPC＝2∠APB C．BC＞2AB D．∠BOC＝2∠AOB
【分析】如图，取的中点F，连接BF，CF，PA，PC，OA，OB，OC．圆周角定理，弧，弦，圆心角之间的关系一一判断即可．
【解答】解：如图，取的中点F，连接BF，CF，PA，PC，OA，OB，OC．

∵＝2，＝，
∴＝＝，
∴AB＝BF＝CF，
∴BF+CF＞BC，
∴2AB＞BC，
故选项A，C不符合题意，
当点P在上时，∵＝，
∴∠BPC＝2∠APB，
当点P在弧上时，选项B不符合题意，
∵＝2，
∴∠BOC＝2∠AOB，
故选：D．
8．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO＝22°，∠ACO＝42°，则∠BOC等于（　　）

A．128° B．108° C．86° D．64°
【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC＝2∠ABO+2∠ACO．
【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；

在△OAB中，OA＝OB，
则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×22°＝44°，
同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×42°＝84°，
故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝128°．
故选：A．
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（　　）

A．140° B．130° C．120° D．110°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠C，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C＝180°﹣∠A＝65°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠C＝130°，
故选：B．
10．同一平面内，一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为8cm，则该圆的半径为（　　）
A．1cm B．7cm C．2cm或14cm D．1cm或7cm
【分析】点P应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．
【解答】解：分为两种情况：
①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为8cm，则直径是14cm，因而半径是7cm；
②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为8cm，则直径是2cm，因而半径是1cm．
故选：D．
11．下列语句中正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用确定圆的条件、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系逐一作出判断即可得到答案．
【解答】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不符合题意；
②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故不符合题意；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；故符合题意；
④把这题一条直线上的三点确定一个圆，故不符合题意，
故选：A．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，则图中与∠A互余的角为（　　）

A．∠ABC B．∠OBC C．∠ACB D．∠OBA
【分析】连接OC，过O作OE⊥BC与E，根据等腰三角形的性质得到∠BOE＝BOC，由圆周角定理得到∠A＝，求得∠A＝∠BOE，于是得到结论．
【解答】解：连接OC，过O作OE⊥BC与E，
∵OB＝OC，
∴∠BOE＝BOC，
∵∠A＝，
∴∠A＝∠BOE，
∵∠BOE+∠OBC＝90°，
∴∠A+∠OBC＝90°，
∴图中与∠A互余的角为∠OBC，
故选：B．

13．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE＝∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数．
【解答】
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
故选：A．
14．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB＝PA＝3．
【解答】解：连接OA，OB，OP，
∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），
∴PB＝PA＝3，
故选：B．

二．填空题（共4小题）
15．已知⊙O的半径为3cm，点P在⊙O外，则OP的长可以是　4　cm（写出一个即可）．
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵O的半径为3cm，点P在⊙O外，
∴OP＞3，
∴OP的长可以是4cm，
故答案为：4．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．当r＝2cm时，直线AB与⊙C位置关系是　相离　．
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，和⊙C的半径比较即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝5，
由三角形面积公式得：×3×4＝×5×CD，
CD＝2.4，
即C到AB的距离等于⊙C的半径长，
∵r＝2cm＜2.4，
∴⊙C和AB的位置关系是相离，
故答案为：相离
17．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，P为AC的中点，连接PD，BC＝6，DP＝4．O为边BA上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于　或或　．

【分析】先根据直角三角形的有关性质求出AC＝8、AB＝10、CD＝、BD＝，再分⊙O与CD相切、与CP相切及与DP所在直线相切这三种情况，依据相似三角形的判定与性质分别求解可得．
【解答】解：∵∠ADC＝90°，P是AC中点，
∴AC＝2DP＝8，
又∵BC＝6，
∴AB＝10，
则CD＝＝＝，
∴BD＝＝，
如图1，若⊙O与CD相切，

则⊙O的半径r＝BD＝；
如图2，若⊙O与CP相切，

则BO＝OE＝r，AO＝10﹣r，
由OE⊥AC知OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得r＝；
如图3，若⊙O与DP所在直线相切，切点F，

则OF⊥DP，即∠OFD＝∠ACB＝90°，OB＝OF＝r，
∴OD＝BD﹣BO＝﹣r，
∵∠ODF＝∠ADP＝∠A，
∴△ODF∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得r＝；
综上，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于或或，
故答案为：或或．
18．如图，等边△ABC边长为10cm，以AB为直径的⊙O分别交CA、CB于D、E两点，则图中阴影部分的面积（结果保留π）是　　cm2．

【分析】连接OD，OE，则四边形ODEC是菱形，菱形的面积减去扇形DOE的面积即可求解．
【解答】解：连接OD，OE．
则四边形ODEC是菱形．且面积是△ABC面积的．
∴菱形ODEC的面积是：
扇形DOE的圆心角是60°，则扇形DOE的面积是＝
则阴影部分的面积是：﹣＝cm2．
故答案是：．

三．解答题（共4小题）
19．如图，AB是⊙O直径，CD为⊙O的切线，C为切点，过A作CD的垂线，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O半径为5，CD＝4，求AD的长．

【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥CD，根据CD⊥AD，则OC∥AD，所以∠DAC＝∠ACO，然后证明∠DAC＝∠CAO即可；
（2）过点O作OE⊥AD于点E，则四边形OEDC是矩形，由勾股定理可求出AE长，则AD长可求出．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，

∵直线CD切半圆O于点C，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴AC平分∠BAD；
（2）如图2，过点O作OE⊥AD于点E，

∵∠OCD＝∠OED＝∠CDE＝90°，
∴四边形OEDC是矩形，
∴DC＝OE＝4，
∴＝＝3，
∴AD＝AE+DE＝3+5＝8．
20．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．

【分析】根据切线长定理得等腰△PAB，运用三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：根据切线的性质得：∠PAC＝90°，
所以∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，
根据切线长定理得PA＝PB，
所以∠PAB＝∠PBA＝70°，
所以∠P＝180°﹣70°×2＝40°．
21．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）求BC的长．
（2）求CD的长．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用勾股定理可计算出BC；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再根据角平分线定义得∠ACD＝∠BCD，则AD＝BD，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出BD，作BH⊥CD于H，如图，证明△BCH为等腰直角三角形得到BH＝CH＝BC＝4，再利用勾股定理计算出DH＝3，从而计算CH+DH即可．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝8；

（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD＝AB＝5；
作BH⊥CD于H，如图，
∵∠BCH＝45°，
∴△BCH为等腰直角三角形，
∴BH＝CH＝BC＝4，
在Rt△BDH中，DH＝＝3，
∴CD＝CH+DH＝4+3＝7．

22．如图，∠C＝90°，⊙C与AB相交于点D，AC＝6，CB＝8．求AD的长．

【分析】作CE⊥AD于E，先根据勾股定理计算出AB＝10，再利用面积法计算出CE＝，在Rt△ACE中，再利用勾股定理计算出AE＝，由CE⊥AD，根据垂径定理得AE＝DE，所以AD＝2AE＝．
【解答】解：作CE⊥AD于E，如图，

∵∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，
∴AB＝＝10，
∵CE?AB＝AC?BC，
∴CE＝＝，
在Rt△ACE中，AE＝＝＝，
∵CE⊥AD，
∴AE＝DE，
∴AD＝2AE＝．