北师大版九年级数学上册 第2章 一元二次方程 单元练习试题 含解析

第2章 一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．x2﹣5x＝2
2．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+2m﹣m2的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
3．一元二次方程x2+4x+3＝0用配方法变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝﹣1 D．（x+2）2＝﹣1
4．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值（　　）
A．总不小于4 B．总不小于9
C．可为任何实数 D．可能为负数
5．一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
6．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x﹣1的值为（　　）
A．±2 B．0或﹣4 C．0 D．2
7．在下列方程中，以3，﹣4为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣x﹣12＝0 B．x2+x﹣12＝0 C．x2﹣x+12＝0 D．x2+x+12＝0
8．一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个根为x1，x2，则x12+x22+x1x2的值为（　　）
A．2 B．6 C．8 D．14
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根是2，则此方程的另一个根和k的值分别是（　　）
A．3和2 B．3和﹣2 C．﹣3和﹣2 D．﹣2和3
10．某药厂2017年生产1t甲种药品的利润是3600元．随着生产技术的进步，2019年生产1t甲种药品的利润是6000元．设生产1t甲种药品利润的年平均增长率为x，则关于x的方程是（　　）
A．6000（1+x）2＝3600 B．3600（1+x）2＝6000
C．6000（1﹣x）2＝3600 D．3600（1﹣x）2＝6000
二．填空题（共3小题）
11．把方程（1﹣2x）（1+2x）＝2x2﹣4化为一元二次方程的一般形式为　 　．
12．一元二次方程4x2＝3x的解是　 　．
13．解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，利用整体思想和换元法可设x2﹣1＝y，则原方程可化为：　 　；再求出原方程的解为　 　．
三．解答题（共7小题）
14．（1）解方程：（x+1）（x+3）＝15
（2）解方程：3x2﹣2x＝2
（3）解不等式组
15．张家港永安旅行社为吸引市民组团去普陀山风景区旅游，推出了如下收费标准：

（1）现有一个35人的团队准备去旅游，人均旅游费为　 　元．
（2）某单位组织员工去普陀山风景区旅游，共支付给永安旅行社旅游费用27000元，请问：该单位这次共有多少员工去普陀山风景区旅游？
16．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）＝0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝，求k的值．
17．已知关于x的方程5x2﹣kx﹣10＝0的一个根为﹣5，求它的另一个根及k的值．
18．已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0
（1）x＝1是方程的一个根，求方程的另一个根；
（2）若x1，x2是方程的两个不同的实数根，且x1和x2满足x12+x22+2x1x2﹣x12x22＝0，求m的值．
19．解方程：
（1）（3x+2）2＝25（直接开平方法）
（2）x2+2x﹣3＝0（配方法）
（3）5x+2＝3x2 （公式法）　　　　　
（4）（x﹣2）2＝（2x﹣3）2 （分解因式法）
20．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长28m），另三边用木栏围成，木栏长32m．
（1）鸡场的面积能围到120㎡吗？
（2）鸡场的面积能围到130㎡吗？
（3）鸡场能建的最大面积是多少？如果（1）或（2）或（3）能，请你给出设计方案；如果不能，请你说明理由．



参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．x2﹣5x＝2
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：A、x2+＝0，不是一元二次方程，不合题意；
B、5x2﹣6y﹣3＝0，含有两个未知数，不合题意；
C、ax2﹣x+2＝0，a有可能等于0，故此选项不合题意；
D、x2﹣5x＝2，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+2m﹣m2的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴﹣m2+2m＝﹣1，
∴1+2m﹣m2＝1﹣1＝0．
故选：A．
3．一元二次方程x2+4x+3＝0用配方法变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝﹣1 D．（x+2）2＝﹣1
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2+4x+3＝0，
∴x2+4x+4＝1，
∴（x+2）2＝1，
故选：B．
4．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值（　　）
A．总不小于4 B．总不小于9
C．可为任何实数 D．可能为负数
【分析】首先把x2+y2+2x﹣4y+9化成（x+1）2+（y﹣2）2+4；然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4即可．
【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+9
＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+4
＝（x+1）2+（y﹣2）2+4
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴x2+y2+2x﹣4y+9≥4，
即不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4．
故选：A．
5．一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
△＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣1）
＝49+8
＝57
＞0，
即该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x﹣1的值为（　　）
A．±2 B．0或﹣4 C．0 D．2
【分析】首先利用换元思想，把x2+3x看做一个整体换为y，化为含y一元二次方程，解这个方程即可．
【解答】解：由y＝x2+3x，
则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，可化为：y2+2y﹣3＝0，
分解因式，得，（y+3）（y﹣1）＝0，
解得，y1＝﹣3，y2＝1，
当x2+3x＝﹣3时，△＝32﹣3×4＝﹣3＜0，方程无实数根，
当x2+3x＝1时，△＝9+4×1＝13＞0．
∴x2+3x﹣1＝0
故选：C．
7．在下列方程中，以3，﹣4为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣x﹣12＝0 B．x2+x﹣12＝0 C．x2﹣x+12＝0 D．x2+x+12＝0
【分析】设原方程为：x2+bx+c＝0，根据一元二次方程根与系数的关系，结合3和﹣4是该方程的根，求出b和c的值，即可得到答案．
【解答】解：设原方程为：x2+bx+c＝0，
∵该方程的根为：3，﹣4，
则﹣b＝3+（﹣4），
解得：b＝1，
c＝3×（﹣4）＝﹣12，
即原方程为：x2+x﹣12＝0，
故选：B．
8．一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个根为x1，x2，则x12+x22+x1x2的值为（　　）
A．2 B．6 C．8 D．14
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，x12+x22+x1x2可变形为﹣x1x2，代入求值即可．
【解答】解：根据题意得：
x1+x2＝4，x1x2＝2，
x12+x22+x1x2
＝x12+x22+2x1x2﹣x1x2
＝﹣x1x2
＝42﹣2
＝16﹣2
＝14，
故选：D．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根是2，则此方程的另一个根和k的值分别是（　　）
A．3和2 B．3和﹣2 C．﹣3和﹣2 D．﹣2和3
【分析】将x＝2代入原方程可求出k值，再利用两根之积等于可求出方程的另一个根，此题得解．
【解答】解：将x＝2代入原方程，得：22﹣2（k+1）﹣6＝0，
∴k＝﹣2．
方程的另一根为＝﹣3．
故选：C．
10．某药厂2017年生产1t甲种药品的利润是3600元．随着生产技术的进步，2019年生产1t甲种药品的利润是6000元．设生产1t甲种药品利润的年平均增长率为x，则关于x的方程是（　　）
A．6000（1+x）2＝3600 B．3600（1+x）2＝6000
C．6000（1﹣x）2＝3600 D．3600（1﹣x）2＝6000
【分析】生产1t甲种药品利润的年平均增长率为x，则2018年生成1t甲种药品的利润为3600（1+x）元，2017年在3600（1﹣x）元的基础之又增长x，变为3600（1+x）（1+x）即3600（1+x）2元，进而可列出方程．
【解答】解：设生产1t甲种药品利润的年平均增长率为x，由题意得
3600（1+x）2＝6000，
故选：B．
二．填空题（共3小题）
11．把方程（1﹣2x）（1+2x）＝2x2﹣4化为一元二次方程的一般形式为　6x2﹣5＝0　．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），首先把方程左边的两式相乘，再移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．
【解答】解：
原方程可化为：1﹣4x2＝2x2﹣4，
整理，得6x2﹣5＝0．
故答案是：6x2﹣5＝0．
12．一元二次方程4x2＝3x的解是　x1＝0，x2＝　．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：4x2＝3x，
4x2﹣3x＝0，
x（4x﹣3）＝0，
x＝0，4x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝
故答案为：x1＝0，x2＝．
13．解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，利用整体思想和换元法可设x2﹣1＝y，则原方程可化为：　y2﹣5y+4＝0　；再求出原方程的解为　x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣　．
【分析】设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，求出y的值，再求出x的值即可．
【解答】解：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，
设x2﹣1＝y，
则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，
（y﹣4）（y﹣1）＝0，
解得：y＝4或1，
当y＝4时，x2﹣1＝4，
解得：x＝；
当y＝1时，x2﹣1＝1，
解得：x＝，
即原方程的解为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣，
故答案为：y2﹣5y+4＝0，x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
三．解答题（共7小题）
14．（1）解方程：（x+1）（x+3）＝15
（2）解方程：3x2﹣2x＝2
（3）解不等式组
【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案；
（3）根据一元一次不等式组即可求出答案．
【解答】解：（1）∵（x+1）（x+3）＝15，
∴x2+4x+3＝15，
∴x2+4x﹣12＝0，
∴（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣6或x＝2；
（2）∵3x2﹣2x＝2，
∴3x2﹣2x﹣2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴△＝4﹣4×3×（﹣2）＝28，
∴x＝＝；
（3）由①可得：x＜﹣1；
由②得：x＞﹣4，
∴不等式组的解集为：﹣4＜x＜﹣1；
15．张家港永安旅行社为吸引市民组团去普陀山风景区旅游，推出了如下收费标准：

（1）现有一个35人的团队准备去旅游，人均旅游费为　800　元．
（2）某单位组织员工去普陀山风景区旅游，共支付给永安旅行社旅游费用27000元，请问：该单位这次共有多少员工去普陀山风景区旅游？
【分析】（1）人均旅游费＝1000﹣超过25的人数×20；
（2）应先判断出人数是否超过25人，等量关系为：人均旅游费用×人数＝27000，把相关数值代入计算后根据人均费用不得低于700元舍去不合题意的解即可．
【解答】解：（1）人均旅游费＝1000﹣（35﹣25）×20＝800，
故答案为800；

（2）设该单位这次共有x名员工去普陀山风景区旅游，
∵27000＞25×1000，
∴x＞25；
∴[1000﹣20（x﹣25）]x＝27000，
解得：x1＝45，x2＝30，
∵1000﹣20（x﹣25）≥700
∴x1＝45（不符合题意，舍去），x2＝30．
答：该单位这次共有30名员工去普陀山风景区旅游．
16．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）＝0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝，求k的值．
【分析】（x1﹣1）（x2﹣1）＝，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入x1x2﹣（x1+x2）+1＝，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：∵x1+x2＝k，x1x2＝k（k+4），
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，
∴k（k+4）﹣k+1＝，
解得k＝±3，
当k＝3时，方程为x2﹣3x+＝0，△＝9﹣21＜0，不合题意舍去；
当k＝﹣3时，方程为x2+3x﹣＝0，△＝9+3＞0，符合题意．
故所求k的值为﹣3．
17．已知关于x的方程5x2﹣kx﹣10＝0的一个根为﹣5，求它的另一个根及k的值．
【分析】设方程的另一个根是a，由根与系数的关系得出a+（﹣5）＝，﹣5a＝﹣2，求出即可．
【解答】解：设方程的另一个根是a，
则由根与系数的关系得：a+（﹣5）＝，﹣5a＝﹣2，
解得：k＝﹣23，a＝，
答：它的另一个根是，k的值是﹣23．
18．已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0
（1）x＝1是方程的一个根，求方程的另一个根；
（2）若x1，x2是方程的两个不同的实数根，且x1和x2满足x12+x22+2x1x2﹣x12x22＝0，求m的值．
【分析】（1）本题是对根与系数关系的考查，利用根与系数的关系可以求出另外一个根，也可以直接代入求解，
（2）x12+x22+2x1x2﹣x12x22＝0，即（x1+x2）2﹣（x1x2）2＝0，把两根的和与积代入，即可得到关于m的方程，从而求得m的值．
【解答】解：（1）设方程的另一个根是x1，那么x1+1＝﹣2，
∴x1＝﹣3；
（2）∵x1、x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝，
又∵x12+x22+2x1x2﹣x12x22＝0，
∴（x1+x2）2﹣（x1x2）2＝0，
即4﹣＝0，得m＝±4，
又∵△＝42﹣8m＞0，得m＜2，
∴取m＝﹣4．
19．解方程：
（1）（3x+2）2＝25（直接开平方法）
（2）x2+2x﹣3＝0（配方法）
（3）5x+2＝3x2 （公式法）　　　　　
（4）（x﹣2）2＝（2x﹣3）2 （分解因式法）
【分析】（1）利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（2）将方程中的常数项移项方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方1，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方后即可求出原方程的解；
（3）将方程整理为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b2﹣4ac的值大于0，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解；
（4）将方程右边整体移项到左边，然后利用平方差公式分解因式，再由两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：（1）（3x+2）2＝25，
开方得：3x+2＝±5，
即3x+2＝5或3x+2＝﹣5，
解得：x1＝1，x2＝﹣；

（2）x2+2x﹣3＝0，
移项得：x2+2x＝3，
配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4，
开方得：x+1＝2或x+1＝﹣2，
解得：x1＝1，x2＝﹣3；

（3）5x+2＝3x2，
整理得：3x2﹣5x﹣2＝0，
这里a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2，
∵b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49＞0，
∴x＝＝，
则x1＝2，x2＝﹣；

（4）（x﹣2）2＝（2x﹣3）2，
移项得：（x﹣2）2﹣（2x﹣3）2＝0，
分解因式得：[（x﹣2）+（2x﹣3）][（x﹣2）﹣（2x﹣3）]＝0，
即（3x﹣5）（﹣x+1）＝0，
可得：3x﹣5＝0或﹣x+1＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
20．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长28m），另三边用木栏围成，木栏长32m．
（1）鸡场的面积能围到120㎡吗？
（2）鸡场的面积能围到130㎡吗？
（3）鸡场能建的最大面积是多少？如果（1）或（2）或（3）能，请你给出设计方案；如果不能，请你说明理由．
【分析】对于（1）（2）我们假设120，130成立，设出垂直墙的一边为x，可列出方程看看有没有解，有解就可以无解就不行．
对于第（3）问可列出S＝x（32﹣2x）＝32x﹣2x2可用配方法求出最大值．
【解答】解：（1）设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（32﹣2x）m，
依题意，得x（32﹣2x）＝120，（1分）
整理得，x2﹣16x+60＝0，
解得x1＝6，x2＝10
当x＝6时，32﹣2x＝20；
当x＝10时，32﹣2x＝12．（2分）
所以，鸡场的面积能围到120㎡．
设计方案①：垂直于墙的边长为6m，平行于墙的边长为20m；
方案②：垂直于墙的边长为10m，平行于墙的边长为12m（4分）

（2）设与墙垂直的一边长为xm，依题意，得
x（32﹣2x）＝130，整理得x2﹣16x+65＝0，（5分）
∵a＝1，b＝﹣16，c＝65，∴b2﹣4ac＝（﹣16）2﹣4×1×65＝﹣4＜0，∴原方程无解（7分）
所以，围成的鸡场面积不能达到130㎡．（8分）
方法二，设围成的鸡场面积为S，与墙垂直的一边长为xm，依题意，得
S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128≤128，（6分）
所以，能围成的鸡场最大面积为128㎡，但130＞128，
故，围成的鸡场面积不能达到130㎡；（8分）

（3）设围成的鸡场面积为S㎡，与墙垂直的一边长为xm，依题意，得
S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128≤128，
所以，当x＝8时，能围成的鸡场最大面积S为128㎡．（12分）
设计方案：垂直于墙的边长为8m，平行于墙的边长为16m．（13分）