第五节 探究弹性势能的表达式
【教学目标】
知识与技能
理解弹性势能的概念及意义，学习计算变力做功的思想方法。
过程与方法
1、猜测弹性势能的表达式与哪些因素有关，培养学生科学预测的能力。
2、体会计算拉力做功的方法，体会微分思想和积分思想在物理学上的应用。
情感、态度与价值观
通过对弹性势能公式的探究过程和所用方法，培养学生探究知识的欲望和学习兴趣，体味弹性势能在生活中的意义、提高物理在生活中的应用意识。
【教学重点】
探究弹性势能公式的过程和所用方法。
【教学难点】
推导拉伸弹簧时，用微分思想和积分思想求解拉力所做功的表达式。
【教学课时】
1课时
【探究学习】
引入新课
教师活动：1.演示：
装置如图所示：
将一木块靠在弹簧上，压缩后松手，弹簧将木块弹出.
分别用一个硬弹簧和一个软弹簧做上述实验，分别把它们压缩后松手，观察现象.
学生活动：观察并叙述实验现象
现象一：同一根弹簧，压缩程度越大时，弹簧把木块推得越远．
现象二：两根等长的软、硬弹簧，压缩相同程度时，硬弹簧把木块弹出得远．
师生共同分析，得出结论：
上述实验中，弹簧被压缩时，要发生形变，在恢复原状时能够对木块做功，因而具有能量，这种能量叫做弹性势能．
教师活动：多媒体演示（《撑杆中的弹性势能》），发生形变的物体，具有弹性势能．
请同学们再举几个物体具有弹性势能的例子：
学生活动：观察课件演示，体会发生形变的物体，具有弹性势能；思考并举例：
a.卷紧的发条
b.被拉伸或压缩的弹簧
c.击球的网球拍
d.拉开的弓
［导入］ 弹性势能的大小与哪些因素有关？弹性势能的表达式应该是怎样的？这节课我们就来探究这些问题。
新课讲解
教师活动：我们在学习重力势能时，是从哪里开始入手进行分析的？这对我们讨论弹性势能有何启示？
学生活动：思考后回答
学习重力势能时，是从重力做功开始入手分析的。讨论弹性势能应该从弹力做功的分析入手。
点评：通过知识的迁移，找到探究规律的思想方法，形成良好的思维习惯。
教师活动：当弹簧的长度为原长时，它的弹性势能为零，弹簧被拉长或被压缩后，就具有了弹性势能，我们只研究弹簧拉长的情况。
在探究的过程中，我们要依次解决那几个问题呢？请同学们快速阅读课本，把这几个问题找出来。
学生活动：阅读教材，找出探究过程中要依次解决的问题，从总体上把握探究的思路。
教师活动：倾听学生回答，进一步引导。
（1）重力势能与高度h成正比，弹性势能是否也与弹簧的伸长量（或缩短量）成正比？说出你的理由。
（2）在高度h相同的情况下，物体的质量越大，重力势能越大，对于不同的弹簧，其弹性势能是否也有类似的情形？
（3）对弹性势能的猜测，并不能告诉我们弹性势能的表达式，这样的猜测有没有实际意义？
学生活动：思考问题，学生代表发言。
教师活动：听取学生汇报，点评，解答学生可能提出的问题。
提出问题：重力做功，重力势能发生变化，重力做功在数值上等于重力势能的变化量。那么，弹力做功与弹性势能的变化之间关系是怎样的？
学生活动：思考问题，学生代表发言。
教师活动：听取学生汇报，点评，解答学生可能提出的问题。
提出问题：重力是恒力，重力做功等于重力与物体在竖直方向移动距离的乘积。那么，拉伸弹簧时，拉力做功该怎样计算？阅读课本，并在练习本上自己画图，写出拉力在整个过程中做功的表达式。
学生活动：阅读教材，思考拉力做功的计算方法。选出代表发表自己的见解。
点评：通过学生阅读，培养学生的阅读理解能力；通过学生探求变力做功的方法，初步形成微分求解变量的物理思想方法。
教师活动：听取学生汇报，投影学生的求解过程，解答学生可能提出的问题。
提出问题：怎样计算拉力做功的求和式？是否可以用F-l图象下一个梯形的面积来代表功？在练习本上写出拉力做功的表达式。
学生活动：在练习本上作F-l图象，推导拉力做功的表达式。
教师活动：听取学生汇报，投影学生的推导过程，解答学生可能提出的问题。
点评：在处理匀变速直线运动的位移时，曾利用v-t图象下梯形的面积来代表位移；这里利用F-l图象下的面积来代表功，可以培养学生知识迁移的能力。但要搞清弹簧长度和伸长量的区别，l表示伸长量，则F-l图象下是一个三角形的面积来代表功。
【课堂训练】
一、对弹性势能的理解
［例1］一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则（ ）
A．h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大
B．弹簧在A点的压缩量与h无关
C．h愈大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能愈大
D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大
解析：
二、关于不同能量间的转化
［例2］如图所示，表示撑杆跳运动的几个阶段：助跑、撑杆起跳、越横杆。试定性地说明在这几个阶段中能量的转化情况。
分析：运动员的助跑阶段，身体中的化学能转化为人和杆的动能；起跳时，运动员的动能和身体中的化学能转化为人的重力势能和撑杆中的弹性势能，随着人体的继续上升，撑杆中的弹性势能转化为人的重力势能，使人体上升至横杆以上；越过横杆后，运动员的重力势能转化为动能。
课件23张PPT。动手小实验讨论关于弹性势能，你想知道哪些知识呢？请提出你的问题？ 开动脑筋，看我们能否利用学过的知识或生活中的一些现象来解释这些问题 ？弹性势能大小可能与哪些因素有关？问题之一： 可以设计一个小实验或用生活中的某些现象证明证明你的这个观点吗 ？ 自己小结弹性势能与劲度系数和形变量的定性关系： 弹簧形变量越大，弹簧的劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。 本节课的主要任务就是得出他们之间的定量关系，并探究弹性势能的表达式，我们可以通过哪些途径来进行具体探究呢？问题之二：同学们的观点：
1 定量实验探究2 逻辑推理即理论推导 实验探究中的首要问题：如何把不好测量的能量转换为我们可以直接进行测量的物理量
弹簧弹性势能小车的动能内能 理论推导中的首要问题：类比于重力做功推导重力势能的表达式，利用弹力做功推导弹性势能表达式。 重力是恒力，但弹簧的弹力是变力， 我们如何来求这个变力做功呢？ 这个力的变化有何特点？你以前学过的知识里有类似这样变化的例子吗？类比：重物沿曲面下滑类比：匀变速直线运动 以小组为单位，选择其中的任一方法进行探究交流我们的成果
在弹簧恢复原状时，弹簧的弹性势能Ep 又通过小车克服摩擦力做功方式完全转化为内能，所以弹簧弹性势能大小应等于小车克服摩擦所做的功，而摩擦力恒定，因而实验探究组：小车压缩弹簧后松开手弹力F对小车做功弹簧弹性势能转化为小车动能小车克服摩擦力做功小车动能转化为内能。推导组同学：问题1：如何推导弹性势能表达式？
利用弹力做功推导问题2：变力做功不好直接求
变力做功分成若干段恒力做功
问题3：如何求和？
类比于匀变速运动，利用图像用面积
来求物体做匀速直线运动，
在时间t内的位移：
在v-t图象中对应着一块矩形的面积
物体做匀变速直线运动时
重力是恒力，重力做功：在mg-h图像中对应着一块矩形的面积FLFLFL变力F做功还可以这样求：由弹力做功可得出弹性势能的表达式： 若取原长处为零势能面，则可以得出弹性势能的表达式本节内容小结：一 弹性势能
发生弹性形变的物体因为各部分的弹力作用而具有的能量
二 弹性势能的大小与劲度系数和形变量有关
劲度系数越大，形变量越大，弹性势能越大
三 实验探究定量关系或理论推导弹性势能表达式。 本节课是一节科学探究课，请大家小结一下本节课所涉及的物理探究的几种常见的方法以及科学探究的一般过程。课后巩固： 2. 将课堂设计的实验进行到底，看我们理论上的实验设计是否在实施过程中还有具体的新的问题，同时看看实验结果与理论推导是否吻合。探究弹性势能的表达式
（人教版必修2）
设计思路
《探究弹性势能的表达式》这节课重点是引导学生体会探究过程，了解科学探究的一般方法。探究式学习的本质是概念规律的结论是通过学生自己的活动或推理由自己获得的，包括实验探究和逻辑推理探究即理论推导。实验探究有形象直观等优点，且通过实验设计和实验过程锻炼了同学的动脑和动手能力，但可能因为存在一定的误差，不容易得不到定量的关系式，逻辑推理探究则相对比较精确但对学生的逻辑思维要求较高。因而这节课我的主导思想是让学生分别用实验探究和逻辑推理的方式来研究弹性势能与形变量及弹簧劲度系数的定量关系。由于课堂时间的限制，所以实验探究以实验设计为主。教学中先通过小实验引出什么是弹性势能，然后以同学提问的方式引出本节课的主要任务：利用功能关系设计实验或进行推理，找到弹性势能与形变量及弹簧劲度系数的定量关系，
从整体上看，本节课堂是用启发性的语言引导学生自己观察、发现与思考，自己提出问题并寻找问题的答案，在分组探究过程中老师及时给予启发和引导，再通过小组汇报其他同学提问的方式让大家对对方的方法和探究过程有所了解。“探究弹性势能的表达式”的主要目的并不是让学生学习这个关系式，而是让学生经历一次探究的过程。
凡是有利于学生“构建知识”、形成“科学观念”、领悟“科学研究方法”的各种活动都属于科学探究范畴。本节课的中重点在于物理方法的引导和加深学生对科学探究的理解上。本节课让学生分组分别实验探究和理论推导，在汇报过程中彼此提问和补充，使科学探究的两种方式共存于同一时空中，充分调动了学生的积极性和创造性。这样的教学，组织和实施难度都较大，期望在教学实践中对此作出有益的尝试和可贵的探索。
教学目标
一、知识与技能
1、理解弹性势能的概念和物理意义；
2、掌握计算变力做功的思想方法；
3、巩固做功与能量变化的关系（弹力的功与弹性势能变化的关系，弹簧对外做功把弹性势能转化为其他形式能量的过程）；
4、知道弹性势能具有相对性。
?二、过程与方法
1、类比法在学习中的应用。
2、逻辑推理中通过探究弹性势能表达式的过程，体会微积分思想在物理学中的应用。
3、处理一个问题时，发散思维，多想几种方法
三、情感、态度与价值观
?通过探究过程，激发学生求知欲和学习兴趣，享受成功的乐趣。
教学重点
经历实验探究过程，得出Ep与决定因素的定性关系
经历实验设计过程，设计研究定量关系的实验
经历理论推导过程，得出弹性势能的表达式
教学难点
效果明显的实验设计，
理论推导中思维方法的应用
教学资源
橡皮筋若干，带弹簧的圆珠笔，几个不同劲度系数的弹簧、小车、木板、刻度尺……powerpoit课件
教学流程
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
新课引入
探究过程
汇报交流
汇报交流
结果评估
小结巩固
一、弹性势能概念引出
?课堂小实验：在我们每个人面前的桌上都有几根橡皮筋，让我们一起来重温小时候经常玩的打弹弓的游戏：拉开绷在手上的橡皮筋后松手，橡皮筋把小纸团弹开。
师：为什么纸团会被弹开呢？
师：这是从从力的角度说明的，我们能从能量的角度加以解释吗？
小实验：拿出有弹簧的圆珠笔，按出笔尖，然后笔尖朝上，下压，释放，笔弹起来了。为什么圆珠笔会被弹起呢？你能从能量的角度加以解释吗？
师：很好，被拉伸的橡皮筋被压缩的弹簧都储存有一定的能量，这种能量就叫做弹性势能。
我们今天就来好好了解一下弹性势能。其实我们的生活中还有很多地方涉及到了弹性势能的知识，我们现在看到的是北京奥运会上的两个精彩的瞬间，还有很多运动也都与弹性势能紧密相连，更好地了解弹性势能的知识将有助于我们更好地利用它。那关于弹性势能，我们大家想了解哪些知识呢？请提出你的问题？
在黑板上写出学生提出的问题。
通过思考，我们提出了很多的问题，下面请大家对其他同学提出的这些问题进行讨论，看我们能否利用学过的知识或生活中的一些现象来解释这些问题？
?学生回答的同时老师给予肯定和补充
你可以设计一个小实验或用生活中的某些现象证明你的这个观点吗？
很好，纸团飞得远近为什么可以反映弹性势能的大小呢？
很对，物体能量的多少我们往往无法直接测量，但我们可以利用功能关系来反映，通过发生弹性形变的物体对外做功的多少来衡量弹性势能的多少。
二、探究过程
其实?生活中的很多事例，都说明了弹性势能与弹性物体的弹性情况和形变量的定性关系。生活中最常见的弹性物体是弹簧，我请位同学把弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量和弹簧劲度系数的定性关系完整地表述一下。
我们今天这节课只重点研究弹簧的弹性势能的情况，我们的主要任务是得出他们之间的定量关系，并探究弹性势能的表达式。
请大家想想我们可以通过哪些途径来进行具体探究呢？
很好，我们这两位同学提出了两种方案，我们一起来看看。如果我们利用实验来探究弹性势能与劲度系数和弹簧形变量之间的定量关系，首先应该解决的就是如何把不好测量的能量转换为我们可以直接进行测量的物理量，就请大家以我们桌上的弹簧和小车为例，想想怎样把弹簧的弹性势能大小表示出来呢？
学生回答,老师引导：弹力是变力，做功不好直接求利用功能关系转化为摩擦力做功的绝对值。
而对利用弹力做功来推导探究来说，刚才这位同学给我们提供了一个方法：类比法。那是我们学习新知识过程中常用的一种方法。我们可以类比于重力做功推导重力势能表达式，利用弹力做功的过程推导弹性势能的表达式，但这两者之间有相同点又有差别。重力是恒力，但弹簧的弹力是变力， 我们如何来求这个变力做功呢？对不能直接用W=Flcosθ 来求做功的情况我们以前碰到过吗？我们怎么处理的？（提示学生用以前知识类比处理）
很好，我们再看看这个力的变化有何特点？你以前学过的知识里有类似这样变化的例子吗？
下面就请大家选择其中的一种方法，与你所在小组的其他同学一起讨论设计你的实验或推导过程。如果你选择实验探究，由于时间和仪器的限制，我们就主要做好实验设计，请同时对实验原理，具体的实验步骤进行认真的讨论，并谈谈你的感想。如果你选择了逻辑推理，请对推导过程进行详细说明。如果在设计实验或推导过程中出现分歧或疑惑，可向老师求助，我们一起来讨论。十分钟后我们来交流我们的探讨过程。
老师走进学生当中，一起参与，解答疑问。
十分钟后，
我们分别请同学来汇报你们的探讨结果。在其他组同学汇报过程中，我们还可以对他们的探究过程进行提问和给以一些建议。
根据学生的回答，老师可叫其他同学进行适当补充，老师利用课件对其中有难度的地方进行补充和概括
很好，对我们这组同学认真的研究探讨和精彩的汇报给予鼓励！对他们的实验设计，你还有疑问吗？
鼓励其他同学提问
老师加问：还有其他方法吗？
在回答过程中老师可进行适当的引导，说明劲度系数的关系
很好，课后我们可以进行真正的实验操作，看是否能得到我们预期的实验结果。
很好。推理组同学的汇报。
老师利用课件把同学的汇报进行归纳和强调。（有难度，在前面学习基础上，学生可能会提出微积分的思想，但老师需要再帮助归纳）
还有其他方法吗？
鼓励学生提出：
问：为什么可以用平均力来求做功？
同学们的回答太精彩了，我也谈谈我的另一个求变力做功的方法，（根据课堂实际情况，学生基础好的也会自己提出来，但对数学基础要求高，老师可另外补充讲解）在刚才那位同学的基础上。
其中的是我们分成的任意相等的无限小段，每一段都相等，为，
而，，…
所以
因为，同时很小，可以忽略，所以有拉力做的功
所以弹力做的功为，我们就可以利用功能关系，
若取原长处为零势能面，则可得：
?
老师：其实不同物体的弹性势能的大小与形变量及其弹性情况的定量关系并不相同，我们今天主要探究的是弹簧的弹性势能。下面来看看我们自己的劳动成果吧！我们的实验设计，我们的逻辑推理，当我们把面前的难题一一揭开时，我们是那么的激动，那么的幸福。其实，无论是实验探究还是逻辑推理，都是科学探究的不同表现形式。在学习中，在生活中，我们会经常遇到一些感兴趣的问题，如果我们都能静下心来好好探究的话，我们将会有很多意外的收获。希望大家能够通过自己的努力，在探究思考中找寻成功的感觉。
三、小结
小结本节课内容：
一 弹性势能
发生弹性形变的物体因为各部分的弹力作用而具有的能量
二 弹性势能的大小与劲度系数和形变量有关：
劲度系数越大，形变量越大，弹性势能越大
三 实验探究定量关系或理论推导弹性势能表达式。
?课后巩固：
本节课是一节科学探究课，请大家小结一下本节课所涉及的物理探究的几种常见的方法以及科学探究的一般方法。
将课堂设计的实验进行到底，看我们理论上的实验设计是否在实施过程中还有具体的新的问题，同时看看实验结果与理论推导是否吻合。
?
学生实验
生（可能）：橡皮筋被拉开后发生形变对和它接触的纸团产生了力的作用
生（可能）：被拉开的橡皮筋对纸团做功，把自身的能量转化为纸团的动能。
生（可能）：被压缩的弹簧对圆珠笔做功把自身的能量转化为圆珠笔的动能
思考两分钟，学生自由提出问题：如弹性势能是怎么产生的？弹性势能与做功有什么关系？弹性势能有什么用？弹性势能的大小与什么有关？弹簧被压缩的量相同，弹性势能就相同吗？能不能像重力势能表达式一样得出弹性势能的表达式呢？……
生：弹性势能的产生：……
生：通过做功可以把弹性势能转化为其他形式的能，如蹦床，撑杆跳，打网球选用弹性好的球拍……
生：弹性势能大小可能与弹性物体弹性性能和形变量有关……
?
生：比如橡皮筋做成的小弹弓，拉得越大，纸团弹得越远，用两根橡皮筋一起拉开同样的长度，纸团弹得更远……
讨论后答：（用功能关系说明）纸团飞得越远说明橡皮筋对外做功越多，橡皮筋弹性势能越大…
生：弹簧劲度系数越大，形变量越大，弹簧的弹性势能就越大
学生讨论后回答：
生：类比前面研究加速度与力和质量定量关系我们就利用实验通过控制变量来探究的，提出设计一个比较精确的实验过程来进行探究……
生：类比于重力做功推导重力势能表达式，提出利用弹力做功的过程推导弹性势能的表达式……
生：……
生：（弹簧与小车的功能转换）利用功能关系，弹簧对小车做功，把自身的弹性势能转换为小车动能……
生：物体沿曲面下滑，重力对物体做功，把全过程分成若干段，每一段看作恒力作用下的直线运动，再求出全过程做功……
生：F与x成正比
生：类比匀变速直线运动。
学生分组进行讨论设计活动。
学生通过实物投影和讲台前的仪器展示其探究过程：
学生汇报实验设计：
实验仪器：几个不同弹簧、小车、木板、刻度尺……
说明原理：
利用能量守恒，通过转换的思想，把对不能直接测出的弹性势能的研究转换成了对克服摩擦力做功的研究：……（在座位上设计实验时老师可适当引导）
（克服摩擦所做的功）。
实验方法：控制变量法。
数据测量：因为f恒定，所以只需要测出s，就可以反映Ep和x以及k的关系了
表格设计：
x
l
2 l
3 l
4 l
s
Ep
k
s
Ep
数据处理：作图法。
我们的收获：……
其他学生提问：……
其他学生可能提问：形变量好控制，那怎么知道弹簧的劲度系数之间的关系呢？
实验同学可能回答：我们可以选择一些已知劲度系数的弹簧……或利用弹簧称和刻度尺弹簧一端固定，另一端用弹簧称拉动，利用F=kx
几根相同的弹簧，两端用轻板固定发生相同形变时外力是nF，那么劲度系数就相当于nk
学生参照课本提出的方法和思路。（大致思路）
问题1：如何推导弹性势能表达式？
类比1：重力做负功，重力势能增加，拉伸弹簧时弹力做负功，弹簧弹性势能增加。缓慢拉伸弹簧时拉力大小等于弹簧弹力大小，
但碰到问题2：变力做功不好直接求
类比2：匀变速直线运动中把运动分成若干匀速运动，把利用微积分思想求总位移，把变力做功分成若干段恒力做功，利用微积分思想求做功
又碰到问题3：如何求和？
类比3：匀变速直线运动，v-t图像面积表示位移，用F-L图像面积表示均匀变化的变力做功。
?
?
?划分越来越细时，拉力做功对应图象中的由F和l围成的三角形的面积。所以有
其他推导组同学：我觉得还可以用平均力来求这个变力做功。
匀变速运动的平均速度为速度的平均一样，这个与L成正比的拉力的平均应该也为，在平均拉力对这段位移做功为
利用学生小实验引入课题，从力的角度和能量的角度来分别解释，从而引入弹性势能的概念。
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培养学生的问题意识和学生提出问题，解决问题的能力，利用问题的提出，激发学生的学习热情。
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学生的方案提出后，给予适当提示和知识准备，有助于其设计探究过程
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?学生的分组探究还是有点难度的。老师应及时给予指导和答疑。
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学生的汇报中其他同学的提问能加深所有同学对其探究过程的理解，在讨论过程中学生对两种探究方法都能有较深刻的理解。
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老师一起参与的讨论活动，让课堂真正实现了师生平等，师生互动
探究后的小结升华了本节课的内容
课后巩固让课堂的探究持续到课后
板书设计
一 弹性势能
发生弹性形变的物体因为各部分的弹力作用而具有的能量
二 弹性势能的大小与劲度系数和形变量有关：
劲度系数越大，形变量越大，弹性势能越大
三 实验探究定量关系或理论推导弹性势能表达式。
