4.1 平方根（1）
【学习目标】
1．了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根运算求某些非负数的平方根．
【学习重点】
了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根．
【学习难点】
用平方根运算求某些非负数的平方根．
【学习过程】
一、问题引入
创设情景，感悟新知
情境一：设图中的小方格的边长为1，你能分别说出图中2个长方形的对角线AB，A′B′的长吗？
二、探索新知
情境二：类似地，我们曾研究a2＝5，那么a＝？
例如：
2?＝4，（－2）?＝4，±2叫做4的平方根．
10?＝100，（－10）?＝100，±10叫做100的平方根．
13?＝169，（－13）?＝169，±13叫做169的平方根．
一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．
如果x2＝a(a≥0)，那么x就叫做a的平方根，也称为二次方根．
一个正数a的正的平方根，记作“”，
正数a的负的平方根记作“－”．
正数a的两个平方根合记作“±”，读作“正、负根号a”
例如2的平方根是±
情境三：在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能，请填写；如果不能，请说明理由，并与同学交流．
（ ）2＝9，（ ）2＝5，（ ）2＝；
（ ）2＝0，（ ）2＝－，（ ）2＝－4．
探索交流后总结出以下结论：
一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；
0只有1个平方根，它是0本身；
负数没有平方根．
三、例题精讲
例1 求下列各数的平方根．
（1）25；（2）；（3）15；（4）0.09．
补充例题（可以选用）．
下列各数有平方根吗？如果有，写出它的平方根；如果没有，请说明理由．
（1）；（2）．
例2 的平方根是 ( )
A．81 B．＋3 C．3 D．－3
例3 已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，求a的值．
例4 求下列各式中x的值．
(1)x2＝196． (2)5x2－10＝0． (3)36(x－3)2－25＝0．
四、课堂练习
练习：课本95页练习．
五、小结与思考
六、课后作业
必做：
1．64的平方根为 ( )
A．8 B．－8 C．±8 D．±
2．如果－b是a的平方根，那么 ( )
A．b＝a2 B．a＝b2 C．b＝－a2 D．a＝－b2
3．(1)若x2＝a(a>0)，则a叫做x的_______，x叫做a的_______，记为_______．
(2)平方为16的数是______，将16开平方得_______，因此平方与_______互为逆运算．
(3)因为(_______)2＝121，所以121的平方根是_______．
4．下列各数：－8，，－52，，，－（－2），0，，，，2013．其中，有平方根的数有_______个．
5．(1)因为22＝_____，（－2)2＝_______，所以2和－2都是_______的平方根．
(2)3有_______个平方根，它们互为_______数，记作_______．
(3)的正的平方根是_______，1.44的负的平方根是_______．
6．面积为2.25的正方形的边长为_______．
7．如果一个正数的平方根是a＋3与2a－15，那么这个正数是_______；
如果5x＋4的平方根是±1，那么x＝_______．
8．若x2＝19，则x＝_______；若a2＝（－7)2，则a＝_______．
9．已知4(x＋1)2－81＝0，求x的值．
选做：已知(x＋y＋2)（x＋y－2）＝45，求x＋y的值．
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4.1平方根（2）
【学习目标】
了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根，能运用算术平方根解决一些简单的实际问题，培养转换的思想．
【学习重点】
理解算术平方根的概念和意义，会求一个非负数的算术平方根．
【学习难点】
能运用算数平方根解决一些简单的实际问题．
【学习过程】
一、学前准备
1.如果，那么x＝________；如果，那么________．
2. 0.01 的平方根记作______=_______
3.一个正数n的两个平方根为m+1和m－3，则m= ______ ，n= _______.
二、探索新知
想一想：
小明家装修新居，计划用100块地板砖来铺设面积为25平方米的客厅地面，请帮他计算：每块正方形地板砖的边长为多少时，才正好合适（不浪费）？
【设计说明：将生活实际与数学联系起来，更能激发学生的兴趣,便于学生主动发现一个数的算术平方根——正的平方根,为解决问题提供方便】
概念探究：
正数a有两个平方根,我们把正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根.
例如：
（1）4的平方根是±2，其中_______叫做4的算术平方根，记作＝2；
2的平方根是，其中_______叫做2的算术平方根，记作=；
（2）0只有___个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即＝0．
（3）负数没有平方根，因此负数也没有_______平方根．
思考：① 表示什么意思，这里x可取什么样的数呢？ ____ 0
②| a | ___0 , ____0；
③ , , — 的区别与联系.
练习： 分别表示什么意义？7的平方根，算术平方根，算术平方根的相反数分别如何表示？
三、例题精讲
例1 求下列各数的算术平方根:
（1）625； （2）0.0081；（3）6；（4） （5）
注：在书写时仍采用结合文字语言叙述的写法，以利于学生加深对开平方与平方互为逆运算关系的理解.
例2 “欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则d ≈，其中R是地球半径，约等于6400 km．
小丽站在海边一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20 m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值.
分析：此题运用代入法来解题，比较简单. (?http:?/??/?www.czsx.com.cn?)
设计目的：将生活实际与数学联系起来，激发学生的兴趣,让学生感受算术平方根的魅力.
例3 ()2、()2、有意义吗？如果有，求它的值．
练习：完成下列习题，做题后思考讨论交流．
（1）＝ ()2＝ ( EQ \R(,) )2＝
（2） = ＝
=
＝ ＝
从这些题目中要引导学生探索发现一般形式：
()2＝a (a≥0)；
()2＝|a|＝a (a≥0)；
()2＝|a|＝－a (a≤0)．
例4 若，则a＋b＝_______．
点评：算术平方根与平方数、绝对值都是非负数，若几个非负数相加得0，则它们必定都是0．
四、课堂练习
1．的算术平方根是 ( )
A．2 B．±2 C．－2 D．
2．的算术平方根是 ( )
A．16 B．±16 C．4 D．±4
3．下列各式中，正确的是 ( )
A． B． C． D．
4．若，则的值是 ( )
A．0 B．1 C．－1 D．－2013
5．算术平方根是它本身的数是_______．
6．若x2＝16，则5－x的算术平方根是_______．
7．若4 a＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是_______．
8．使 有意义的x的范围_________．
五、拓展提高
1. 的整数部分________,小数部分________．
2. 使下列式子有意义，x的取值范围分别为多少？
（1） （2） （3）
六、小结与思考
通过本节课的学习你有哪些收获？
七、课后作业
必做：课本P97，练习1,2 习题4.1 2、4、5、6；
选做：（1）已知a,b为实数，且b=,求a－b的算术平方根．
（2）| x－3|＋,求x,y,z
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4.2 立方根
【学习目标】
了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．了解开立方与立方互为逆运算， 能用立方根解决一些简单的实际问题．
【学习重点】
掌握立方根的概念，会求一个数的立方根．
【学习难点】
明确平方根与立方根的区别，能熟练地求一个数的立方根．
【学习过程】
一、学前准备
1．7的平方根是 ， 5的算术平方根是 ；
2．2的立方是 ； 的立方是 ；
(－3)3＝ ； (－)3＝ ；
0的立方是 ．
观察上述结果，发现：
正数的立方是 ；
负数的立方是 ；
0的立方是 ．
二、探索新知
1. 做一个正方体的纸盒，
（1）使它的容积为64 cm3,正方体的棱长是多少?
（2）如果要使正方体纸盒的容积为25cm3,它的棱长应是多少?
①在这个实际问题中，提出了怎样的一个计算问题？
②你能得到一个数，使这个数的立方等于25吗？
③从这个问题中可以抽象得到一个什么数学概念？
④请你回忆平方根的定义，平方根的符号表示，开平方运算，自己给立方根下定义．
2．类比平方根定义得到：
一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的 ，也称为 ．
也就是说，如果＝a，那么x叫做a的 ，数a的立方根记作，读作“三次根号a”.
例如，3的立方是27，所以3是27的立方根，记作＝3，又如＝2，x是2的立方根，记作x＝．
3．由开平方定义得到，求一个数的立方根的运算叫做开立方．
开立方和立方互为逆运算，因此可利用立方来检验或寻找一个数的立方根．
三、例题精讲
例1 求下列各数的立方根：
(1) 64 （2）－ (3) (4) 9 (5) 0 (6) －0.008
注：在书写时仍采用结合文字语言叙述的写法，以利于学生加深对开平方与平方互为逆运算关系的理解．
带分数通常化为假分数．
提问：根据上题的计算结果，你觉得立方根有什么性质？与同学交流
立方根的性质：正数的立方根是_____数, 负数的立方根是_____数,0的立方根是______.
任何数都有一个立方根,其符号与它本身的符号一致．
练习：
（1） ()等于多少？ ()等于多少？
（2）等于多少? 等于多少？
归纳出一般形式：()=_____, =______ .
例2 计算
（1） （2） （3） （4） （5）
例3 求下列各式中的x:
(1) (2) (3)
例4 已知4=16， ，求
四、课堂练习
1. －6的立方根用符号表示，正确的是（ ）
A B - C － D
2.下列判断正确的是（ ）
A 64的立方根是4 B 的立方根是1
Ｃ 的立方根是2 D 125的立方根是±5
3.立方根等于本身的数是 _______．
4. (-1)的立方根是________，
—0.027的立方根是________．
5. 求下列各式的x.
⑴ x3-8=0 ⑵ 8x3+1=0 ⑶ (x+1)3=64
五、拓展提高
已知=4，且，求的值．
六、小结与思考
通过本节课的学习你有哪些收获？
七、课后作业
必做：课本P100，练习1,3 习题4.2 1-5；
选做：（1）若+=0，则a,b满足_________．
（2）如果A =为a+3b的算术平方根，B=为的立方根，求A+B的平方根．
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4.3 实数（1）
【学习目标】
1．知道无理数是客观存在的，了解无理数和实数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数；
2．知道实数和数轴上的点一一对应．
【学习重点】
1．知道无理数是客观存在的，了解无理数和实数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数；
2．会在数轴上表示简单的无理数．
【学习难点】
1．知道实数和数轴上的点一一对应；
2．理解无理数的意义，实数的分类．
【学习过程】
一、复习引入
下列各数是有理数吗？如果是，把下列它们写成小数的形式，你有什么发现？
3
事实上，任何一个有理数都可以写成整数、有限小数或无限循环小数.反过来，任何整数、有限小数或无限循环小数也都是有理数.
二、探索新知
1．细心观察图形，你能说出、、、、的值吗？
2．你能画出长度为cm，cm， cm，……的线段吗？
3．画半径为1 cm的圆，计算这个圆的周长、面积．
4．一个正方体体积等于9，求正方体的边长．
像、、、、、、、等，这些数都是无理数。而且这些数也不能写成分数的形式．
事实上＝1.7320508075688772935274463415059…，是无限不循环小数，是无理数．
我们把无限不循环小数称为无理数．
三、例题精讲
例1 .把下列各数填入相应的集合内．
, , , , , , , ….
有理数集合{ … }；
无理数集合{ … }；
正实数集合{ … }；
负实数集合{ … }.
例2 在数轴上表示， ， ，．
每一个实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
实数和数轴上的点是一一对应．
4、课堂练习
1．在5，，－π，，，，，八个实数中，无理数的个数是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．下列说法中正确的是 （ ）
A．有理数和数轴上的点一一对应 B．不带根号的数是有理数
C．无理数就是开方开不尽的数 D．实数与数轴上的点一一对应
3．如图，以数轴的单位长线段为边作一正方形 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，以-1为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是 （ ）.
A． B．0.4 C． D．
-1 0 1 2
4．下列说法正确的是 （ ）.
A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数
C．无理数是无限小数 D．无理数是开方开不尽的数
5．下列各语句中，正确的语句是 ( )
A．无限小数都是无理数 B．0.3030030003…(每隔一个3多一个0)是有理数
C．两个无理数的和一定是无理数 D．一个无理数与有理数的和一定是无理数
6．把下列各数填入相应的集合内：
，，0，，，，，， …
有理数集合{ … }
无理数集合{ … }
正实数集合{ …}
负实数集合{ … }
7．设m是的整数部分，n是的小数部分，试求m－n的值．
8．若a，b为有理数，且有a，b满足a2＋2b＋b＝17－，求a＋b的值．
五、小结与思考
通过本节课的学习你有哪些收获？
1．实数的分类；
2．无理数的常见形式；
3．在数轴上表示无理数，实数与数轴一一对应．
六、课后作业
配套教辅．
A3
A6
O
1
1
1
1
·····
A1
A2
A5
A4
1
1
1
4.3 实数（2）
【学习目标】
1．了解有理数的运算在实数范围内仍然适用．
2．能用有理数估计一个无理数的大致范围．
3．能利用计算器比较实数的大小，进行实数的四则运算．
4．通过不同的方法比较两个无理数的大小，理解估算的意义、发展数感和估算能力，在运用实数运算解决实际问题的过程中，提高解决问题的能力，体会数学的应用价值．
【学习重点】
在实数范围内会运用有理数运算．
【学习难点】
用有理数估算一个无理数的大致范围．
【学习过程】
一、复习引入
1.把下列各数分别填入相应的集合内．
，，，，，，，，，，0，0.3737737773….
有理数集合{ … }；
无理数集合{ … }．
2.比较两个有理数大小的方法有哪些？举例说明．
有理数 相反数 绝对值 倒数
－3
2
思考 1．在有理数范围内绝对值、相反数、倒数的意义是什么？
2．比较两个有理数的大小有哪些方法？
二、探索新知
实数的绝对值、相反数、倒数与有理数范围内的意义完全相同，并且有理数大小比较的方法、运算性质及运算律在实数范围内仍然适用．
练习：的相反数是 ， 的倒数是 ，的绝对值是 ，
， ， ．
三、例题精讲
例1 利用计算器比较－与－的大小．
例2 用计算器计算．
（1）＋π； （2） 3×－； （3） ＋3－(＋)．
例3：比较与的大小，说说你的方法．(两种方法）
变式1：怎样比较与 的大小．
变式2：比较 -与的大小说说你的方法．
变式3：你认为 与0.5哪个大？你是怎么想的？与同学交流．
例4 通过估算，你能比较与 的大小吗？
4、课堂练习
1．—的相反数是 ；的相反数是 ．
2．= ；= ； 的绝对值是__________.
3．一个数的绝对值是，则这个数是 ．
4．的相反数是 ；倒数是 ．
5．数轴上表示的点到原点的距离是 ；到原点距离为的点在数轴上表示的数为 ．
6．绝对值小于的整数有 ； 这些整数的和是 ．
7．估算（精确到个位） ； ．
8．比较下列各组数的大小：
(1)与 (2)与 (3)与
9．若a，b都是无理数，且a＋b＝2，则a，b的值可以是 （填上一组满足条件的值即可）．
10．已知=4,,且,求的值．
11．如图，a、b、c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．
化简：．
12．已知的整数部分是，小数部分是，求代数式值．
13．在数轴上画出表示的点．
五、小结与思考
通过本节课的学习你有哪些收获？
1．说说你是如何估算一个无理数的大小，你在生活中见过估算的方法吗？或举例说明．
2．请你尝试用估算的方法比较与的大小．
3．我们经历了多次数的扩充，每一次扩充都保持了原有的运算法则和运算性质，从中我们可以体会到数学的和谐．
六、课后作业
配套教辅．
0
B
A
C
4．4近似数
【学习目标】
1．了解近似数的概念，体会近似数的意义及其在生活中的作用．
2．能说出一个近似数的精确度，能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数．
【学习重点】
按要求用四舍五入法取一个数的近似数．
【学习难点】
按要求用四舍五入法取一个数的近似数．
【学习过程】
一、问题引入
1.从早晨起床到上学，你从你的生活环境中获得哪些数的信息？
2.生活中，有些数据是准确的，有些是近似的，你能举例说明吗？
二、探索新知
1.近似数
实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度，时间，速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同。在实际计算中对于像π，，…这样的数，也常常需取它们的近似值．
2.交流：请说说生活中应用近似数的例子．
3.取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法．用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
例如，圆周率=3.1415926…
取π≈3，就是精确到个位（或精确到1）；
取π≈3.1，就是精确到 （或精确到0.1）；
取π≈3.14，就是精确到 （或精确到0.01）；
取π≈3.142，就是精确到 （或精确到0.001）．
…
（设计目的：从学生熟悉的身边的事物引入，产生代入感，同时深刻体会数学源于生活，用于生活，与生活密不可分的特点，同时也拉近了学生与数学的距离.）
三、例题精讲
例1 ：小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg,,按下列要求取近似数：
（1） 精确到0.01kg； （2）精确到0.1kg； （3）精确到1kg．
例2： 用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值，并用科学记数法表示．
（1）地球上七大洲的面积约为149480000（保留2个有效数字）；
（2）某人一天饮水1890ml（精确到1000ml）；
（3）小明身高1.595m（保留3个有效数字）；
（4）人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm（精确到0.00001）；
请与同学交流讨论．
例3：用计算器计算（精确到0.01）：
（1） ； （2）．
四、拓展提高
1．下列由四舍五入得到的近似数，分别精确到哪一位：.
； ； 万．
2．近似数0.1与0.10有区别吗？请举例说明．
五、课堂练习
P108 练习1，2，3．
当堂反馈：
1．由四舍五入法得到的近似数为8.01×104精确到（ ）
A.万位 B.百分位 C.万分位 D.百位．
2．2003年10月15日9时10分，我国“神舟”五号飞船准确进入预定轨道，16日5时59分，返回舱与推进舱分离，返回地面，其间飞船绕地球飞行了14圈，飞行的路程约60万千米，则“神舟”飞船绕地球平均每圈约飞行（用科学记数法表示，结果保留三个有效数字）（ ）
A.4.28×104㎞ B.4.29×104㎞ C.4.28×105㎞ D.4.29×105㎞
3、某人的体重为56.4千克，这个数是个近似数，那么这个人的体重x（千克）的范围是（ ）
A.56.39＜x≤56.44 B.56.35≤x＜56.45
C.56.41＜x＜56.50 D.56.44＜x＜56.59
4、有一个四位数x，先将它四舍五入到十位，得到近似数m，再把四位数m四舍五入到百位，得到近似数n，再把四位数n四舍五入到千位，恰好是2000，你能求出四位数x的最大值与最小值吗？
六、小结与思考
通过本节课的学习你有哪些收获？
（设计目的：让学生自己小结，发挥学生的主体作用，提高了他们的表达能力，尊重学生的个性发展，促进了学生综合素质的提高.）
七、课后作业
必做：课本P109，习题1，2，3，4，5．
补充：
1．已知地球表面距离月球表面约为383 900千米，那么这个距离用科学记数法表示为（精确到千位） ( )
A．3.84×104千米 B．3.84×105千米 C．3.84×106千米 D．38.4×104千米
2. 2012年是某市实施校安工程4年规划的收官年，截至4月底，全市已开工项目39个，投入资金4 999万元．将4 999万用科学记数法表示为（精确到百万位） ( )
A．4999×104 B．4.999×107 C．4.9×107 D．5.0×107
3．许多人由于粗心，经常造成水龙头“滴水”或“流水”不断．根据测定，一般情况丁一个水龙头 “滴水”1小时可以流掉3.5千克水．若1年按365天计算，这个水龙头1年可以流掉水（精确到百位） ( )
A．3.1×104千克 B．0.31×105千克 C．3.06×104千克 D．3.07×104千克．
4．今年某市参加中考的学生人数约为6.01×104．对于这个近似数，下列说法正确的是( )
A．精确到百分位 B．精确到百位 C．精确到十位 D．精确到个位
5．从权威部门获悉，我国的海洋面积是299.7万平方公里，约为陆地面积的三分之一，近似数299.7万精确到 ( )
A．万位 B．千位 C．百位 D．十位
6．用四舍五入法按要求对0. 050 49取近似值，其中错误的是 ( )
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到千分位） D．0.050（精确到0.001）
7．小明的体重约为51.51 kg，如果精确到10 kg，那么结果为_______；如果精确到1 kg，那么结果为_______；如果精确到0.1 kg，那么结果为_______．
8．已知直角三角形的斜边长是6，一条直角边长为5，求这个三角形的面积（精确到0.01）．
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