2019-2020学年上海市九年级数学第一学期期末考试复习试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年上海市九年级数学第一学期期末考试复习试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 323.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-16 17:18:22 | ||
图片预览
文档简介
2019-2020学年上海市九年级数学第一学期期末考试复习试卷
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在一次活动中，位于A处的七年一班准备前往相距3km的B处与七年二班会合，若用方向和距离描述七年二班相对于七年一班的位置，可以描述为（ ）
A．南偏西30°，3km B．南偏西50°，3km
C．北偏东40°，3km D．北偏东50°，3km
3．抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（ ）
A．， B．||＝|| C． D．，
6．在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（ ）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．已知2x＝5y，那么 ．
8．计算：3（2）﹣2（3）＝ ．
9．二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为 ．
10．抛物线y＝2x2﹣4x﹣3，当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是 ．
11．如图，E、F是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段EF的长为 ．（结果保留根号）
12．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于 ．
13．当两个相似三角形的相似比为 时，这两个相似三角形的面积比是1：2．
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若tanA＝3，AB，则BC＝
15．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
16．如图，已知∠BAC＝∠DAE，请你再补充一个条件 ，使得△ABC∽△ADE．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，A，N是AB边上的两点，且满足∠MCN＝45°，若AM＝3，则MN的长为 ．
18．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边BC上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△ABD，AB与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．
20．如图，在?ABCD中，点E是BC边的中点，设，．
（1）试用向量，表示向量，则 ；
（2）在图中求作：、．（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）
21．已知：如图，在△ABC中，D是边AB上一点，AC2＝AD?AB，AE⊥CD，垂足为点E，AD＝4，AC＝2，且∠ACB＝60°．
（1）求AE的长；
（2）求sin∠DCB的值．
22．如图，在坡角为33°的山坡上有一建筑物AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得建筑物AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求建筑物AB的高（AB，CD均与水平面垂直，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°＝0.84，tan33°＝0.65）
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE＝∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD＝2，求BE的长．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
25．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．
（1）若a＝12．
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 ；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．
2019-2020学年上海市九年级数学第一学期期末考试复习试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
则tan∠BAC，
故选：C．
2．如图，在一次活动中，位于A处的七年一班准备前往相距3km的B处与七年二班会合，若用方向和距离描述七年二班相对于七年一班的位置，可以描述为（ ）
A．南偏西30°，3km B．南偏西50°，3km
C．北偏东40°，3km D．北偏东50°，3km
【解答】解；用方向和距离描述七年二班相对于七年一班的位置为：南偏西30°，AB＝3km，
故选：A．
3．抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
【解答】解：因为y＝x2+6x+7＝（x+3）2﹣2．
所以将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+7．
故选：A．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴由于对称轴0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②抛物线过（3，0），
∴x＝3，y＝9a+3b+c＝0，故②正确；
③顶点坐标为：（，）
由图象可知：2，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣8a，
即b2﹣4ac＞8a，故③错误；
④由图象可知：1，a＞0，
∴2a+b＜0，
∵9a+3b+c＝0，
∴c＝﹣9a﹣3b，
∴5a+b+c＝5a+b﹣9a﹣3b＝﹣4a﹣2b＝﹣2（2a+b）＞0，故④正确；
故选：C．
5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（ ）
A．， B．||＝|| C． D．，
【解答】解：A、∵，，∴，故本选项错误；
B、∵||＝||，∴与的模相等，但不一定平行，故本选项正确；
C、∵，∴，故本选项错误；
D、∵，，∴，故本选项错误．
故选：B．
6．在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（ ）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
【解答】解：如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．
∵MH∥BC，
∴，
∵BE＝EF＝CF，
∴HG＝MGCF，
∴，
∴y+z＝x，
∴，
∴x+y＝4z，
∴xz，yz，
∴x：y：z＝5：3：2，
故选：D．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．已知2x＝5y，那么 ．
【解答】解：∵2x＝5y，
∴设x＝5a，则y＝2a，
那么．
故答案为：．
8．计算：3（2）﹣2（3）＝ ．
【解答】解：3（2）﹣2（3）
＝3323
＝（3﹣2）（﹣3+3）
．
故答案是：．
9．二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
10．抛物线y＝2x2﹣4x﹣3，当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是 ﹣5≤y≤13 ．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x﹣3
＝2（x2﹣2x）﹣3，
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣3，
＝2（x﹣1）2﹣5，
∴当x＝1时，y最小值＝﹣5，
∵﹣1≤x≤4，且|4﹣1＞|﹣1﹣1|，
∴x＝4时，y最大＝13，
∴当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是：﹣5≤y≤13．
故答案为﹣5≤y≤13．
11．如图，E、F是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段EF的长为 2 ．（结果保留根号）
【解答】解：∵E、F是线段AB的两个黄金分割点，
∴AF＝BEAB，
∴EF＝AF+BE﹣AB2，
故答案为：2．
12．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于 15 ．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴，
∵EF＝6，
∴CD＝15，
故答案为15．
13．当两个相似三角形的相似比为 1： 时，这两个相似三角形的面积比是1：2．
【解答】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴两个相似三角形的面积比是1：2时，两个相似三角形的相似比为：1：．
故答案为：1：．
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若tanA＝3，AB，则BC＝ 3
【解答】解：∵在Rt△ABC中，tanA3，
∴设BC＝3x，则AC＝x，
由BC2+AC2＝AB2可得9x2+x2＝10，
解得：x＝1（负值舍去），
则BC＝3，
故答案为：3．
15．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
【解答】解：由题意可得：
∵∠ABO＝70°，AB＝6m，
∴sin70°0.94，
解得：AO＝5.64（m），
∵∠CDO＝50°，DC＝6m，
∴sin50°0.77，
解得：CO＝4.62（m），
则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），
答：AC的长度约为1.02米．
故答案为：1.02．
16．如图，已知∠BAC＝∠DAE，请你再补充一个条件 ∠B＝∠D等 ，使得△ABC∽△ADE．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE，
故答案为：∠B＝∠D等
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，A，N是AB边上的两点，且满足∠MCN＝45°，若AM＝3，则MN的长为 5 ．
【解答】解：如图，将△CBN顺时针旋转90度，得到△ACR，连接RM
则△CRA≌△CNB全等，
∴AR＝BN，∠B＝∠CAR，∠BCN＝∠ACR，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，
∴AB＝12，∠B＝∠CAB＝45°，
∴∠CAR＝45°，
∴∠MAR＝90°，
∵∠MCN＝45°，
∴∠BCN+∠ACM＝45°＝∠ACM+∠ACR，
∴∠MCN＝∠MCR，且CN＝CR，CM＝CM，
∴△CNM≌△CRM（SAS）
∴MN＝MR，
∵AB＝12，AM＝3，
∴BN+MN＝9，
∴BN＝AR＝9﹣MN，
∵MR2＝AM2+AR2，
∴MN2＝（9﹣MN）2+9，
∴MN＝5
故答案为5．
18．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边BC上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△ABD，AB与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 1或 ．
【解答】解：（1）当∠EDB′＝90°时，如图1所示：
由折叠得：∠B＝∠B′，BD＝B′D，
在Rt△ABC中，AB5，
∵∠AEC＝∠DEB′，∠C＝∠EDB′＝90°，
∴∠B＝∠B′＝∠CAE，
∴△ACE∽△BCA，
∴，即：，
∴CE，AE，
∴BE＝5，
设BD＝x＝B′D，则DE＝4xx，
在Rt△DEB′中，由勾股定理得：
（）2＝x2+（x）2，
解得：x1＝1，x21（舍去），
（2）当∠DEB′＝90°时，此时点E与点C重合，如图2所示：
由折叠得，AB＝AB′＝5，
∴EB′＝5﹣3＝2，设BD＝x，则B′D＝x，ED＝4﹣x
在Rt△DEB′中，由勾股定理得：
x2＝22+（4﹣x）2，解得：x，
故答案为：1或．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，
∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，连接PC，PE．
抛物线的对称轴为x1．
当x＝1时，y＝4，
∴点D的坐标为（1，4）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得．
∴直线BD的解析式为：y＝﹣2x+6，
设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），
则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
∵PC＝PE，
∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
解得，x＝2，
则y＝﹣2×2+6＝2，
∴点P的坐标为（2，2）．
20．如图，在?ABCD中，点E是BC边的中点，设，．
（1）试用向量，表示向量，则 ． ；
（2）在图中求作：、．（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵，，，
∴．
故答案为：．
（2）如图，，．
向量，向量即为所求．
21．已知：如图，在△ABC中，D是边AB上一点，AC2＝AD?AB，AE⊥CD，垂足为点E，AD＝4，AC＝2，且∠ACB＝60°．
（1）求AE的长；
（2）求sin∠DCB的值．
【解答】解：（1）∵AC2＝AD?AB，∴，
∵∠DAC∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ADC＝∠ACB＝60°，∠ACD＝∠ABC，
∵∠AED＝90°，AD＝4，
∴DE＝2，
∴AE2；
（2）∵，AC2＝AD?AB，
∴AB，
∴EC2，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABC＝∠ACD＝45°，
过点D作DF⊥BC，垂足为F，
∴BF＝DF＝2，
∵DC＝DE+CE＝2+2，
∴sin∠DCB．
22．如图，在坡角为33°的山坡上有一建筑物AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得建筑物AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求建筑物AB的高（AB，CD均与水平面垂直，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°＝0.84，tan33°＝0.65）
【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△BFD中，sin∠DBF，
则DF＝BD?sin∠DBF≈6×0.54＝3.24，
cos∠DBF，
则BF＝BD?cos∠DBF≈6×0.84＝5.04，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE为矩形，
∴BF＝CE＝5.04，CF＝BE＝CD﹣DF＝4﹣3.24＝0.76，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝5.04，
∴AB＝AE+BE＝5.04+0.76＝5.8，
答：建筑物AB的高约为5.8m．
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE＝∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD＝2，求BE的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠AED＝∠ADB．
∵∠BED+∠AED＝∠CDA+∠ADB＝180°，
∴∠BED＝∠CDA，
∴△BDE∽△CAD．
（2）解∵AB＝AC＝5，BC＝8，CD＝2，
∴BD＝6．
∵△BDE∽△CAD，
∴，即，
∴BE．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APCAQ?PFx2x+3（x）2．
∵0，
∴当x时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（，）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC3，AN，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3．
25．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．
（1）若a＝12．
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 3 ；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．
【解答】（1）解：①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，
四边形AMQP的面积（12+20）x＝48，
解得：x＝3；
故答案为：3；
②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，
∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值（12+20）10＝160，
当P在DG上运动，10＜x＜20，四边形AMQP为不规则梯形，
作PK⊥AB于K，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：
则PK＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，
∵△GDC是等腰直角三角形，
∴DE＝CE，GECD＝10，
∴GF＝GE+EF＝20，
∴GH＝20﹣x，
由题意得：PQ∥CD，
∴△GPQ∽△GDC，
∴，
即，
解得：PQ＝40﹣2x，
∴梯形AMQP的面积（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；
（2）解：P在DG上，则10≤x＜20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，
梯形AMQP的面积S（a+40﹣2x）×x＝﹣x2x，对称轴为：x＝10，
∵0≤a≤20，
∴10≤1015，对称轴在10和15之间，
∵10≤x＜20，二次函数图象开口向下，
∴当x无限接近于20时，S最小，
∴﹣20220≥50，
∴a≥5；
综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．
(
1
)
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在一次活动中，位于A处的七年一班准备前往相距3km的B处与七年二班会合，若用方向和距离描述七年二班相对于七年一班的位置，可以描述为（ ）
A．南偏西30°，3km B．南偏西50°，3km
C．北偏东40°，3km D．北偏东50°，3km
3．抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（ ）
A．， B．||＝|| C． D．，
6．在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（ ）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．已知2x＝5y，那么 ．
8．计算：3（2）﹣2（3）＝ ．
9．二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为 ．
10．抛物线y＝2x2﹣4x﹣3，当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是 ．
11．如图，E、F是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段EF的长为 ．（结果保留根号）
12．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于 ．
13．当两个相似三角形的相似比为 时，这两个相似三角形的面积比是1：2．
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若tanA＝3，AB，则BC＝
15．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
16．如图，已知∠BAC＝∠DAE，请你再补充一个条件 ，使得△ABC∽△ADE．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，A，N是AB边上的两点，且满足∠MCN＝45°，若AM＝3，则MN的长为 ．
18．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边BC上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△ABD，AB与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．
20．如图，在?ABCD中，点E是BC边的中点，设，．
（1）试用向量，表示向量，则 ；
（2）在图中求作：、．（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）
21．已知：如图，在△ABC中，D是边AB上一点，AC2＝AD?AB，AE⊥CD，垂足为点E，AD＝4，AC＝2，且∠ACB＝60°．
（1）求AE的长；
（2）求sin∠DCB的值．
22．如图，在坡角为33°的山坡上有一建筑物AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得建筑物AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求建筑物AB的高（AB，CD均与水平面垂直，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°＝0.84，tan33°＝0.65）
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE＝∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD＝2，求BE的长．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
25．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．
（1）若a＝12．
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 ；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．
2019-2020学年上海市九年级数学第一学期期末考试复习试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
则tan∠BAC，
故选：C．
2．如图，在一次活动中，位于A处的七年一班准备前往相距3km的B处与七年二班会合，若用方向和距离描述七年二班相对于七年一班的位置，可以描述为（ ）
A．南偏西30°，3km B．南偏西50°，3km
C．北偏东40°，3km D．北偏东50°，3km
【解答】解；用方向和距离描述七年二班相对于七年一班的位置为：南偏西30°，AB＝3km，
故选：A．
3．抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
【解答】解：因为y＝x2+6x+7＝（x+3）2﹣2．
所以将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+7．
故选：A．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴由于对称轴0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②抛物线过（3，0），
∴x＝3，y＝9a+3b+c＝0，故②正确；
③顶点坐标为：（，）
由图象可知：2，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣8a，
即b2﹣4ac＞8a，故③错误；
④由图象可知：1，a＞0，
∴2a+b＜0，
∵9a+3b+c＝0，
∴c＝﹣9a﹣3b，
∴5a+b+c＝5a+b﹣9a﹣3b＝﹣4a﹣2b＝﹣2（2a+b）＞0，故④正确；
故选：C．
5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（ ）
A．， B．||＝|| C． D．，
【解答】解：A、∵，，∴，故本选项错误；
B、∵||＝||，∴与的模相等，但不一定平行，故本选项正确；
C、∵，∴，故本选项错误；
D、∵，，∴，故本选项错误．
故选：B．
6．在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（ ）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
【解答】解：如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．
∵MH∥BC，
∴，
∵BE＝EF＝CF，
∴HG＝MGCF，
∴，
∴y+z＝x，
∴，
∴x+y＝4z，
∴xz，yz，
∴x：y：z＝5：3：2，
故选：D．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．已知2x＝5y，那么 ．
【解答】解：∵2x＝5y，
∴设x＝5a，则y＝2a，
那么．
故答案为：．
8．计算：3（2）﹣2（3）＝ ．
【解答】解：3（2）﹣2（3）
＝3323
＝（3﹣2）（﹣3+3）
．
故答案是：．
9．二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
10．抛物线y＝2x2﹣4x﹣3，当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是 ﹣5≤y≤13 ．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x﹣3
＝2（x2﹣2x）﹣3，
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣3，
＝2（x﹣1）2﹣5，
∴当x＝1时，y最小值＝﹣5，
∵﹣1≤x≤4，且|4﹣1＞|﹣1﹣1|，
∴x＝4时，y最大＝13，
∴当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是：﹣5≤y≤13．
故答案为﹣5≤y≤13．
11．如图，E、F是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段EF的长为 2 ．（结果保留根号）
【解答】解：∵E、F是线段AB的两个黄金分割点，
∴AF＝BEAB，
∴EF＝AF+BE﹣AB2，
故答案为：2．
12．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于 15 ．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴，
∵EF＝6，
∴CD＝15，
故答案为15．
13．当两个相似三角形的相似比为 1： 时，这两个相似三角形的面积比是1：2．
【解答】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴两个相似三角形的面积比是1：2时，两个相似三角形的相似比为：1：．
故答案为：1：．
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若tanA＝3，AB，则BC＝ 3
【解答】解：∵在Rt△ABC中，tanA3，
∴设BC＝3x，则AC＝x，
由BC2+AC2＝AB2可得9x2+x2＝10，
解得：x＝1（负值舍去），
则BC＝3，
故答案为：3．
15．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
【解答】解：由题意可得：
∵∠ABO＝70°，AB＝6m，
∴sin70°0.94，
解得：AO＝5.64（m），
∵∠CDO＝50°，DC＝6m，
∴sin50°0.77，
解得：CO＝4.62（m），
则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），
答：AC的长度约为1.02米．
故答案为：1.02．
16．如图，已知∠BAC＝∠DAE，请你再补充一个条件 ∠B＝∠D等 ，使得△ABC∽△ADE．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE，
故答案为：∠B＝∠D等
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，A，N是AB边上的两点，且满足∠MCN＝45°，若AM＝3，则MN的长为 5 ．
【解答】解：如图，将△CBN顺时针旋转90度，得到△ACR，连接RM
则△CRA≌△CNB全等，
∴AR＝BN，∠B＝∠CAR，∠BCN＝∠ACR，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，
∴AB＝12，∠B＝∠CAB＝45°，
∴∠CAR＝45°，
∴∠MAR＝90°，
∵∠MCN＝45°，
∴∠BCN+∠ACM＝45°＝∠ACM+∠ACR，
∴∠MCN＝∠MCR，且CN＝CR，CM＝CM，
∴△CNM≌△CRM（SAS）
∴MN＝MR，
∵AB＝12，AM＝3，
∴BN+MN＝9，
∴BN＝AR＝9﹣MN，
∵MR2＝AM2+AR2，
∴MN2＝（9﹣MN）2+9，
∴MN＝5
故答案为5．
18．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边BC上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△ABD，AB与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 1或 ．
【解答】解：（1）当∠EDB′＝90°时，如图1所示：
由折叠得：∠B＝∠B′，BD＝B′D，
在Rt△ABC中，AB5，
∵∠AEC＝∠DEB′，∠C＝∠EDB′＝90°，
∴∠B＝∠B′＝∠CAE，
∴△ACE∽△BCA，
∴，即：，
∴CE，AE，
∴BE＝5，
设BD＝x＝B′D，则DE＝4xx，
在Rt△DEB′中，由勾股定理得：
（）2＝x2+（x）2，
解得：x1＝1，x21（舍去），
（2）当∠DEB′＝90°时，此时点E与点C重合，如图2所示：
由折叠得，AB＝AB′＝5，
∴EB′＝5﹣3＝2，设BD＝x，则B′D＝x，ED＝4﹣x
在Rt△DEB′中，由勾股定理得：
x2＝22+（4﹣x）2，解得：x，
故答案为：1或．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，
∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，连接PC，PE．
抛物线的对称轴为x1．
当x＝1时，y＝4，
∴点D的坐标为（1，4）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得．
∴直线BD的解析式为：y＝﹣2x+6，
设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），
则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
∵PC＝PE，
∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
解得，x＝2，
则y＝﹣2×2+6＝2，
∴点P的坐标为（2，2）．
20．如图，在?ABCD中，点E是BC边的中点，设，．
（1）试用向量，表示向量，则 ． ；
（2）在图中求作：、．（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵，，，
∴．
故答案为：．
（2）如图，，．
向量，向量即为所求．
21．已知：如图，在△ABC中，D是边AB上一点，AC2＝AD?AB，AE⊥CD，垂足为点E，AD＝4，AC＝2，且∠ACB＝60°．
（1）求AE的长；
（2）求sin∠DCB的值．
【解答】解：（1）∵AC2＝AD?AB，∴，
∵∠DAC∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ADC＝∠ACB＝60°，∠ACD＝∠ABC，
∵∠AED＝90°，AD＝4，
∴DE＝2，
∴AE2；
（2）∵，AC2＝AD?AB，
∴AB，
∴EC2，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABC＝∠ACD＝45°，
过点D作DF⊥BC，垂足为F，
∴BF＝DF＝2，
∵DC＝DE+CE＝2+2，
∴sin∠DCB．
22．如图，在坡角为33°的山坡上有一建筑物AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得建筑物AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求建筑物AB的高（AB，CD均与水平面垂直，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°＝0.84，tan33°＝0.65）
【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△BFD中，sin∠DBF，
则DF＝BD?sin∠DBF≈6×0.54＝3.24，
cos∠DBF，
则BF＝BD?cos∠DBF≈6×0.84＝5.04，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE为矩形，
∴BF＝CE＝5.04，CF＝BE＝CD﹣DF＝4﹣3.24＝0.76，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝5.04，
∴AB＝AE+BE＝5.04+0.76＝5.8，
答：建筑物AB的高约为5.8m．
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE＝∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD＝2，求BE的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠AED＝∠ADB．
∵∠BED+∠AED＝∠CDA+∠ADB＝180°，
∴∠BED＝∠CDA，
∴△BDE∽△CAD．
（2）解∵AB＝AC＝5，BC＝8，CD＝2，
∴BD＝6．
∵△BDE∽△CAD，
∴，即，
∴BE．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APCAQ?PFx2x+3（x）2．
∵0，
∴当x时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（，）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC3，AN，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3．
25．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．
（1）若a＝12．
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 3 ；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．
【解答】（1）解：①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，
四边形AMQP的面积（12+20）x＝48，
解得：x＝3；
故答案为：3；
②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，
∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值（12+20）10＝160，
当P在DG上运动，10＜x＜20，四边形AMQP为不规则梯形，
作PK⊥AB于K，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：
则PK＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，
∵△GDC是等腰直角三角形，
∴DE＝CE，GECD＝10，
∴GF＝GE+EF＝20，
∴GH＝20﹣x，
由题意得：PQ∥CD，
∴△GPQ∽△GDC，
∴，
即，
解得：PQ＝40﹣2x，
∴梯形AMQP的面积（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；
（2）解：P在DG上，则10≤x＜20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，
梯形AMQP的面积S（a+40﹣2x）×x＝﹣x2x，对称轴为：x＝10，
∵0≤a≤20，
∴10≤1015，对称轴在10和15之间，
∵10≤x＜20，二次函数图象开口向下，
∴当x无限接近于20时，S最小，
∴﹣20220≥50，
∴a≥5；
综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．
(
1
)
同课章节目录