人教版高中物理必修3-4讲义资料，复习补习资料：03简谐运动的回复力和能量、单摆(提高)
文档属性
| 名称 | 人教版高中物理必修3-4讲义资料，复习补习资料：03简谐运动的回复力和能量、单摆(提高) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 268.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2019-12-16 21:19:03 | ||
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文档简介
简谐运动的回复力和能量、单摆
【学习目标】
1．掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。
2．知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。
3．理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。
4．知道什么是单摆。
5．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
6．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。
【巩固练习】
一、选择题
1．简谐运动的回复力（ ）．
A．可以是恒力 B．可以是方向不变而大小变化的力
C．可以是大小不变而方向改变的力 D．一定是变力
2．关于振幅，以下说法中正确的是（ ）．
A．物体振动的振幅越大，振动越强烈
B．一个确定的振动系统，振幅越大振动系统的能量越大
C．振幅越大，物体振动的位移越大
D．振幅越大，物体振动的加速度越大
3．做简谐运动的振子每次通过同一位置时，相同的物理量是（ ）．
A．速度 B．加速度 C．位移 D．动能
4．（2019 福建期末）一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是 ( )
5．汽车在凹凸不平的道路上前进，车厢上下振动．若在某段时间内，车厢做简谐运动．你坐在车厢内，则车厢振动到何位置时，你感到车座对你的支持力最大（ ）．
A．当振动到最低点时 B．当振动到最高点时
C．当向上振动经过平衡位置时 D．当向下振动经过平衡位置时
6．（2019 石家庄校级月考）如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为 ( )
A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz
7．甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知（ ）．
A．两弹簧振子完全相同
B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．振子的振动频率之比，甲∶乙=1∶2
8．做简谐运动的弹簧振子，振子质量为m，最大速率为v，则下列说法中正确的是（ ）．
A．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零
B．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到之间的某一个值
C．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零
D．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一个值
9．如图所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中（ ）．
A．小球最大动能应等于mgA
B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C．弹簧最大弹性势能等于2mgA
D．小球在最低点时的弹力大于2mg
10．如图所示，光滑槽的半径R远大于小球运动弧长．今有两个小球（视为质点）同时由静止释放，其中甲球开始时离圆槽最低点O点远些，则它们第一次相遇的地点在（ ）．
A．O点 B．O点偏左 C．O点偏右 D．无法确定，因为两小球质量关系未定
11．如图所示，用绝缘细丝线悬吊着的带正电小球在匀强磁场中做简谐运动，则（ ）．
A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同
B．当小球每次通过平衡位置时，速度相同
C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力 相同
D．撤去磁场后，小球摆动周期变大
12．一个单摆，在第一个行星上的周期为T1，在第二个行星上的周期为T2，若这两个行星的质量之比为M1∶M2=4∶1，半径之比R1∶R2=2∶1，则（ ）．
A．T1：T2=1∶1 B．T1∶T2=4∶1
C．T1：T2=2∶1 D．T1∶T2=1∶2
13．如图所示，三根细线于O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为三的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO=30°，已知OC线长是L，下端C点系着一个小球（直径可忽略）．下列说法中正确的是（ ）．
A．让小球在纸面内摆动，周期
B．让小球在垂直纸面方向摆动，其周期
C．让小球在纸面内摆动，周期
D．让小球在垂直纸面内摆动，周期
二、填空题
14．(2019 扬州高三测试)一根轻绳一端系一小球，另一端固定在O点，制成单摆装置．在O点有一个能测量绳的拉力大小的力传感器，让小球绕O点在竖直平面内做简谐振动，由传感器测出拉力F随时间t的变化图像如图所示，则小球振动的周期为 s，此单摆的摆长为 m（重力加速度g 取10m/s2，取π2≈10）．
15．有五组同学用单摆测定重力加速度，各组的实验器材、数据如下表所示．若各组同学实验操作水平一样，那么第________组同学测定的结果最准确．若该组同学根据自己测得的实验数据作出单摆的振动图像，如图所示，那么该同学测出的重力加速度大小是________m／s2．
组制
摆球材料
最大偏角
摆长
测全振动次数
1
木
10°
0.40 m
10
2
铝
10°
0.50 m
20
3
铜
12°
0.60 m
30
4
铁
11°
0.80 m
40
5
铝
8°
0.80 m
50
16．如图所示为一单摆及其振动图像，根据图回答：
（1）单摆的振幅为________，频率为________，摆长约为________；图中所示周期内位移x最大的时刻为________．
（2）若摆球从E指向G为正方向，为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆中________点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是一势能增加且速度为正的时间范围是________。
（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是________．
A．位移 B．速度 C．加速度 D．动量 E．动能 F．摆线张力
（4）当在悬点正下方O＇处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且，则单摆周期为________s，挡后绳张力________。
三、解答题
17．一轻弹簧直立在地面上，其劲度系数为k=400 N／m，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上、下表面恰与盒子接触，如图所示，A和日的质量mA=mB=1 kg，g取10 m／s2，不计阻力，先将A向上抬高使弹簧伸长5 cm后从静止释放．A和B一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧的形变大小，试求：
（1）盒子A的振幅；
（2）物体B的最大速率；
（3）当A、B的位移为正的最大和负的最大时，A对B的作用力的大小分别是多少？
18．有一单摆在地面上一定时间内振动了N次，将它移到某高山上，在相同时间内振动了（N－1）次，由此可粗略地推算出此山的高度约为地球半径的多少倍？
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D
【解析】由F=－kx可知，由于位移的大小和方向在变化，因此回复力的大小和方向也在变化，一定是变力．
2．【答案】A、B
【解析】物体振动的能量由振幅来表示．振幅越大，振动能量越大，振动越强烈．因此A、B两项正确．振幅是质点离开平衡位置的最大距离，与位移无关．而加速度随时间时刻变化，所以C、D两项不正确．
3．【答案】B、C、D
【解析】振子通过同一位置时，位移、加速度的大小和方向都相同．速度的大小相同，但方向不一定相同，因此B、C、D三项正确．
4．【答案】A
【解析】根据F＝－kx及牛顿第二定律得，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，其具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．
5．【答案】A
【解析】车厢和人在竖直方向做简谐运动时，运动到最低点，加速度向上且最大．由FN－mg=ma，可知FN=mg+ma，FN最大．而在平衡位置时FN－mg=0，FN=mg．在最高点时，加速度方向向下，FN＜mg．
6．【答案】B
【解析】由简谐运动的对称性可知，t O b＝0.1 s，t b c＝0.1 s，故，解得T＝0.8 s，，选项B正确．
7．【答案】C、D
【解析】由题图可知f甲∶f乙=1∶2，因此振子不相同，A项错误，D项正确．由题图可知C正确．因F甲=k甲A甲，F乙=k乙A乙，由于k甲和k乙关系未知，因此无法判断F甲∶F乙=2∶1，所以B项不正确．
8．【答案】A、D
【解析】相距半个周期的两个时刻，速度的大小相等，方向相反．因此由可知，A项正确，B项错误．由于在开始计时时速度的大小未知，由Δv=v1－(－v1)=2v1，0≤v1≤v可知，C项错误，D项正确．
9．【答案】C
【解析】小球平衡位置kx0=mg，当到达平衡位置时，有，A错．机械能守恒，是动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，B错．从最高点到最低点，重力势能全部转化弹性势能Ep=2mgA，最低点加速度大小等于最高点加速度g，据牛顿第二定律F－mg=mg，F=2mg．D错．
10．【答案】A
【解析】由于半径R远大于运动的弧长，所以可以认为小球做简谐运动，其周期都为，与位移的大小无关．同时到达O点，A项正确．
11．【答案】A
【解析】小球在磁场中运动时，由于洛伦兹力不做功，所以机械能守恒．运动到最低点，小球的速度大小相同，但方向可能不同，A项正确，B项错误．小球左、右通过最低点，向心力相同，洛伦兹力方向相反，所以拉力不同，C项不正确．由于洛伦兹力不提供回复力，因此有无磁场，不影响振动周期，D项错误．
12．【答案】A
【解析】单摆的周期公式为，同一单摆即有．又根据万有引力定律，有，因此，故，故A项正确．
13．【答案】A
【解析】让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，单摆以O点为悬点，摆长为L周期为。
让小球在垂直纸面内摆动，摆球以OC的延长线与AB的交点为中心摆动，摆长为，周期为，选项A正确．
二、填空题
14．【答案】、
【解析】因为一个周期内两次经过平衡位置，经过平衡位置时拉力最大，可知小球的周期为，
根据：，得摆长为：
15．【答案】5 9.74
【解析】第5组同学的单摆摆长适当，偏角小于10°，振动次数较多，误差最小．从振动图像上知T=1.80 s，代入公式，得g=9.74 m／s2．
16．【答案】（1）3 cm 0.5 Hz 1 m 0.5 s末和1.5 s末 （2）E、G、E、F 1.5～2.0 s间 0～0.5 s间
（3）B、D （4）1.5 变大
【解析】（4）放钉后改变了摆长．因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆长为1 m，所以；钉右侧的半个周期，，所以T=t左+t右=1.5 s．由受力分析，张力，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球重力不变，挡后摆线长为挡前的，所以挡后绳张力变大．
三、解答题
17．【答案】见解析
【解析】（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx，则有：kΔx=(mA+mB)g，
．开始释放时振子处在最大位移处，故振幅A=5 cm+5 cm=10 cm．
（2）由于开始时弹簧的伸长量恰好等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等，设振子的最大速率为v，从开始运动到达到平衡位置，应用机械能守恒定律，有，．
（3）在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，由牛顿定律得：(mA+mB)a1=kΔx+(mA+mB)g，a1=20 m／s2，方向向下，A对B的作用力方向向下，大小F1=mB(a1－g)=10 N；在最低点由简谐运动的对称性有：a2=20 m／s2，方向向上，A对B的作用力方向向上，且F2－mBg=mAa2得，F2=mB(g+a2)=30 N．
18．【答案】见解析
【解析】设时间为t，在地面上单摆的周期为，在高山上，单摆的周期为。设地面处的重力加速度为g，高山上的重力加速度为g＇，由单摆的周期公式可推得．设高山的高度为h，由万有引力定律得，，所以．山高为，即山高为地球半径的倍。
【学习目标】
1．掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。
2．知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。
3．理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。
4．知道什么是单摆。
5．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
6．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。
【巩固练习】
一、选择题
1．简谐运动的回复力（ ）．
A．可以是恒力 B．可以是方向不变而大小变化的力
C．可以是大小不变而方向改变的力 D．一定是变力
2．关于振幅，以下说法中正确的是（ ）．
A．物体振动的振幅越大，振动越强烈
B．一个确定的振动系统，振幅越大振动系统的能量越大
C．振幅越大，物体振动的位移越大
D．振幅越大，物体振动的加速度越大
3．做简谐运动的振子每次通过同一位置时，相同的物理量是（ ）．
A．速度 B．加速度 C．位移 D．动能
4．（2019 福建期末）一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是 ( )
5．汽车在凹凸不平的道路上前进，车厢上下振动．若在某段时间内，车厢做简谐运动．你坐在车厢内，则车厢振动到何位置时，你感到车座对你的支持力最大（ ）．
A．当振动到最低点时 B．当振动到最高点时
C．当向上振动经过平衡位置时 D．当向下振动经过平衡位置时
6．（2019 石家庄校级月考）如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为 ( )
A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz
7．甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知（ ）．
A．两弹簧振子完全相同
B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．振子的振动频率之比，甲∶乙=1∶2
8．做简谐运动的弹簧振子，振子质量为m，最大速率为v，则下列说法中正确的是（ ）．
A．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零
B．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到之间的某一个值
C．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零
D．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一个值
9．如图所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中（ ）．
A．小球最大动能应等于mgA
B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C．弹簧最大弹性势能等于2mgA
D．小球在最低点时的弹力大于2mg
10．如图所示，光滑槽的半径R远大于小球运动弧长．今有两个小球（视为质点）同时由静止释放，其中甲球开始时离圆槽最低点O点远些，则它们第一次相遇的地点在（ ）．
A．O点 B．O点偏左 C．O点偏右 D．无法确定，因为两小球质量关系未定
11．如图所示，用绝缘细丝线悬吊着的带正电小球在匀强磁场中做简谐运动，则（ ）．
A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同
B．当小球每次通过平衡位置时，速度相同
C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力 相同
D．撤去磁场后，小球摆动周期变大
12．一个单摆，在第一个行星上的周期为T1，在第二个行星上的周期为T2，若这两个行星的质量之比为M1∶M2=4∶1，半径之比R1∶R2=2∶1，则（ ）．
A．T1：T2=1∶1 B．T1∶T2=4∶1
C．T1：T2=2∶1 D．T1∶T2=1∶2
13．如图所示，三根细线于O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为三的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO=30°，已知OC线长是L，下端C点系着一个小球（直径可忽略）．下列说法中正确的是（ ）．
A．让小球在纸面内摆动，周期
B．让小球在垂直纸面方向摆动，其周期
C．让小球在纸面内摆动，周期
D．让小球在垂直纸面内摆动，周期
二、填空题
14．(2019 扬州高三测试)一根轻绳一端系一小球，另一端固定在O点，制成单摆装置．在O点有一个能测量绳的拉力大小的力传感器，让小球绕O点在竖直平面内做简谐振动，由传感器测出拉力F随时间t的变化图像如图所示，则小球振动的周期为 s，此单摆的摆长为 m（重力加速度g 取10m/s2，取π2≈10）．
15．有五组同学用单摆测定重力加速度，各组的实验器材、数据如下表所示．若各组同学实验操作水平一样，那么第________组同学测定的结果最准确．若该组同学根据自己测得的实验数据作出单摆的振动图像，如图所示，那么该同学测出的重力加速度大小是________m／s2．
组制
摆球材料
最大偏角
摆长
测全振动次数
1
木
10°
0.40 m
10
2
铝
10°
0.50 m
20
3
铜
12°
0.60 m
30
4
铁
11°
0.80 m
40
5
铝
8°
0.80 m
50
16．如图所示为一单摆及其振动图像，根据图回答：
（1）单摆的振幅为________，频率为________，摆长约为________；图中所示周期内位移x最大的时刻为________．
（2）若摆球从E指向G为正方向，为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆中________点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是一势能增加且速度为正的时间范围是________。
（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是________．
A．位移 B．速度 C．加速度 D．动量 E．动能 F．摆线张力
（4）当在悬点正下方O＇处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且，则单摆周期为________s，挡后绳张力________。
三、解答题
17．一轻弹簧直立在地面上，其劲度系数为k=400 N／m，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上、下表面恰与盒子接触，如图所示，A和日的质量mA=mB=1 kg，g取10 m／s2，不计阻力，先将A向上抬高使弹簧伸长5 cm后从静止释放．A和B一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧的形变大小，试求：
（1）盒子A的振幅；
（2）物体B的最大速率；
（3）当A、B的位移为正的最大和负的最大时，A对B的作用力的大小分别是多少？
18．有一单摆在地面上一定时间内振动了N次，将它移到某高山上，在相同时间内振动了（N－1）次，由此可粗略地推算出此山的高度约为地球半径的多少倍？
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D
【解析】由F=－kx可知，由于位移的大小和方向在变化，因此回复力的大小和方向也在变化，一定是变力．
2．【答案】A、B
【解析】物体振动的能量由振幅来表示．振幅越大，振动能量越大，振动越强烈．因此A、B两项正确．振幅是质点离开平衡位置的最大距离，与位移无关．而加速度随时间时刻变化，所以C、D两项不正确．
3．【答案】B、C、D
【解析】振子通过同一位置时，位移、加速度的大小和方向都相同．速度的大小相同，但方向不一定相同，因此B、C、D三项正确．
4．【答案】A
【解析】根据F＝－kx及牛顿第二定律得，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，其具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．
5．【答案】A
【解析】车厢和人在竖直方向做简谐运动时，运动到最低点，加速度向上且最大．由FN－mg=ma，可知FN=mg+ma，FN最大．而在平衡位置时FN－mg=0，FN=mg．在最高点时，加速度方向向下，FN＜mg．
6．【答案】B
【解析】由简谐运动的对称性可知，t O b＝0.1 s，t b c＝0.1 s，故，解得T＝0.8 s，，选项B正确．
7．【答案】C、D
【解析】由题图可知f甲∶f乙=1∶2，因此振子不相同，A项错误，D项正确．由题图可知C正确．因F甲=k甲A甲，F乙=k乙A乙，由于k甲和k乙关系未知，因此无法判断F甲∶F乙=2∶1，所以B项不正确．
8．【答案】A、D
【解析】相距半个周期的两个时刻，速度的大小相等，方向相反．因此由可知，A项正确，B项错误．由于在开始计时时速度的大小未知，由Δv=v1－(－v1)=2v1，0≤v1≤v可知，C项错误，D项正确．
9．【答案】C
【解析】小球平衡位置kx0=mg，当到达平衡位置时，有，A错．机械能守恒，是动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，B错．从最高点到最低点，重力势能全部转化弹性势能Ep=2mgA，最低点加速度大小等于最高点加速度g，据牛顿第二定律F－mg=mg，F=2mg．D错．
10．【答案】A
【解析】由于半径R远大于运动的弧长，所以可以认为小球做简谐运动，其周期都为，与位移的大小无关．同时到达O点，A项正确．
11．【答案】A
【解析】小球在磁场中运动时，由于洛伦兹力不做功，所以机械能守恒．运动到最低点，小球的速度大小相同，但方向可能不同，A项正确，B项错误．小球左、右通过最低点，向心力相同，洛伦兹力方向相反，所以拉力不同，C项不正确．由于洛伦兹力不提供回复力，因此有无磁场，不影响振动周期，D项错误．
12．【答案】A
【解析】单摆的周期公式为，同一单摆即有．又根据万有引力定律，有，因此，故，故A项正确．
13．【答案】A
【解析】让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，单摆以O点为悬点，摆长为L周期为。
让小球在垂直纸面内摆动，摆球以OC的延长线与AB的交点为中心摆动，摆长为，周期为，选项A正确．
二、填空题
14．【答案】、
【解析】因为一个周期内两次经过平衡位置，经过平衡位置时拉力最大，可知小球的周期为，
根据：，得摆长为：
15．【答案】5 9.74
【解析】第5组同学的单摆摆长适当，偏角小于10°，振动次数较多，误差最小．从振动图像上知T=1.80 s，代入公式，得g=9.74 m／s2．
16．【答案】（1）3 cm 0.5 Hz 1 m 0.5 s末和1.5 s末 （2）E、G、E、F 1.5～2.0 s间 0～0.5 s间
（3）B、D （4）1.5 变大
【解析】（4）放钉后改变了摆长．因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆长为1 m，所以；钉右侧的半个周期，，所以T=t左+t右=1.5 s．由受力分析，张力，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球重力不变，挡后摆线长为挡前的，所以挡后绳张力变大．
三、解答题
17．【答案】见解析
【解析】（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx，则有：kΔx=(mA+mB)g，
．开始释放时振子处在最大位移处，故振幅A=5 cm+5 cm=10 cm．
（2）由于开始时弹簧的伸长量恰好等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等，设振子的最大速率为v，从开始运动到达到平衡位置，应用机械能守恒定律，有，．
（3）在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，由牛顿定律得：(mA+mB)a1=kΔx+(mA+mB)g，a1=20 m／s2，方向向下，A对B的作用力方向向下，大小F1=mB(a1－g)=10 N；在最低点由简谐运动的对称性有：a2=20 m／s2，方向向上，A对B的作用力方向向上，且F2－mBg=mAa2得，F2=mB(g+a2)=30 N．
18．【答案】见解析
【解析】设时间为t，在地面上单摆的周期为，在高山上，单摆的周期为。设地面处的重力加速度为g，高山上的重力加速度为g＇，由单摆的周期公式可推得．设高山的高度为h，由万有引力定律得，，所以．山高为，即山高为地球半径的倍。