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沪教版 九年级数学下册 第27章 圆与正多边形 单元测试卷
一．选择题（共6小题）
1．在半径为的中，有长的弦，则弦的弦心距为
A．50 B． C． D．25
2．已知的半径为，，则点和的位置关系是
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法判断
3．如图，是半圆的直径，，则的度数是
A． B． C． D．
4．如图，四边形内接于半径为5的，且，，，则的长度是
A． B． C． D．
5．如图，、、是上的三点，已知，则
A． B． C． D．
6．如图，在中，是直径，于点，交于点，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
二．填空题（共12小题）
7．的半径，圆心到直线的距离，在直线上有一点，且，则点在 ．
8．如图，，分别切半径为2的于，两点，为直径，若，则的长为 ．
9．如图，是的直径，、是的三等分点，，则 ．
10．如图，为的直径，是弦，且于点，若，，则弦所对的圆周角等于 度．
11．四边形是的内接四边形，连接、．若，，那么 ．
12．是的切线，切点为，，，则阴影部分的面积为 ．
13．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升
14．如图，正方形内接于，的半径为2，以点为圆心，以为半径画弧交的延长线于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是 ．
15．如图，四边形内接于，，则四边形的外角 ．
16．如图，在正六边形中，于相交于点，则值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切，点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最小值为 ．
18．如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与交于、两点，若的半径为8，则的最大值为 ．
三．解答题（共7小题）
19．如图，点，，，在上，．求证：．
20．一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为，下雨前水面宽为．一场大雨过后，水面宽为，求水面上升多少？
21．已知在中，，以为直径的分别交于点，于点，连接．求证：．
22．如图，，是的直径，交于点，于．求证：是的切线．
23．如图，，为的外接圆，为的直径，四边形是平行四边形．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
24．如图，在中，，，点在上，经过点，点，且交于点，直径于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
25．如图，为的直径，点在上，于点，且平分．
（1）求直线与的交点个数；
（2）已知半径长为3，，求长．
沪教版 九年级数学下册 第27章 圆与正多边形 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．在半径为的中，有长的弦，则弦的弦心距为
A．50 B． C． D．25
【解答】解：作于，
根据题意，得是等边三角形，
则，所以．
故选：．
2．已知的半径为，，则点和的位置关系是
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法判断
【解答】解：点到圆心的距离，小于的半径，
点在在圆内．
故选：．
3．如图，是半圆的直径，，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：是半圆的直径，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
故选：．
4．如图，四边形内接于半径为5的，且，，，则的长度是
A． B． C． D．
【解答】解：作直径，连接，．
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
5．如图，、、是上的三点，已知，则
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
6．如图，在中，是直径，于点，交于点，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
【解答】解：是直径，，
，，
，
，
是的中位线，
，
选项不符合题意、选项不符合题意、选项不符合题意；
只有当时，，
选项符合题意；
故选：．
二．填空题（共12小题）
7．的半径，圆心到直线的距离，在直线上有一点，且，则点在 上 ．
【解答】解：由题意可知为直角三角形，且，，
由勾股定理可求得，
故点在上．
故答案为：上．
8．如图，，分别切半径为2的于，两点，为直径，若，则的长为 ．
【解答】解：如图所示：连接，
，是切线，
．
又，
，，
又，
．
是直径，，
．
．
；
故答案为：．
9．如图，是的直径，、是的三等分点，，则 ．
【解答】解：，
、是的三等分点，
，
，
故答案为：．
10．如图，为的直径，是弦，且于点，若，，则弦所对的圆周角等于 60或120 度．
【解答】解：如图，连接，，，，，，
为的直径，，
，
又，
，
，
垂直平分，
，，
又，
，
四边形是菱形，
，
，
，
又四边形是圆内接四边形，
，
，，
弦所对的圆周角有和两个，
故答案为：60或120．
11．四边形是的内接四边形，连接、．若，，那么 或 ．
【解答】解：，
，
，
如图1，，
；
如图2，，
；
综上所述，的度数为或．
故答案为或．
12．是的切线，切点为，，，则阴影部分的面积为 ．
【解答】解：连接，
是的切线，
，
，，
，，
由勾股定理得：，
解得：，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
13．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升 或
【解答】解：连接，作于，
分米，
分米，
油槽直径为10分米．
分米，
分米，即弦的弦心距是4分米，
同理当油面宽为8分米时，弦心距是3分米，
当油面没超过圆心时，油上升了1分米，即；
当油面超过圆心时，油上升了7分米，即．
故答案为：或．
14．如图，正方形内接于，的半径为2，以点为圆心，以为半径画弧交的延长线于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解：利用对称性可知：阴影部分的面积扇形的面积的面积，
故答案为：
15．如图，四边形内接于，，则四边形的外角 70 ．
【解答】解：，，
，
，
，
故答案为70．
16．如图，在正六边形中，于相交于点，则值为 ．
【解答】解：六边形是正六边形，
，，
，
，，
，
；
故答案为：．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切，点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最小值为 4 ．
【解答】解：连接，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最小，
，
，
以点为圆心的圆与轴相切．
的半径为3，
，
，
是直径，
，
长度的最小值为4，
故答案为：4．
18．如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与交于、两点，若的半径为8，则的最大值为 12 ．
【解答】解：如图1，连接、，
，
，
，
为等边三角形，
的半径为8，
，
点，分别是、的中点，
，
要求的最大值，即求（弦的最大值，
当弦是圆的直径时，它的最大值为：，
的最大值为：．
故答案为：12．
三．解答题（共7小题）
19．如图，点，，，在上，．求证：．
【解答】证明：，
，
，
即，
20．一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为，下雨前水面宽为．一场大雨过后，水面宽为，求水面上升多少？
【解答】解：作半径于，连接
由垂径定理得：，
在中，，
当水位上升到圆心以下时 水面宽时，
则，
水面上升的高度为：；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：，
综上可得，水面上升的高度为或．
21．已知在中，，以为直径的分别交于点，于点，连接．求证：．
【解答】证明：连接，
是直径，
，
，
，，
弧弧，
，
22．如图，，是的直径，交于点，于．求证：是的切线．
【解答】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线．
23．如图，，为的外接圆，为的直径，四边形是平行四边形．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1），
，
为的直径，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是的切线；
（2）连接，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
连接，
，
，
，
，
阴影部分的面积．
24．如图，在中，，，点在上，经过点，点，且交于点，直径于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【解答】（1）证明：连接，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：直径，
，
，
，
，
，，
，
．
25．如图，为的直径，点在上，于点，且平分．
（1）求直线与的交点个数；
（2）已知半径长为3，，求长．
【解答】解：（1）如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
又，
，
是的切线，
直线与只有一个交点．
（2）连接，
为的直径，
，，
，
，
又，
，
，
，，
．
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沪教版 九年级数学下册 第27章 圆与正多边形 单元测试卷
一．选择题（共6小题）
1．已知的半径为，一条弦的弦心距为，则这条弦的长为
A．10 B．12 C．14 D．24
2．已知点到上的点的最大距离是，最小距离是，则的半径是
A． B． C．或 D．或
3．下列说法正确的是
①平分弦所对两条弧的直线，必经过圆心且垂直平分弦．
②圆的切线垂直于圆的半径．
③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等．
④在同圆中，弦心距越大则该弦越短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，两弦、相交于点，且，若，则的度数为
A． B． C． D．
5．如图的半径为5，弦，是圆上一点，则的度数是
A． B． C． D．
6．如图，在中，，．则的度数为
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
7．已知的半径为，点在直线上，且点到圆心的距离为，则直线与 ．
8．一条弦把圆分成两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 ．
9．如图，，分别切于点，．若，则的大小为 （度．
10．如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ．
11．排水管的截面为如图所示的，半径为，已知现在水面位于圆心下方，且水面宽，如果水面上涨后，水面宽为，那么水面上涨了 ．
12．如图，，，，是上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么 ．
13．如图，正六边形内接于且半径为3，则的长为 ．
14．如图，在中，为直径，为圆上一点，，过作交于点，过作交延长线于点，且．则 ，的半径 ．
15．如图，是圆的弦，，点是圆上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是 ．
16．如图，边长为2的正方形内接于，点是上一点（不与、重合），点是上一点，连接，，分别与，交于点，，且．有下列结论：①；②四边形的面积随着点位置的变化而变化；③周长的最小值为；④若，则，，围成的面积是，其中正确的是 （把所有正确结论的序号都填上）
三．解答题（共9小题）
17．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为80米，拱高20米，当洪水泛滥到跨度只有40米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有8米，即米时是否要采取紧急措施？
18．如图，中，，以为直径作，、分别交于、，求证：．
19．如图，是的直径，平分弦，交于点，，，求的长．
20．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，求弦的长．
21．如图，的直径为5，弦为3，的平分线交于点．
（1）求的长；
（2）求的长．
22．如图，在中，，以为直径作交于点．过点作，垂足为，且交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
23．如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结，过点作垂足为．
（1）求证：；
（2）若半径为5，，求的长．
24．如图，内接于，与是的直径，延长线段至点，使，连接交于点，交于点．
（1）求证：与相切．
（2）若，，求扇形的面积．
25．已知经过四边形的、两点，并与四条边分别交于点、、、，且．
（1）如图①，连接，若是的直径，求证：；
（2）如图②，若的度数为，，，请直接写出、和之间的数量关系．
沪教版 九年级数学下册 第27章 圆与正多边形 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知的半径为，一条弦的弦心距为，则这条弦的长为
A．10 B．12 C．14 D．24
【解答】解：根据垂径定理，由已知得，这条弦的一半为，所以弦为24．
故选：．
2．已知点到上的点的最大距离是，最小距离是，则的半径是
A． B． C．或 D．或
【解答】解：点在圆外时，外一点到上的点的最大距离是7，最小距离为1，设直线与圆交点为，，
圆的直径为：，
所以半径为：3．
点在圆内时，
圆的直径为：，
所以半径为：4．
故选：．
3．下列说法正确的是
①平分弦所对两条弧的直线，必经过圆心且垂直平分弦．
②圆的切线垂直于圆的半径．
③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等．
④在同圆中，弦心距越大则该弦越短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：因为平分弦所对的两条弧的直线，必经过圆心，且垂直平分弦，所以第一个论述是正确的，①正确；
圆的切线垂直于过切点的半径，②错误；
在圆中，任何一条弦都对应着两条弧，而这两条弧一般是不相等的，只有弦是直径时，所对的两条弧才相等，③错误；
由垂径定理和勾股定理
得出，
即，④正确；
正确的有2个，
故选：．
4．如图，两弦、相交于点，且，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：根据圆周角定理得：，
，
，
，
，
，
故选：．
5．如图的半径为5，弦，是圆上一点，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：过作．
、均为半径且都为5，，
，．
，
，．
．
故选：．
6．如图，在中，，．则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
．
故选：．
二．填空题（共10小题）
7．已知的半径为，点在直线上，且点到圆心的距离为，则直线与 相交或相切 ．
【解答】解：点在直线上，且点到圆心的距离为，
点在上
直线与相交或相切
故答案为：相交或相切
8．一条弦把圆分成两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 或 ．
【解答】解：如图，连接、．
弦将分为两部分，
则；
，
；
故这条弦所对的圆周角的度数为或．
故答案是：或
9．如图，，分别切于点，．若，则的大小为 40 （度．
【解答】解：连接，，
、分别切于点、，
，，
即，
，
．
故答案为：40．
10．如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ．
【解答】解：连接、，
，
，
，
，，
，
解得，．
的度数为，
故答案为：．
11．排水管的截面为如图所示的，半径为，已知现在水面位于圆心下方，且水面宽，如果水面上涨后，水面宽为，那么水面上涨了 1或7 ．
【解答】解：过点作，连接，如图所示：
，
在中，，
，，
，
，
于，
连接，
同理，
，
当与在圆心的两侧时，
，
故水面上涨了或，
故答案为：1或7．
12．如图，，，，是上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么 ．
【解答】解：连接．
，
，
，
，，
，
故答案为．
13．如图，正六边形内接于且半径为3，则的长为 3 ．
【解答】解：连接、，如图所示：
正六边形内接于，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：3．
14．如图，在中，为直径，为圆上一点，，过作交于点，过作交延长线于点，且．则 ，的半径 ．
【解答】解：点与点关于对称时，，设垂足为，
为的直径，
，
，
设，那么，由勾股定理得：，
，
，
，
在和中，，，
．
，，
解得，
直径，，
的半径长为．
故答案为：，．
15．如图，是圆的弦，，点是圆上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是 20 ．
【解答】解：连接、，如图，
，
为等腰直角三角形，
，
点、分别是、的中点，
，
当为直径时，的值最大，
的最大值为20，
故答案为：20．
16．如图，边长为2的正方形内接于，点是上一点（不与、重合），点是上一点，连接，，分别与，交于点，，且．有下列结论：①；②四边形的面积随着点位置的变化而变化；③周长的最小值为；④若，则，，围成的面积是，其中正确的是 ①③ （把所有正确结论的序号都填上）
【解答】解：如图所示，连接、、、．
，，
，
，
，
；故①正确，
在与中，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
定值，故②错误；
，，
，
的周长，
当时，的长最小，此时，
周长的最小值为，故③正确；
作于，则，，
，
，
，
，
，
扇形的面积，
，
，
过作于，
，
的面积，
，，围成的面积扇形的面积的面积，故④错误；
故答案为：①③．
三．解答题（共9小题）
17．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为80米，拱高20米，当洪水泛滥到跨度只有40米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有8米，即米时是否要采取紧急措施？
【解答】解：设圆弧所在圆的圆心为，连接、，设半径为米，
则，
由垂径定理可知，，
米，
米，且米，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
（米，
在△中，由勾股定理可得（米，
米米，
不需要采取紧急措施．
18．如图，中，，以为直径作，、分别交于、，求证：．
【解答】证明：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
．
19．如图，是的直径，平分弦，交于点，，，求的长．
【解答】解：是的直径，平分弦，
，，
，，
，
．
20．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，求弦的长．
【解答】解：作直径，连结，如图，
，
而，
，
，
是直径，
，，
在中，．
21．如图，的直径为5，弦为3，的平分线交于点．
（1）求的长；
（2）求的长．
【解答】解：（1）是的直径，
，
在中，由勾股定理，得
（2）是的平分线，
，
，
是等腰直角三角形，
．
22．如图，在中，，以为直径作交于点．过点作，垂足为，且交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，
，
．
23．如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结，过点作垂足为．
（1）求证：；
（2）若半径为5，，求的长．
【解答】解：（1）证明：连接．
是的直径，
，又
是的垂直平分线，
．
（2），，
是等边三角形，
的半径为5，
， ，又
．
24．如图，内接于，与是的直径，延长线段至点，使，连接交于点，交于点．
（1）求证：与相切．
（2）若，，求扇形的面积．
【解答】（1）证明：如图1，连接，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
与相切；
（2）解：如图2，连接，过点作于点，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，
，
，
是等边三角形，
，
．
25．已知经过四边形的、两点，并与四条边分别交于点、、、，且．
（1）如图①，连接，若是的直径，求证：；
（2）如图②，若的度数为，，，请直接写出、和之间的数量关系．
【解答】解：（1）连接、．
是的直径，
，
，
，
，
，
．
（2）结论：．
理由：如图②中，连接，．
，
，
，，
，
．
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