人教版高中数学选修1-1学案：2．2椭圆及其标准方程word版含答案解析

椭圆 讲义
课时1 椭圆的定义及其标准方程
教学目的：
1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；
2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程
教学内容：
一、复习回顾
椭圆定义:平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于F1F2）的点的轨迹叫做
椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
思考：（1）2a= F1F2，则轨迹是什么？ (线段F1F2)
（2）2a< F1F2, 则轨迹是什么？ (无轨迹)
椭圆的标准方程:
标准方程
不同 点 图 形
焦点坐标
相同点 定 义 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a、b、c的关系
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上




二、例题讲解
例1: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0).
(2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,－5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.
(3)焦点在轴上,且经过点(2,0)和点(0,1).
(4)焦点在轴上,与轴的一个交点为P(0,－10),P到它较近的一个焦点的距离等于2.
(5)求与椭圆有相同焦点,且过点.







例2: 已知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程







变式1：已知B(-3,0)，C(3,0)，CA,BC,AB的长组成一个等差数列，求点A的轨迹方程。






例3:若方程表示椭圆,求k的取值范围.





三、课后作业
1．（2019·福建高二月考）在平面直角坐标系中，已知动点到两定点的距离之和是10，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019·吉林吉化第一高级中学校高二期中）椭圆的左右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点，则的周长为（ ）
A． B．6 C． D．12
3．（2016·全国高一课时练习（文））椭圆的焦点为、，为椭圆上一点，已知，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·上海师大附中高二期末）椭圆上一点到焦点的距离为，为原点，为的中点，则___．
5．（2011·山东高二期中（文））椭圆的焦距为，则__________

课后作业参考答案
1．A
【分析】
根据椭圆的定义判断出点的轨迹为椭圆，并由此求得椭圆方程.
【详解】
由于动点到两定点的距离之和为，故点的轨迹为椭圆，所以，所以，所以点的轨迹方程为.
故选:A.
【点睛】
本小题主要考查根据椭圆的定义求椭圆方程，属于基础题.
2．C
【分析】
根据椭圆定义，得到，进而可求出结果.
【详解】
由题意，根据椭圆定义，得到，
所以的周长为：.
故选：C
【点睛】
本题主要考查椭圆中三角形的周长，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.
3．A
【解析】由椭圆定义知，又因，所以
，从而得，
所以△的面积为，故选A.
考点：椭圆的定义，焦点三角形.



4．
【分析】
由椭圆定义求出，再由中位线的性质得出的值.
【详解】
由椭圆定义得，，
为的中点，为的中点，由中位线的性质得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆定义的应用，同时也考查了中位线性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
5．或
【分析】
本题首先可根据焦距为得出，然后将椭圆分为焦点在轴上以及焦点在轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果。
【详解】
因为椭圆的焦距为，所以，
若焦点在轴上，则有，解得；
若焦点在轴上，则有，解得；
综上所述，或。
【点睛】
本题考查根据焦距求椭圆方程，考查椭圆的相关公式的使用，在计算过程中一定要考虑到焦点在轴上以及焦点在轴上两种情况，考查推理能力，是简单题。



课时2 椭圆的简单几何性质
教学目的：
1．发现在椭圆中，X，Y，或离心率本身的范围；
2．能正确运用椭圆的几何性质解题
教学内容：
一、复习回顾
椭圆的几何性质

标准方程
范围
对称性 曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称
顶点 长轴顶点 ,短轴顶点 长轴顶点 ,轴顶点
焦点
焦距
离心率 ，其中
通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为

对焦点三角形的处理方法：通常是运用
.


二、例题讲解
例1：（2019·黑龙江实验中学高二期中）已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的两个端点为A、B，点C为椭圆上异于A、B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为-，则椭圆的离心率为（ ）.
A． B． C． D．

【答案】A
【分析】
由题意可得A（0，b），B（0，-b），设C（x0，y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，由题意可得a，b的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．
【详解】
解：由题意可得A（0，b），B（0，-b），设C（x0，y0），
由C在椭圆上可得+=1，
即有=，①
由直线AC与BC的斜率之积为-，
可得?=-，
即为=4（-），②
由①代入②可得=4，即a=2b，
c==a，可得离心率e==．
故选：A．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，考查运算能力，属中档题．
例2：（2019·黑龙江高二月考（文））已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是（ ）
A．1 B． C． D．


【答案】D
【分析】
利用余弦定理以及椭圆的定义可得，再由三角形面积公式:即可求得的面积.
【详解】
在中，根据余弦定理得:
即┄①
由椭圆的定义得:
故:
整理得:┄②
由①②得

故选:D.
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程、椭圆的定义以及余弦定理的应用,能够掌握椭圆知识和余弦定理基础上,灵活使用是解题的关键.

例3：（2019·黑龙江高二月考（文））已知是椭圆C：的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接,,先利用三角形中位线定理证明,,而即为圆的半径,从而得焦半径,再利用椭圆的定义,得,最后利用直线与圆相切的几何性质,证明,从而在三角形中利用勾股定理得到间的等式,进而计算离心率.
【详解】
如图: 连接,,点为线段的中点,，

由椭圆定义得: 即
线段与圆相切于点
则 且

即:
故选: C.
【点睛】
本题考查了椭圆的定义及其运用,直线与圆的位置关系,椭圆的几何性质及离心率的求法.掌握椭圆基础知识和数形结合是本题的关键.
例4：（2019·上海市市北中学高二期末）如图，设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则值为_____


【答案】
【分析】
由已知的内切圆的面积为得出半径，从而求出的面积，再由面积，即可求出.
【详解】
因为的内切圆的面积为，
所以的内切圆半径，
面积
所以面积，
所以 故答案为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，三角形内切圆的性质，三角形的面积公式，属于中档题.

三、课后作业
1．（2019·黑龙江实验中学高二期中）已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的两个端点为A、B，点C为椭圆上异于A、B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为-，则椭圆的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2019·黑龙江高二月考（文））已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2019·黑龙江高二月考（文））已知是椭圆C：的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·辽宁高二期中）阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12，则椭圆C的方程为（ ）.
A． B． C． D．
5．（2019·首都师范大学附属中学高二期中）如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为( )

A． B．
C． D．


6．（2015·福建厦门双十中学高二期中（理））椭圆的离心率为，则的值为（　　）
A．-21 B．21 C．或21 D．或21

7．（2019·上海市市北中学高二期末）如图，设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则值为_____

8．（2019·福建高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，点P是椭圆上的一点，若PF1 ⊥PF2 ，则△F1PF2的面积是___________．




课后作业参考答案
1．A
【分析】
由题意可得A（0，b），B（0，-b），设C（x0，y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，由题意可得a，b的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．
【详解】
解：由题意可得A（0，b），B（0，-b），设C（x0，y0），
由C在椭圆上可得+=1，
即有=，①
由直线AC与BC的斜率之积为-，
可得?=- ， 即为=4（-），②
由①代入②可得=4，即a=2b ， c==a，
可得离心率e== ． 故选：A．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，考查运算能力，属中档题．
2．D
【分析】
利用余弦定理以及椭圆的定义可得，再由三角形面积公式:即可求得的面积.
【详解】
在中，根据余弦定理得:
即┄①
由椭圆的定义得: 故:
整理得:┄②
由①②得
故选:D.
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程、椭圆的定义以及余弦定理的应用,能够掌握椭圆知识和余弦定理基础上,灵活使用是解题的关键.
3．C
【分析】
连接,,先利用三角形中位线定理证明,,而即为圆的半径,从而得焦半径,再利用椭圆的定义,得,最后利用直线与圆相切的几何性质,证明,从而在三角形中利用勾股定理得到间的等式,进而计算离心率.
【详解】

如图: 连接,,点为线段的中点,


由椭圆定义得: 即
线段与圆相切于点

且
即:
故选: C.
【点睛】
本题考查了椭圆的定义及其运用,直线与圆的位置关系,椭圆的几何性质及离心率的求法.掌握椭圆基础知识和数形结合是本题的关键.
4．D
【分析】
利用已知条件列出方程组，求出，即可得到椭圆方程.
【详解】
由题意可得：，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆方程为：， 故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，涉及到的知识点有椭圆的几何性质，椭圆的面积，属于简单题目.
5．A
【分析】
将代入椭圆方程求得，可表示出，由垂直关系可知，从而构造出关于的齐次方程，由求得结果.
【详解】
将代入椭圆方程得：，
又椭圆焦点 ，

故选：
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于的齐次方程，从而根据求得离心率.
6．C
【解析】
试题分析：当焦点在轴时，当焦点在轴时，故选C
7．
【分析】
由已知的内切圆的面积为得出半径，从而求出的面积，再由面积，即可求出.
【详解】
因为的内切圆的面积为 ， 所以的内切圆半径，
面积
所以面积，
所以 故答案为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，三角形内切圆的性质，三角形的面积公式，属于中档题.
8．5.
【分析】
利用勾股定理和椭圆的定义列方程，由化简的结果求得三角形的面积.
【详解】
根据椭圆方程可知，设，依题意有，所以，所以三角形的面积为.
故答案为：
课时3 直线与椭圆的位置关系
教学目的：
1．掌握两种弦长公式；
2．掌握设而不求、点差法等技巧处理问题：
3. 学会利用题目条件，建立等式关系.
教学内容：
一、复习回顾
1.直线与椭圆位置关系的判断
(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．
2．直线与椭圆的相交长问题：
（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为
或．

二、例题讲解
例1：（2019·福建省建瓯市芝华中学高二期中）已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线平行于直线，且过点，若直线与椭圆有公共点，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）设椭圆的方程为，根据已知列方程组，由此能求出椭圆的方程；
（2）平行于的直线的方程为，与椭圆方程联立，利用根的判别式能求出的取值范围．
【详解】
解（1）依题设椭圆为，且右焦点
，
解得，又，
， 故椭圆的方程为.
（2）设为，由
消去得.
，
解得.
例2：（2019·黑龙江高二月考（文））设是圆上的动点，点是在轴上的投影，且.
（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）求过点(1,0)，倾斜角为的直线被所截线段的长度.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）设的坐标为,的坐标为.由,可得,可列出,坐标关系式为,即可得到的轨迹的方程.
（2）设直线方程为:,代入椭圆方程,由韦达定理和弦长公式:,即可求得直线被C所截线段的长度.
【详解】
（1）设的坐标为,的坐标为.
由,可得,
的坐标为,是圆上的动点
┄①
,坐标关系式为: ┄②代入①得:
整理可得的轨迹的方程:
（2）求过点,倾斜角为的直线方程为:
设直线与轨迹的交点为
将直线方程与轨迹方程联立方程组,消掉
得:
整理可得:
根据韦达定理得:
∴线段AB的长度为:

所以线段AB的长度:.

例3：（2019·江苏省震泽中学高二月考）己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点，当的面积为时，求实数的值．
【答案】（Ⅰ）：y2＝1；（Ⅱ）m
【分析】
（Ⅰ）根据顶点坐标、离心率和的关系可求得，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，根据有两个交点可得，求得范围；联立后写出韦达定理的形式，代入弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离，从而利用构造方程解得，验证符合的即为结果.
【详解】
（Ⅰ）由题意知：，，则
椭圆的方程为：
（Ⅱ）设，
联立得：
，解得：
，

又点到直线的距离为：
，解得：

例4：（2019·河北高考模拟（文））设椭圆：的左，右焦点分别为，，其离心率为，过的直线与 C 交于两点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，证明：当的斜率为时，点在以为直径的圆上．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）根据三角形周长为可得的值，结合离心率可得的值，进而可得椭圆的标准方程；（2）先得直线方程为，将其于椭圆方程联立，根据韦达定理得到，，证得即可.
【详解】
（1）的周长等于 ，
所以，从而．
因为，所以，即，
椭圆的方程为.
（2）由（1）得，．
设， ，
依题意，的方程为，
将的方程代入并整理，可得，
所以，．



所以，
综上， 点在以为直径的圆上.
例5：（2019·江苏扬州中学高二月考）椭圆：，直线过点，交椭圆于、两点，且为的中点.
（1）求直线的方程；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，求弦长，解得的值.
【详解】
（1）设，
，两式相减可得 ，
，
代入可得，
直线的方程是 ，
即.
（2），
联立 得 ，
，

化简为 ，
解得.
【总结提升】
1.涉及直线与椭圆的基本题型有：
（1）位置关系的判断
（2）弦长、弦中点问题
（3）轨迹问题
（4）定值、最值及参数范围问题
（5）存在性问题
2．常用思想方法和技巧有：
（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系
3. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离．
4.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率．
5．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．
6.提醒：(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况．
(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．

三、课后作业
1．已知动点P到直线x=4的距离等于它到定点F(1,0)的距离的2倍
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)若点M(1,1)在所求轨迹内且过点M的直线与曲线C交于A,B两点,求当M是线段AB的中点时,线段AB所在直线的方程.









2．（2017·四川成都七中高三期中（文））已知椭圆C：的左、右焦点分别为，且离心率为，过左焦点的直线l与C交于A，B两点，的周长为．
求椭圆C的方程；
当的面积最大时，求l的方程．





3．（2019·东北育才学校高二期中）已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作倾斜角互补的两条不同直线，分别交椭圆于另外两点，，求证：直线的斜率是定值.








4．（2019·湖南高二期末（理））已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．
求椭圆C的方程；
设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值．




课后作业参考答案
1．（1）；（2）
【分析】
（1）利用点到直线的距离公式及两点间的距离公式将已知的几何条件转化为坐标关系，化简得到动点P的轨迹C的方程；
（2）先检验直线斜率不存在时，再设出直线斜率存在的方程，设出两交点坐标，将两交点的坐标代入椭圆方程，两个等式相减得到直线的斜率与中点的坐标的关系，求出直线的方程．
【详解】
(1)设P(x,y),则,
整理,得动点P的轨迹C的方程为 .
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB所在直线的斜率为k,
则,①
.②
由①-②,得.
∴,
又∵M(1,1)为线段AB的中点,
∴线段AB所在直线的斜率, ∴线段AB所在直线的方程为3x+4y-7=0.
【点睛】
解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题，若牵扯到相交弦的中点问题，一般利用设出交点坐标，代入圆锥曲线的方程，作差得到直线的斜率与相交弦的中点坐标间的关系．
2．(1)；(2).
【分析】
根据椭圆定义及的周长为得出，利用
知，求出，进而得到椭圆的方程；
将三角形分割，以为底，两点的纵坐标差的绝对值为高表示三角形面积，运用基本不等式求得结果
【详解】
（1）由椭圆的定义知，
由知 ，
所以椭圆的方程为
（2）由（1）知，
设，
联立与得到，


当时，
最大为，
【点睛】
在求过焦点的弦与另一个焦点构成的三角形面积时可以对其分割，转化为两点纵坐标差的绝对值，为简化计算，由于直线过横坐标上一定点，故设直线方程
3．（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.
【分析】
（1）设椭圆C的方程为：，利用已知条件，求出a，b，即可得出椭圆C的方程；
（2）设出直线PA、PB的方程与椭圆方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB的斜率为定值．
【详解】
（Ⅰ）设椭圆方程为（）
则有 又
∴
∴ 解得 ∴
∴椭圆的方程为
或解：椭圆的另一焦点为
由
得 又
∴
∴椭圆的方程为
（Ⅱ）依题意，直线，都不垂直于轴
设直线方程为，则直线方程为
由 得
∵
∴ 同理
∴=
故直线的斜率是定值
【点睛】
本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．
4．(1)；(2).
【分析】
通过短轴的一个端点到右焦点的距离为2可知，进而利用离心率的值计算即得结论；
设，联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．
【详解】
解：由题意可得，
解得：，， 椭圆C的方程为；
EMBED Equation.DSMT4 设，
联立，

得，
，，

， 解得．
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、韦达定理、弦长公式，属于中档题．