小学数学思维训练
----比例
一、知识讲解
比例是研究数量之间的关系的问题，它与比、分数和除法之间存在着密切的联系。熟练掌握比例的基本性质；正、反比例的意义，把以前所学习的分数和除法之间的关系在这里加以灵活，可以使我们的解题由繁变简，化难为易。
我们在解决比列问题的时候要注意一下几个方面：
1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。
2.一般选择题目中不变量为单位“1”。
3.正确判断正反比例，找出具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系。
4. 题中等量关系明显，可用方程的解答。
二、例题解析
例1 A与B的比是3:4，B与C的比是2:5．那么A、B、C三个数的比是多少？
解：本题中数B是与两个比相关联的量，把两个比中的数B变成一个数，根例2 如下图所示，小圆中的阴影部分面积占小圆面积的，大圆中阴影部分面积占大圆面积的，求小圆与大圆的面积之比．
解：本题中阴影部分的面积与大小圆面积都有关联，所以我们把阴影部分的面积看作单位“1”。由小圆中的阴影部分面积占小圆面积的，可以得出小圆的面积是4个阴影部分面积。由大圆中阴影部分面积占大圆面积的，可以得出大圆的面积是7个阴影部分面积。[来源:学。科。网]
所以小圆面积；大圆面积=4个阴影部分面积: 7个阴影部分面积=4:7
例3 已知红、白、黑三种球，红球个数是白黑两球总数的，白球的个数是红黑两球总数的，黑球个数是红白两球总数的，红球白球和黑球的个数比是多少?
解：本题中三种球的总个数是不变量，所以选择球的总个数为单位“1”。例4 图书室把一批图书平均分给一班和二班，一班总数比二班少20本，两个班的人数比为7:9，这批图书一共有多少本？
解：本题中找出20本图书对应的分率是关键。由两个班的人数比为7:9，可以得出20本图书对应的分率是－=，用两个班相差的图书本书除以对应的分率，求出总本数。
例5 修一条公路，第一天已修的米数与未修的米数比是1:2，第二天又修了28米，这时已修的米数与未修的米数比是3:2，这条公路全长多少米？
解：由题目条件可以得到第一天已修的米数是全长的。两天共修的米数是全长的，所以本题中题目的等量关系比较好找：两天一共修的米数—第一天修的米数=第二天修的28米。因此本题用方程来解答比较容易些。
三、巩固练习
（一）选择题
1．有两根绳子，第一根用去，第二根用去，剩下的绳子一样长。这两根绳子原来的长度的比是（ ）
A. 2:1 B. 5:3 C.6:5
2．将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为．实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，其中有一位小朋友比原计划多得了块糖果．那么这位小朋友是（ ）
A．甲 B.乙 C.丙
（二）填空题
1．一个比例里，两个外项正好互为倒数，其中一个内项是0.5，另一个内项是（ ）
2.如果3:7,如果前项加上12,要使比值不变,后项应加（ ）[来源:学&科&网]
3.自然数A、B满足,A+B=120且A: B=13:7.那么,A－B=（ ）
4.右图是由5个同样大的小长方形组成的一个大长方形。
每个小长方形的长与宽的比是（ ）：（ ）；
这个大长方形的长与宽的比是（ ）：（ ）。
（三）解答题
1．光明小学兴趣小组的男女生人数之比是，学校共有科技组、书法组、合唱组、三个小组．已知这三个小组的人数比是，科技组中男、女生的人数之比是，书法组中男、女生的人数之比是．合唱组中男、女生人数之比是多少？[来源:Z&xx&k.Com]
2.有一个长方体，长与宽的比是，宽与高的比是．已知这个长方体的全部棱长之和是厘米，求这个长方体的体积．
巩固练习答案：
（一）选择：1(B) , 2 (C)
（二）填空:1(2),2(28),3(36)，4（3:2），（6:5）
（三）解答：
1、解：科技组：男生×= 女生×=
书法组：男生×= 女生×=
合唱组：男生－－= 女生－－=
合唱组男生：合唱组女生=：=5:9
小学数学思维训练
----不定方程
一、知识讲解
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，方程的解不能唯一确定的方程或方程组。古希腊数学家丢番图于公元3世纪初就开始研究过不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。中国是研究不定方程最早的国家。学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。
本讲主要学习二元一次不定方程和三元一次不定方程的解法，以及运用不定方程解答一些简单实际问题的方法。
不定方程的解常常会附加一些限制条件，如要求是整数、自然数或正整数等等，这些条件对不定方程的求解至关重要，解题过程中要认真分析，尤其是要注重挖掘题中隐藏的一些限制条件。在解不定方程时，通常将原方程变形为用含有一个未知数的代数式表示出另一个未知数的形式，再根据题中的限制条件，寻找合适的解。
在解不定方程时，常规方法有观察法、试验法、列举法。如果再能合理运用以下几个技巧，就可以大大提高解题速度。
1.系数上的考虑（变形）
如求7x﹢2y =38的整数解，我们变形为：y=（38-7x）÷2=19-3x-（1/2）x。由于x、y都是自然数，由上述变形可知，x应是2的倍数，可以取2，4。所以在解不定方程时，一定要注意未知数前面的系数，选择恰当的变形来解不定方程。
2.尾数上的考虑（个位）
如求5x+4y=59的自然数解。和的个位数是9，说明5x的个位数字一定是5，那么x一定取奇数；4y的个位数字一定是4，那么y只能是1、4、6、11、14。这样解的过程就容易多了，速度也上来了。
3.奇偶性上的考虑
上道例题还可以从数的奇偶性入手考虑。59是一个奇数，4y一定是个偶数，那么，5x就一定是个奇数，那么x取值只能取奇数，如1、3、5……，也能起到简便解题过程的作用。
4.倍数关系上的考虑
如求不定方程2x+3y=21的自然数解。我们注意到，21是3的倍数，3y肯定也是3的倍数，2x=21-3y，那么2x也应是3的倍数，这样x只能取是3的倍数的数了，如：0、3、6等等，这样就能简化解题过程了。
二、例题解析
例1 求2x+5y=17的整数解。
分析：（一）观察法，并结合奇偶性或尾数上进行考虑。（1）17是奇数,2x一定是偶数，那么，5y就一定是个奇数，那么y取值只能取奇数，如1、3、5……解法一：观察2x+5y=17，17是奇数,2x一定是偶数，说明5y的个位数字一定是5，那么y一定取奇数。当y=1时，x=6；当y=3时，x=1。
解法二：把2x+5y=17变形为：x=(17-5y)÷2，再列表试验求解。
y 1 2 3
x 6 3.5 1
所以，2x+5y=17的整数解为：
x=6 x=1
y=1 y=3
在解不定方程时，可将原方程变形，变为一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来，再根据题中的限制条件，寻找合适的解。
例2 将球装入两种盒子中, 每个大盒子装12个, 每个小盒子装5个，正好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，大盒和小盒各多少个？
分析：两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
结合奇偶性、尾数分析，99是奇数，12x是偶数，5y尾数是5，12x尾数是4，x取2、7。
经列举试验，x=2时，y=15；x=7时，y=3。
所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
由例2可以看出，对于不定方程，要尽量缩小未知数的取值范围，再求解。不定方程常常利用奇偶性和尾数来帮助解决
例3买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？
分析：该题共有三个未知量，可以设出两个未知数，再设法表示出第三个未知量，列出不定方程。再根据条件求解。
解：设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据
由式子(1)可知：y<20；由式子(2)可知： y必须是2的倍数。所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：
苹果 9 8 7 6 5 4 3 2 1
橘子 2 4 6 8 10 12 14[来源:Z_xx_k.Com] 16 18
梨 19 18 17 16 15 14 13 12 11
对不定方程适当变形，通过系数可以更快地看出未知数的特征，从而进一步缩小未知数的取值范围。
例4今年，祖父的年龄是小明的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明的5倍。又过几年后，祖父的年龄是小明的4倍。求祖父今年多少岁?
分析：这是一道有难度的年龄问题。题中除了两人的年龄的倍数关系,其余一概未知。但题目中有三个等量关系。利用等量关系列出相应的方程，问题就迎刃而解了。
把x=4y代入2x=3y+3m, …………(3)
得 8y=3y+3m 即5y=3m y=(3/5)m
由于y是整数,所以 m=5、10、15、20……
可算出 y=3、6、9、12……
那么 x=12、24、36、48……
那祖父的年龄就是 72、144……
很明显，只有当m=5，y=3，x=12时，祖父的年龄是72岁才符合实际。
含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程，如（1）。含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一，如（2）。根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可，如（3）。
例5某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？[来源:学_科_网]
分析：本题出现了三个未知数，并且这三个未知数之间没有直接的关系。就可以设出三个未知数，列出不定方程组，再设法变成一个不定方程，继而求出解。
y ＝
x＝1
x只能取1，所以y＝2，代入①得z＝5，原方程的解为 y＝2
z＝5
故一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。
解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案。
三、巩固练习
（一）选择题
1．方程x+2y=7在正整数范围内的解（ ）
A．有无数解 B.只有一组 C.只有三组 D.以上都不对 [来源:Z.xx.k.Com]
2．方程1990x-1989y=1991的一组正整数解是（ ）
A．x=12785，y= 12768； B.x=12785，y= 12770；
C.x=11936，y= 11941； D.x=13827，y= 12623
（二）填空题
1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= .
2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.
3．不定方程12x+17y=75的整数解是 .
4．采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋(盒子不能打开)，采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买 盒.
5．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书，已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。搬书的老师_______人，男生_______人，女生_______人
（三）解答题
1.甲种商品7元一份，乙种商品3元一份，小明用60元恰好买两种商品共多少份?
2.某种考试已举行24次，共出了426道题，每次出的题目有25题、或者16题、或者20题，那么其中考25题的有多少次？[来源:Z,xx,k.Com]
3.甲一分钟能洗3个盘子或9个碗，乙一分钟能洗2个盘子或7个碗，甲、乙合做，20分钟洗了134个盘子和碗。有几个盘子几个碗?
4．将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计)。问剩余部分的铝管至少是多少厘米?
5．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，小鸡至多被套中多少次？
6. 某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m位男生和11位女生的捐款总数与乙班的9位男生和n位女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数。(其中：)
巩固练习答案：
（一）选择：C C
（二）填空：
1. 1998.
提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.
2. 260.
设箱子里共有n个乒乓球,二级品占.依题意,得
整理得 ①
易知 15-4 a>0,所以a≤3.[来源:学科网ZXXK]
将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).
3. x=2,y=3
4. 26
设买了x大盒，y小盒。23x+16y=500 解得：x=12,y=14;x+y=26.
5. 3 3 8
设老师x人，男生y人，女生z人。
x+y+z=14
12x+8y+5z=100
解得：x=3,y=3,z=8
（三）解答：
1. 解：设小明买甲种商品x份，乙种商品y份，可以列不定方程如下：
7x+3y=60，由于3、60均为3的倍数，且60-7x≥0，x≤8，又因为7x一定能被3整除，
所以小明用60元买两种商品16份或12份。
本题关键是确定7x的取值范围。
2. 解：设考25题、20题依次为x次和y次，可列不定方程如下：
(25-16)x+(20-16)y=426-16×24
9x+4y=42
42-9x≥0，所以x≤4，且4和42均能被2整除，因此只能取0、2、4。
当x=0 时，y=10
当x=2时， y=6
当x=4时, y=
可以考25题的共有2次。
判断出x的范围小于或等于4，再确定不能取偶数是求解的关键。
3. 解：设甲用a分钟洗盘子，(20-a)分钟洗碗，乙用b分钟洗盘子，(20-b)分钟洗碗。
由上式知，b为偶数，所以a=l，6，ll或16。当a=1，6，ll时，b>20不合题意。所以a=16，b=18。
共洗了盘子3a+2b=84(个)，洗了碗134-84=50(个)。
本题先用未知数分别表示甲、乙洗盘子和碗的时间，再列不定方程。
4. 解：设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根，则可以看方程36x+24y=374 是否有解。由于36、24均能被4整除，374被4除余2，所以此方程无整数解。
若剩余部分最少是2厘米，则列方程36x+24y=372
即 3x+2y=31 当 x=1时，y=14。
因此可以截成1根36厘米和14根24厘米两种型号的铝管，此时剩余部分最少为2厘米。
5. 解：设套中小鸡x次，小侯y次，小狗z次。
则 x+y+z=10
9x+5y+2z=61
解得：x=5,y=2,z=3
所以小鸡至多被套中5次。
小学数学思维训练
----定义新运算
一、知识讲解：
“定义新运算”是针对已有的常规运算而言的。例如常见的加、减、乘、除运算，有一定的运算定义、运算符号和运算法则，这些是约定俗成的四则运算。而定义新运算是指运用某些特殊符号来表示特定的意义，按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算，是一种人为的、临时性的运算形式。它使用的是一些特殊的运算符号，如*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。这些特殊运算符号本身并不重要，重要的是在具体题目中各种符号规定哪种运算以及运算顺序。学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
学习“定义新运算”，关键是要能巧妙将“新”运算转化成“旧”运算。即深刻理解这些特殊运算符号的规定，理解其含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。还要注意的是，新定义运算都有自己的特点，在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、例题解析
例1 对于自然数a、b，规定a※b＝（a＋b）÷2，求5※（6※8）的值。
例2 定义运算“☆”：a☆b＝2a＋3b－6,求7☆9＝？ 9☆7＝？[来源:学科网]
分析：新运算符号☆的含义表示：第一个数的2倍加上第二个数的3倍再减去6。
解：7☆9＝2×7＋3×9－6＝14＋27－6＝35
9☆7＝2×9＋3×7－6＝18＋21－6＝33
说明：这个例题中，7☆9≠9☆7，所以我们不能随意交换参与运算的两个数的先后顺序。
例3 规定a △ b＝a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋…＋（a＋b－1），其中a，b表示自然数。求：3△8的值。
分析：由新运算△的含义可知：从第一个数开始的自然数相加的和，加数的个数为第二个自然数减1。
解：3△8＝3＋（3＋1）＋（3＋2）＋（3＋3）＋（3＋4）＋（3＋5）＋（3＋6）＋（3＋7）＝52
例4 如果1*5＝1＋11＋111＋1111＋11111，2*4＝2＋22＋222＋2222，
3*3＝3＋33＋333，4*2＝4＋44，那么7*4＝______； 210*2＝________。
例5 对两个自然数a和b，定义a☆b为它们的最小公倍数与最大公因数的差，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
如，12和8的最小公倍数是24，最大公约数是4，那么12☆8＝24－4＝20。
（1）求14☆21的值；
（2）已知6☆x＝27，求x的值。
解：（1）14☆21＝[14，21]－（14，21）＝42－7＝35；
（2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。
因为6☆x=[6，x]－（6，x）＝27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28， 29， 30， 33。这四个数中只有 30是 6的倍数，所以 6与x的最小公倍数和最大公因数分别是30和3。因为a☆b＝[a，b]×（a，b），
所以6☆x=30×3，由此求得x＝15。
三、巩固练习
（一）选择题
1．已知a＃b表示a的3倍减去b的，求6＃12的值（ ）
A．37 B．15 C．2b
2．对于任意数x、y，定义运算“◎”：x◎y＝(5x＋6y)÷4,求12◎9的值为（ ）
A．29 B．28 C．28
3．A、B表示两个数，规定A§B＝，求3§（4§7）（ ）
A． B． C．
4．对于数a、b、c、d，规定《a、b、c、d》＝3ab－，已知《1、2、x、3》的值为2（ ）
A．12 B． C．10
5．规定5⊙2＝5＋55，6⊙3＝6＋66＋666，4⊙4＝4＋44＋444＋4444；[来源:学*科*网]
求2⊙5的值是（ ）
A．2469 B．24680 C．24690
（二）填空题[来源:学。科。网Z。X。X。K]
1．如果规定a※b=13×a-b÷8，那么17※24的最后结果是 。
2．x、y表示两个数，若定义x△y=，那么5△（10△15）= 。
3．定义新运算“”：A●B＝AB－A＋B，求4●9＝ 。
4．现定义两种运算：“”、“”，对于任意整数、，
，则= 。
5．假设A＃B表示A的3倍减去B的2倍，即A＃B＝腻3A－2B，
已知x＃（4＃2）＝5，那么x＃4 。
（三）解答题
1、设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。求30△（5△3）。
2、定义新运算：a▲b＝4a－3b,且x▲（5▲2）＝46，求x的值。
3、 设P★Q=5P+4Q，当X★9=91时，★（X★ ）的值是多少？
4、“※”表示一种新运算符号，含义是：x※y＝＋ ，
已知2※1＝，则2004※2005的值是多少？
5、规定＆为一种新的运算符号，它使得下列算式都成立：4＆8＝16，8＆4＝20，6＆10＝22，16＆12＝44，求9＆3的值。
巩固练习答案：
（一）选择：1．B；2．C；3．A；4．A；5．C
（二）填空；1．218；2．2；3．41；4．160；5．13
（三）解答：
1、902．解：30△（5△3）＝30△［52 +（5－3）×2 ］[来源:学#科#网]
＝30△29 ＝ 302 +（30－29）×2 ＝902 [来源:Z&xx&k.Com]
2、22．解：5▲2＝4×5－3×2＝14
由x▲（5▲2）＝4×x－3×14＝46得到x＝22。
3、225．解：由5X+4×9＝91，得X＝11；
★（X★ ）＝★（11 ★ ）＝★（5×11+4×）
＝★56＝5×+4×56＝225
小学数学思维训练
----工程问题
一、知识讲解
在日常生活中，做某一件事、制造某种产品、完成某项任务、完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量。在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：
工作量=工作效率×工作时间，
工作时间=工作量÷工作效率，
工作效率=工作量÷工作时间。
当工作总量没有具体给出或者不需要给出时，一般的思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间。
在解答工程问题时要注意以下几点：
1．有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，解题时要细心辨析，层层梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。
2．涉及到具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分数应用题来解答。
3．对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间。
4. 水管工程问题，注水量或排水量就是工作量，单位时间里的注水量或排水量就是工作效率，水管工程问题与一般工程问题的解题思路基本相同。解题时可以借鉴牛吃草问题的解题思路。
二、例题解析
例1一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？
分析：设这项工程为单位“1”，则甲乙合作的工作效率是1/12，乙丙合作的工作效率为1/15，甲丙合作的工作效率为1/20。因此甲乙丙三队合作的工作效率的两倍为1/12＋1/15＋1/20，所以甲乙丙三队合作的工作效率为（1/12＋1/15＋1/20）÷2＝1/10。因此三队合作完成这项工程的时间为1÷1/10＝10（天）。
我们通常把工作总量“一项工程”看成单位“1”。工作效率=工作量÷工作时间=1÷工作时间，即工作时间的倒数。如例1中甲乙两队合作的工作时间为12天，那么工作效率为1/12，它表示甲乙两队一天完成全部工程的1/12。
例2甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？
分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。
审清题意，灵活改编，可以把复杂的、不熟悉的转化为简单的、熟悉的题型，问题也就迎刃而解了。
例3师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？
分析：师傅加工一个零件用5分钟，工作效率是每分钟加工1/5个零件；徒弟加工一个零件用9分钟，工作效率是每分钟加工1/9个零件。师徒两人工作效率的比是1/5：1/9，由于两人的工作时间一定，根据工作量÷工作效率＝工作时间（一定），工作量与工作效率成正比例。
168－x＝168－108＝60（个）．
答：师傅加工108个，徒弟加工60个．
解法2：由于师徒工作效率的比是1/5：1/9，那么他们工作量的比也是1/5：1/9，因此师傅工作量是徒弟工作量的1/5÷1/9＝9/5倍，徒弟的工作量是单位1。
徒弟加工的个数：
168÷（1/5÷1/9＋1）
＝168÷14/5
＝60个
师傅加工的个数：60×（1/5÷1/9）＝108个
解法3：师傅每分钟加工1/5个，徒弟每分钟加工1/9个，合作的工作效率就是：1/5＋1/9，工作时间=工作量÷工作效率，师徒各自加工的个数，即工作量，等于各自的工作效率乘以工作时间。
在工程问题中，工作量一定时工作时间和工作效率成反比，工作效率一定时工作量与工作时间成正比，工作时间一定时工作量与工作效率成正比。利用工程问题中三个基本数量之间的比例关系，从比例的角度思考，可以拓宽工程问题的解题思路，使解题方法更加灵活，适用。
例4洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？
分析：这是一道从比例角度求解的工程问题，工作效率和工作时间是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工作效率来看，有原来的效率1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率 80×（1＋25％）＝100台/天．从工作时间上看，有原来计划的天数，要求工作效率提高后还需要的天数．
根据工作效率和工作时间成反比例的关系，得：
提高后的效率×所需天数＝剩下的台数．
解法2：此题还可以转化成正比例。根据实际效率是原来效率的1＋25％＝1.25倍，把原来效率看作单位“1”，实际和原来效率之比是5：4，因为工作效率和工作时间成反比例，所以实际与原来所需时间的比是4∶5，如果设实际还需要x天，原来计划的天数是20－5＝15天，根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比，可以用正比例解答．
解法3：（按工程问题解）设完成计划还需x天。
1/20×（1＋25％）×x＝1－1/20×5
1/16×x＝1－1/4
x＝12
对比三种解法可以发现：解决工程问题的关键就是确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。有些工程问题数量关系比较复杂，可以考虑列方程求解，思路更加简洁。
例5蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有1/6池水．如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙…的顺序，轮流各开一小时，多少时间后水开始溢出水池？
分析：把水池的容积（即工作量）看作单位“1”，甲、乙、丙、丁的工作效率分别为1/3、1/4、1/5、1/6；可以先求按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流各开一小时（即一个周期）水池进水多少；再求多少时间后水开始溢出水池；由此解答即可．
池中已有水量为1/6，且空出1/3的容积：
（1－1/6－1/3）÷7/60＝4又2/7[来源:学+科+网]
即需要5个周期后水池的水量才能达到2/3，。
第6个周期的进水量情况：
需要注入水量：1－1/6－5×7/60＝1/4
甲管还需要注水时间：1/4÷1/3＝3/4（小时）
所以，从开始到水溢出共需时间：
4×5＋3/4＝20又3/4（小时）
答：20又3/4小时后水开始溢出水池。
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期中的工作量、各个工作成员独自的工作量即工作交替顺序，再利用周期规律，使复杂疑难问题变得简单明了。其次要注意算清最后不满一个周期的工作量及所需的工作时间，从而正确解答。
三、巩固练习
（一）选择题
1．一个水池有甲、乙两个进水管。单开甲管1/6小时能注满水池，单开乙管1/10小时能注满水池。如果甲、乙两管同时开启，多少分钟后水池还有1/5尚未注满？ （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2．一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是20小时、24小时、30小时，现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时完成，甲只打了多少小时？（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
（二）填空题
1. 一项工作，甲乙两队合作9天完成，乙丙两队合作12天完成，甲丙两队合作需18天完成，现在三队合作需 天完成.
2. 轮船以相同的速度航行，从A城到B城需3昼夜，从B城到A城需4昼夜。小筏从A城漂流到B城，需要 昼夜.
3．修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修 小时.
4．某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满。现在规定10小时内必须注满水池，那么甲、乙两管同时注水时间至少要 小时.
5．一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后，还可以做 条裤子
（三）解答题
1、修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？
2、一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？
3. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？
4．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
5．甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天?[来源:学科网ZXXK]
巩固练习答案：（一）选择：1.B（1－1/5）÷（1/10＋1/6）＝3（分钟）
2. A [1－（1/24＋1/30）×12]÷1/20＝2（天）
（二）填空；
1. 8
1÷[（1/9+1/12+1/18）÷2]=8(天)[来源:Zxxk.Com]
2. 6.
1÷（）÷2=6（昼夜）[来源:学科网ZXXK]
3. 7.5
1÷（+）÷2＝7.5小时
4. 4
（1－10×1/12）÷1/24＝4（小时）
5. 16
48－48÷30×20＝16条
（三）解答：
1、解：把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则
1÷[15×8 +110×6 ]÷6=4（天）
或1÷[（15×8 +110×6 ）×6]=4（天）
答：4天可以完成。
解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是×14，比总工作量多了×14-1=，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了-=，因此甲做了÷=5（天）
3、解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.
设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.
8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.
4、解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
5、 解：开始时甲队拿到8400—5040=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360：5040＝2：3；甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为(3360+960)：(5040—960)=18：17；设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需 天完成任务．有(2×4+4 )：(3×4+3 )=18：17，化简为216+54 =136+68 ，解得 于是共有工程量为 所以原计划60÷(2+3)＝12天完成．
小学数学思维训练
----利率
一、知识讲解
我们把存入银行的钱叫做本金，取款时银行多付出来的钱叫做利息。总利息与本金的百分比叫做利率。总利息与本金的百分比叫做利率, 利率由银行规定，根据国家的经济发展情况，利率有时会有所调整，利率有按月计算的，也有按年计算的。按年计算的叫做年利率，按月计算的叫做月利率。利息和本金、年利率、存期有关，一般情况下，本金越多，存期越长，年利率越高，到期后获得的利息就多。
利息＝本金×利率×时间。
月利率＝年利率÷12，日利率＝年利率÷360＝月利率÷30
二、例题解析：
例1 王阿姨把6000元存入银行，存期2年，年利率2.52%，王阿姨到期可得利息多少元？[来源:学*科*网]
例2 根据国家税法规定，个人在银行存款所得的利息要按5％的税率缴纳利息税。例1中王阿姨纳税后实得利息多少元？
解：本题是计算税后利息。计算税后的利息必须要把缴税的部分去除。
6000×2.52％×2×（1－5％）＝287.28（元）
答：王阿姨纳税后可得利息287.28元。
例3 王强于今年1月1日在银行存了活期储蓄10000元，如果每月的利率是0.165％，7月1日到期后王强一共可以取回多少元?
解：本题中出现的0.165％是月利息，因此我们的时间也必须按月计算。同时本题问题是问一共取回的钱，包括本金和利息两个部分。
例4 爸爸5000元存入银行，定期二年，年利率4.50% ，到期后扣除利息税5% ，到期后取回的钱够买一台价值6500元的笔记本电脑吗？
例5 张爷爷有50000元钱，打算存入银行两年。有两种储蓄办法，一种是先存一年期的，年利率是3.87％，第一年到期时再把本金和税后利息取出来合在一起，再存入一年。一种是存两年期的，年利率是4.50％；请你帮帮张爷爷算一算那种存法利息多？
解：本题一次把两种存款方式的利息都及计算出来再进行比较。注意第一种方法在计算第二年的利息时，所存入的本金包括第一年的利息。计算所得利息时要把两年的利息都加起来算。
2009.8845+1935=3944.8845（元）≈3944.88（元）
第二种情况：50000×4.50％×2=4500（元）
3944.88＜4500
答：第二种存款方法所的利息多。
三、巩固练习：
（一）选择题
1. 甲乙二人不久前各向银行存入3000元。甲先存一年定期，到期后连本带息又存了一年定期；乙直接存了二年定期。到期后谁取回的钱多？（ ）
A.甲 B.乙 C.一样多[来源:Zxxk.Com]
2. 小明于在银行存了500元存期两年，如果年利率是3.87%，到期后小明可以得到多少利息?（ ）
A.19.35元 B. 35.6元 C.38.7元[来源:学科网]
（二）填空题：
1. 利息=（???? ??）×（???????）×（?? ）?
2.税后利息=（?????????????????????????）?
（三）解答题：
1．李阿姨在银行里存入人民币5000元，存期一年，年利率3.25%，取款时由银行代扣代收5%的利息税，到期后所得利息为多少元？[来源:学科网]
2. 妈妈把8000元存入银行，定期整存整取2年。如果年利率按4.52%计算,到期后她可以取出本金和利息共多少元?
3. 王亮把将5000元钱存入银行，整存整取五年，到期后从银行取出6435元，当时银行五年存款的年利率是多少？
4. 孙老师家购买新房，办理了住房公积金贷款，贷了15万元，五年后归还，年利率4.9℅，五年后一共应支付银行多少钱？[来源:学科网ZXXK]
巩固练习答案：
（一）选择：1（B）2（ C ）
（二）填空：1.（本金、利率、时间）2.（利息－利息税）
（三）解答：
1. 解：5000×3.25%×1×（1－5％）≈154.38（元）
2. 解：8000×4.52％×2=723.2（元）
723.2+8000=8723.2（元）
