2.4 向量基本定理和数量积 同步练习（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台



平面向量基本定理与数量积培优训练
1．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，可得：++=+=0，
点A是线段CB的中点，设+，
作平行四边形OBDC，由平行四边形法则可得 .
.∴
2．向量，，，若与共线，则=（ ）
A．1 B．3 C．2 D．1
【解析】向量，，，则（1，﹣1），又3与共线，
则1×1﹣（﹣1）?x＝0，解得x＝﹣1．故选：D．
3．已知平面向量，则向量（ ）
A． B． C． D．
【解析】
故选D
4．在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】
因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D．
5．已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】因为, 所以,
所以,所以,
同理可得,,故最小.故选.
6．已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】根据基底的定义可知，只要两向量不共线便可作为基底，易知选D．
7．已知且向量在向量方向上的投影是，则（ ）
A． B．
C．，取任意实数 D．，取任意实数
【答案】C
【解析】由向量在向量方向上的投影定义得：，
所以，
所以，取任意实数.
故选：C.
8．已知向量，则在方向上的射影为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据投影的定义，得；向量在方向上的射影数量是
m＝||?cosθ ．故选：D．
9．正方形ABCD的边长为1，E为CD中点，则向量（ ）.
A． B． C．0 D．1
【解析】如图：

则,E为CD中点，
则，，
故选：B
10．已知平面向量，，则向量
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
,
11．已知向量，且，则m=( )
A．?8 B．?6
C．6 D．8
【答案】D
【解析】∵，又，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选：D．
12．已知平面向量?，且与反向，则等于
A． B．或
C． D．
【解析】因为与反向，所以存在实数?使得，即?，
解得?，因为?,所以，
所以向量?，
所以，
本题选择A选项.
13．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若 (m，n∈R)，则＝(　　)
A．－3 B．－
C． D．3
【答案】A
【解析】过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以m＋n＝＝＝＋＝－＋＝－＋，所以＝-3
14．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】是所在平面内一点，为边中点，
∴，且，
∴，即，故选A.

15．如图，在△中，是边上的中线，是上的一点，且，连接并延长交于，则等于( )

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设.∵，
∴
.
∵
16．设、、是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：
（1） （2）
（3） （4）
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】对（1），向量的数量积不满足结合律，所以错误，故（1）错误；
对（2），原式，故（2）正确；
对（3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确；
对（4），由数量积运算的分配律得：，
故（4）正确.
故选：C.

17．已知的三个顶点及所在平面内一点满足,则点与的关系 （　　）
A．在内部 B．在外部 C．在边上 D．在边上
【答案】D
【解析】因为,所以，
所以，
所以P是AC的一个三等分点，
故选D.
18．已知平面向量，，，且，则（ ）．
A．或1 B．2或 C． D．
【解析】因为，，
∴，∴，解得．
故选：
19．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
【解析】
本题主要考查的是向量的求模公式。由条件可知==，所以应选A。
20．在平行四边形ABCD中，，点分别在边上，且，则=（ ）

A． B． C． D．
【解析】,,所以
，故选C.
21．如图，在四边形中，，为的中点，且，则 ( )

A． B． C． D．
【解析】由题意，得
.∵，∴
.∵与不共线，∴由平面向量基本定理，得
∴，故选C.
22．是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设，，∴，，
，∴.
23．如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
连接并延长分别交圆于，连接，与交于，显然，此时，分别过作的平行线，由于 ，则，则， ，
，此时 ，同理可得：，，选.

24．已知，，，则向量与的夹角为________.
【解析】由，得，，
，向量夹角属于，所以向量与的夹角为，
故答案为：
25．若等边三角形的边长为，平面内一点满足，则______.
【答案】-2
【解析】以点为原点，以所在的直线为轴建立直角坐标系，可得，所以，所以，所以，所以，所以.
26．向量．若向量，则实数的值是________．
【答案】-3
【解析】∵，∴，又∵，∴，∴，∴
27．设向量a,b,c满足,,,若,则的值是________
【解析】
∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·[－(a＋b)]＝0.即|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝1，
∵a⊥b，∴a·b＝0，∴|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋b2＝1＋0＋1＝2.
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
28．如图,在6×6的方格中,已知向量的起点和终点均在格点,且满足向量,那么_______.

【解析】
分别设方向向右和向上的单位向量为
则,
又因为,
所以,解得所以答案为3.
29．已知向量，不共线，实数满足，则________.
【答案】
【解析】∵向量，不共线，
∴解得∴
30．已知，是非零的不共线向量，，，且，则_______．
【答案】
【解析】∵，，，
∴存在实数使得，即．
∴．
∴∴
31．已知点，则与同向的单位向量为________________.
【答案】
【解析】因为；所以与方向相同的单位向量坐标为：．
故答案为：．



32．已知，，则________．
【解析】，，所以，
所以，所以.
故答案为：.
33．已知向量，若与反向则_________
【解析】∵向量， 与反向
∴ ，解得，
故答案为：
34．已知是以点为起点且与平行的单位向量，则向量的终点坐标为 _________.
【答案】或
【解析】（﹣3，4），5，
由向量的平移可知与（﹣3，4）平行的单位向量为：±（﹣3，4），
设的终点坐标是（x，y），可得（x﹣3，y+1）＝±（﹣3，4），
则的终点坐标是：（，）或（，）
故答案为：或
35．点P在△ABC的BC边上，若，则的最小值为_____.
【解析】因为点P在△ABC的BC边上，且，所以
因此
当时取最小值
故答案为：
36．在中，，向量的终点在的内部（不含边界），则实数的取值范围是 ．
【解析】设过点D作DE平行AC于E点，则由向量加法的几何意义知，点M必在线段DE上（不含端点）.又时，；时，，所以.













21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）



HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)