北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 单元训练卷（含解析）

第二章 一元二次方程 单元训练卷
一．选择题（共9小题）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x+＝1
C．ax2+bx+c＝0 D．（x+1）（x﹣1）＝x2+x+1
2．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，则1+a+b的值是（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
3．关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝2 D．m＝﹣2
4．关于x的元二次方程（m﹣2）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥1且m≠2 B．m＞1 C．m＞1且m≠2 D．m≠2
5．将y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣11 D．5
6．若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则代数式a2+b2的值（　　）
A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3
7．受全国生猪产能下降影响，深圳市猪肉价格自5月份开启持续上涨通道，8月份至今创历年新高．某超市8月份价格平均25元/斤，10月份36元/斤，求该超市这两个月猪肉价格平均每月的增长率，设两个月该超市猪肉价格的月平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．25（1+x）2＝36 B．25（1+2x）＝36
C．25（1+x2）＝36 D．25+x2＝36
8．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是（　　）

A．2s B．3s C．4s D．5s
二．填空题（共4小题）
10．一元二次方程x（x﹣1）＝2（1﹣x）的一般形式是　 　．
11．若关于x的方程x2＝P的两根分别为m+1和m﹣1，则P的值为　 　．
12．若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积，则称这样的矩形为“优美矩形”．某公园在绿化时工作人员想利用如图所示的直角墙角（两边足够长）和长为38m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD，其中边AB，AD为篱笆且AB大于AD．设AD为xm，依题意可列方程为　 　．

13．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为　 　．

三．解答题（共9小题）
14．已知m是方程2x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式4m2+2m+2019的值．
15．解下列方程：
（1）x2﹣121＝0
（2）2（x﹣1）2＝338
16．解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）
17．用恰当的方法解下列方程．
（1）3（2x+1）2＝27
（2）2x2﹣3x﹣1＝0
（3）3（x﹣1）2＝2（x﹣1）
（4）x2﹣（2x+1）2＝0
18．已知关于x的方程x2+kx+k﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为﹣3，求k的值．
（2）求证：不论k取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
19．已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
20．汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2016年盈利1000万元，2018年盈利1440万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求每年盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？
21．家乐佳超市的某种牛奶平均每天可销售20箱，每箱盈利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，若每箱降价1元，每天可多售5箱，若设每箱降价x元．
（1）根据题意，填表：
每箱利润（元） 销售量（箱） 利润（元）
降价前 30 20 600
降价后 ①　 　 ②　 　 \
（2）若每天盈利1200元，则每箱应降价多少元？
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从C点出发沿CB以2cm/s的速度向点B移动．当Q运动到B点时，P，Q停止运动，设点P运动的时间为ts．
（1）t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．




参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x+＝1
C．ax2+bx+c＝0 D．（x+1）（x﹣1）＝x2+x+1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，则1+a+b的值是（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】根据x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，可以得到a+b的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，
∴a+b﹣2019＝0，
∴a+b＝2019，
∴1+a+b＝1+2019＝2020，
故选：D．
3．关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝2 D．m＝﹣2
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝4+4m＝0，
∴m＝﹣1，
故选：B．
4．关于x的元二次方程（m﹣2）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥1且m≠2 B．m＞1 C．m＞1且m≠2 D．m≠2
【分析】根据根的判别式得出△＞0，然后求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝22﹣4（m﹣2）（﹣1）＝4m﹣4＞0且m﹣2≠0，
解得：m＞1，
即m的取值范围是m＞1且m≠2；
故选：C．
5．将y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣11 D．5
【分析】利用完全平方公式计算即可求出所求．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k，
∴h＝3，k＝﹣8，
则h+k＝﹣5，
故选：A．
6．若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则代数式a2+b2的值（　　）
A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3
【分析】令x＝a2+b2，则原方程可变形为x2﹣2x﹣3＝0，利用因式分解法求出x的值，再结合x＝a2+b2≥0可确定a2+b2≥0的值．
【解答】解：令x＝a2+b2，
则原方程可变形为x2﹣2x﹣3＝0，
∵（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
又∵x＝a2+b2≥0，
∴a2+b2＝3，
故选：D．
7．受全国生猪产能下降影响，深圳市猪肉价格自5月份开启持续上涨通道，8月份至今创历年新高．某超市8月份价格平均25元/斤，10月份36元/斤，求该超市这两个月猪肉价格平均每月的增长率，设两个月该超市猪肉价格的月平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．25（1+x）2＝36 B．25（1+2x）＝36
C．25（1+x2）＝36 D．25+x2＝36
【分析】等量关系为：8月初猪肉价格×（1+增长率）2＝10月的猪肉价格．
【解答】解：设8、9两个月猪肉价格的月平均增长率为x．
根据题意，得25（1+x）2＝36，
故选：A．
8．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28
【分析】设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排28场比赛即可列出方程求解．
【解答】解：设有x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1＝28，
即 x（x﹣1）＝28．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是（　　）

A．2s B．3s C．4s D．5s
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为，
则BP为（4﹣t）cm，BQ为tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
（4﹣t）×t＝，
解得t1＝3，t2＝5（舍去，不合题意）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为cm2．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
10．一元二次方程x（x﹣1）＝2（1﹣x）的一般形式是　x2+x﹣2＝0　．
【分析】去括号，移项，合并同类项，即可得出答案．
【解答】，解：x（x﹣1）＝2（1﹣x），
x2﹣x＝2﹣2x，
x2﹣x+2x﹣2＝0，
x2+x﹣2＝0，
故答案为：x2+x﹣2＝0．
11．若关于x的方程x2＝P的两根分别为m+1和m﹣1，则P的值为　1　．
【分析】根据已知得出m+1+m﹣1＝0，求出m，再求出p即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2＝P的两根分别为m+1和m﹣1，
∴m+1+m﹣1＝0，
解得：m＝0，
即m﹣1＝﹣1，
所以：P＝（﹣1）2＝1，
故答案为：1．
12．若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积，则称这样的矩形为“优美矩形”．某公园在绿化时工作人员想利用如图所示的直角墙角（两边足够长）和长为38m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD，其中边AB，AD为篱笆且AB大于AD．设AD为xm，依题意可列方程为　（38﹣x）2＝38x　．

【分析】设AD为xm，根据“矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积”列出列出方程即可．
【解答】解：设AD的长为x米，则AB的长为（38﹣x）m，
根据题意得：（38﹣x）2＝38x，
故答案为：（38﹣x）2＝38x．
13．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为　（30﹣3x）（24﹣2x）＝480　．

【分析】设人行通道的宽度为xm，则两块矩形绿地可合成长为（30﹣3x）m、宽为（24﹣2x）m的大矩形，根据矩形的面积公式结合绿地的面积为480m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设人行通道的宽度为xm，则两块矩形绿地可合成长为（30﹣3x）m、宽为（24﹣2x）m的大矩形，
根据题意得：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．
故答案为：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．
三．解答题（共9小题）
14．已知m是方程2x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式4m2+2m+2019的值．
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到2m2+m＝1，再把4m2+2m+2019变形为2（m2﹣3m）+2019，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m为一元二次方程2x2+x﹣1＝0的一个根．
∴2m2+m﹣1＝0，
即2m2+m＝1，
∴4m2+2m+2019＝2（2m2+m）+2019＝2×1+2019＝2021．
15．解下列方程：
（1）x2﹣121＝0
（2）2（x﹣1）2＝338
【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案；
（2）根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣121＝0，
∴x2＝121，
∴x＝11或x＝﹣11
（2）∵2（x﹣1）2＝338，
∴（x﹣1）2＝169，
∴x﹣1＝±13，
∴x＝14或﹣12；
16．解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）
【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，
变形得：（x﹣2）2＝9，
开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
17．用恰当的方法解下列方程．
（1）3（2x+1）2＝27
（2）2x2﹣3x﹣1＝0
（3）3（x﹣1）2＝2（x﹣1）
（4）x2﹣（2x+1）2＝0
【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案；
（2）根据公式法即可求出答案；
（3）根据因式分解法即可取出答案；
（4）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵3（2x+1）2＝27，
∴（2x+1）2＝9，
∴2x+1＝±3，
∴x＝﹣2或1；
（2）∵2x2﹣3x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴△＝9+8＝17，
∴x＝
（3）∵3（x﹣1）2＝2（x﹣1），
∴[3（x﹣1）﹣2]（x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝；
（4）∵x2﹣（2x+1）2＝0，
∴[x﹣（2x+1）][x+（2x+1）]＝0，
∴x＝﹣1或x＝；
18．已知关于x的方程x2+kx+k﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为﹣3，求k的值．
（2）求证：不论k取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）将x＝﹣3代入原方程可求出k值；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝（k﹣2）2+4＞0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根．
【解答】解：（1）将x＝﹣3代入原方程得9﹣3k+k﹣2＝0，
解得：k＝，
（2）证明：△＝k2﹣4（k﹣2）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4．
∵（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根．
19．已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△＝（2k﹣1）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；
（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．
【解答】（1）证明：当k≠0时，
∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴△＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，
∴△＝（2k﹣3）2≥0，
当k＝0时，3x﹣3＝0，
解得x＝1．
∴无论k取何值，方程都有实根；

（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，
解得k＝．
故k的值；

（3）解：kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x＝＝，
∴此方程的两个根分别为x1＝1，x2＝3﹣，
∵方程的两个实根均为正整数，
∴k＝﹣3，k＝﹣1，k＝3．
20．汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2016年盈利1000万元，2018年盈利1440万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求每年盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？
【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
（2）利用2019年盈利＝1440×（1+x），由此计算即可；
【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，
根据题意得1000（1+x）2＝1440
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
答：每年盈利的年增长率为50%．
（2）1440（1+0.2）＝1728
答：预计2009年该公司盈利1728万元．
21．家乐佳超市的某种牛奶平均每天可销售20箱，每箱盈利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，若每箱降价1元，每天可多售5箱，若设每箱降价x元．
（1）根据题意，填表：
每箱利润（元） 销售量（箱） 利润（元）
降价前 30 20 600
降价后 ①　30﹣x　 ②　20+5x　 \
（2）若每天盈利1200元，则每箱应降价多少元？
【分析】（1）降价1元，可多售出5箱，降价x元，可多售出5x箱，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）等量关系为：每箱商品的盈利×可卖出商品的箱数＝1200，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
【解答】解：（1）：
每箱利润（元） 销售量（箱） 利润（元）
降价前 30 20 600
降价后 ①30﹣x ②20+5x \
故答案为：①30﹣x②20+5x；

（2）根据题意得：（30﹣x）（20+5x）＝1200，
整理得：（x﹣6）（x﹣20）＝0，
解得：x＝20或x＝6（不合题意，舍去），
答：每箱应降价20元．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从C点出发沿CB以2cm/s的速度向点B移动．当Q运动到B点时，P，Q停止运动，设点P运动的时间为ts．
（1）t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）设点P、Q同时出发，t秒钟后，AP＝tcm，PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，此时△PCQ的面积为：×2t（6﹣t），令该式等于5，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）△ABC的面积的一半等于×AC×BC＝12cm2，令×2t（6﹣t）＝12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
【解答】解：（1）设ts后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝tcm，PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
则×2t（6﹣t）＝5．
整理，得t2﹣6t+5＝0，解得t1＝1，t2＝5（舍）．
所以P、Q同时出发，1s后可使△PCQ的面积为5cm2．
（2）由题意得：
S△ABC＝×AC?BC＝×6×8＝24，
即：×2x×（6﹣x）＝×24，
整理的：t2﹣6t+12＝0，
△＝62﹣4×12＝﹣12＜0，该方程无实数解，
所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．