沪教教（上海）九年级上第26章二次函数单元测试卷 （PDF版含答案）

沪教新版 九年级上 第 26 章 二次函数 单元测试卷
一．选择题（共 6 小题）
1．将二次函数 22( 2)y x? ? 的图象向左平移 1个单位，再向下平移 3个单位后所得图象的函
数解析式为 ( )
A． 22( 2) 4y x? ? ? B． 22( 1) 3y x? ? ? C． 22( 1) 3y x? ? ? D． 22 3y x? ?
2．抛物线 2 2 4y x x? ? ? ? 一定经过点 ( )
A． (2, 4)? B． (1,2) C． ( 4,0)? D． (3,2)
3．在同一坐标系中，作 2y x? ， 21
2
y x? ? ， 21
3
y x? 的图象，它们的共同特点是 ( )
A．抛物线的开口方向向上
B．都是关于 x轴对称的抛物线，且 y 随 x的增大而增大
C．都是关于 y轴对称的抛物线，且 y 随 x的增大而减小
D．都是关于 y 轴对称的抛物线，有公共的顶点
4．下列二次函数中，如果图象能与 y轴交于点 (0,1)A ，那么这个函数是 ( )
A． 23y x? B． 23 1y x? ? C． 23( 1)y x? ? D． 23y x x? ?
5．已知抛物线 2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ? 如图所示，那么 a、 b、 c的取值范围是 ( )
A． 0a ? 、 0b ? 、 0c ? B． 0a ? 、 0b ? 、 0c ?
C． 0a ? 、 0b ? 、 0c ? D． 0a ? 、 0b ? 、 0c ?
6．二次函数 2y ax bx c? ? ? 的图象如图所示，对称轴是直线 1x ? ? ，有以下结论：
① 0abc ? ；② 2 0a b? ? ；③ 24 8ac b a? ? ；④3 0a c? ? ；⑤ ( )a b m am b? ? ?
其中正确的结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共 12 小题）
7．如果抛物线 22 1y x x m? ? ? ? 经过原点，那么m的值等于 ．
8．函数 | | 1( 1) 5 5my m x x?? ? ? ? 是二次函数，则m ? ．
9．如果点 1(2, )A y 、 2(3, )B y 是二次函数
2 2 1y x x? ? ? 的图象上两点，那么 1y 2y ．（填
“ ?”、“ ?”或“ ?” )
10．如果抛物线 22y x bx c? ? ? ? 的对称轴在 y轴的左侧，那么 b 0（填入“? ”或“ ?”）．
11．若点 ( 1,7)A ? 、 (5,7)B 、 ( 2, 3)C ? ? 、 ( , 3)D k ? 在同一条抛物线上，则 k的值等于 ．
12．如果点 ( 1, )A m? 、 1( , )
2
B n 是抛物线 2( 1) 3y x? ? ? ? 上的两个点，那么m和 n的大小关系
是m n（填“ ?”或“ ?”或“ ?”）．
13．若二次函数 22( 1) 3y x? ? ? 的图象上有三个不同的点 1(A x ，4)、 1 2(B x x? ， )n 、 2(C x ，
4)，则 n的值为 ．
14．已知抛物线 2( ) 3y x m? ? ? ，当 1x ? 时，y随 x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
15．二次函数 2( ) 1y x m? ? ? ，当 2x? 时， y随 x的增大而增大，则m取值范围是 ．
16．如图，将函数 21 ( 2) 1
2
y x? ? ? 的图象沿 y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点
(1, )A m ， (4, )B n 平移后的对应点分别为点 A?、B?．若曲线段 AB扫过的面积为 12（图中的
阴影部分），则新图象的函数表达式是 ．
17．如图，抛物线 2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ? 过点 ( 1,0)? ， (0,2) ，且顶点在第一象限，设
4 2M a b c? ? ? ，则M 的取值范围是 ．
18．二次函数 2y ax bx c? ? ? 的图象如图所示，对称轴为 1x ? ，给出下列结论：① 0abc ? ；
② 2 4b ac? ；③ 4 2 0a b c? ? ? ；④ 2 0a b? ? ．其中正确的结论有 ．
三．解答题（共 7 小题）
19．已知抛物线 2 3y ax? ? 经过点 ( 2, 13)A ? ? ．
（1）求 a的值．
（2）若点 ( , 22)P m ? 在此抛物线上，求点 P的坐标．
20．将二次函数 2 1y ax bx? ? ? 的图象向左平移 1个单位长度后，经过点 (0,3)、 (2, 5)? ，求
a、 b的值．
21．已知函数 2 2( 2 ) 1y m m x mx m? ? ? ? ? ，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
22．将抛物线 21
2
y x? 先向上平移 2个单位，再向左平移 ( 0)m m ? 个单位，所得新抛物线经
过点 ( 1,4)? ，求新抛物线的表达式及新抛物线与 y轴交点的坐标．
23．抛物线 2 2y x x c? ? ? 经过点 (2,1)．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线 2 2y x x c? ? ? 沿 y轴向下平移后，所得新抛物线与 x轴交于 A、B两点，如
果 2AB ? ，求新抛物线的表达式．
24．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 2 3y ax bx a? ? ? 过点 ( 1,0)A ? ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）直线 4y x? ? 与 y轴交于点 B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段 BC
有交点，结合函数的图象，求 a的取值范围．
25．已知，如图所示，直线 l经过点 (4,0)A 和 (0,4)B ，它与抛物线 2y ax? 在第一象限内交于
点 P，又 AOP? 的面积为 9
2
，求 a的值．
沪教新版 九年级上 第 26 章 二次函数 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 6 小题）
1．将二次函数 22( 2)y x? ? 的图象向左平移 1个单位，再向下平移 3个单位后所得图象的函
数解析式为 ( )
A． 22( 2) 4y x? ? ? B． 22( 1) 3y x? ? ? C． 22( 1) 3y x? ? ? D． 22 3y x? ?
【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数 22( 2)y x? ? 的图象向左
平移 1个单位，再向下平移 3个单位后，得以新的抛物线的表达式是， 22( 2 1) 3y x? ? ? ? ，
即 22( 1) 3y x? ? ? ，
故选：C．
2．抛物线 2 2 4y x x? ? ? ? 一定经过点 ( )
A． (2, 4)? B． (1,2) C． ( 4,0)? D． (3,2)
【解答】解： A、将 (2, 4)? 代入 2 2 4y x x? ? ? ? 得， 4 4 4 4? ? ? ? ? ，等式成立，故本选项
正确；
B、将 (1,2)代入 2 2 4y x x? ? ? ? 得， 2 1 2 4? ? ? ? ，等式不成立，故本选项错误；
C、将 ( 4,0)? 代入 2 2 4y x x? ? ? ? 得， 0 16 8 4? ? ? ? ，等式不成立，故本选项错误；
D、将 (3,2)代入 2 2 4y x x? ? ? ? 得， 2 9 6 4? ? ? ? ，等式不成立，故本选项错误．
故选： A．
3．在同一坐标系中，作 2y x? ， 21
2
y x? ? ， 21
3
y x? 的图象，它们的共同特点是 ( )
A．抛物线的开口方向向上
B．都是关于 x轴对称的抛物线，且 y 随 x的增大而增大
C．都是关于 y轴对称的抛物线，且 y 随 x的增大而减小
D．都是关于 y 轴对称的抛物线，有公共的顶点
【解答】解： 因为
2y ax? 形式的二次函数对称轴都是 y轴， 且顶点都在原点，
所以它们的共同特点是： 关于 y 轴对称的抛物线， 有公共的顶点 ．
故选：D．
4．下列二次函数中，如果图象能与 y轴交于点 (0,1)A ，那么这个函数是 ( )
A． 23y x? B． 23 1y x? ? C． 23( 1)y x? ? D． 23y x x? ?
【解答】解：当 0x ? 时， 23 0y x? ? ；当 0x ? 时， 23 1 1y x? ? ? ；当 0x ? 时， 23( 1) 9y x? ? ? ；
当 0x ? 时， 23 0y x x? ? ? ，
所以抛物线 23 1y x? ? 与 y轴交于点 (0,1)．
故选： B．
5．已知抛物线 2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ? 如图所示，那么 a、 b、 c的取值范围是 ( )
A． 0a ? 、 0b ? 、 0c ? B． 0a ? 、 0b ? 、 0c ? C． 0a ? 、 0b ? 、
0c ? D． 0a ? 、 0b ? 、 0c ?
【解答】解：由图象开口可知： 0a ? ，
由图象与 y轴交点可知： 0c ? ，
由对称轴可知： 0
2
b
a
? ? ，
0a? ? ， 0b ? ， 0c ? ，
故选： D．
6．二次函数 2y ax bx c? ? ? 的图象如图所示，对称轴是直线 1x ? ? ，有以下结论：
① 0abc ? ；② 2 0a b? ? ；③ 24 8ac b a? ? ；④3 0a c? ? ；⑤ ( )a b m am b? ? ?
其中正确的结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①根据抛物线可知：
0a ? ， 0b ? ， 0c ? ， 0abc? ? ，
所以①错误；
②因为对称轴 1x ? ? ，即 1
2
b
a
? ? ? ，
2b a? ? ， 2 0a b? ? ? ．
所以②正确；
③因为抛物线与 x轴有两个交点，
所以 2 4 0b ac? ? ，
所以 2 4 8b ac a? ? ．
所以③正确；
④当 1x ? 时， 0y ? ，
即 0a b c? ? ? ，
所以 2 0a a c? ? ? ，
所以 3 0a c? ? ．
所以④正确；
⑤当 1x ? ? 时， y有最大值，
所以当 1x ? ? 时， a b c? ? 的值最大，
当 x m? 时， 2y am bm c? ? ? ，
所以 2a b c am bm c? ? ? ? ? ，
即 ( )a b m am b? ? ? ．
所以⑤错误．
所以有②③④正确．
故选：C．
二．填空题（共 12 小题）
7．如果抛物线 22 1y x x m? ? ? ? 经过原点，那么m的值等于 1 ．
【解答】解：把 (0,0)代入 22 1y x x m? ? ? ? 得 1 0m ? ? ，解得 1m ? ，
故答案为 1．
8．函数 | | 1( 1) 5 5my m x x?? ? ? ? 是二次函数，则m ? 1 ．
【解答】解：由二次函数的定义可知，当
1 0
| | 1 2
m
m
? ??
? ? ??
时，该函数是二次函数
?
1
1
m
m
? ??
? ? ??
1m? ?
故答案为：1．
9．如果点 1(2, )A y 、 2(3, )B y 是二次函数
2 2 1y x x? ? ? 的图象上两点，那么 1y ? 2y ．（填
“ ?”、“ ?”或“ ?” )
【解答】解：?二次函数 2 2 1y x x? ? ? 的图象的对称轴是 1x ? ，
在对称轴的右面 y随 x的增大而增大，
?点 1(2, )A y 、 2(3, )B y 是二次函数
2 2 1y x x? ? ? 的图象上两点，
2 3? ，
1 2y y? ? ．
故答案为： ?．
10．如果抛物线 22y x bx c? ? ? ? 的对称轴在 y轴的左侧，那么b ? 0（填入“ ?”或“ ?”
)．
【解答】解：由对称轴可知： 0
4
bx ? ? ，
0b? ? ，
故答案为： ?
11．若点 ( 1,7)A ? 、 (5,7)B 、 ( 2, 3)C ? ? 、 ( , 3)D k ? 在同一条抛物线上，则 k的值等于 6 ．
【解答】解：?抛物线经过 ( 1,7)A ? 、 (5,7)B ，
?点 A、 B为抛物线上的对称点，
?抛物线解析式为直线 2x ? ，
( 2, 3)C ? ?? 、 ( , 3)D k ? 为抛物线上的对称点，
即 ( 2, 3)C ? ? 与 ( , 3)D k ? 关于直线 2x ? 对称，
2 2 ( 2)k? ? ? ? ? ，
6k? ? ．
故答案为 6．
12．如果点 ( 1, )A m? 、 1( , )
2
B n 是抛物线 2( 1) 3y x? ? ? ? 上的两个点，那么m和 n的大小关系
是m ? n（填“ ?”或“ ?”或“ ?” )．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线 1x ? ，
而抛物线开口向下，
所以当 1x ? 时， y随 x的增大而增大，
所以m n? ．
故答案为 ?．
13．若二次函数 22( 1) 3y x? ? ? 的图象上有三个不同的点 1(A x ，4)、 1 2(B x x? ， )n 、 2(C x ，
4)，则 n的值为 5 ．
【解答】解： 1(A x? ， 4)、 2(C x ， 4)在二次函数
22( 1) 3y x? ? ? 的图象上，
22( 1) 3 4x? ? ? ? ，
22 4 1 0x x? ? ? ? ，
根据根与系数的关系得， 1 2 2x x? ? ? ，
1 2(B x x?? ， )n 在二次函数
22( 1) 3y x? ? ? 的图象上，
22( 2 1) 3 5n? ? ? ? ? ? ，
故答案为 5．
14．已知抛物线 2( ) 3y x m? ? ? ，当 1x ? 时， y 随 x的增大而增大，则 m 的取值范围是
1m? ．
【解答】解： 2( ) 3y x m? ? ?? ，
?对称轴为 x m? ，
1 0a ? ?? ，
?抛物线开口向上，
?在对称轴右侧 y随 x的增大而增大，
?当 1x ? 时， y随 x的增大而增大，
1m? ? ，
故答案为： 1m? ．
15．二次函数 2( ) 1y x m? ? ? ，当 2x? 时，y随 x的增大而增大，则m取值范围是 2m? ．
【解答】解：?函数的对称轴为 x m? ，
又?二次函数开口向上，
?在对称轴的右侧 y随 x的增大而增大，
2x? ? 时， y随 x的增大而增大，
2m? ? ．
故答案为： 2m? ．
16．如图，将函数 21 ( 2) 1
2
y x? ? ? 的图象沿 y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点
(1, )A m ， (4, )B n 平移后的对应点分别为点 A?、B?．若曲线段 AB扫过的面积为 12（图中的
阴影部分），则新图象的函数表达式是 2
1 ( 2) 5
2
y x? ? ? ．
【解答】解：曲线段 AB扫过的面积 ( ) 3 12B Ax x AA AA? ? ? ? ? ? ? ，
则 4AA? ? ，
故抛物线向上平移 4个单位，则 21 ( 2) 5
2
y x? ? ? ，
故答案为 2
1 ( 2) 5
2
y x? ? ? ．
17．如图，抛物线 2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ? 过点 ( 1,0)? ， (0,2) ，且顶点在第一象限，设
4 2M a b c? ? ? ，则M 的取值范围是 6 6M? ? ? ．
【解答】解：将 ( 1,0)? 与 (0,2)代入 2y ax bx c? ? ? ，
0 a b c? ? ? ? ， 2 c? ，
2b a? ? ? ，
? 0
2
b
a
? ? ， 0a ? ，
0b? ? ，
2a? ? ? ，
2 0a?? ? ? ，
4 2( 2) 2M a a? ? ? ? ?
6 6a? ?
6( 1)a? ?
6 6M?? ? ? ，
故答案为： 6 6M? ? ? ；
18．二次函数 2y ax bx c? ? ? 的图象如图所示，对称轴为 1x ? ，给出下列结论：① 0abc ? ；
② 2 4b ac? ；③ 4 2 0a b c? ? ? ；④ 2 0a b? ? ．其中正确的结论有 ①②④ ．
【解答】解：?抛物线开口向下，
0a? ? ，
1
2
b
a
? ?? ，
0b? ? ， 2 0a b? ? ，故④正确，
?抛物线交 y轴于正半轴，
0c? ? ，
0abc? ? ，故①正确，
?抛物线与 x轴有交点，
2 4 0b ac? ? ? ，即 2 4b ac? ，故②正确，
2x ?? 时， 0y ? ，
4 2 0a b c? ? ? ? ，故③错误，
故正确的结论是①②④．
三．解答题（共 7 小题）
19．已知抛物线 2 3y ax? ? 经过点 ( 2, 13)A ? ? ．
（1）求 a的值．
（2）若点 ( , 22)P m ? 在此抛物线上，求点 P的坐标．
【解答】解：（1）将点 ( 2, 13)A ? ? ．代入 2 3y ax? ? ，得 13 4 3a? ? ? ，
解得 4a ? ? ，
?抛物线的函数解析式为 24 3y x? ? ? ，
（2）?点 ( , 22)P m ? 在此抛物线上，
222 4 3m?? ? ? ? ，
解得
5
2
m ? ? ，
?点 P的坐标为 5(
2
， 22)? 或 5(
2
? ， 22)? ．
20．将二次函数 2 1y ax bx? ? ? 的图象向左平移 1个单位长度后，经过点 (0,3)、 (2, 5)? ，求
a、 b的值．
【解答】解：二次函数图象向左平移 1 个单位长度后，经过点 (0,3)、 (2, 5)? ，可得原二次
函数图象经过点 (1,3)、 (3, 5)? ，
得
1 3
9 3 1 5
a b
a b
? ? ??
? ? ? ? ??
，
解得 2a ? ? ， 4b ? ．
21．已知函数 2 2( 2 ) 1y m m x mx m? ? ? ? ? ，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【解答】解：（1）?函数 2 2( 2 ) 1y m m x mx m? ? ? ? ? ，是一次函数，
2 2 0m m? ? ? ， 0m ? ，
解得： 2m ? ? ；
（2） )?函数 2 2( 2 ) 1y m m x mx m? ? ? ? ? ，是二次函数，
2 2 0m m? ? ? ，
解得： 2m ? ? 且 0m ? ．
22．将抛物线 21
2
y x? 先向上平移 2个单位，再向左平移 ( 0)m m ? 个单位，所得新抛物线经
过点 ( 1,4)? ，求新抛物线的表达式及新抛物线与 y轴交点的坐标．
【解答】解：由题意可得： 2
1 ( ) 2
2
y x m? ? ? ，代入 ( 1,4)? ，
解得： 1 3m ? ， 2 1m ? ? （舍去），
故新抛物线的解析式为： 2
1 ( 3) 2
2
y x? ? ? ，
当 0x ? 时， 13
2
y ? ，即与 y轴交点坐标为： 13(0, )
2
．
23．抛物线 2 2y x x c? ? ? 经过点 (2,1)．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线 2 2y x x c? ? ? 沿 y轴向下平移后，所得新抛物线与 x轴交于 A、B两点，如
果 2AB ? ，求新抛物线的表达式．
【解答】解：（1）把 (2,1)代入 2 2y x x c? ? ? 得 4 4 1c? ? ? ，解得 1c ? ，
所以抛物线解析式为 2 2 1y x x? ? ? ，
2( 1)y x? ? ，
所以抛物线顶点坐标为 (1,0)；
（2） 2 22 1 ( 1)y x x x? ? ? ? ? ，抛物线的对称轴为直线 1x ? ，
而新抛物线与 x轴交于 A、 B两点， 2AB ? ，
所以 (0,0)A ， (2,0)B ，
所以新抛物线的解析式为 ( 2)y x x? ? ，即 2 2y x x? ? ．
24．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 2 3y ax bx a? ? ? 过点 ( 1,0)A ? ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）直线 4y x? ? 与 y轴交于点 B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段 BC
有交点，结合函数的图象，求 a的取值范围．
【解答】解：（1）?抛物线 2 3y ax bx a? ? ? 过点 ( 1,0)A ? ，
3 0a b a? ? ? ? ，
4b a? ? ，
?抛物线的解析式为 2 4 3y ax ax a? ? ? ，
?抛物线的对称轴为
4 2
2
ax
a
? ? ? ? ；
（2）?直线 4y x? ? 与 y轴交于点 B，与该抛物线对称轴交于点C ，
(0,4)B? ， ( 2,2)C ? ，
?抛物线 2 3y ax bx a? ? ? 经过点 ( 1,0)A ? 且对称轴 2x ? ? ，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A的对称点 ( 3,0)? ，
① 0a ? 时，如图 1，
将 0x ? 代入抛物线得 3y a? ，
?抛物线与线段 BC恰有一个公共点，
3 4a? ? ，
解得
4
3
a? ，
② 0a ? 时，如图 2，
将 2x ? ? 代入抛物线得 y a? ? ，
?抛物线与线段 BC恰有一个公共点，
2a?? ? ，
解得 2a ?? ；
综上所述，
4
3
a? 或 2a ?? ．
25．已知，如图所示，直线 l经过点 (4,0)A 和 (0,4)B ，它与抛物线 2y ax? 在第一象限内交于
点 P，又 AOP? 的面积为 9
2
，求 a的值．
【解答】解：设点 ( , )P x y ，直线 AB的解析式为 y kx b? ? ，
将 (4,0)A 、 (0,4)B 分别代入 y kx b? ? ，
得 1k ? ? ， 4b ? ，
故 4y x? ? ? ，
AOP?? 的面积为 9
2
，
?
1 94
2 2P
y? ? ? ，
9
4P
y? ? ，
再把
9
4P
y ? 代入 4y x? ? ? ，得 7
4
x ? ，
所以
7(
4
P ， 9)
4
．
把
7(
4
P ， 9)
4
代入到 2y ax? 中得： 36
49
a ? ．
故 a的值为 36
49
．