人教版九年级上册数学课件：24.1.3圆的有关性质——弧、弦、圆心角 (共21张PPT)

(共21张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
1．思考
　　圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
·
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心.
圆一定要绕圆心180 °才能与本身重合吗？
N
　　把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
　　15°
O
2．性质
　　把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
O
15°
N′
　　30°
　可以看出，点 N′在圆O上．
　　把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
O
30°
N′
　60°
　可以看出，点 N′也在圆O上．
　　把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
O
60°
N′
　　n°
　可以看出，点 N′还在圆O上．
　　把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
O
n°
N′
圆具有
旋转对称性.
　　可以看出，点 N′仍落在圆O上．
　即：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合．
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
3．概念
N
O
N′
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
每个圆心角都有它所对的弦和弧.
圆心角: ∠AOB
所对的弦: AB
·
O
B
A
问题：这三个量之间会有什么关系呢？
4．探究
思考：如图,⊙O中,当圆心角∠AOB=∠A1OB1时，它们所对的弧AB和A1B1、弦AB和A1B1相等吗？为什么？
·
O
A
B
A1
B1
当∠AOB=∠A1OB1 时，
AB=A1B1 .
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由此，你可以得到什么结论？
在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
如图⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1，
请问上述结论还成立吗？为什么?
·
O1
·
O
A
B
A1
B1
∵ ∠AOB=∠A1OB1



有关等圆的问题可以叠合成一个圆
加以说明（转化为同圆问题）
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
∵ ∠AOB=∠A1OB1
圆心角定理
数学语言：
在同圆或等圆中，相等的弧所对的
圆心角_____， 所对的弦______；

在同圆或等圆中，相等的弦所对的
圆心角_____，所对的弧______．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦相等.
相等
相等
相等
相等
前提条件
①
②
③
？
圆心角定理
1、三个元素：
圆心角、所对弦、所对弧
2、三个相等关系：
(1) 圆心角相等
(2) 弧相等
(3) 弦相等
知一得二
圆心角定理整体理解：
圆心角等
弧等
弦等
1、如图3，AB、CD 是⊙O 的两条弦。
（1）如果 AB=CD，那么 ， 。
（2）如果 AB=CD，那么 ， 。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。
⌒
⌒
1、如图3，AB、CD 是⊙O 的两条弦。
（4）如果 AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
OE 与OF相等吗？为什么？
AB=CD
AB=CD
(1) 圆心角相等
(2) 弧相等
(3) 弦相等
知一得二
(4) 弦心距相等
三
5．练习
证明： ∵AB=AC
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形　　
又 ∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
例1 如图，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,　　　　
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。
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·
A
B
C
O
圆心角等
弧等
弦等
弦等
证明： ∵ BC=CD=DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE =35°
∴∠AOE=180°-3∠COD =75°
2、如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。
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圆心角等
弧等
解： ∵ AD=BC
∴ AD=BC
∴ AD+AC=BC+AC
即 CD=AB
∴ CD=AB
3、如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小.
O
D
C
A
B
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弧等
弦等
1.请回顾本节课我们学习同圆或等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间的关系的学习过程.
2.怎样记忆圆心角定理呢？
要注意什么？
6．小结
如图，CD为⊙O的弦，在CD上取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O
于点A、B.
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：AC= BD
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7．提升