人教版九年级数学上学期第22章：《二次函数》单元过关练习卷解析版

单元过关练习卷：《二次函数》

一．选择题
1．若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax（　　）
A．有最大值． B．有最大值﹣．
C．有最小值． D．有最小值﹣．
2．矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（　　）
A．y＝x2+8x+14 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+3 D．y＝x2﹣4x+3
3．飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机着陆后滑行到停止下来，滑行的距离为（　　）
A．500米 B．600米 C．700米 D．800米
4．设点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y3＞y2
5．如图，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，3），连结AC，现有一宽度为1，长度足够的矩形沿x轴方向平移，交直线AC于点D和E，△ODE周长的最小值为（　　）

A．2+ B．6 C．2 D．2+3
6．如图在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A，B两点．若AB＝3，则点M到直线l的距离为（　　）

A． B． C．2 D．
7．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（　　）
A．h＜1 B．h＝1 C．1＜h＜2 D．h＞2
8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（　　）

A．abc＜0
B．﹣3a+c＜0
C．b2﹣4ac≥0
D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2+c
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＞﹣；④b2+8a＞4ac中正确的有 （　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


二．填空题
11．已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a+2的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为　 　．
12．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是　 　．

13．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3自变量x部分取值和对应函数值如表
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣m＝0在实数范围内有解，则实数m最小值为　 　．
14．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴l上的一个动点，则PA+PC的最小值是　 　

15．如图，已知抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点 C．D是抛物线上一点于点，且AD∥CB，作∠DAE＝∠ADB交射线CB于点E，则点E的坐标为　 　．


16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣+3，由此可知铅球达到的最大高度是　 　m，推出的距离是　 　m．
17．如图，为了美化校园环境，某中学准备在一块空地（长方形ABCD，AB＝10m，BC＝20m）上进行绿化，中间的一块（图中四边形EFGH）上种花，其他的四块（图中的四个直角三角形）上铺设草坪，并要求AE＝AH＝CF＝CG，当四边形EFGH（中间种花的一块）面积最大时，AE＝　 　．


三．解答题
18．抛物线C1：y1＝a1x2+b1x+c与抛物线C2：y2＝a2x2+b2x+c中，若，则称抛物线C1，C2为“窗帘”抛物线．
（1）已知y＝x2+2x﹣3与y＝2x2+bx﹣3是“窗帘”抛物线，
①b的值为　 　；
②在如图的坐标系中画出它们的大致图象，并直接写出它们的交点坐标．
（2）设抛物线y＝x2+2x﹣3，y＝nx2+2nx﹣3，y＝3nx2+6nx﹣3（n＞0）的顶点分别为D，E，F，
①判断它们是否是“窗帘”抛物线？答：　 　（填“是”或“不是”）
②若EF＝3DE，求n的值．



19．若已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，
（1）求证：二次函数始终与x轴有2个交点；
（2）若a＞0且b＝2a﹣2，
①当x≥﹣3时，y≥﹣a恒成立，求a的取值范围；
②当a，n都为正整数时，若在﹣n﹣2≤x≤﹣n﹣1范围内，函数的值有且只有13个整数，求a的值．



20．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A、B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．
（1）求A、B两种型号汽车的进货单价；
（2）销售中发现A型汽车的每周销量yA（台）与售价x（万元/台）满足函数关系yA＝﹣x+20，B型汽车的每周销量yB（台）与售价x（万元/台）满足函数关系yB＝﹣x+14，A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台．问A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？





21．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．




22．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．


23．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D，交y轴为E．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求的值．

24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c经过点D（﹣2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
（2）已知点M在抛物线上，点N在该抛物线的对称轴上，
①当∠ACM＝90°时，求点M的坐标；
②是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．




参考答案
一．选择题
1．解：∵一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，
∴a+1＞0且a＜0，
∴﹣1＜a＜0，
∴二次函数y＝ax2﹣ax有最大值﹣，
故选：B．
2．解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，
∴矩形ABCD关于坐标原点对称，
∵A点C点是对角线上的两个点，
∴A点、C点关于坐标原点对称，
∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；
∴透明纸由A点平移至C点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；
∵透明纸经过A点时，函数表达式为y＝x2，
∴透明纸经过C点时，函数表达式为y＝（x+4）2﹣2＝x2+8x+14
故选：A．
3．解：s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
则当t＝20时，s取得最大值，此时s＝600，
故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为：600m．
故选：B．
4．解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m的开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m上的三点，
∴点C关于对称轴x＝1的对称点是（0，y3），
∵﹣1＜0＜1，
∴y2＞y3＞y1，
故选：A．
5．解：如图，

∵OA＝OC＝3，作正方形AOCM，连接OM、作MN∥AC，使得MN＝DE，连接ON交AC于E，此时OD+OE的值最小．
∵MN＝DE，MN∥DE，
∴四边形MNED是平行四边形，
∴DM＝EN，
∴△ODE的周长＝OD+DE+EO＝DM+DE+OE＝NE+OE+DE＝ON+DE，
∵AC⊥OM
∴MN⊥OM，
∴∠NMO＝90°，
∵MN＝DE＝，OM＝3，
∴ON＝＝＝2，
∴△ODE的周长的最小值为2+，
故选：A．
6．解：∵抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，
∴M（h，0），对称轴为x＝h，
∵抛物线与平行于x轴的直线l交于A，B两点，
∴点A和B的纵坐标相等，设为a，
则a＝（x﹣h）2时，x﹣h＝±，
∴点A的横坐标为h﹣，点B的横坐标为h+，
∵AB＝3，
∴h+﹣（h﹣）＝3，
解得：a＝；
即点M到直线l的距离为；
解法二：把抛物线往左平移，使点A落在y轴上，则点A的横坐标为0，又因为AB＝3，
所以对称轴x＝，
所以平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣3x+c，
又因为抛物线与x轴只有一个交点，
所以△＝b2﹣4ac＝32﹣4c＝9﹣4c＝0，即c＝9/4
当x＝0时，y＝c＝9/4，所以点M到直线l的距离为．
故选：B．
7．解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，
知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，

可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b）
则因斜边上的高为h，
故：h＝b﹣a2，
∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴得CD＝
∴＝方程两边平方得：（b﹣a2）＝（a2﹣b）2
即h＝（﹣h）2
因h＞0，得h＝1，是个定值．
故选：B．
8．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
9．解：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；
B．根据图知对称轴为直线x＝2，即＝2，得b＝﹣4a，再根据图象知当x＝1时，y＝a+b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＜0，故本选项正确；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
D．y＝ax2+bx+c＝，
∵＝2，
∴原式＝，
∴向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；
故选：B．
10．解：∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，
∴﹣1＜﹣＜0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜b，即2a﹣b＜0，所以②正确，③错误；
∵y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2，
∴c＝2﹣a+b，
∴b2+8a﹣4ac＝b2+8a﹣4a（2﹣a+b）＝b2﹣4ab+4a2＝（b﹣2a）2，
而2a＜b，
∴b2+8a﹣4ac＞0，即b2+8a＞4ac，所以④正确．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a+2的图象与两坐标轴共有两个交点，
∴当a﹣1＝0时，得a＝1，此时y＝﹣2x+1与两坐标轴两个交点，
当a﹣1≠0时，则或，
解得，a＝2或a＝﹣2，
由上可得，a的值是1，2或﹣2，
故答案为：1，2或﹣2．
12．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（1，0）、（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1，x2＝3，
故答案为x1＝1，x2＝3．
13．解：∵x＝0，x＝2的函数值都是﹣3，相等，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，
根据表格得，自变量x＜1时，函数值逐点减小，当x＝1时，达到最小，当x＞1时，函数值逐点增大，
∴抛物线的开口向上，顶点为（1，﹣4），
若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣m＝0在实数范围内有解，则二次函数y＝ax2+bx﹣m与x轴有交点，
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3向上最大平移4个单位与x轴有交点，
∴ax2+bx﹣m＝ax2+bx﹣3+4，
解得m＝﹣1，
∴实数m最小值为﹣1
故答案为：﹣1．
14．解：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝3，
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），
函数的对称轴为：x＝1，
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点P，则点P 为所求，

则PA+PC的最小值＝BC＝3，
故答案为：3．
15．解：当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则A（﹣1，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4，则C（0，﹣4），
易得直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∵BC∥AD，
∴设AD的解析式为y＝x+b，
把A（﹣1，0）代入得﹣1+b＝0，解得b＝1，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
解方程组得或，
∴D（5，6），
作DH⊥x轴于H交AE于F，
易得△ADH为等腰直角三角形，
∴∠DAH＝∠ADH＝45°，
∵∠DAE＝∠ADB，
∴∠EAH＝∠BAH，
∴Rt△AFH∽Rt△DBH，
∴＝，即＝，
∴FH＝1，
∴F（5，1），
易得直线AE的解析式为y＝x+，
解方程组得
∴E点坐标为（5，1）．
故答案为（5，1）．

16．解：
∵y＝﹣+3，
∴抛物线的顶点坐标为（4，3），
∴当x＝4时，铅球达到的最大高度为3米，
令函数式y＝﹣（x﹣4）2+3中，y＝0，
0＝﹣（x﹣4）2+3，
解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
答：铅球推出的距离是10m．
故答案为：3；10．
17．解：存在．设AE＝AH＝CG＝CF＝xm，
则BE＝DG＝（10﹣x）m，BF＝DH＝（20﹣x）m，
∴四边形EFGH的面积：
S＝10×20﹣2×x?x﹣2×（10﹣x）（20﹣x），
S＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∵﹣2＜0
∴x＝7.5时，S有最大值．
故答案为：7.5米
三．解答题（共7小题）
18．解：（1）①∵y＝x2+2x﹣3与y＝2x2+bx﹣3是“窗帘”抛物线，
∴，
∴b＝4，
故答案为：4．
②在坐标系中它们的大致图象如图所示，
由图象可知交点坐标为（0，﹣3），（﹣2，﹣3）．

（2）①∵抛物线y＝x2+2x﹣3，y＝nx2+2nx﹣3，y＝3nx2+6nx﹣3（n＞0），
∴，，
∴它们是“窗帘”抛物线；
故答案为：是；
②∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2+2x﹣3顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），
∵y＝nx2+2nx﹣3＝n（x+1）2﹣3﹣n，
∴抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣3﹣n），
∵y＝3nx2+6nx﹣3＝3n（x+1）2﹣3﹣3n，
∴抛物线顶点F的坐标为（﹣1，﹣3﹣3n），
∴EF＝|﹣3﹣n+3n+3|＝|2n|，DE＝|﹣4+3+n|＝|﹣1+n|，
∵EF＝3DE，
∴|2n|＝3|n﹣1|，
当2n＝3（n﹣1）时，解得n＝3，
当2n＝﹣3（n﹣1）时，解得n＝，
故n的值为3或．
19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，
∴b≠0，
把（0，0）代入y＝ax2+bx+c，得c＝0，
∵△＝b2﹣4ac＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴始终有2个交点；
（2）函数对称轴为x＝﹣1+，
①当a＜﹣1时，函数在x≥﹣1时，函数值y随x的增大而增大，
∴（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+2≥a，
即1+2a+2≥a，
解得a≥﹣3，
②当a≥﹣1时，函数的最小值在x＝a时取得，
∴a2﹣2a?a+2≥a，
解得﹣2≤a≤1，
综上所述，﹣3≤a≤1．
故答案为：a的取值范围是：﹣3≤a≤1．
20．解：（1）设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得
＝，解得x＝8，
经检验x＝8是原分式方程的根．
答A、B两种型号汽车的进货单价为：10万元、8万元．
（2）设两种汽车的总利润为w万元，根据题意，得
w＝（x+2﹣10）（﹣x+20）+（x﹣8）（﹣x+14）
＝﹣2x2+50x﹣272
＝﹣2（x﹣12.5）2+40.5
∵﹣2＜0，当x＝12.5时，w有最大值为40.5．
答：A、B两种型号的汽车售价各为14.5万元、12.5万元时，
每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是40.5万元
21．解：（1）设y与x的函数关系为y＝kx+b，
将（10，200），（15，150）代入，得
，，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）．
（2）设每天销售获得利润为w元，根据题意，得
w＝（x﹣8）（﹣10x+300）
＝﹣10x2+380x﹣2400
＝﹣10（x﹣19）2+1210
∵﹣10＜0，当x＝19时，w有最大值为1210，
答：黄金梨定价为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．
（3）根据题意，得
40y＝4800，
即﹣10x+300＝120，解得x＝18．
答：能销售完这批黄金梨．
22．解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，
∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3）；
（2）连接OC，如右图所示，
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3），
∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝＝9．

23．解：（1）设该函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）
则3＝a（0+3）（0﹣1），
解得，a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
即二次函数的解析式；是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，
∵点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，
∴点D的坐标为（﹣2，3），
设过点B（1，0）、点D（﹣2，3）的直线的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即直线BD的解析式为y＝﹣x+1，
当x＝0时，y＝﹣0+1＝0，
即点E的坐标为（0，1），
作DF⊥AB于点F，
∵DF⊥AB，EO⊥AB于点O，
∴△BEO∽△BDF，
∴，
∵点B（1，0），点F（﹣2，0），
∴BO＝1，BF＝3，
∴，
∴＝．

24．解：（1）将点D的坐标代入抛物线表达式并解得：c＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
令y＝0，则x＝﹣3或1，故点A、B的坐标为：（﹣3，0）、（1，0）；

（2）①直线AC的倾斜角为45°，∠ACM＝90°时，
则点M所在的直线表达式为：y＝﹣x＝3…②，
联立①②并解得：x＝0或﹣1（舍去0），故点M（﹣1，4）；
②存在，理由：
设点M的坐标为：（m，n），n＝﹣m2﹣2m+3，点N（﹣1，s），
当AC是平行四边形的边时，
点A向右平移3个单位向上平移3个单位得到C，
同样点M（N）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N（M），
即m±3＝﹣1，解得：m＝2或﹣4，故点M（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）；
当AC是平行四边形的对角线时，
则﹣3＝m﹣1，解得：m＝﹣2，故点M（﹣2，3），
综上，点M（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）或（﹣2，3）．