3.2 投影与视图
1、投影的相关概念
（1）投影：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的________，叫做物体的投影.
投影可分为________投影和________投影.
平行投影：由________光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影.
中心投影：由________发出的光线所形成的投影称为中心投影.
（2）正投影：在平行投影中，投影线________投影面产生的投影，叫做正投影.
2、视图的相关概念
（1）视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的________叫做物体的一个视图.
（2）三视图：物体的三视图特指________、________、________.
主视图：在正面内得到的由前向________观察物体的视图，叫做主视图.
俯视图：在水平面内得到的由上向________观察物体的视图，叫做俯视图.
左视图：在侧面内得到的由左向________观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图.
注意：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图________，左视图与俯视图________.
考点一：投影
身高相同的小明和小丽站在灯光下的不同位置，已知小明的投影比小丽的投影长，我们可以判定小明离灯光较_________.
变式跟进1给出以下命题，命题正确的有（ ）
①太阳光线可以看成平行光线，这样的光线形成的投影是平行投影
②物体的投影的长短在任何光线下，仅与物体的长短有关
③物体的俯视图是光线垂直照射时，物体的投影
④物体的左视图是灯光在物体的左侧时所产生的投影
⑤看书时人们之所以使用台灯是因为台灯发出的光线是平行的光线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点二：由立体图形确定三视图
如图，图中的几何体是将圆柱沿竖直方向切掉一半后，再在中心挖去一个圆柱得到的，则该几何体的左视图是（ ）
/
A. / B. / C. / D. /
变式跟进2下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（ ）
A. / B. / C. / D. /
考点三： 由三视图确定立体图形
如图是某个几何体的三视图，则该几何体的形状是（ ）
/
A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 三棱柱
变式跟进3如图，1，2，3，4，T是五个完全相同的正方体，将两部分构成一个新的几何体得到其正视图，则应将几何体T放在（ ）
/
A. 几何体1的上方 B. 几何体2的左方 C. 几何体3的上方 D. 几何体4的上方
考点四：由三视图求立方体的个数
如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
/
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
变式跟进4如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体的主视图与俯视图，根据视图可以判断组成这个几何体至少要_________ 个小立方体.
/
考点五：由三视图求立体图形的面积
一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 _．
/
变式跟进5一个几何体的三个视图如图所示（单位：cm）．
/
（1）写出这个几何体的名称： ；
（2）若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积．
考点六：由三视图求立体图形的体积
长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体体积是______.
//
变式跟进6如图，是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是_________
cm
3
；
/
一、选择题
1、（2017?绥化）正方形的正投影不可能是（?? ）
A、线段 B、矩形 C、正方形 D、梯形
2、（2017?益阳）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（?? ）
/
A、/cm2 B、/cm2 C、30cm2 D、7.5cm2
3．（2018·阜新）如图所示，是一个空心正方体，它的左视图是（ ）
/
A． / B． / C． / D． /
4．（2018·济宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
/
A． 24+2π B． 16+4π C． 16+8π D． 16+12π
5．（2018·青海）由一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小立方块有（ ）
/
A． 3块 B． 4块 C． 6块 D． 9块
6．（2019·连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
7．（2019?济宁）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
8．（2019?达州）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
二、填空题
9、（2017?江西）如图，正三棱柱的底面周长为9，截去一个底面周长为3的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是________．
/
10、（2017?呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积为________．
/
11．（2018·日照）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是 ．
/
12．（2018?齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EGF=30°，则AB的长为 cm．
/
13．（2018?临安）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）_____．
/
14．（2019?北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）
/
15．（2019?广州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为_____.（结果保留π）
/
16．（2019?青岛）如图，一个正方体由 27 个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走_________个小立方块．
/
三、解答题
17．（2017?达州）如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）
/
18．（2018?凉山）观察下列多面体，并把下表补充完整.
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
/
/
/
/
顶点数
6
10
12
棱数
9
12
面数
5
8
观察上表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出关系式.
19．（2019?甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其俯视图为等边三角形，求该几何体左视图的面积.
/
20．（2019?台湾）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
/
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
一、选择题
1．（2018南阳二模）观察如图所示的三种视图，与之对应的物体是（ ）
/
A． / B． / C． / D． /
2．（2018淮安模拟）图①是五棱柱形状的几何体，则它的三视图为（ ）
/
A． / B． / C． / D． /
3．（2018盐城模拟）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（ ）
/
A． 60π B． 70π C． 90π D． 160π
4．（2018贵港一模）如图，由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数至少为（ ）
/
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
5．（2019?郑州模拟）如图所示，该几何体的左视图是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
6．（2019?孝感模拟）如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（ ）
/
A． B． C． D．
7．（2019?云浮模拟）第14届中国(深圳)国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的紫砂壶，从不同方向看这只紫砂壶，你认为是从上面看到的效果图是( )
/
A．/ B．/
C．/ D．/
8．（2019?石家庄模拟）中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图2是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有六畜：“猪”、“牛”、“羊”、“马”、“鸡”、“狗”.将其围成一个正方体后，则与“牛”相对的是( )
/
A．羊 B．马 C．鸡 D．狗
二、填空题
9．（2018吉安模拟）如图是一个长方体的三视图（单位：cm），根据图中数据计算这个长方体的体积是______
cm
3
．
/
10．（2018陇南二模）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的所有侧面积之和为_____．
/
11．（2018定西模拟）由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是_____．
/
12．（2018常州一模）一根长为2米的笔直的木棍直立在地面上，某一时刻，它在太阳光下的投影长为2.4米.在
同一时刻，站立在地面上的小强的影子长为2.1米，则小强的身高为_____米
13．（2019?北京模拟）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为_____米．
/
14．（2019?菏泽模拟）由个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的个数是________．
/
15．（2019?咸宁模拟）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是_____个．
/
16．（2019?衡水模拟）三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EGF=30°，则AB的长为 cm．
/
三、解答题
17．（2018定西一模）根据如图视图（单位：mm），求该物体的体积．
/
18．（2018达州模拟）如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2
5
米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）
/
19．（2019?咸宁模拟）如图所示的是某个几何体从三种不同方向所看到的图形．
（1）说出这个几何体的名称；
（2）根据图中有关数据，求这个几何体的表面积．
/
20．（2019?聊城模拟）如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置.
（1）在小亮由B沿所在的方向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为______；
（2）请你在图中画出小亮站在处的影子；
（3）当小亮离开灯杆的距离时，身高（）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？
/
/
3.2 投影与视图
1、投影的相关概念
（1）投影：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影.
投影可分为平行投影和中心投影.
平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影.
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影.
（2）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影，叫做正投影.
2、视图的相关概念
（1）视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图.
（2）三视图：物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图.
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图.
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图.
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图.
注意：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等.
考点一：投影
身高相同的小明和小丽站在灯光下的不同位置，已知小明的投影比小丽的投影长，我们可以判定小明离灯光较_________.
【答案】远
【解析】解：由中心投影可知：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．
所以小明离灯光较远．
故答案为：远.
【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律. 中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．据此判断即可．
变式跟进1给出以下命题，命题正确的有（ ）
①太阳光线可以看成平行光线，这样的光线形成的投影是平行投影
②物体的投影的长短在任何光线下，仅与物体的长短有关
③物体的俯视图是光线垂直照射时，物体的投影
④物体的左视图是灯光在物体的左侧时所产生的投影
⑤看书时人们之所以使用台灯是因为台灯发出的光线是平行的光线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】解：①太阳光线可以看成平行光线，这样的光线形成的投影是平行投影，正确；
②若是中心投影时，还与投影中心的距离有关，故本小题错误；
③物体的俯视图是光线垂直照射时，物体的投影，正确；
④物体的左视图是平行投影在物体的左侧时所产生的投影，故本小题错误；
⑤台灯发出的光线是发散的光线，故本小题错误；
正确的有两个，故选B.
【点评】本题考查的是平行投影、中心投影的应用.根据平行投影、中心投影的特征依次判断即可.
考点二：由立体图形确定三视图
如图，图中的几何体是将圆柱沿竖直方向切掉一半后，再在中心挖去一个圆柱得到的，则该几何体的左视图是（ ）
/
A. / B. / C. / D. /
【答案】A
【解析】从左边看外边是一个矩形，里边是一个矩形，里面矩形的宽用虚线表示，
故选：A.
【点评】按左视图的定义进行判断.
变式跟进2下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（ ）
A. / B. / C. / D. /
【答案】D
【解析】A. 主视图为长方形；
B. 主视图为长方形；
C. 主视图为长方形；
D. 主视图为三角形。
则主视图与其它三个不相同的是D.
故选D.
【点评】确定四个选项的主视图，即可找出不同的那个主视图.
考点三： 由三视图确定立体图形
如图是某个几何体的三视图，则该几何体的形状是（ ）
/
A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 三棱柱
【答案】D
【解析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选D．
【点评】根据三视图，结合选项进行判断即可.
变式跟进3如图，1，2，3，4，T是五个完全相同的正方体，将两部分构成一个新的几何体得到其正视图，则应将几何体T放在（ ）
/
A. 几何体1的上方 B. 几何体2的左方 C. 几何体3的上方 D. 几何体4的上方
【答案】D
【解析】由新几何体的主视图易得第二层最右边应有1个正方体，那么T应在几何体4的上方，
故选D．
【点评】根据主视图，即可判断小正方体T所在的位置.
考点四：由三视图求立方体的个数
如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
/
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】B
【解析】综合三视图可以得出，这个几何体的底层应该有4+1=5个，第二层应该有2个，第三层应该有1个，因此组成该几何体的小正方体的个数是5+2+1=8个．故选B.
【点评】由三视图还原成立体图形，分层即可查出有多少个小立方体
变式跟进4如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体的主视图与俯视图，根据视图可以判断组成这个几何体至少要_________ 个小立方体.
/
【答案】8
【解析】由俯视图可以看出组成这个几何体的底面小正方体有5个，由主视图可知第二层最少有2个，第三层最少有1个，所以组成这个几何体的小正方体的个数最少为5+2+1=8个．
【点评】本题主要考查学生由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．做题要掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”．
考点五：由三视图求立体图形的面积
一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 _．
/
【答案】72+8
【解析】根据图示可得底面为等边三角形，则S=4×2÷2=4，
侧面积=（4+4+4）×6=72，
则全面积=72+8.
【点评】根据三视图，先判断几何体形状，再分别求出侧面积和底面积取和即可求出全面积.
变式跟进5一个几何体的三个视图如图所示（单位：cm）．
/
（1）写出这个几何体的名称： ；
（2）若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积．
【答案】（1）长方体；（2）66cm2．
【解析】解：（1）根据三视图可得这个几何体是长方体；
（2）由三视图知，几何体是一个长方体，
长方体的底面是边长为3的正方形，高是4，
则这个几何体的表面积是2×（3×3+3×4+3×4）=66（cm2）．
答：这个几何体的表面积是66cm2．
故答案为长方体．
【点评】（1）由2个视图是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是正方形，那么可得该几何体是长方体；
（2）由三视图知，长方体的底面是边长为3的正方形，高是4，根据长方体表面积公式列式计算即可．
考点六：由三视图求立体图形的体积
长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体体积是______.
//
【答案】36
【解析】根据三视图可得这个长方体的长为4，宽为3、高位3，则V=4×3×3=36.
【点评】根据主视图与俯视图，可得到长方体的长、宽、高，利用长方体体积公式即可求解.
变式跟进6如图，是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是_________
cm
3
；
/
【答案】2000π
【解析】综合三视图，可以得出这个几何体应该是个圆柱体，且底面半径为10，高为20．
因此它的体积应该是：π×10×10×20=2000π．
【点评】利用三视图，判断几何体的形状及对应的数据，再利用相应的体积公式求解
一、选择题
1、（2017?绥化）正方形的正投影不可能是（?? ）
A、线段 B、矩形 C、正方形 D、梯形
【答案】D
【解析】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段． 故正方形纸板ABCD的正投影不可能是梯形，
故选：D．
【点评】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．
2、（2017?益阳）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（?? ）
/
A、/cm2 B、/cm2 C、30cm2 D、7.5cm2
【答案】D
【解析】解：12× /=3（cm） 10× /=2.5（cm）
3×2.5=7.5（cm2）
答：其主视图的面积是7.5cm2 ．
故选：D．
【点评】根据给出的空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，比例尺为1：4，可得其主视图的面积=长12× /=3cm宽10× /=2.5cm的长方体的面积，根据长方形面积公式计算即可求解．
3．（2018·阜新）如图所示，是一个空心正方体，它的左视图是（ ）
/
A． / B． / C． / D． /
【答案】C
【解析】直接利用左视图的观察角度进而得出答案．
解：如图所示：
左视图为：/．
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键．
4．（2018·济宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
/
A． 24+2π B． 16+4π C． 16+8π D． 16+12π
【答案】D
【解析】根据三视图知该几何体是一个半径为2、高为4的圆柱体的纵向一半，据此求解可得．
解：该几何体的表面积为2×
1
2
?π?22+4×4+
1
2
×2π?2×4=12π+16，
故选：D．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及圆柱体的有关计算．
5．（2018·青海）由一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小立方块有（ ）
/
A． 3块 B． 4块 C． 6块 D． 9块
【答案】B
【解析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
解：从俯视图可得最底层有3个小正方体，由主视图可得有2层上面一层是1个小正方体，下面有2个小正方体，从左视图上看，后面一层是2个小正方体，前面有1个小正方体，所以此几何体共有四个正方体．
故选B．
6．（2019·连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B
【解析】根据展开图推出几何体，再得出视图.
解：根据展开图推出几何体是四棱柱，底面是四边形.
故选：B
【点评】考核知识点：几何体的三视图.
7．（2019?济宁）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B
【解析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．
解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项B能折叠成原几何体的形式；
选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何体的展开图解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．
8．（2019?达州）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B
【解析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可作出判断．
解：从左面看可得到从左到右分别是3，1个正方形．
故选：B．
【点评】查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
二、填空题
9、（2017?江西）如图，正三棱柱的底面周长为9，截去一个底面周长为3的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是________．
/
【答案】8
【解析】解：从上边看是一个梯形：上底是1，下底是3，两腰是2， 周长是1+2+2+3=8，
故答案为：8．
【点评】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
10、（2017?呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积为________．
/
【答案】（225+25 /）π
【解析】解：由三视图可知，几何体是由圆柱体和圆锥体构成， 故该几何体的表面积为：20×10π+π×82+ /×10π× /=（225+25 /）π
故答案是：（225+25 /）π．
【点评】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由圆柱体和圆锥体构成，从而根据三视图的特点得知高和底面直径，代入表面积公式计算即可．
11．（2018·日照）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是 ．
/
【答案】4πcm2，
【解析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为
2
2
2
+
1
2
=3cm，底面半径为1cm，
故表面积=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2，
故答案为：4πcm2.
【点评】本题考查了由三视图还原几何体以及圆锥的表面积，掌握常见几何体的三视图以及圆锥的表面积公式是解本题的关键.
12．（2018?齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EGF=30°，则AB的长为 cm．
/
【答案】6
【解析】过点E作EQ⊥FG于点Q，
/
由题意可得出：FQ=AB，
∵EG=12cm，∠EGF=30°，∴EQ=AB=/×12=6（cm）.
13．（2018?临安）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）_____．
/
【答案】
/
【解析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可，答案不唯一.
解：如图：
/
14．（2019?北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）
/
【答案】①②
【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．
解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形， 圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆， 圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆， 故答案为：①②．
【点评】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
15．（2019?广州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为_____.（结果保留π）
/
【答案】
【解析】先求出圆锥底面半径，然后根据扇形的弧长为圆锥底面的圆周长进行计算即可解答.
解：因为圆锥的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，
所以圆锥底面半径为：R＝
圆锥侧面展开扇形的弧长为圆锥底面的圆周长，
所以，弧长为：
故答案为：
【点评】本题考查解直角三角形和圆锥三视图，熟练掌握是解题的关键.
16．（2019?青岛）如图，一个正方体由 27 个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走_________个小立方块．
/
【答案】8
【解析】根据新几何体的三视图,取走后得到的面与原来的几何体相同解答即可．
解：若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的面与原来的几何体的面相同，所以最多可以取走8个顶点处共8个小立方块．
故答案为：8
【点评】本题主要考查了几何体的表面积，理解三视图是解答本题的关键．用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
三、解答题
17．（2017?达州）如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）
/
【答案】．
【解析】如图（见解析）作于于E，则四边形EMFQ是矩形．PQ=PF+FE=PF+MN-NE. 在中，设，则，利用勾股定理得：，，解得：，所以：，因为，;在中，，．??
解:如图作于于E，则四边形EMFQ是矩形．
/
在中，设，则，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．??
【点评】本题目是一道三角函数的解答题.两次利用三角函数，注意：在利用三角函数时，需要注明在某个直角三角形中.
18．（2018?凉山）观察下列多面体，并把下表补充完整.
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
/
/
/
/
顶点数
6
10
12
棱数
9
12
面数
5
8
观察上表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出关系式.
【答案】8，15，18，6，7；
【解析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案，
利用前面的规律得出a，b，c之间的关系．
解：填表如下：
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
/
/
/
/
顶点数a
6
8
10
12
棱数b
9
12
15
18
面数c
5
6
7
8
根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有n+2个面，共有2n个顶点，共有3n条棱；
故a，b，c之间的关系：a+c-b=2．
【点评】此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键．
19．（2019?甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其俯视图为等边三角形，求该几何体左视图的面积.
/
【答案】cm2
【解析】根据三视图的“长对正，高平齐，宽相等”判断及计算即可.
解：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，且它的底面是边长为，高为的等边三角形，它的高为.
所以该几何体左视图的面积为
.
【点评】此题考查的是三视图的关系，掌握三视图“长对正，高平齐，宽相等”是解决此题的关键.
20．（2019?台湾）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
/
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
【答案】（1）敏敏的影长为公分；（2）高圆柱的高度为公分．
【解析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．
（2）如图，连接，作．分别求出，的长即可解决问题．
解：（1）设敏敏的影长为公分．
由题意：，
解得（公分），
经检验：是分式方程的解．
∴敏敏的影长为公分．
（2）如图，连接，作．
，
∴四边形是平行四边形，
公分，
设公分，由题意落在地面上的影从为公分．
，
（公分），
（公分），
答：高圆柱的高度为公分．
/
【点评】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
一、选择题
1．（2018南阳二模）观察如图所示的三种视图，与之对应的物体是（ ）
/
A． / B． / C． / D． /
【答案】D
【解析】首先根据主视图中有两条虚线，得知该几何体应该有两条从正面看不到的棱，然后结合俯视图及提供的三个几何体即可得出答案．
解：因为主视图中有两条虚线，所以该几何体有两条从正面看不到的棱，排除B；结合俯视图，可以确定该几何体为D．
故答案为：D．
【点评】此题主要考查了由三视图想象立体图形的能力，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；需要注意的是看到的棱用实线表示，看不到的用虚线表示．
2．（2018淮安模拟）图①是五棱柱形状的几何体，则它的三视图为（ ）
/
A． / B． / C． / D． /
【答案】A
【解析】根据图①中五棱柱形状的几何体，分别找到该几何体从正面看，从上面看，从左面看得到视图即可作出选择.
解：观察图①中五棱柱形状的几何体，可知主视图为一个正五边形，左视图为一个矩形里有一条横向的实线，俯视图为左右相邻的4个矩形里有两条纵向的虚线.只有选项??符合.
故选：??.
【点评】考查简单几何体的三视图，用到的知识点为：主视图、俯视图、左视图分别是从正面看、从上面看、从左面看得到的平行图形.
3．（2018盐城模拟）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（ ）
/
A． 60π B． 70π C． 90π D． 160π
【答案】B
【解析】由几何体的三视图得，几何体是高为10，外径为8。内径为6的圆筒，
∴该几何体的体积为??(
4
2
?
3
2
)?10=70??.
故选B.
4．（2018贵港一模）如图，由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数至少为（ ）
/
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
【答案】B
【解析】首先根据几何体的左视图，可得这个几何体共有3层；然后从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状；最后从左视图判断出第二层、第三层的个数，进而求出组成这个几何体的小正方体的个数是多少即可．
解：根据几何体的左视图，可得这个几何体共有3层，从俯视图可以可以看出最底层的个数是4个．
（1）当第二层有1个小正方体，第三层有1个小正方体时，组成这个几何体的小正方体的个数是：1+1+4=6（个）；
（2）当第二层有1个小正方体，第三层有2个小正方体时，或当第二层有2个小正方体，第三层有1个小正方体时，组成这个几何体的小正方体的个数是：1+2+4=7（个）；
（3）当第二层有2个小正方体，第三层有2个小正方体时，组成这个几何体的小正方体的个数是：2+2+4=8（个）．
综上，可得组成这个几何体的小正方体的个数至少为6个．
故选B．
【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，考查了空间想象能力，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
5．（2019?郑州模拟）如图所示，该几何体的左视图是（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B
【解析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
解：该几何体的左视图如选项B所示，故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
6．（2019?孝感模拟）如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（ ）
/
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由三视图知道这个几何体是圆锥，圆锥的高是b，母线长是c，底面圆的半径是a，刚好组成一个以c为斜边的直角三角形．
解：根据勾股定理得，a2+b2=c2．
故选：D．
【点评】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查圆锥的高，母线和底面半径的关系．
7．（2019?云浮模拟）第14届中国(深圳)国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的紫砂壶，从不同方向看这只紫砂壶，你认为是从上面看到的效果图是( )
/
A．/ B．/
C．/ D．/
【答案】C
【解析】俯视图就是从物体的上面看物体，从而得到的图形．
解：由立体图形可得其俯视图为：/
/．
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握三视图的观察角度是解题关键．
8．（2019?石家庄模拟）中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图2是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有六畜：“猪”、“牛”、“羊”、“马”、“鸡”、“狗”.将其围成一个正方体后，则与“牛”相对的是( )
/
A．羊 B．马 C．鸡 D．狗
【答案】C
【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“猪”相对的字是“羊”；“马”相对的字是“狗”；“牛”相对的字是“鸡”．
故选C．
【点评】本题主要考查了正方体的平面展开图，解题的关键是掌握立方体的11种展开图的特征．
二、填空题
9．（2018吉安模拟）如图是一个长方体的三视图（单位：cm），根据图中数据计算这个长方体的体积是______
cm
3
．
/
【答案】24
【解析】该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体，依题意可求出该几何体的体积为3×2×4=
24cm
3
．故答案为：24．
10．（2018陇南二模）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的所有侧面积之和为_____．
/
【答案】48
【解析】
观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，然后根据提供的尺寸求得其侧面积即可．
解：由三视图知该几何体是底面边长为2、高为4的正六棱柱，∴其侧面积之和为2×4×6=48．
故答案为：48．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图判断几何体的形状及各部分的尺寸，难度不大．
11．（2018定西模拟）由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是_____．
/
【答案】18
【解析】根据主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形即可求出答案．
解：由俯视图知，最少有7个立方块．
∵由主视图知在最左边前后两层每层3个立方体，中间3个每层2个立方体和最右边前两排每层3个立方体，∴n的最大值是：3×2+3×2+3×2=18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
12．（2018常州一模）一根长为2米的笔直的木棍直立在地面上，某一时刻，它在太阳光下的投影长为2.4米.在
同一时刻，站立在地面上的小强的影子长为2.1米，则小强的身高为_____米
【答案】1.75，
【解析】根据同一时刻的物高与影长成比例列示求出树落在地面上的影长对应的树高,然后再加上落在墙上的影长即为树高.
设小强的身高为x,
??
2.1
=
2
2.4
, 解得x=1.75,
故答案为:1.75.
【点评】本题考查了相似三角形的应用,本题求出小强的身高对应的小强的影子长是解题的关键.
13．（2019?北京模拟）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为_____米．
/
【答案】6.4
【解析】根据平行投影,同一时刻物长与影长的比值固定即可解题.
解：由题可知：,
解得：树高=6.4米.
【点评】本题考查了投影的实际应用,属于简单题,熟悉投影概念,列比例式是解题关键.
14．（2019?菏泽模拟）由个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的个数是________．
/
【答案】
【解析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有2+1=3个小正方体；
第二层应该有1个小正方体；
第三层应有1个小正方体；
因此搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1+1=5个．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．
15．（2019?咸宁模拟）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是_____个．
/
【答案】7
【解析】根据几何体的主视图，在俯视图上表示出正确的数字，并进行验证，如图：
/
则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2=7（个）．
16．（2019?衡水模拟）三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EGF=30°，则AB的长为 cm．
/
【答案】6
【解析】过点E作EQ⊥FG于点Q，
/
由题意可得出：FQ=AB，
∵EG=12cm，∠EGF=30°，∴EQ=AB=/×12=6（cm）
三、解答题
17．（2018定西一模）根据如图视图（单位：mm），求该物体的体积．
/
【答案】1088πmm3
【解析】由主视图与俯视图可以判断该物体可由两个不同的圆柱上下堆叠得到，那么根据主视图与左视图中的数据分别计算两圆柱的体积，再求和即可得到物体的体积.
解：这是上下两个圆柱的组合图形．
V＝16×π×
16
2
2
＋4×π×
8
2
2
＝1088π(mm3)．
所以该物体的体积是1088πmm3.
【点评】圆柱的体积=底面积×高.
18．（2018达州模拟）如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2
5
米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）
/
【答案】4
3
+1．
【解析】如图，作????⊥????于??，????⊥????于E，则四边形EMFQ是矩形．PQ=PF+FE=PF+MN-NE.
在????△??????中，设????=??，则????=2??，利用勾股定理得：??
??
2
=??
??
2
+??
??
2
，20=5
??
2
，
解得：??=2，所以：????=2，????=????=4，因为????=3，所以????=????=1;
在????△??????中，????=?????tan
60
°
=4
3
，则????=????+????=4
3
+1．??
解：如图作????⊥????于??，????⊥????于E，则四边形EMFQ是矩形．
/
在????△??????中，设????=??，则????=2??，
∵??
??
2
=??
??
2
+??
??
2
，
∴20=5
??
2
，
∵??>0，
∴??=2，
∴????=2，????=????=4，
∵????=3，
∴????=????=1，
在????△??????中，????=?????tan
60
°
=4
3
，
∴????=????+????=4
3
+1．??
【点评】本题目是一道三角函数的解答题.两次利用三角函数，注意：在利用三角函数时，需要注明在某个直角三角形中.
19．（2019?咸宁模拟）如图所示的是某个几何体从三种不同方向所看到的图形．
（1）说出这个几何体的名称；
（2）根据图中有关数据，求这个几何体的表面积．
/
【答案】（1）三棱柱；（2）192
【解析】（1）根据三视图可直接得出这个立体图形是三棱柱； （2）根据直三棱柱的表面积公式进行计算即可．
解：（1）根据三视图可得：这个立体图形是三棱柱；
（2）表面积为：×3×4×2+15×3+15×4+15×5＝192．
【点评】本题考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识，同时也考查学生的空间想象能力．
20．（2019?聊城模拟）如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置.
/
（1）在小亮由B沿所在的方向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为______；
（2）请你在图中画出小亮站在处的影子；
（3）当小亮离开灯杆的距离时，身高（）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？
【答案】（1）逐渐变短；（2）详见解析；（3）
【解析】(1)根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中,他在地面上的影子长度的变化情况为变短
(2)连接PA并延长交直线BO于点E,则线段BE即为小亮站在AB处的影子
(3)根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可
解：(1)因为光是沿直线传播的,所以当小亮由B处沿BO所在
/
的方向行走到达O处的过程中,他在地面上的影子长
度的变化情况为变短;
(2)如图所示,BE即为所求
/
(3)先设OP=x,则当OB=4.2米时,BE=1.6米，
∴
∴x=5.8米
当OD=6米时,设小亮的影长是y米,
∴
∴
y= (米)
即小亮的影长是米。
【点评】本题考查中心投影，相似三角形的应用，解题关键在于掌握作图法则
/
