3.3 对称图形（平移、旋转与对称）
一、平移
1、定义:把一个图形整体沿________移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的________和________完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移.
注意：平移的两要素：平移的________和平移的________.
2/、性质：
（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动，平移前后的两个图形是________形；
（2）连接各组对应点的线段________（或在________）且________.
二、轴对称
1、定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形________，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做________.
2、性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是________形.
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的________.
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在______上.
3、判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线________，那么这两个图形关于这条直线对称.
4、轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相________，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
三、旋转
1、定义：把一个图形绕某一点O转动一个________的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
注意：旋转三要素：旋转________、旋转________、旋转________.
2、性质：（1）对应点到旋转中心的距离________.
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于________.
四、中心对称
1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转________，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的________.
2、性质：（1）关于中心对称的两个图形是________.
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过________，并且被对称中心平分.
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段________（或在________）且________.
3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点________，那么这两个图形关于这一点对称.
4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相________，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心.
考点一：图形的平移
如图将△ABE向右平移3 cm得到△DCF，已知△ABE的周长是16 cm．
（1）试判断AD与EF的关系，并证明．
（2）求四边形ABFD的周长．
/
变式跟进1如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于 ．
/
考点二：识别轴对称图形和中心对称图形
下面四个图案依次是我国汉字中的“福禄寿喜”的艺术字图．这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
/
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④
变式跟进2下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（ ）．
////
A. B. C. D.
考点三：有关于轴对称、旋转（中心对称）的作图与计算
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
/
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．
①旋转角为多少度？
②写出点B2的坐标．
变式跟进3方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
/
（1）试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；
（2）以原点O为对称中心，再画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标 ．
考点四：轴对称性质的应用
小明是我校手工社团的一员,他在做折纸手工,如图所示在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC的中点,点F是边CD上的任意一点,△AEF的周长最小时,则DF的长为（ ）
/
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
变式跟进4如图,矩形ABCD的顶点AB在x轴上,点D的坐标为（3,4），点E在边BC上,△CDE沿DE翻折后点C恰好落在x轴上点F处,若△ODF为等腰三角形,点C的坐标为_______．
/
考点五：图形的折叠
如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（ ）
/
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
变式跟进5如图，在矩形ABCD（AB＜AD）中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F，同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H．
/
（1）证明：AF∥HG（图（1））；
（2）如果点C的对应点H恰好落在边AD上（图（2））．判断四边形AECH的形状，并说明理由．
考点六：旋转性质的应用
如图，在中， ，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转转角的度数为（ ）．
/
A. B. C. D.
变式跟进6四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，AB=7，
/
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE的长度；
（3）BE与DF的位置关系如何？
考点七：最短路线问题
如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是 ．
变式跟进7观察发现
如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
/
如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．
实践运用
如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，/的度数为60°，点B是/的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，求BP+AP的最小值．
/
拓展延伸
如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使△PMN的周长最小，保留作图痕迹，不写作法．
一、选择题
1、（2017?北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（?? ）
A、/ B、/ C、/ D、/
2、（2017?河北）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（?? ）
/
A、① B、② C、③ D、④
3．（2018?恩施州）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
4．（2018?兰州）如图，将?ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠??????=
48
°
，∠??????=
40
°
，则∠??为( )
/
A．
102
°
B．
112
°
C．
122
°
D．
92
°
5．（2018?玉林）如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（ ）
/
A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12
6．（2019·呼和浩特）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
7．（2019?乐山）如图，在边长为的菱形中，，过点作于点，现将△沿直线翻折至△的位置，与交于点.则等于（ ）
/
A． B． C． D．
8．（2019?张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是( )
/
A． B． C． D．
二、填空题
9、（2017?绍兴）取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，把剪下的①这部分展开，平铺在桌面上．若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为________．
/
10、（2017?咸宁）如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕AE的长为________．
/
11．（2018?鄂州）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△
??
/
??
??
/
处，此时线段
??
/
??
/
与BO的交点E为BO的中点，则线段
??
/
??的长度为_________.
/
12．（2018?贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．
/
13．（2018?邵阳）如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=
3
，则BC的长是_____．
/
14．（2019?临沂）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是_____．
15．（2019?烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，的度数是________.
/
16．（2019?南通）如图，过点C(3,4)的直线交轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线过点B，将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为________．
/
三、解答题
17、（2017?宁波）在 /的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
/
(1)在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；
(2)将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．
18．（2018?青海）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
/
(1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠??????=
90
°
，????=??，将边AB绕点B顺时针旋转
90
°
得到线段BD，连接????．求证：△??????的面积为
1
2
??
2
.(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△??????≌△??????)
(2)探究2：如图2，在一般的????△??????中，∠??????=
90
°
，????=??，将边AB绕点B顺时针旋转
90
°
得到线段BD，连接????．请用含a的式子表示△??????的面积，并说明理由．
(3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，????=????，????=??，将边AB绕点B顺时针旋转
90
°
得到线段BD，连接????．试探究用含a的式子表示△??????的面积，要有探究过程．
19．（2019?葫芦岛）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）.
/
（1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状（直接写出结果）；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并求出点C旋转到C2所经过的路径长．
20．（2019?朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将绕点A逆时针旋转α得，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．
/
（1）如图1，当时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）当时，若，请直接写出点O经过的路径长．
一、选择题
1．（2018?盐城模拟）如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是（ ）
/
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2018?乌拉特前旗模拟）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形??????绕点??逆时针旋转60°，点??，??的对应点分别为??'，??'，连接????'，则图中阴影部分的面积是（ ）
/
A．
2??
3
B．2
3
?
??
3
C．2
3
?
2??
3
D．4
3
?
2??
3
3．（2018?孝感模拟）有一条直的宽纸带折叠成如图所示，则∠1的度数为（ ）
/
A．50° B．65° C．70° D．75°
4．（2018?赣州模拟）如图，将一个Rt△ABC沿着直角边CA所在的直线向右平移得到Rt△DEF，已知BC=a，CA=b，FA=
1
3
b；则四边形DEBA的面积等于（ ）
/
A．
1
3
ab B．
1
2
ab C．
2
3
ab D．ab
5．（2019·福州模拟）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（? ?）
A．/ B．/ C．/ D．/
6．（2019?荆门模拟）如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )
/
A．68° B．20° C．28° D．22°
7．（2019?余姚模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于原点对称的抛物线是（ ）
/
A．y=﹣ax2﹣bx+c B．y=ax2﹣bx﹣c C．y=﹣ax2+bx﹣c D．y=﹣ax2﹣bx﹣c
8．（2019?长沙模拟）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为
/
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
9．（2018?北京一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为2
3
，则B′E的长为__．
/
10．（2018?广西四市模拟）如图，在平面直角坐标系中，△DEF是由△A/BC旋转得到的，则旋转的角度是_____°．
/
11．（2018?石家庄模拟）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，E、F分别为AC、AD上两动点，连接CF、EF，则CF+EF的最小值为____．
/
12．（2018?秦皇岛一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，则第（5）个三角形的直角顶点的坐标是_____，第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是______．
/
13．（2019?保定模拟）如图，是4×4正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是_____．
/
14．（2019?天门模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为 cm．
/
15．（2019?雅安模拟）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．
/
16．（2019?盐城模拟）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是_____．
/
三、解答题
17．（2018?贵港模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（3，4）、B（1，1）、C（4，2）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1BC1，其中A、C分别和A1、C1对应．
（2）平移△ABC，使得A点落在x轴上，B点落在y轴上，画出平移后的△A2B2C2，其中A、B、C分别和A2B2C2对应．
（3）填空：在（2）的条件下，设△ABC，△A2B2C2的外接圆的圆心分别为M、M2，则MM2= ．
/
18．（2018?淮安模拟）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=
??
2
，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为 度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为 ；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为 ．
/
19．（2019?枣庄模拟）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
/
20．（2019?襄阳模拟）折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念. 今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸.
实践操作
如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点落在矩形ABCD所在平面内，C和AD相交于点E，连接D．
解决问题
（1）在图1中，①D和AC的位置关系是_____；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是____；
（2）若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）在图2中，若∠B=30o，AB=，当A⊥AD时，BC的长度为_____.
/
/
3.3 对称图形（平移、旋转与对称）
一、平移
1、定义:把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移.
注意：平移的两要素：平移的方向和平移的距离.
2/、性质：（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动，平移前后的两个图形是全等形；
（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等.
二、轴对称
1、定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴.
2、性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
3、判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
4、轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
三、旋转
1、定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
注意：旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.
2、性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等.
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
四、中心对称
1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
2、性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形.
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等.
3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.
4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心.
考点一：图形的平移
如图将△ABE向右平移3 cm得到△DCF，已知△ABE的周长是16 cm．
（1）试判断AD与EF的关系，并证明．
（2）求四边形ABFD的周长．
/
【答案】（1）猜想：????∥????,????=???? （2）四边形ABFD周长为22厘米
【解析】解：（1）由平移性质可知△ABE≌△DCF，
∴AD=BC,AD∥BC，
∴BE=CF,
∴BC=EF，
∴：A??∥????,????=????
（2）∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，
∴DF=AE，
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF=AB+BE+AE+AD+EF=△ABE的周长+AD+EF，
∵平移距离为3cm，
∴AD=EF=3cm，
∵△ABE的周长是16cm，
∴四边形ABFD的周长=16+3+3=22cm.
【点评】（1）根据平移，可知△ABE≌△DCF，得AD=BC,AD∥BC，BE=CF,因此BC=EF,可得AD=EF,即可得结论.（2）根据平移的性质可得DF=AE，然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．
变式跟进1如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于 ．
/
【答案】4或8．
【解析】解：设AC交A′B′于H，
∵∠A=45°，∠D=90°,
∴△A′HA是等腰直角三角形．
设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x,
∴x?（12﹣x）=32,
∴x=4或8，
即AA′=4或8．
故答案为：4或8．
/
【点评】考查了平移的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
考点二：识别轴对称图形和中心对称图形
下面四个图案依次是我国汉字中的“福禄寿喜”的艺术字图．这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
/
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④
【答案】C
【解析】根据中心对称图形的概念可知第②和第④个图形为中心对称图形，故选C.
【点评】利用中心对称图形的定义进行判断.
变式跟进2下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（ ）．
////
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A为中心对称图形，
B为中心对称、轴对称图形，
C为中心对称轴对称图形，
D为轴对称图形．
故选：B.
【点评】利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可.
考点三：有关于轴对称、旋转（中心对称）的作图与计算
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
/
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．
①旋转角为多少度？
②写出点B2的坐标．
【答案】（1）△ABC关于轴对称的△A1B1C1如图所示；（2）①由图可知，旋转角为90°；②点B2的坐标为（6，2）．
【解析】解：（1）△ABC关于轴对称的△A1B1C1如图所示；
/
（2）①由图可知，旋转角∠CAC2 =90°，即旋转了90°；
②∵A（3，2）、B（3，5）∴AB=5-2=3=AB2 ，B2 的横坐标是3+3=6，B2 的纵坐标是2，
∴B2的坐标为（6，2）．
【点评】（1）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，描点作图即可；（2）①AC2 与AC的夹角为90°，所以旋转角为90°；②观察旋转可知B2 的横坐标是：A的横坐标+AB的长，其纵坐标为A的纵坐标.
变式跟进3方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
/
（1）试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；
（2）以原点O为对称中心，再画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标 ．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，C2（﹣4，1）
【解析】解：根据旋转中心为点C，旋转方向为顺时针，旋转角度为90°，
所作图形如下：
/．
（2）所作图形如下：
/
结合图形可得点C2坐标为（﹣4，1）．
【点评】（1）根据题意所述的旋转三要素，依此找到各点旋转后的对应点，顺次连接可得出△A1B1C；（2）根据中心对称点平分对应点连线，可找到各点的对应点，顺次连接可得△A2B2C2，结合直角坐标系可得出点C2的坐标．
考点四：轴对称性质的应用
小明是我校手工社团的一员,他在做折纸手工,如图所示在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC的中点,点F是边CD上的任意一点,△AEF的周长最小时,则DF的长为（ ）
/
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】如图作点E关于直线CD的对称点E′,连接AE′与直线CD交于点F. 此时△AEF的周长最小.
/
∵BE=EC=CE′=4,AB=CD=6,CF∥AB，
∴CF:AB=CE′:BE′=1:3，
∴CF=2，
∴DF=CD?CF=4.
故选D.
【点评】利用轴对称的性质，并结合三角形两边之和大于第三边即可找到△AEF的周长最小时点F的位置，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解.
变式跟进4如图,矩形ABCD的顶点AB在x轴上,点D的坐标为（3,4），点E在边BC上,△CDE沿DE翻折后点C恰好落在x轴上点F处,若△ODF为等腰三角形,点C的坐标为_______．
/
【答案】（8，4）或（3+2，4）或（，4）．
【解析】解：有三种情况：
（1）当/时,
在Rt△AOD中,
/,/
/，
/，
/点C坐标/.
（2）当/时,
,/，
/,/，
/点C坐标/.
（3）当/时,设/，
在Rt△ADF中,
/，
/，
/，
/点C坐标/.
综上所述,满足条件的点C坐标/或/或/.
【点评】本题可以从/，/，/这三种情况进行讨论，并求解.
考点五：图形的折叠
如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（ ）
/
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】D
【解析】解：由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，
那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．
故选D．
【解析】本题主要考查轴对称知识，对于此类问题，只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
变式跟进5如图，在矩形ABCD（AB＜AD）中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F，同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H．
/
（1）证明：AF∥HG（图（1））；
（2）如果点C的对应点H恰好落在边AD上（图（2））．判断四边形AECH的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）菱形
【解析】证明：（1）由对折（轴对称）性质可得：∠AFE=∠B=90°，∠H=∠BCD=90°
∴∠AFH=∠AFE=∠H
∴AF∥HG
（2）四边形 AECH是菱形．理由如下：
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠DAE
∵∠AEB=∠AEH
∴∠DAE=∠AEH
∴AH=EH
∵EC=EH
∴AH=EC
∵AH∥EC，AC⊥EH
∴四边形 AECH是菱形.
【点评】（1）由轴对称性质可得∠AFE=∠B=90°，∠H=∠BCD=90°，问题得证；（2）根据平行线的性质可得∠AEB=∠DAE，再结合∠AEB=∠AEH可得∠DAE=∠AEH，即可证得AH=EH，由EC=EH可得AH=EC，再结合AH∥EC，AC⊥EH即可证得结论.
考点六：旋转性质的应用
如图，在中， ，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转转角的度数为（ ）．
/
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵， ，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴．
故选：C.
【点评】利用旋转的性质进行求解即可.
变式跟进6四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，AB=7，
/
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE的长度；
（3）BE与DF的位置关系如何？
【答案】（1）旋转角度为90°或270°；（2）DE= 3；（3）BE与DF是垂直关系．
【解析】解：（1）根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，即AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；
可得旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；
（2）DE=AD﹣AE=7﹣4=3；
（3）∵∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA，
∴延长BE与DF相交于点G，则∠GDE+∠DEG=90°，
∴BE⊥DF，
即BE与DF是垂直关系．
【点评】先根据正方形的性质得到：△AFD≌△AEB，从而得出等量关系AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA，找到旋转中心和旋转角度．这些等量关系即可求出DE=AD﹣AE=7﹣4=3；BE⊥DF．
考点七：最短路线问题
如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是 ．
【答案】5.
【解析】解：连接AC、AE，
/
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴AE的长即为PC+PE的最小值，
∵CD=4，CE=1，
∴DE=3，
在Rt△ADE中，
∵AE==5，
∴PC+PE的最小值为5．
【点评】由正方形和轴对称的性质可得，A与C关于直线BD对称，连接AE，利用两点之间线段最短，即可求出PC+PE的最小值.
变式跟进7观察发现
如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
/
如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．
实践运用
如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，/的度数为60°，点B是/的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，求BP+AP的最小值．
/
拓展延伸
如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使△PMN的周长最小，保留作图痕迹，不写作法．
【答案】（1）；（2）；（3）作图见解析.
【解析】 解：（1）观察发现
如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，
∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，
∴CE=BE=；
（2）实践运用
如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，
/
∵BE⊥CD，
∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，
∵的度数为60°，点B是的中点，
∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，
∴∠EOC=30°，
∴∠AOE=60°+30°=90°，
∵OA=OE=1，
∴AE=OA=，
∵AE的长就是BP+AP的最小值．
故答案为；
（3）拓展延伸:如图（4）．
/
【点睛】（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=；（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；由于的度数为60°，点B是的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=；（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N．
一、选择题
1、（2017?北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（?? ）
A、/ B、/ C、/ D、/
【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
2、（2017?河北）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（?? ）
/
A、① B、② C、③ D、④
【答案】C
【解析】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形． 故选：C．
【点评】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．
3．（2018?恩施州）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】D
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（2018?兰州）如图，将?ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠??????=
48
°
，∠??????=
40
°
，则∠??为( )
/
A．
102
°
B．
112
°
C．
122
°
D．
92
°
【答案】B
【解析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠??????=∠??????=∠??????，由三角形的外角性质求出∠??????=∠??????=
1
2
∠??????=
20
°
，再由三角形内角和定理求出∠??，即可得到结果．
解：∵????//????，
∴∠??????=∠??????，
由折叠可得∠??????=∠??????，
∴∠??????=∠??????，
又∵∠??????=
40
°
，
∴∠??????=∠??????=∠??????=
20
°
，
又∵∠??????=
48
°
，
∴△??????中，∠??=
180
°
?
20
°
?
48
°
=
112
°
，
∴∠??=∠??=
112
°
，
故选B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠??????的度数是解决问题的关键．
5．（2018?玉林）如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（ ）
/
A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12
【答案】D
【解析】首先证明x1+x2=8，由2≤x3≤4，推出10≤x1+x2+x3≤12即可解决问题.
解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣8x+12，
∵设x1，x2，x3均为正数，
∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，
根据对称性可知：x1+x2=8，
∵2≤x3≤4，
∴10≤x1+x2+x3≤12，
即10≤t≤12，
故选D．
【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键.
6．（2019·呼和浩特）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】D
【解析】A．是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；
D．不是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
7．（2019?乐山）如图，在边长为的菱形中，，过点作于点，现将△沿直线翻折至△的位置，与交于点.则等于（ ）
/
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=，可求得AE=，BE=，根据△ABE沿直线翻折至△的位置可知BF=3，结合菱形的边长为，可知EC=-，则CF=3-，利用菱形对边平行即CG∥AB，再根据平行线段成比例可得即，求得CG=
解：∵∠B=30°，AB=，AE⊥BC
∴AE=，BE=
∴BF=3，EC=-，则CF=3-
又∵CG∥AB
∴
∴
解得CG=.
【点评】本题考查了菱形的性质，平行线段成比例，图形的翻折，解本题的关键是通过利用菱形对边平行发现与要求线段CG与其他线段成比例的关系.
8．（2019?张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是( )
/
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据旋转的性质分别求出点A1、A2、A3、…的坐标，继而发现8次为一个循环，用2019除以8，看余数即可求得答案.
解：四边形OABC是正方形，且，
，
将正方形OABC绕点O逆时针旋转后得到正方形，
∴点A1的横坐标为1，点A1的纵坐标为1，
，
继续旋转则，，A4(0，-1)，A5，A6(-1，0)，A7，A8(0，1)，A9，……，
发现是8次一循环，所以…余3，
点的坐标为，
故选A．
/
【点评】本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关键.
二、填空题
9、（2017?绍兴）取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，把剪下的①这部分展开，平铺在桌面上．若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为________．
/
【答案】/：2
【解析】解：作OB⊥AD，根据已知可以画出图形，
/
∵根据折叠方式可得：
AB=AD，CD=CE，∠OAB=60°，AO等于正六边形的边长，
∴∠BOA=30°，
∴2AB=AO，
/=tan60°= /，
∴BO：AM= /：2．
故答案为： /：2．
【点评】根据已知折叠方法，动手折叠得出平面几何图形，得出各个部分对应边的长度，即可得出答案．
10、（2017?咸宁）如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕AE的长为________．
/
【答案】6
【解析】解：由题意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，
且OE垂直平分AC，
∴AE=CE，
设AB=AO=OC=x，
则有AC=2x，∠ACB=30°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC= /x，
在Rt△OEC中，∠OCE=30°，
∴OE= /EC，即BE= /EC，
∵BE=3，
∴OE=3，EC=6，
则AE=6，
故答案为：6
【点评】由折叠的性质及矩形的性质得到OE垂直平分AC，得到AE=EC，根据AB为AC的一半确定出∠ACE=30°，进而得到OE等于EC的一半，求出EC的长，即为AE的长．
11．（2018?鄂州）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△
??
/
??
??
/
处，此时线段
??
/
??
/
与BO的交点E为BO的中点，则线段
??
/
??的长度为_________.
/
【答案】
9
5
5
【解析】利用勾股定理列式求出AB，根据旋转的性质可得AO=A′O，A′B′=AB，再求出OE，从而得到OE=A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，利用三角形的面积求出OF，利用勾股定理列式求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得A′E=2EF，然后根据B′E=A′B′-A′E代入数据计算即可得解．
解：∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6，
∴AB=
??
??
2
+??
??
2
=3
5
，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO=A′O=3，A′B′=AB=3
5
，
∵点E为BO的中点，
∴OE=
1
2
BO=
1
2
×6=3，
∴OE=A′O，
过点O作OF⊥A′B′于F，
S△A′OB′=
1
2
×3
5
?OF=
1
2
×3×6，
解得OF=
6
5
5
，
在Rt△EOF中，EF=
??
??
2
???
??
2
=
3
5
5
，
∵OE=A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E=2EF=2×
3
5
5
=
6
5
5
（等腰三角形三线合一），
∴B′E=A′B′-A′E=3
5
?
6
5
5
=
9
5
5
．
故答案为：
9
5
5
．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
12．（2018?贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．
/
【答案】4π
【解析】由将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S阴影=S扇形ABA′+S△ABC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′可得出阴影部分面积．
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，AC=2
3
，
∵将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，
∴△ABC≌△A′BC′，
∴∠ABA′=120°=∠CBC′，
∴S阴影=S扇形ABA′+S△ABC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′
=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′
=
120??×
4
2
360
?
120??×
2
2
360
=4π，
故答案为：4π．
【点评】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算等，确定出S阴影=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′是解题的关键.
13．（2018?邵阳）如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=
3
，则BC的长是_____．
/
【答案】
3
【解析】由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE，问题得解．
解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=
180°?36°
2
=72°，
∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，
∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，
∴∠CEB=72°，
∴BC=CE=AE=
3
，
故答案为：
3
．
【点评】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．
14．（2019?临沂）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是_____．
【答案】
【解析】先求出点到直线的距离，再根据对称性求出对称点到直线的距离，从而得到点的横坐标，即可得解．
解：∵点，
∴点到直线的距离为，∴点关于直线的对称点到直线的距离为3，
∴点的横坐标为，
∴对称点的坐标为.
故答案为：．
/
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称性求出对称点到直线的距离，从而得到横坐标是解题的关键，作出图形更形象直观．
15．（2019?烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，的度数是________.
/
【答案】45°
【解析】根据折叠过程可知，在折叠过程中角一直是轴对称的折叠.
解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，
故答案为：45°
【点评】考核知识点：轴对称.理解折叠的本质是关键.
16．（2019?南通）如图，过点C(3,4)的直线交轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线过点B，将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为________．
/
【答案】4
【解析】分别过点B、点C作轴和轴的平行线，两条平行线相交于点M，与轴的交点为N．将C(3,4)代入可得b=-2，然后求得A点坐标为(1,0)，证明△ABN≌△BCM，可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B(4,1)，即可求出k=4，由A点向上平移后落在上，即可求得a的值.
解：分别过点B、点C作轴和轴的平行线，两条平行线相交于点M，与轴的交点为N，则∠M=∠ANB=90°，
把C(3,4)代入，得4=6+b，解得：b=-2，
所以y=2x-2，
令y=0，则0=2x-2，解得：x=1，
所以A(1，0)，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBM+∠ABN=90°，
∵∠ANB=90°，
∴∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠CBM=∠BAN，
又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC，
∴△ABN≌△BCM，
∴AN=BM，BN=CM，
∵C(3，4)，∴设AN=m，CM=n，
则有，解得，
∴ON=3+1=4，BN=1，
∴B(4，1)，
∵曲线过点B，
∴k=4，
∴，
∵将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A移动后对应点的坐标为(1，a)，
∴a=4，
故答案为：4.
/
【点评】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，点的平移等知识，正确添加辅助线，利用数形结合思想灵活运用相关知识是解题的关键.
三、解答题
17、（2017?宁波）在 /的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
/
(1)在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；
(2)将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．
【答案】答案见解析
【解析】
（1）解：画出下列其中一个即可.
/
（2）解：
/
【点评】（1）根据轴对称图形的定义即可画出三角形.
（2）根据中心对称图形的定义即可画出旋转后的三角形.
18．（2018?青海）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
/
(1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠??????=
90
°
，????=??，将边AB绕点B顺时针旋转
90
°
得到线段BD，连接????．求证：△??????的面积为
1
2
??
2
.(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△??????≌△??????)
(2)探究2：如图2，在一般的????△??????中，∠??????=
90
°
，????=??，将边AB绕点B顺时针旋转
90
°
得到线段BD，连接????．请用含a的式子表示△??????的面积，并说明理由．
(3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，????=????，????=??，将边AB绕点B顺时针旋转
90
°
得到线段BD，连接????．试探究用含a的式子表示△??????的面积，要有探究过程．
【答案】（1）详见解析；（2）△??????的面积为
1
2
??
2
，理由详见解析；（3）△??????的面积为
1
4
??
2
．
【解析】(1)如图1，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△??????≌△??????，就有????=????=??.进而由三角形的面积公式得出结论；
(2)如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△??????≌△??????，就有????=????=??.进而由三角形的面积公式得出结论；
(3)如图3，过点A作????⊥????与F，过点D作????⊥????的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出????=
1
2
????，由条件可以得出△??????≌△??????就可以得出????=????，由三角形的面积公式就可以得出结论．
解：(1)如图1，过点D作????⊥????交CB的延长线于E，
/
∴∠??????=∠??????=
90
°
，
由旋转知，????=????，∠??????=
90
°
，
∴∠??????+∠??????=
90
°
，
∵∠??+∠??????=
90
°
，
∴∠??=∠??????，
在△??????和△??????中，
∠??????=∠??????
∠??=∠??????
????=????
，
∴△??????≌△??????(??????)
∴????=????=??，
∵
??
△??????
=
1
2
?????????，
∴
??
△??????
=
1
2
??
2
；
(2)△??????的面积为
1
2
??
2
，
理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，
/
∴∠??????=∠??????=
90
°
，
∵线段AB绕点B顺时针旋转
90
°
得到线段BE，
∴????=????，∠??????=
90
°
，
∴∠??????+∠??????=
90
°
，
∵∠??+∠??????=
90
°
，
∴∠??=∠??????，
在△??????和△??????中，
∠??????=∠??????
∠??=∠??????
????=????
，
∴△??????≌△??????(??????)，
∴????=????=??，
∵
??
△??????
=
1
2
?????????，
∴
??
△??????
=
1
2
??
2
；
(3)如图3，过点A作????⊥????与F，过点D作????⊥????的延长线于点E，
/
∴∠??????=∠??=
90
°
，????=
1
2
????=
1
2
??，
∴∠??????+∠??????=
90
°
，
∵∠??????=
90
°
，
∴∠??????+∠??????=
90
°
，
∴∠??????=∠??????，
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴????=????，
在△??????和△??????中，
∠??????=∠??
∠??????=∠??????
????=????
，
∴△??????≌△??????(??????)，
∴????=????=
1
2
??，
∵
??
△??????
=
1
2
?????????=
1
2
?
1
2
?????=
1
4
??
2
，
∴△??????的面积为
1
4
??
2
．
【点评】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.
19．（2019?葫芦岛）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）.
/
（1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状（直接写出结果）；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并求出点C旋转到C2所经过的路径长．
【答案】（1）如图，△A1B1C1为所作，见解析；以O，A1，B为顶点的三角形为等腰直角三角形；（2）如图，△A2B2C2为所作，见解析；点C旋转到C2所经过的路径长为π．
【解析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，则描点即可得到△A1B1C1；然后利用勾股定理的逆定理判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而描点得到△A2B2C2，然后利用弧长公式计算出点C旋转到C2所经过的路径长．
解：/
（1）如图，△A1B1C1为所作，
∵，，，
∴，
∴以O，A1，B为顶点的三角形为等腰直角三角形；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C旋转到C2所经过的路径长．
【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20．（2019?朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将绕点A逆时针旋转α得，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．
/
（1）如图1，当时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）当时，若，请直接写出点O经过的路径长．
【答案】（1），，理由见解析；（2）当时，（1）中的结论成立，理由见解析；（3）点O经过的路径长为．
【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质可得OD与OE的数量关系；根据旋转的性质和正方形的性质可得AC=AF以及△ACF各内角的度数，进一步即可求出∠COE与∠DOF的度数，进而可得OD与OE的位置关系；
（2）延长EO到点M，使，连接DM、CM、DE，如图2所示，先根据SAS证明≌，得，，再根据正方形的性质和旋转的性质推得，进一步在△ACF中根据三角形内角和定理和正方形的性质得出，再一次运用SAS推出≌，于是，进一步即可得出OE、OD的位置关系，然后再运用SAS推出≌，即可得OD与OE的数量关系；
（3）连接AO，如图3所示，先根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可判断点O的运动路径，由可得点O经过的路径长，进一步即可求得结果.
解：（1），；理由如下：
由旋转的性质得：，，
∵四边形ABCD是正方形，∴，
∴，
∴，
∵，O为CF的中点，∴，
同理：，∴，
∴，，
∴，∴；
（2）当时，（1）中的结论成立，理由如下：
延长EO到点M，使，连接DM、CM、DE，如图2所示：
/
∵O为CF的中点，∴，
在和中，，
∴≌（SAS），∴，.
∵四边形ABCD是正方形，∴，，
∵绕点A逆时针旋转α得，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，，∴，
在中，∵，
∴，
∵，∴，∴，
在和中，，
∴≌（SAS），∴，
∵，∴，
在和中，，
∴≌（SAS），∴.
∴，∴，；
（3）连接AO，如图3所示：
∵，，∴，∴，
∴点O在以AC为直径的圆上运动，
∵，∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，
∵，∴点O经过的路径长为：．
/
【点评】本题是正方形的综合题，综合考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判断动点运动路径等知识，考查的知识点多、综合性强，倍长中线构造全等三角形、熟知正方形的性质、灵活应用旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解（2）题的关键.
一、选择题
1．（2018?盐城模拟）如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是（ ）
/
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行分析.
解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形；选项B是轴对称图形又是中心对称图形；选项C是轴对称图形又是中心对称图形；选项D是轴对称图形又是中心对称图形.
故选：D
【点评】本题考核知识点：轴对称图形，中心对称图形. 解题关键点：理解轴对称图形，中心对称图形的定义.
2．（2018?乌拉特前旗模拟）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形??????绕点??逆时针旋转60°，点??，??的对应点分别为??'，??'，连接????'，则图中阴影部分的面积是（ ）
/
A．
2??
3
B．2
3
?
??
3
C．2
3
?
2??
3
D．4
3
?
2??
3
【答案】C
【解析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，且O′,B′,O三点共线，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴△OBB′是直角三角形，
∴图中阴影部分的面积=S△BOB′-S扇形O′OB
=
1
2
×2×2
3
?
60???×
2
2
360
=2
3
?
2??
3
，
/
故选C．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．（2018?孝感模拟）有一条直的宽纸带折叠成如图所示，则∠1的度数为（ ）
/
A．50° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【解析】如图，根据平行线的性质得出∠EDC=∠EFA=30°，∠1+∠BDC=180°，根据折叠求出∠EDB=75°，代入求出即可．
解：∵AB∥CD，
/
∴∠??????=∠??????=
30
°
,∠1+∠??????=
180
°
，
根据折叠得出∠??????=
1
2
180
°
?
30
°
=
75
°
，
∵∠??????=∠??????=
30
°
，
∴∠1=
180
°
?
75
°
?
30
°
=
75
°
，
故选:D.
【点评】本题考查了翻折变换，平行线的性质的应用，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
4．（2018?赣州模拟）如图，将一个Rt△ABC沿着直角边CA所在的直线向右平移得到Rt△DEF，已知BC=a，CA=b，FA=
1
3
b；则四边形DEBA的面积等于（ ）
/
A．
1
3
ab B．
1
2
ab C．
2
3
ab D．ab
【答案】C
【解析】根据平移的性质得出AD=
2
3
b，再利用平行四边形的面积公式解答即可．
解：由题意可得：FD=CA=b，BC=EF=a.
∴AD＝FD?FA＝b?
1
3
b＝
2
3
b，
∴四边形DEBA的面积等于AD?EF=
2
3
ab，
故选C．
【点评】此题考查平移的性质，关键是根据平移的性质得出AD=
2
3
b．
5．（2019·福州模拟）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（? ?）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B
【解析】根据中心对称图形的概念判断即可．
解：A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6．（2019?荆门模拟）如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )
/
A．68° B．20° C．28° D．22°
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
/
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABD=∠D′=90°，
∴∠3=180°-∠2=68°，
∴∠BAB′=90°-68°=22°，
即∠α=22°．
故选D．
7．（2019?余姚模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于原点对称的抛物线是（ ）
/
A．y=﹣ax2﹣bx+c
B．y=ax2﹣bx﹣c
C．y=﹣ax2+bx﹣c
D．y=﹣ax2﹣bx﹣c
【答案】C
【解析】根据平面直角坐标系中，点关于原点对称的特点得出抛物线y=ax2+bx+c的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数，得﹣y=a（﹣x）2+b（﹣x）+c=ax2﹣bx+c，即y=﹣ax2+bx﹣c．
故选C．
8．（2019?长沙模拟）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为
/
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
/
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二、填空题
9．（2018?北京一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为2
3
，则B′E的长为__．
/
【答案】2
3
﹣2
【解析】求出∠C′AE=30°，推出AE=2C′E，AC′=
3
C′E，根据阴影部分面积为2
3
得出
1
2
×C′E×
3
C′E=2
3
，求出C′E=2，即可求出C′B′，即可求出答案．
解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，
∴△ACB≌△AC′B′，
∴AC=AC′，CB=C′B′，∠CAB=∠C′AB′，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵∠CAC′=15°，
∴∠C′AE=30°，
∴AE=2C′E，AC′=
3
C′E，
∵阴影部分面积为2
3
，
∴
1
2
×C′E×
3
C′E=2
3
，
C′E=2，
∴AC=BC=C′B′=
3
C′E=2
3
，
∴B′E=2
3
-2，
故答案为：2
3
-2．
【点评】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
10．（2018?广西四市模拟）如图，在平面直角坐标系中，△DEF是由△A/BC旋转得到的，则旋转的角度是_____°．
/
【答案】90
【解析】根据网格结构，先找出对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心，那么一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角．
解：由图可知，A与D、B与E分别是对应点，
作出线段AD、BE的垂直平分线，得到旋转中心P的坐标为（﹣1，0），
则∠BPE=90°．
故答案为90．
/
【点评】本题考查了图形的旋转变化，找出旋转中心P的坐标为（﹣1，0）是解答本题的关键.
11．（2018?石家庄模拟）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，E、F分别为AC、AD上两动点，连接CF、EF，则CF+EF的最小值为____．
/
【答案】
24
5
【解析】作BM⊥AC于M，交AD于F，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF=CF，根据垂线段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．
解：作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C关于AD对称，
∴BF=CF，
根据垂线段最短得出：CF+EF=BF+EF≥BF+FM=BM，
即CF+EF≥BM，
∵S△ABC=/×BC×AD=/×AC×BM，
∴BM=
?????????
????
=
6×4
5
=
24
5
，
即CF+EF的最小值是
24
5
，
故答案为：
24
5
．
/
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是画出符合条件的图形.
12．（2018?秦皇岛一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，则第（5）个三角形的直角顶点的坐标是_____，第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是______．
/
【答案】（16
4
5
，
12
5
）（8068
4
5
，
12
5
）
【解析】利用勾股定理列式求出AB的长，再根据图形写出第（5）个三角形的直角顶点的坐标即可；观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2018除以3，根据商和余数的情况确定出第（2018）个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可．
解：∵点A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=
4
2
+
3
2
=5，
∴第（2）个三角形的直角顶点的坐标是（4
4
5
，
12
5
）；
∵5÷3=1余2，
∴第（5）个三角形的直角顶点的坐标是（16
4
5
，
12
5
），
∵2018÷3=672余2，
∴第（2018）个三角形是第672组的第二个直角三角形，
其直角顶点与第672组的第二个直角三角形顶点重合，
∴第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是（8068
4
5
，
12
5
）．
故答案为：（16
4
5
，
12
5
）；（8068
4
5
，
12
5
）
【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解题的关键是根据题意找出每3个三角形为一个循环组依次循环.
13．（2019?保定模拟）如图，是4×4正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是_____．
/
【答案】9
【解析】观察图形可知，只要把9涂黑即可得到中心对称图形，即可得答案.
解：如图，把标有数字9的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．
故答案为9．
/
【点评】本题考查中心对称图形，中心对称图形是指绕着，某一点旋转180°，能够与自身重合的图形，
14．（2019?天门模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为 cm．
/
【答案】42．
【解析】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，AB=
??
??
2
+??
??
2
=
5
2
+
12
2
=13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），故答案为：42．
15．（2019?雅安模拟）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．
/
【答案】（-2，6）
【解析】连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案．
解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，
/
由题意得，OA=6，AB=OC-2，
则tan∠BOA=，
∴∠BOA=30°，
∴∠OBA=60°，
由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，
∴∠B1OH=60°，
在△AOB和△HB1O，
，
∴△AOB≌△HB1O，
∴B1H=OA=6，OH=AB=2，
∴点B1的坐标为（-2，6），
故答案为：（-2，6）．
【点评】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
16．（2019?盐城模拟）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是_____．
/
【答案】8﹣π
【解析】
如下图，过点D作DH⊥AE于点H，由此可得∠DHE=∠AOB=90°，由旋转的性质易得DE=EF=AB，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，结合∠ABO+∠BAO=90°可得∠BAO=∠DEH，从而可证得△DEH≌△BAO，即可得到DH=BO=2，再由勾股定理求得AB的长，即可由S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF即可求得阴影部分的面积.
解：如图，过点D作DH⊥AE于点H，
∴∠DHE=∠AOB=90°，
∵OA=3，OB=2，
∴AB=，
由旋转的性质结合已知条件易得：DE=EF=AB= ，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠DEH，
∴△DEH≌△BAO，
∴DH=BO=2，
∴S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF
=
=.
故答案为：.
/
【点评】作出如图所示的辅助线，利用旋转的性质证得△DEH≌△BAO，由此得到DH=BO=2，从而将阴影部分的面积转化为：S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF来计算是解答本题的关键.
三、解答题
17．（2018?贵港模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（3，4）、B（1，1）、C（4，2）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1BC1，其中A、C分别和A1、C1对应．
（2）平移△ABC，使得A点落在x轴上，B点落在y轴上，画出平移后的△A2B2C2，其中A、B、C分别和A2B2C2对应．
（3）填空：在（2）的条件下，设△ABC，△A2B2C2的外接圆的圆心分别为M、M2，则MM2= ．
/
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）
17
【解析】（1）根据网格结构找出点??、??绕点??逆时针旋转90°的对应点
??
1
、
??
1
的位置，再与点??顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点??、??、??平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据平移的性质，对应点的连续互相平行且相等可得??
??
2
=??
??
2
，再利用勾股定理列式计算即可得解.
解：（1）△A1BC1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）∵M、M2分别为△ABC，△A2B2C2的外接圆的圆心，
∴MM2=AA2，
由勾股定理得，AA2=/=/，
所以，MM2=/．
故答案为：/．
/
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，勾股定理，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
18．（2018?淮安模拟）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=
??
2
，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为 度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为 ；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为 ．
/
【答案】（1）150，PA2+PC2=PB2；（2）3PA2+PC2=PB2；（3）4PA2sin2
??
2
+PC2=PB2
【解析】
试题分析：（1）根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC=90°，根据勾股定理解答即可； （2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，根据余弦的定义得到PP′=
3
PA，根据勾股定理解答即可； （3）与（2）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可．
试题解析：
（1）∵△ABP≌△ACP′，
∴AP=AP′，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=60°，P′C=PB，
∴△PAP′为等边三角形，
∴∠APP′=60°，
∵∠PAC+∠PCA=
60
??
2
=30°，
∴∠APC=150°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∴PA2+PC2=PB2，
故答案为：150，PA2+PC2=PB2；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，
∴∠APP′=30°，
∵∵∠PAC+∠PCA=
120
??
2
=60°，
∴∠APC=120°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∵∠APP′=30°，
∴PD=
3
2
PA，
∴PP′=
3
PA，
∴3PA2+PC2=PB2；
（3）如图2，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=α，P′C=PB，
∴∠APP′=90°﹣
??
2
，
∵∵∠PAC+∠PCA=
??
2
，
∴∠APC=180°﹣
??
2
，
∴∠P′PC=（180°﹣
??
2
）﹣（90°﹣
??
2
）=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∵∠APP′=90°﹣
??
2
，
∴PD=PA?cos（90°﹣
??
2
）=PA?sin
??
2
，
∴PP′=2PA?sin
??
2
，
∴4PA2sin2
??
2
+PC2=PB2，
故答案为：4PA2sin2
??
2
+PC2=PB2．
/
【点评】考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用，掌握等边三角形的性质、旋转变换的性质、灵活运用类比思想是解题的关键．
19．（2019?枣庄模拟）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
/
【答案】（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）；（3）10．
【解析】（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
/
故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）∵/=20，/=20，/=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：/×/×/=10平方单位．
故答案为：10．
20．（2019?襄阳模拟）折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念. 今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸.
实践操作
如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点落在矩形ABCD所在平面内，C和AD相交于点E，连接D．
解决问题
（1）在图1中，①D和AC的位置关系是_____；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是____；
（2）若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）在图2中，若∠B=30o，AB=，当A⊥AD时，BC的长度为_____.
/
【答案】(1) BD′∥AC，菱形；（2）成立，理由见解析；（3）4或6或8或12.
【解析】（1）①根据内错角相等两直线平行即可判断； ②根据菱形的判定方法即可解决问题； （2）只要证明AE=EC，即可证明结论②成立；只要证明∠ADB′=∠DAC，即可推出B′D∥AC； （3）先证得四边形ACB′D是等腰梯形，分四种情形分别讨论求解即可解决问题；
解：（1）①BD′∥AC．②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形； 故答案为BD′∥AC，菱形； （2）①选择②证明如下：
如图2，
/ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C， ∴∠ACB′=∠ACB， ∴∠DAC=∠ACB′， ∴AE=CE， ∴△AEC是等腰三角形； ∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等， ∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形． ②选择①证明如下， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC， ∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C， ∵B′C=BC， ∴B′C=AD， ∴B′E=DE， ∴∠CB′D=∠ADB′， ∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD ∴∠ADB′=∠DAC， ∴B′D∥AC． （3）∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D， ∴四边形ACB′D是等腰梯形， ∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°， ∵△AB′D是直角三角形， 当∠B′AD=90°，AB＞BC时，如图3中， / 设∠ADB′=∠CB′D=y， ∴∠AB′D=y-30°， 解得y=60°， ∴∠AB′D=y-30°=30°，
∵AB′=AB=4
∴BC=4， 当∠ADB′=90°，AB＞BC时，如图4， / ∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D， ∴四边形ACB′D是等腰梯形， ∵∠ADB′=90°， ∴四边形ACB′D是矩形， ∴∠ACB′=90°， ∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AB=4
当∠B′AD=90°，AB＜BC时，如图5， / ∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，
∴∠AB′C=30°， ∴AE=4，BE′=2AE=8， ∴AE=EC=4， ∴CB′=12， 当∠AB′D=90°时，如图6， / ∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D， ∴四边形ACDB′是平行四边形， ∵∠AB′D=90°， ∴四边形ACDB′是矩形， ∴∠BAC=90°，
∴已知当BC的长为4或6或8或12时，△AB′D是直角三角形． 故答案为：4或6或8或12；
【点评】本题考查四边形综合题、翻折变换、矩形的性质、等腰梯形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
/
