3.4 尺规作图
一、尺规作图
1、定义：在数学中，我们常限定用________的直尺和________作图，这就是尺规作图.
2、尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出________；
(2)________：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的________；
(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形________题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；
(6)结论：对所作图形下________．
二、基本作图
1、作一条线段等于已知线段，以及线段的和与差；
2、作一个角等于已知角，以及角的和与差；
3、过一点作已知直线的垂线；
4、作角的平分线；
5、作线段的垂直平分线．
三、复杂作图
1、利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(/3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．[来源:Z*xx*k.Com]
2、与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
考点一：与三角形相关的作图
根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是（ ）
A．用尺规作一条线段等于已知线段
B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角
D．不能确定
变式跟进1已知△ABC,求作△DEF，使△DEF≌△ABC(尺规作图，保留作图痕迹)。
作法：
考点二：利用角平分线、线段的垂直平分线作图
如图所示，甲车从A处沿公路a向右行驶，同时乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间在公路a的点C上截住甲车，请你用尺规作图找出点C（保留作图痕迹，不写作法），并说明乙车行驶的方向。
变式跟进2在图中作出点P，使得点P到C、D两点的距离相等，并且点P到OA、OB的距离也相等. （用尺规作图，保留作图痕迹,不写作法.）
/
考点三：与圆相关的作图
下图是一个残破的圆片示意图。请找出该残片所在圆的圆心O的位置（保留画图痕迹，不必写作法）；
变式跟进3如图,已知在等腰△ABC中,∠A＝∠B＝30°.
尺规作图：（1）过点C作CD⊥AC交AB于点D；
（2）过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
求证：.
/
一、选择题
1、（2017?随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（?? ）
/
A、以点F为圆心，OE长为半径画弧 B、以点F为圆心，EF长为半径画弧
C、以点E为圆心，OE长为半径画弧 D、以点E为圆心，EF长为半径画弧
2、（2017?河池）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（?? ）
/
A、6 B、8 C、10 D、12
3．（2018·河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
/
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
4．（2018?嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形????????,下列作法中错误的是（ ）
A．/ B．/ C．/D．/
5．（2018?湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
/
A．
3
r B．（1+
2
2
）r C．（1+
3
2
）r D．
2
r
6．（2019·广西）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
/
A． B． C． D．
7．（2019?长春）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
8．（2019?河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
二、填空题
9、（2017?河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．
/
10、（2017?济宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 /MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是________.
/
11．（2018?成都）如图，在矩形????????中，按以下步骤作图：①分别以点??和??为圆心，以大于
1
2
????的长为半径作弧，两弧相交于点??和??；②作直线????交????于点??.若????=2，????=3，则矩形的对角线????的长为__________．
/
12．（2018?葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于
1
2
BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA=__．
/
13．（2018?抚顺）如图，?ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是_____．
/
14．（2019?宁夏）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则_____．
/
15．（2019?泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为_____cm．
/
16．（2019?重庆）如图，四边形ABCD是矩形，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．
/
三、解答题
17、（2017?南京）“直角”在初中几何学习中无处不在． 如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．
/
18．（2018?福建b卷）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
/
19．（2019?济宁）如图，点和点在内部．
/
（1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
20．（2019?河池）如图，为的直径，点在上．
（1）尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点 （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究与的位置及数量关系，并证明你的结论．
/
一、选择题
1．（2018?曲靖二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
/
A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）
2．（2018?邵阳考前押题）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（ ??）
/
A．以点C为圆心，OD为半径的弧????????????? B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧?????????? D．以点E为圆心，DM为半径的弧
3．（2018·洛阳模拟）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AC交BC于点E．若∠BCD=80°，则∠AEC的度数为（ ）
/
A．80° B．100° C．120° D．140°
4．（2018?北京二模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
/
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
5．（2019·广州模拟）如图，直线a∥b，以直线a上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线a、b于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC＝65°，则∠1＝（ ）
/
A．115° B．80° C．65° D．50°
6．（2019?长沙模拟）如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD．若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为( )
/
A．90° B．95° C．100° D．105°
7．（2019?保定模拟）已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的作法是：先作底边BC=a，再作BC的垂直平分线MN交BC于点D，并在DM上截取DA=h，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高AD=h，再过点D作AD的垂线MN，并在MN上截取BC=a，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形．对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
8．（2019?湖州模拟）小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD．下列说法不正确的是（ ）
/
A．∠A＝60° B．△ACD是直角三角形
C．BC＝CD D．点B是△ACD的外心
二、填空题
9．（2018?襄阳适应性考试）如图，在△ABC中，D是AB上的一点，进行如下操作：①以B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点F；②再分别以D，F为圆心，BD长为半径作弧，两弧恰好相较于AC上的点E处；③连接DE，FE.若AB＝6，BC＝4，那么AD＝________．
/
10．（2018?益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于
1
2
????的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC＝________.
/
11．（2018?北京期末）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
/
以上作图的依据是：__________________________________________________________．
12．（2018?无锡模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，D为边AB中点．以B为圆心，BD为半径作弧，交BC于点E；以C为圆心，CD为半径作弧，交AC于点F．则图中阴影部分的面积为_____．
/
13．（2019?淮安模拟）如图，在△ABC中，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交AB于点D，同法得到点E，连接DE．若BC＝10cm，则DE＝_____cm．
/
14．（2019?滨州模拟）如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA＝90°，AB＝4，则CD的长为_____．
/
15．（2019?成都模拟）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC＝________.
/
16．（2019?滕州模拟）如图，点A在双曲线y=（k＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为______．
/
三、解答题
17．（2018?鞍山模拟）如图，已知△ABC中，AB=AC，
（1）请用尺规作图的方法找出线段BC的中点，
（2）若AB边长为6，∠B=30°，求△ABC的面积．
/
18．（2018?衡水模拟）如图，在直角坐标系中，先描出点A（1，3），点B（4，1）
（1）用尺规在x轴上找一点C，使AC+BC的值最小（保留作图痕迹）；
（2）用尺规在x轴上找一点P，使PA=PB（保留作图痕迹）．
/
19．（2019?达州模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8．
(1)在BC上求作一点P，使PA+PB＝BC；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)求BP的长．
/
20．（2019?孝感模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB．BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE；④用同样的方法作射线CF．BE交CF于点O．
请根据作图回答下列问题：
（1）O是△ABC的 ；
A．外心 B．内心 C．重心
（2）若AB＝5，AC＝12，BC＝13，求O到BC的距离．
/
/
3.4 尺规作图
一、尺规作图
1、定义：在数学中，我们常限定用没有刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
2、尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；
(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；
(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；
(6)结论：对所作图形下结论．
二、基本作图
1、作一条线段等于已知线段，以及线段的和与差；
2、作一个角等于已知角，以及角的和与差；
3、过一点作已知直线的垂线；
4、作角的平分线；
5、作线段的垂直平分线．
三、复杂作图
1、利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(/3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．[来源:Z*xx*k.Com]
2、与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
考点一：与三角形相关的作图
根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是（ ）
A．用尺规作一条线段等于已知线段
B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角
D．不能确定
【答案】C
【解析】解：已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是：用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角．
故选C．
【点评】构成三角形的基本元素有边和角，故作三角形要用到：尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角．
变式跟进1已知△ABC,求作△DEF，使△DEF≌△ABC(尺规作图，保留作图痕迹)。
作法：
【答案】作图见解析
【解析】作法：画线段EF=BC；
分别以E、F为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点D；
连结线段DE、DF。
∴△DEF就是所求作的三角形
/
【点评】作三角形包括：已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；已知三角形的三边，求作三角形这三种情况，本题可三种方法均可运用.
考点二：利用角平分线、线段的垂直平分线作图
如图所示，甲车从A处沿公路a向右行驶，同时乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间在公路a的点C上截住甲车，请你用尺规作图找出点C（保留作图痕迹，不写作法），并说明乙车行驶的方向。
【答案】作图见解析
【解析】解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，交直线a于点C，
根据线段垂直平分线的性质可知 CA=CB
乙两车行驶速度相同，行驶时间相同，因此行驶路程相同
所以乙车沿BC方向行驶在公路C处截住甲车。
/
【点评】利用基本作图——作线段的垂直平分线即可.
变式跟进2在图中作出点P，使得点P到C、D两点的距离相等，并且点P到OA、OB的距离也相等. （用尺规作图，保留作图痕迹,不写作法.）
/
【答案】作图见解析
【解析】解：点P到C、D两点的距离相等即作CD的垂直平分线；
点P到OA、OB的距离也相等，即作角平分线，
故两线的交点就是点P的位置．
/
【点评】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．
考点三：与圆相关的作图
下图是一个残破的圆片示意图。请找出该残片所在圆的圆心O的位置（保留画图痕迹，不必写作法）；
【答案】作图见解析
【解析】解：分别作出圆上任意两条弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心．
/
所以，点O就是所求的圆心．
【点评】利用圆上任意两条弦，并作出这两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心．
变式跟进3如图,已知在等腰△ABC中,∠A＝∠B＝30°.
尺规作图：（1）过点C作CD⊥AC交AB于点D；
（2）过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
求证：.
/
【答案】尺规作图见解析；证明见解析
【解析】尺规作图：解：（1）过点C作AB的垂直平分线，交AB于点D，
（2）作AC的垂直平分线，交AC于点O，
以点O为圆心，OA长为半径作圆.
/
证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD＝90°.
∵∠A＝∠B＝30°,∴∠ACB＝120°
∴∠DCB＝∠A＝30°,
又∵∠B公共角, ∴△CDB∽△ACB,
∴BC2＝BD·AB
【点评】（1）根据图形的特征即可作出图形；（2）先证得△CDB∽△ACB，再根据对应边成比例即可得到结果。
一、选择题
1、（2017?随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（?? ）
/
A、以点F为圆心，OE长为半径画弧 B、以点F为圆心，EF长为半径画弧
C、以点E为圆心，OE长为半径画弧 D、以点E为圆心，EF长为半径画弧
【答案】D
【解析】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F， 第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
故选D．
【点评】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．
2、（2017?河池）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（?? ）
/
A、6 B、8 C、10 D、12
【答案】B
【解析】解：连接EG， ∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE，OD= /DE=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
∴OA= /AG．
在Rt△AOD中，OA= /= /=4，
∴AG=2AO=8．
故选B．
/
【点评】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA= /AG，利用勾股定理求出OA的长即可．
3．（2018·河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
/
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【答案】D
【解析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选D．
【点评】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
4．（2018?嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形????????,下列作法中错误的是（ ）
A．/ B．/ C．/D．/
【答案】C
【解析】由作图，可以证明A、B、D中四边形ABCD是菱形，C中ABCD是平行四边形，即可得到结论．
解：A．∵AC是线段BD的垂直平分线，∴BO=OD，∴∠AOD=∠COB=90°．
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△AOD≌△COB，∴AO=OC，∴四边形ABCD是菱形．故A正确；
/
B．由作图可知：AD=AB=BC．
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．故B正确；
C．由作图可知AB、CD是角平分线，可以得到ABCD是平行四边形，不能得到ABCD是菱形．故C错误；
D．如图，∵AE=AF，AG=AG，EG=FG，∴△AEG≌△AFG，∴∠EAG=∠FAG．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠FAG=∠ACB，∴AB=BC，同理∠DCA=∠BCA，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥DC．
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．故D正确．
/
故选C．
【点评】本题考查了菱形的判定与平行四边形的性质．解题的关键是弄懂每个图形是如何作图的．
5．（2018?湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
/
A．
3
r B．（1+
2
2
）r C．（1+
3
2
）r D．
2
r
【答案】D
【解析】如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；
解：如图连接CD，AC，DG，AG．
/
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC=
3
r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG=
??
??
2
???
??
2
=
(
3
??)
2
?
??
2
=
2
r，
故选：D．
【点评】本题考查作图-复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6．（2019·广西）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
/
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
解：由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
7．（2019?长春）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
【答案】B
【解析】由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案．
解：∵且，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，
故选：B
【点评】线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.
8．（2019?河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
【答案】C
【解析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
二、填空题
9、（2017?河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．
/
【答案】56
【解析】解：∵四边形ABCD的矩形， ∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF= /∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°﹣34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56．
/
【点评】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
10、（2017?济宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 /MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是________.
/
【答案】a+b=0
【解析】解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上， ∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，
又∵点P（a，b）第二象限内，
∴b=﹣a，即a+b=0，
故答案为：a+b=0.
【点评】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数.
11．（2018?成都）如图，在矩形????????中，按以下步骤作图：①分别以点??和??为圆心，以大于
1
2
????的长为半径作弧，两弧相交于点??和??；②作直线????交????于点??.若????=2，????=3，则矩形的对角线????的长为__________．
/
【答案】
30
【解析】连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则EA=EC=3，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC．
解：连接AE，如图，
/
由作法得MN垂直平分AC，
∴EA=EC=3，
在Rt△ADE中，AD=
3
2
?
2
2
=
5
，
在Rt△ADC中，AC=
(
5
)
2
+
5
2
=
30
．
故答案为
30
．
【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
12．（2018?葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于
1
2
BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA=__．
/
【答案】2
3
【解析】由作法得AD⊥ON于F，再由OP平分∠MON，可得∠EOF=
1
2
∠MON=30°，在Rt△OEF中，求出OF=
3
EF=
3
，继而在Rt△AOF中，即可求出OA长.
解：由作法得AD⊥ON于F，∴∠AOF=90°，
∵OP平分∠MON，∴∠EOF=
1
2
∠MON=
1
2
×60°=30°，
在Rt△OEF中，OF=
3
EF=
3
，
在Rt△AOF中，∠AOF=60°，∴OA=2OF=2
3
，
故答案为：2
3
．
【点评】本题考查了尺规作图——垂线，解直角三角形的应用等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
13．（2018?抚顺）如图，?ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是_____．
/
【答案】10
【解析】根据平行四边形的性质可知AD=BC=3，CD=AB=7，再由垂直平分线的性质得出AE=CE，据此可得出结论
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=7，
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，平行四边形的性质等，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
14．（2019?宁夏）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则_____．
/
【答案】．
【解析】利用基本作图得BD平分，再计算出，所以，利用得到，然后根据三角形面积公式可得到的值．
解：由作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴.
故答案为．
【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
15．（2019?泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为_____cm．
/
【答案】6π
【解析】直接利用弧长公式计算即可.
解：利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（cm）
故答案为：6π
【点评】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键.
16．（2019?重庆）如图，四边形ABCD是矩形，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．
/
【答案】．
【解析】根据题意可以求得和的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与的面积之差的和，本题得以解决．
解：连接AE，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为：．
/
【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、解答题
17、（2017?南京）“直角”在初中几何学习中无处不在． 如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．
/
【答案】答案见解析
【解析】解：⑴如图1
/，
在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°
⑵如图2
/，
在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°
【点评】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案；（2）根据圆周角定理，可得答案．
18．（2018?福建b卷）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
/
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）作∠A'B'C=∠ABC，即可得到△A'B′C′；
（2）依据D是AB的中点，D'是A'B'的中点，即可得到
??′??′
????
=
??′??′
????
，根据△ABC∽△A'B'C'，即可得到
??′??′
????
=
??′??′
????
，∠A'=∠A，进而得出△A'C'D'∽△ACD，可得
??′??′
????
=
??′??′
????
=??．
解：（1）如图所示，△A'B′C′即为所求；
/
（2）已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，
??′??′
????
=
??′??′
????
=
??′??′
????
=k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
求证：
??′??′
????
=k．
/
证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
∴AD=
1
2
AB，A'D'=
1
2
A'B'，
∴
??′??′
????
=
1
2
??′??′
1
2
????
=
??′??′
????
，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴
??′??′
????
=
??′??′
????
，∠A'=∠A，
∵
??′??′
????
=
??′??′
????
，∠A'=∠A，
∴△A'C'D'∽△ACD，
∴
??′??′
????
=
??′??′
????
=k．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．
19．（2019?济宁）如图，点和点在内部．
/
（1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
【答案】（1）图见解析；（2）理由见解析.
【解析】（1）由垂直平分线性质可知点到点和点的距离相等即点P在MN的垂直平分线，由角平分线的性质可知两边的距离相等，即点P在∠AOB的角平分线上.分别作出MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为所求.
（2）根据作法即可说出理由.
解：（1）如图，作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点，即点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等；
/
（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．（2019?河池）如图，为的直径，点在上．
（1）尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点 （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究与的位置及数量关系，并证明你的结论．
/
【答案】（1）如图所示；见解析；（2），．理由见解析.
【解析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；
（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD=∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD=∠BOD，则∠BOD=∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE=AC．
解：（1）如图所示；
/
（2），．
理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，．
【点评】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了圆周角定理．
一、选择题
1．（2018?曲靖二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
/
A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）
【答案】B
【解析】由作法可得OC=0′C′,OD=O′D′,CD=C′D′,根据“SSS”可证明△OCD≌△O′C′D′，
从而可得∠A′O′B′=∠AOB.
解：由题意得，
OC=O′C′,
OD=O′D′,
CD=C′D′,
∴△OCD≌△O′C′D′，
∴∠A′O′B′=∠AOB.
故选B.
【点评】本题考查了尺规作图原理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
2．（2018?邵阳考前押题）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（ ??）
/
A．以点C为圆心，OD为半径的弧????????????? B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧?????????? D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【答案】D
【解析】根据作一个角等于已知角的作图步骤即可得到答案．
解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，
观察可知D选项符合，
故选D.
【点评】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，熟练掌握作图方法是解题的关键.
3．（2018·洛阳模拟）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AC交BC于点E．若∠BCD=80°，则∠AEC的度数为（ ）
/
A．80° B．100° C．120° D．140°
【答案】D
【解析】由AE平分∠BAD，AD∥BC，可推出：∠AEB＝∠BAE＝
1
2
∠BAD，再求出∠AEC＝180°－∠AEB，得到答案.
解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝
1
2
∠BAD，而∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝
1
2
∠BAD＝40°，故∠AEC＝180°－∠AEB＝180°－40°＝140°，故答案选D.
【点评】本题主要考查了角平分线的基本性质以及平行线的基本性质，解此题的要点在于推出∠BAE＝∠AEB＝
1
2
∠BAD.
4．（2018?北京二模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
/
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
【答案】C
【解析】根据角平分线的作图方法可判断图1，根据图2的作图痕迹可知D为BC中点，不是角平分线，图3中根据作图痕迹可通过判断三角形全等推导得出AD是角平分线.
解：图1中，根据作图痕迹可知AD是角平分线；
图2中，根据作图痕迹可知作的是BC的垂直平分线，则D为BC边的中点，因此AD不是角平分线；
图3：由作图方法可知AM=AE，AN=AF，∠BAC为公共角，∴△AMN≌△AEF，
∴∠3=∠4，
∵AM=AE，AN=AF，∴MF=EN，又∵∠MDF=∠EDN，∴△FDM≌△NDE，
∴DM=DE，
又∵AD是公共边，∴△ADM≌△ADE，
∴∠1=∠2，即AD平分∠BAC，
故选C.
/
【点评】本题考查了尺规作图，三角形全等的判定与性质等，熟知角平分的尺规作图方法、全等三角形的判定与性质是解题的关键.
5．（2019·广州模拟）如图，直线a∥b，以直线a上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线a、b于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC＝65°，则∠1＝（ ）
/
A．115° B．80° C．65° D．50°
【答案】D
【解析】首先由题意可得：AB＝AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线l1∥l2，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1的度数．
解：根据题意得：AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用．
6．（2019?长沙模拟）如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD．若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为( )
/
A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】D
【解析】根据题目中的作图方法确定出，MN是线段BC的垂直平分线，再根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”得到CD=BD；根据等边对等角及三角形内角和的知识可求出∠ADC和∠ACD的度数，进而可得∠BDC的度数，再结合CD=BD，可得∠DCB的度数，至此即可求得∠ACB的度数.
解：根据作图过程，可知MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴∠B=∠DCB，
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠A=∠CDA=50°，
∴∠ACD=80°，∠CDB=130°，
∵在△BCD中，BD=CD，∠CDB=130°，
∴∠B=∠DCB=25°，
∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=105°.
故答案为D.
【点评】本题考查垂直平分线尺规作图的方法以及等腰三角形的性质，熟记垂直平分线的做法是解题关键，做题时要熟练运用等腰三角形“等边对等角”的性质，再结合三角形的内角和为180°；在三角形中求角度，一定要用到三角形的内角和或者外角.
7．（2019?保定模拟）已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的作法是：先作底边BC=a，再作BC的垂直平分线MN交BC于点D，并在DM上截取DA=h，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高AD=h，再过点D作AD的垂线MN，并在MN上截取BC=a，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形．对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【答案】A
【解析】根据线段垂直平分线的性质对两同学的作法进行判断．
解：根据甲同学的作法，AD垂直平分BC，则AB=AC，所以△ABC为直角三角形，而根据乙同学的作法，AD只垂直BC，不平分BC，所以不能判断△ABC为等腰三角形，
所以甲同学作法正确，乙同学作法错误．
故选A．
8．（2019?湖州模拟）小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD．下列说法不正确的是（ ）
/
A．∠A＝60° B．△ACD是直角三角形
C．BC＝CD D．点B是△ACD的外心
【答案】C
【解析】根据等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识一一判断即可．
解：由作图可知：AB=BC=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°，(故A正确) ∵BA=BC=BD， ∴△ACD是直角三角形，（故B正确），点B是△ACD的外心．（故D正确）；
∴tanA==，
∴AC=，
∴BC=，（故C错误）
故选：C．
【点评】本题考查作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
9．（2018?襄阳适应性考试）如图，在△ABC中，D是AB上的一点，进行如下操作：①以B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点F；②再分别以D，F为圆心，BD长为半径作弧，两弧恰好相较于AC上的点E处；③连接DE，FE.若AB＝6，BC＝4，那么AD＝________．
/
【答案】3.6
【解析】根据作图可知四边形BFED是菱形,然后根据△ADE∽△ABC即可求出.
解：∵根据作法可知：
BD=BF=EF=DE,
∴四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，
∴
????
????
=
????
????
设AD=x,则DE=6-x,
∵AB=6，BC=4,
∴
??
6
=
6???
4
，
∴AD=3.6.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例.
10．（2018?益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于
1
2
????的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC＝________.
/
【答案】
2
．
【解析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案．
解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，
/
由题意可得：O是△ACB的内心，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴四边形OGCD是正方形，
∴DO=OG=
3+4?5
2
=1，
∴CO=
2
．
故答案为：
2
．
【点评】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心，正确得出OD的长是解题关键．
11．（2018?北京期末）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
/
以上作图的依据是：__________________________________________________________．
【答案】经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角为直角．
【解析】连接OC，OD后，可证∠OCP=∠ODP=90°，其依据是：直径所对的圆周角是直角；由此可证明直线PC，PD都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线． 故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．
12．（2018?无锡模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，D为边AB中点．以B为圆心，BD为半径作弧，交BC于点E；以C为圆心，CD为半径作弧，交AC于点F．则图中阴影部分的面积为_____．
/
【答案】16
【解析】连接????,阴影部分的面积=
??
△??????
?S扇形BDE?(
??
△??????
? S扇形CDF),即可求解.
解：连接????,
∵在△??????中，∠??=90°，????=????=8， D为边AB中点，
∴∠??=∠??=45°，????=8
2
，
∴????=????=????=4
2
，
∴阴影部分的面积是：
1
2
×8×8?
45?π?
4
2
2
360
?
1
2
×4
2
×4
2
?
45?π?
4
2
2
360
,
=16.
故答案为：16．
【点评】考查不规则图形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.
13．（2019?淮安模拟）如图，在△ABC中，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交AB于点D，同法得到点E，连接DE．若BC＝10cm，则DE＝_____cm．
/
【答案】5
【解析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的中位线的性质即可得到结论．
解：由作图知，PQ是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
同理AE＝CE，
∴DE＝BC，
∵BC＝10cm，
∴DE＝5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形中位线等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
14．（2019?滨州模拟）如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA＝90°，AB＝4，则CD的长为_____．
/
【答案】2
【解析】利用基本作图可判断MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再根据等角的余角相等证出∠ACD＝∠A，从而证明DA＝DC，从而得到CD＝AB＝2．
解：由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠A，
∴DA＝DC，
∴CD＝AB＝×4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图—作已知线段的垂直平分线，以及垂直平分线的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
15．（2019?成都模拟）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC＝________.
/
【答案】．
【解析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案．
解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，
/
由题意可得：O是△ACB的内心，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴四边形OGCD是正方形，
∴DO=OG==1，
∴CO=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心，正确得出OD的长是解题关键．
16．（2019?滕州模拟）如图，点A在双曲线y=（k＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为______．
/
【答案】.
【解析】设OA交CF于K.利用面积法求出OK的长，进而求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题.
解：如图，设OA交CF于K．
/
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC＝CA＝1，OK＝AK，
在Rt△OFC中，CF＝，
AK=OK=＝，
∴OA＝，
由△FOC∽△OBA，可得，
∴，
∴OB＝，AB＝，
∴，
∴k＝．
故答案为：.
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
三、解答题
17．（2018?鞍山模拟）如图，已知△ABC中，AB=AC，
（1）请用尺规作图的方法找出线段BC的中点，
（2）若AB边长为6，∠B=30°，求△ABC的面积．
/
【答案】（1）见解析；（2）9
3
．
【解析】解：（1）如图所示：
/；
（2）如图所示，作AD⊥BC于点D：
/
∵AB边长为6，∠B=30°，
∴AD=3，
∴BD=3
3
，则BC=6
3
，
∴△ABC的面积为：
1
2
×6
3
×3=9
3
．
【点评】熟记常用的三角函数可以提升解题的速度和正确率.
18．（2018?衡水模拟）如图，在直角坐标系中，先描出点A（1，3），点B（4，1）
（1）用尺规在x轴上找一点C，使AC+BC的值最小（保留作图痕迹）；
（2）用尺规在x轴上找一点P，使PA=PB（保留作图痕迹）．
/
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析.
【解析】（1）仿照“将军饮马”问题解决；
（2）作AB的中垂线，交x轴处即为点P.
解：（1）如图所示，点C即为所求；
/
（2）如图所示，点P即为所求.
19．（2019?达州模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8．
(1)在BC上求作一点P，使PA+PB＝BC；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)求BP的长．
/
【答案】(1)见解析；(2)3.
【解析】（1）作AC的垂直平分线与BC相交于P；（2）根据勾股定理求解.
解：(1)如图所示，点P即为所求．
/
(2)设BP＝x，则CP＝8﹣x，
由(1)中作图知AP＝CP＝8﹣x，
在Rt△ABP中，由AB2+BP2＝AP2可得42+x2＝(8﹣x)2，
解得：x＝3，
所以BP＝3．
【点评】灵活应用勾股定理和线段垂直平分线是解题的的关键..
20．（2019?孝感模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB．BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE；④用同样的方法作射线CF．BE交CF于点O．
请根据作图回答下列问题：
（1）O是△ABC的 ；
A．外心 B．内心 C．重心
（2）若AB＝5，AC＝12，BC＝13，求O到BC的距离．
/
【答案】（1）B；（2）OP＝2．
【解析】（1）根据三角形的内心的定义即可判断；（2）过O点作OP⊥AB，OQ⊥AC，OK⊥BC，垂足分别为P，Q，K.利用勾股定理的逆定理证明∠BAC=90°，再证明四边形APOQ是正方形即可.
解：（1）由作图可知，点O是△ABC的角平分线的交点，所以点O是△ABC的内心．
故答案为B．
/
（2）如图：过O点作OP⊥AB，OQ⊥AC，OK⊥BC，垂足分别为P，Q，K．
∵O是△ABC的内心
∴OP＝OQ＝OK
又∵AB＝5，AC＝12，BC＝13
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是Rt△
∴∠BAC＝90°，
∴四边形OPAQ是正方形．
∴OP＝OQ＝OK＝（5+12﹣13）＝2．
【点评】本题考查三角形的重心，勾股定理的逆定理，三角形的内切圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
/
