人教版九年级数学教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：35【基础】弧、弦、圆心角、圆周角(附答案)

弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）

【学习目标】
1.了解圆心角、圆周角的概念；
2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；
3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．
【要点梳理】
要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/2.定理：　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；　　(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/2.圆周角定理：　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．
5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：
在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。
【典型例题】
类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
/1.如图，在⊙O中，/，求∠A的度数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/【答案与解析】
/　　　/.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的
弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，/中弦AB=CD，求证：AD=BC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/【答案】
证法1：∵AB=CD，∴/(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等)　　　　　 ∴/　　　　　 ∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)　　证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC，　　　　　 ∵AB=CD，∴/(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等)　　　　　 ∴/　　　　　 ∴AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)
类型二、圆周角定理及应用
/2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?
/【答案与解析】
(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；
(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；
(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．
(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；
(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.
【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．

/3.（2019?台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
/
【答案与解析】　（1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠1=∠2．
【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．
/4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
　　　　　　/ /
【答案与解析】
BD=CD.
理由是：如图，连接AD　　　∵AB是⊙O的直径　　　∴∠ADB=90°即AD⊥BC　　　又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，
证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．举一反三：
【变式】（2019?安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）
/
　 A．2/ B． 4 C． 4/ D． 8
【答案】C.
提示：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE=/OC=2/，
∴CD=2CE=4/．
故选：C．
弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题1．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．
A．64° B．48° C．32° D．76°
2．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．
A．37° B．74° C．54° D．64°
/ / /
（第1题图） （第2题图） （第3题图）
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．
A．69° B．42° C．48° D．38°
4．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，
则∠AEB等于( )．
A．70° B．90° C．110° D．120°
/ /
（第4题图） （第5题图）
5.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（ ）．
A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1
6．（2019?酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　）
　 A．80° B． 160° C． 100° D． 80°或100°
二、填空题
7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．
8.（2019?镇江一模）在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：5：6，则∠D=　 .
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，BD∥OC，则∠B的度数是 .

10．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD＝

11．如图，已知⊙O的直径MN＝10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP和⊙O上，
且∠POM＝45°，则AB＝ .
/ （第12题图）
12．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．

三、解答题
13. 如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE为⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．
/
14．（2019?嵊州市一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠D=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AC=8，DE=2，求AB的长．
/
15．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在/上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．
(1)求证：AE=BF；
(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．
/
【答案与解析】
一、选择题1.【答案】A；
【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.
2.【答案】B；
【解析】 ∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.
3.【答案】A；
【解析】 ∠BAD=/∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.
4.【答案】C；
【解析】因为∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，所以∠D=∠A=50°，∠DBC=40°，
∠ABD=60°-40°=20°，∠ACD=∠ABD=20°，∠AED=∠ACD+∠D=20°+50°=70°，
∠AEB=180°-70°=110°.
5.【答案】D；
【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.
6.【答案】D；
【解析】如图，∵∠AOC=160°，
∴∠ABC=/∠AOC=/×160°=80°，
∵∠ABC+∠AB′C=180°，
∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．
∴∠ABC的度数是：80°或100°．
故选D．
二、填空题
7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；
8．【答案】80°；
【解析】设每一份是x．则∠A=3x，∠B=5x，∠C=6x．
根据圆内接四边形的对角互补，得
∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
则3x+6x=180°，
解得x=20°．
所以∠D=9x﹣5x=4x=80°．
9．【答案】60°；
10．【答案】；
11．【答案】/；
【解析】如图，设AB＝x，在Rt⊿AOD 中: x2+（2x）2＝52， x＝/, 即 AB的长＝/.
/ /
第11题 第12题
12．【答案】90° ；
【解析】如图，连结AB、BC，则∠CAD + ∠EBD +∠ACE=∠CBD +∠EBD +∠ABE=∠ABC=90°.
三、解答题
13.【答案与解析】
BE=CF．
理由：∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴∠ABE=90°=∠ADC，
又∠AEB=∠ACB，
∴∠BAE=∠CAF，
∴/．
∴BE=CF．
14.【答案与解析】
解：（1）∵OA=OD，∠D=70°，
∴∠OAD=∠D=70°，
∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠D=40°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
即OD⊥AC，
∴/=/，
∴∠CAD=/∠AOD=20°；
（2）∵AC=8，OE⊥AC，
∴AE=/AC=4，
设OA=x，则OE=OD﹣DE=x﹣2，
∵在Rt△OAE中，OE2+AE2=OA2，
∴（x﹣2）2+42=x2，
解得：x=5，
∴OA=5，
∴AB=2OA=10．
15.【答案与解析】
(1)如图，作OH⊥CD于H，利用梯形中位线易证OF=OE，OA=OB，
所以AF=BE，AF+EF=BE+EF，
即AE=BF．
/
(2)四边形CDEF的面积是定值.
连结OC，则/，
/＝54(cm2)．