人教版九年级数学教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：41【基础】正多边形和圆(附答案)
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：41【基础】正多边形和圆(附答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 382.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-18 23:00:40 | ||
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文档简介
正多边形和圆—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正
多边形；
3.会进行正多边形的有关计算.
【要点梳理】
知识点一、正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是.
要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
知识点四、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. ①正四、八边形。 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法。 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【典型例题】
类型一、正多边形的概念
1．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】A.
【解析】如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°， 根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°． 故选A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用． 举一反三：
【变式】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°． 故选B．
2．如图1，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
图1 图2
【思路点拨】
连接OD，根据题意求出∠POQ和∠AOD的度数，利用平行关系求出∠AOP度数，即可求出∠AOQ的度数．
【答案】D.
【解析】如图2，连接OD，由题意可知∠POQ=120°，∠AOD=90°， 由BC∥RQ可知P为弧AD的中点，所以∠AOP=45°， 所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°． 故选D．
【点评】解决此类问题的关键是作出恰当的辅助线（如正多边形的半径、边心距、中心角等），再利用正多边形与圆有关性质求解．
类型二、正多边形和圆的有关计算
3．（2019?鞍山一模）如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
【答案与解析】
（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中，
∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BPG=∠ABG=120°，
∴∠APH=∠BPG=120°．
【点评】本题考查了正多边形的性质及相关计算，解题的关键是正确地利用正六边形中相等的元素．
4．（2019?道里区二模）若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3，a4，a6，则a3：a4：a6等于（ ）
A.1：： B． 1：2：3 C． 3：2：1 D． ：：1
【思路点拨】从中心向边作垂线，构建直角三角来解决．
【答案】D．
【解析】解：设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
如图1，则内接正三角形的边长a3=r，
如图2，内接正方形的边长是a4=r，
如图3，正六边形的边长是a6=r，
因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比a3：a4：a6=：：1．
故选D．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，构造直角三角形来求解．
举一反三：
【变式】如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是?___________ __?.
【答案】
根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可， 即可知：360÷30=12； 360÷60=6； 360÷90=4； 360÷120=3； 360÷180=2． 故么n的所有可能的值是2，3，4，6，12．
正多边形和圆—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题 1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
2．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( )
A． cm B． cm C．cm D．1 cm
第2题图 第5题图
3．（2019?广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B． 9 C． 18 D． 36
4．正三角形、正方形、圆三者的周长都等于，它们的面积分别为S1，S2、S3，则( )．
A．S1＝S2＝S3 B．S3＜S1＜S2 C．S1＜S2＜S3 D．S2＜S1＜S3
5．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五个等分点而得到的(如图所示)．五角星的每一个角的度数是( )．
A．30° B．35° C．36° D．37°
第6题图 第7题图 第9题图
6．如图所示，是由5把相同的折扇组成的“蝶恋花”（如图①）和梅花图案（如图②）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）
A．36° B．42° C．45° D．48°
二、填空题
7．如图所示，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠等于________．
8．要用圆形铁片裁出边长为4的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小是________．
9．如图所示，等边△ABC内接于⊙O，AB＝10cm，则⊙O的半径是________．
10.（2019?铁岭）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为 ．
11．正六边形的半径是5cm，则边长________，周长________ ，边心距________，面积________．
12. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 .
三、解答题
13．如图所示，正△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，求△ABC的边长a，周长P，边心距r，面积S．
14. 如图所示，半径为R的圆绕周长为10πR的正六边形外边作无滑动滚转，绕完正六边形后，圆一共转了多少圈？
一位同学的解答过程：圆的周长为2πR，所以它绕完正六边形后一共转了圈，结果一共转了5圈．你认为这位同学的解答有无错误？如有错误，请更正．
15．（2019秋?吴江市校级期中）如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D；
【解析】可求每个外角为60°，∴ 360÷60＝6或 ∴ n＝6．
2.【答案】A；
【解析】较长对角线与较短对角线及一边长构成一直角三角形，用勾股定理求解．
3.【答案】C；
【解析】连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C．
4.【答案】C；
【解析】当周长一定时，边数越多的正多边形其面积越大，当它成为圆时面积最大．
5.【答案】C；
【解析】五角星的每一个角所对的弧为圆的，∴ 弧的度数为72°，因而每个角的度数为36°，
故选C．
6.【答案】D.
【解析】如图③所示，正五边形ABCDE的中心角为72°，各内角为108°，故五角星五个锐角均为48°．
二、填空题
7．【答案】72°；
【解析】＝360°－90°－90°－108°＝72°．
8．【答案】；
【解析】如图所示，△ABC为等腰Rt△，．
9．【答案】cm；
【解析】过O作OD⊥BC于D，连接OB，在Rt△BOD中，BD＝BC＝＝5(cm)．
∠BOD＝，
∴ ．
∴ BO＝(cm)．
10．【答案】54°；
【解析】连接OB，
则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB==72°，
∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；
故答案为：54°．
11．【答案】5cm，30cm，cm，；
12．【答案】2：．
【解析】设正六边形的半径是r，则外接圆的半径r， 内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是， 因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．
三、解答题
13.【答案与解析】
作AD⊥BC于D．
∵ △ABC是正三角形，
∴ 点O在AD上，a＝BC＝2CD，∠OCD＝30°，
在Rt△COD中，，
，
∴ ，．
又∵ AD＝OA+OD＝2+1＝3，
∴ ，
∴ ，，，．
14.【答案与解析】
有错误，由正六边形的每个顶点外圆要转60°角，应转了（圈）．
15.【答案与解析】
解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴OC=5×=5（cm）．
即⊙O的半径R=5cm．
【学习目标】
1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正
多边形；
3.会进行正多边形的有关计算.
【要点梳理】
知识点一、正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是.
要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
知识点四、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. ①正四、八边形。 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法。 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【典型例题】
类型一、正多边形的概念
1．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】A.
【解析】如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°， 根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°． 故选A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用． 举一反三：
【变式】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°． 故选B．
2．如图1，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
图1 图2
【思路点拨】
连接OD，根据题意求出∠POQ和∠AOD的度数，利用平行关系求出∠AOP度数，即可求出∠AOQ的度数．
【答案】D.
【解析】如图2，连接OD，由题意可知∠POQ=120°，∠AOD=90°， 由BC∥RQ可知P为弧AD的中点，所以∠AOP=45°， 所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°． 故选D．
【点评】解决此类问题的关键是作出恰当的辅助线（如正多边形的半径、边心距、中心角等），再利用正多边形与圆有关性质求解．
类型二、正多边形和圆的有关计算
3．（2019?鞍山一模）如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
【答案与解析】
（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中，
∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BPG=∠ABG=120°，
∴∠APH=∠BPG=120°．
【点评】本题考查了正多边形的性质及相关计算，解题的关键是正确地利用正六边形中相等的元素．
4．（2019?道里区二模）若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3，a4，a6，则a3：a4：a6等于（ ）
A.1：： B． 1：2：3 C． 3：2：1 D． ：：1
【思路点拨】从中心向边作垂线，构建直角三角来解决．
【答案】D．
【解析】解：设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
如图1，则内接正三角形的边长a3=r，
如图2，内接正方形的边长是a4=r，
如图3，正六边形的边长是a6=r，
因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比a3：a4：a6=：：1．
故选D．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，构造直角三角形来求解．
举一反三：
【变式】如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是?___________ __?.
【答案】
根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可， 即可知：360÷30=12； 360÷60=6； 360÷90=4； 360÷120=3； 360÷180=2． 故么n的所有可能的值是2，3，4，6，12．
正多边形和圆—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题 1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
2．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( )
A． cm B． cm C．cm D．1 cm
第2题图 第5题图
3．（2019?广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B． 9 C． 18 D． 36
4．正三角形、正方形、圆三者的周长都等于，它们的面积分别为S1，S2、S3，则( )．
A．S1＝S2＝S3 B．S3＜S1＜S2 C．S1＜S2＜S3 D．S2＜S1＜S3
5．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五个等分点而得到的(如图所示)．五角星的每一个角的度数是( )．
A．30° B．35° C．36° D．37°
第6题图 第7题图 第9题图
6．如图所示，是由5把相同的折扇组成的“蝶恋花”（如图①）和梅花图案（如图②）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）
A．36° B．42° C．45° D．48°
二、填空题
7．如图所示，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠等于________．
8．要用圆形铁片裁出边长为4的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小是________．
9．如图所示，等边△ABC内接于⊙O，AB＝10cm，则⊙O的半径是________．
10.（2019?铁岭）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为 ．
11．正六边形的半径是5cm，则边长________，周长________ ，边心距________，面积________．
12. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 .
三、解答题
13．如图所示，正△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，求△ABC的边长a，周长P，边心距r，面积S．
14. 如图所示，半径为R的圆绕周长为10πR的正六边形外边作无滑动滚转，绕完正六边形后，圆一共转了多少圈？
一位同学的解答过程：圆的周长为2πR，所以它绕完正六边形后一共转了圈，结果一共转了5圈．你认为这位同学的解答有无错误？如有错误，请更正．
15．（2019秋?吴江市校级期中）如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D；
【解析】可求每个外角为60°，∴ 360÷60＝6或 ∴ n＝6．
2.【答案】A；
【解析】较长对角线与较短对角线及一边长构成一直角三角形，用勾股定理求解．
3.【答案】C；
【解析】连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C．
4.【答案】C；
【解析】当周长一定时，边数越多的正多边形其面积越大，当它成为圆时面积最大．
5.【答案】C；
【解析】五角星的每一个角所对的弧为圆的，∴ 弧的度数为72°，因而每个角的度数为36°，
故选C．
6.【答案】D.
【解析】如图③所示，正五边形ABCDE的中心角为72°，各内角为108°，故五角星五个锐角均为48°．
二、填空题
7．【答案】72°；
【解析】＝360°－90°－90°－108°＝72°．
8．【答案】；
【解析】如图所示，△ABC为等腰Rt△，．
9．【答案】cm；
【解析】过O作OD⊥BC于D，连接OB，在Rt△BOD中，BD＝BC＝＝5(cm)．
∠BOD＝，
∴ ．
∴ BO＝(cm)．
10．【答案】54°；
【解析】连接OB，
则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB==72°，
∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；
故答案为：54°．
11．【答案】5cm，30cm，cm，；
12．【答案】2：．
【解析】设正六边形的半径是r，则外接圆的半径r， 内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是， 因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．
三、解答题
13.【答案与解析】
作AD⊥BC于D．
∵ △ABC是正三角形，
∴ 点O在AD上，a＝BC＝2CD，∠OCD＝30°，
在Rt△COD中，，
，
∴ ，．
又∵ AD＝OA+OD＝2+1＝3，
∴ ，
∴ ，，，．
14.【答案与解析】
有错误，由正六边形的每个顶点外圆要转60°角，应转了（圈）．
15.【答案与解析】
解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴OC=5×=5（cm）．
即⊙O的半径R=5cm．
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