高中数学人A教版必修4课件：2．4-平面向量的数量积（共48张PPT）
文档属性
| 名称 | 高中数学人A教版必修4课件：2．4-平面向量的数量积（共48张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1008.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-23 08:53:56 | ||
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文档简介
(共48张PPT)
第二章 平面向量
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
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1.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0°，90°，180°时，这两个向量的位置关系如何？
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2.任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.
平面向量数量积的背景与含义
W＝|F||s|cosθ
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平面向量数量积的背景与含义
2. 功是一个标量,它由力和位移两个向量所确定,数学上，我们把“功”称为向量F与s“数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？
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平面向量数量积的背景与含义
3. 对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，把|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.那么a·b的运算结果是向量还是数量？
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平面向量数量积的背景与含义
4. 特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？
0·a=0
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平面向量数量积的背景与含义
5. 对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？
a·b=|a||b|cosθ
当0°≤θ＜90°时，a·b＞0；
当90°＜θ≤180°时，a·b＜0；
当θ＝90°时，a·b＝0.
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平面向量数量积的背景与含义
6. 对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么|a|cosθ的几何意义如何？
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平面向量数量积的背景与含义
7. 对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？
不一定；|b|cosθ.
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平面向量数量积的背景与含义
8. 根据投影的概念,数量积a·b=|a||b|cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积.
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平面向量数量积的运算性质
1. 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
a⊥b?a·b＝0
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平面向量数量积的运算性质
2. 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
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平面向量数量积的运算性质
3. |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？
|a·b|≤|a||b|
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平面向量数量积的运算性质
4. a·b与b·a是什么关系？为什么？
a·b＝b·a
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平面向量数量积的运算性质
5. 对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
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平面向量数量积的运算性质
7. 对于非零向量a，b，c，(a·b)·c有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？
(a·b)·c≠a·(b·c)
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平面向量数量积的运算性质
6. 对于向量a,b,c,
(a＋b)·c有意义吗？
它与a·c＋b·c相等吗？
为什么？
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平面向量数量积的运算性质
8. 对于非零向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么 b＝c吗？
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平面向量数量积的运算性质
9. 对于向量a，b，等式(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是否成立？为什么？
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平面向量数量积的运算性质
10. 对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
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例1 已知|a|＝5,|b|＝4,a与b的夹角为120°,求a·b.
－10
例2 已知|a|＝6,|b|＝4,a与b的夹角为60°,求(a＋2b)·(a－3b).
－72
例3 已知|a|＝3,|b|＝4,且a与b不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与 a－kb互相垂直？
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1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.
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2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.
3. 利用︱a︱＝ 可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法.
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4. 利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用.
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P.108 习题2.4A组1，2，3，6，7，8.
固学案相关内容.
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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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1.向量a与b的数量积的含义是什么？
a·b=|a||b|cosθ.
其中θ为向量a与b的夹角
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2. 向量的数量积具有哪些运算性质？
（1）a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)；
（2）a2＝|a|2；
（3）a·b＝b·a；
（4）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
（5）(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
（6）|a·b|≤|a||b|.
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3. 平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便.若已知向量a与b的坐标，则其数量积是唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题.
面向量数量积的坐标表示
1. 设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若两个非零向量a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，则向量a与b用i、j分别如何表示？
a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2 j.
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面向量数量积的坐标表示
2. 对于上述向量i、j，则i2，j2，i·j分别等于什么？
i2=1，j2=1，i·j=0.
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面向量数量积的坐标表示
3. 根据数量积的运算性质，a·b等于什么？
a·b＝x1x2＋y1y2
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面向量数量积的坐标表示
4. 若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),则a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
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面向量数量积的坐标表示
5. 如何利用数量积的坐标表示证明
(a＋b)·c＝a·c＋b·c？
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向量的模和夹角的坐标表示
1. 设向量a＝(x，y)，利用数量积的坐标表示，|a|等于什么？
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向量的模和夹角的坐标表示
2. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1), (x2，y2)，那么向量a的坐标如何表示？|a|等于什么？
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向量的模和夹角的坐标表示
3. 设向量a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1，y1，x2，y2之间的关系如何？反之成立吗？
a⊥b ?x1x2＋y1y2＝0.
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向量的模和夹角的坐标表示
4. 设a、b是两个非零向量，其夹角为θ，若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，那么cosθ如何用坐标表示？
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例1 已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求:
(1) a·b；
(2) (a＋2b)·(a－b)；
(3) |a|2－4a·b.
(1) 2；（2）17；（3）－3.
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例2 已知点A（1，2）,B（2，3）,
C(－2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
△ABC是直角三角形
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例3 已知向量a＝(5,－7)，b＝(－6,－4)，求向量a 与b的夹角θ（精确到1°）.
cosθ≈－0.03，θ≈92°.
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例4 已知向量a＝(λ,－2)，b＝(－3,5)，若向量a 与b的夹角为钝角，求λ的取值范围.
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例5 已知b＝(1，1)，a·b＝3，
|a－b|＝2，求|a|.
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1. a∥b?x1y2-x2y1=0
a⊥b? x1x2+y1y2=0
二者有着本质区别.
2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝角），则a·b＞0（＜0），反之不成立.
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3. 向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决.
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P.107练习：1，2.
P.108习题2.4A组：9，10，11.
固学案相关内容.
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第二章 平面向量
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
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1.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0°，90°，180°时，这两个向量的位置关系如何？
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2.任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.
平面向量数量积的背景与含义
W＝|F||s|cosθ
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平面向量数量积的背景与含义
2. 功是一个标量,它由力和位移两个向量所确定,数学上，我们把“功”称为向量F与s“数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？
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平面向量数量积的背景与含义
3. 对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，把|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.那么a·b的运算结果是向量还是数量？
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平面向量数量积的背景与含义
4. 特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？
0·a=0
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平面向量数量积的背景与含义
5. 对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？
a·b=|a||b|cosθ
当0°≤θ＜90°时，a·b＞0；
当90°＜θ≤180°时，a·b＜0；
当θ＝90°时，a·b＝0.
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平面向量数量积的背景与含义
6. 对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么|a|cosθ的几何意义如何？
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平面向量数量积的背景与含义
7. 对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？
不一定；|b|cosθ.
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平面向量数量积的背景与含义
8. 根据投影的概念,数量积a·b=|a||b|cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积.
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平面向量数量积的运算性质
1. 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
a⊥b?a·b＝0
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平面向量数量积的运算性质
2. 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
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平面向量数量积的运算性质
3. |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？
|a·b|≤|a||b|
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平面向量数量积的运算性质
4. a·b与b·a是什么关系？为什么？
a·b＝b·a
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平面向量数量积的运算性质
5. 对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
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平面向量数量积的运算性质
7. 对于非零向量a，b，c，(a·b)·c有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？
(a·b)·c≠a·(b·c)
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平面向量数量积的运算性质
6. 对于向量a,b,c,
(a＋b)·c有意义吗？
它与a·c＋b·c相等吗？
为什么？
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平面向量数量积的运算性质
8. 对于非零向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么 b＝c吗？
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平面向量数量积的运算性质
9. 对于向量a，b，等式(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是否成立？为什么？
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平面向量数量积的运算性质
10. 对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
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例1 已知|a|＝5,|b|＝4,a与b的夹角为120°,求a·b.
－10
例2 已知|a|＝6,|b|＝4,a与b的夹角为60°,求(a＋2b)·(a－3b).
－72
例3 已知|a|＝3,|b|＝4,且a与b不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与 a－kb互相垂直？
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1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.
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2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.
3. 利用︱a︱＝ 可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法.
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4. 利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用.
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固学案相关内容.
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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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1.向量a与b的数量积的含义是什么？
a·b=|a||b|cosθ.
其中θ为向量a与b的夹角
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2. 向量的数量积具有哪些运算性质？
（1）a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)；
（2）a2＝|a|2；
（3）a·b＝b·a；
（4）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
（5）(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
（6）|a·b|≤|a||b|.
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3. 平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便.若已知向量a与b的坐标，则其数量积是唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题.
面向量数量积的坐标表示
1. 设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若两个非零向量a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，则向量a与b用i、j分别如何表示？
a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2 j.
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面向量数量积的坐标表示
2. 对于上述向量i、j，则i2，j2，i·j分别等于什么？
i2=1，j2=1，i·j=0.
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面向量数量积的坐标表示
3. 根据数量积的运算性质，a·b等于什么？
a·b＝x1x2＋y1y2
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面向量数量积的坐标表示
4. 若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),则a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
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面向量数量积的坐标表示
5. 如何利用数量积的坐标表示证明
(a＋b)·c＝a·c＋b·c？
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向量的模和夹角的坐标表示
1. 设向量a＝(x，y)，利用数量积的坐标表示，|a|等于什么？
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向量的模和夹角的坐标表示
2. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1), (x2，y2)，那么向量a的坐标如何表示？|a|等于什么？
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向量的模和夹角的坐标表示
3. 设向量a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1，y1，x2，y2之间的关系如何？反之成立吗？
a⊥b ?x1x2＋y1y2＝0.
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向量的模和夹角的坐标表示
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例1 已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求:
(1) a·b；
(2) (a＋2b)·(a－b)；
(3) |a|2－4a·b.
(1) 2；（2）17；（3）－3.
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例2 已知点A（1，2）,B（2，3）,
C(－2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
△ABC是直角三角形
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例3 已知向量a＝(5,－7)，b＝(－6,－4)，求向量a 与b的夹角θ（精确到1°）.
cosθ≈－0.03，θ≈92°.
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例4 已知向量a＝(λ,－2)，b＝(－3,5)，若向量a 与b的夹角为钝角，求λ的取值范围.
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例5 已知b＝(1，1)，a·b＝3，
|a－b|＝2，求|a|.
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1. a∥b?x1y2-x2y1=0
a⊥b? x1x2+y1y2=0
二者有着本质区别.
2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝角），则a·b＞0（＜0），反之不成立.
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3. 向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决.
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P.108习题2.4A组：9，10，11.
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