高中数学人A教版必修4课件：2．2-平面向量的线性运算（共39张PPT）

(共39张PPT)
第二章 平面向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
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2.2.1向量加法运算及其几何意义
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物理学中，两次位移 的结果和位移 是相同的。
2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？
3. 两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。
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已知向量a,b，在平面内任取一点A，作 a，
b，则向量 叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
这种求作两个向量和的方法叫做三角形法则.

向量的加法
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首尾相连，起点连中点，首对首，尾对尾
以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边形ABCD则以O为起点的对角线 就是a与b的和。


我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
向量的加法
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同起点，对角线上有终点

对于零向量与任一向量a，

规定a+0=0+a=a
向量的加法
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已知向量a,b，用两种方法求作向量a+b。
解：

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当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？

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两个向量的和仍是一个向量。
当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|.
当a与b共线时，若a与b同向，则a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|.
若a与b反向，当|a|>|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|<|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.
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数的加法满足交换律与结合律，
即对任意a,b?R，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).
任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？
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作图验证
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一艘船以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。
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摩托艇是抗洪抢险中的主要交通工具，设它在静水中的航行速度是每小时25千米，如果当时的水流速度是每小时15千米，那么该摩托艇向下游航行时，每小时能行________千米，它向上游航行时，每小时能行___________千米.
40
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2.2.2向量减法运算及其几何意义
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减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？
向量的减法
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相反向量

规定与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a，显然-(-a)=a，

规定，零向量的相反向量仍是零向量。
向量的减法
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向量减法的定义
任一向量与其相反向量的和是零向量， 即 a+(-a)=(-a)+a=0，所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，
定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
向量的减法
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运算法则
已知a、b， a-b可以表示为从向量b的终点指向被减向量a的终点的向量.


已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d.
解：
向量的减法
同起点
连终点
指被减
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判断下列等式是否成立：
(1)a+b=b+a ( )
(2)a-b=b-a ( )
(3)0-a=a ( )
(4)-(-a)=a ( )
(5)a+(-a)=0 ( )
?
?
?
?
?
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1.在学习向量加法概念时，要结合物理学理解向量加法的意义；
2.要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；
3.要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；
4.理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量。
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习题2.2 A组 1、2、3、4、6、7、8
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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
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已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，并说明它们的几何意义.



把a+a+a记作3a，显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的3倍，即|3a|=3|a|.
同样，(-a)+(-a)+(-a)=3(-a)，显然3(-a)的方向与a的方向相反，3(-a)的长度是a的3倍，这样3(-a)=-3a.
向量的数乘
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实数?与向量a的积是一个向量，称为向量的数乘，记作?a，它的长度与方向规定如下：

（1）|?a|=|?||a|；
（2）当?>0时，?a的方向与向量a的方向相同；当?<0时，?a的方向与a的方向相反.
向量的数乘
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特别地，

当?=0或a=0时，?a=0；

当?=-1时，(-1)?a=-a，就是a的相反向量.
向量的数乘
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实数与向量的积的运算律
设?、?为实数，那么
（1）?(?a)=( ??)a；（结合律）
（2）(?+?)a=?a+?a；（第一分配律）
（3）?(a+b)= ?a+?b.（第二分配律）
特别地，有(-?)a=-(?a)= ?(-a)，?(a-b）=?a-?b.
向量的数乘
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计算：
（1）(-3)?4a;
（2）3(a+b)-2(a-b)-a;
（3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c).
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引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？
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对于向量a(a?0)、b，如果有一个实数?，使b=?a，那么由向量数乘的定义知：a与b共线；
反过来，已知向量a与b共线，a?0，且向量b的长度是向量a的长度的?倍，即|b|=?|a|，那么当a与b同向时，有b=?a，当a与b反向时，有b=-?a.
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向量共线定理：

向量a(a?0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b=?a.
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OA
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向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，
对于任意向量a、b，以及任意实数?、?1、?2，
恒有 ?(?1a??2b)= ??1a???2b.
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练习1 课本P.100 1、2、3、4
练习2 设a、b是两个不平行的向量，且x(2a+b) +y(3a-2b)=7a , x,y?R，
则x=____，y=_____.
2
1
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1． 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与 一个向量的积的模及方向与这个向量的模及方向
间的关系；
2． 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；
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3． 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；

4． 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向
量共线.
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（1）习题2.2 A组5、9、10、11、12、13．
（2）完成固学案相应的内容，熟悉向量运算．
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