(共20张PPT)
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§11.3多边形及其内角和
第1课时多边形
课前回顾预习
【旧知再现】
(内江·中考)如图是用一副含30°和45°角的直角
角板摆放而成的图形,其中一条直角边互相重
合,则∠1的度数是
A.50°
B.60°
C.80°
D.75°
45°
(1题图)
B
(2题图)
2.如图,将△ABC沿DE剪下后得到四边形BCED
若∠A=50°,则∠1+∠2的度数为
A.130°
B.230°
C.180°
D.310°
新知链接
3.认真观察上面“旧知再现”中第1题的图形,图中
除了有三角形外,是否还存在由4条线段围成的
封闭图形 是否存在由5条线段围成的封闭图
形 若有,请画一画,并与同学交流,看一看你们
的发现是否一样
解画图及交流略
变
课堂典例探究
★【知识点1多边形的相关概念】
例1如图是一个五边形
ABCDE
1)此五边形是
五边形(填“凸”或“凹”);
(2)此五边形的内角是
(3)在图中画出一个以点E为顶点的外角
(4)在图中画出从顶点A出发的对角线
B
D
解(1)凸
(2)∠A,∠B,∠C,∠D,∠E
B
(3)如图,延长AE至点F,则
∠DEF是此五边形以点E
为顶点的一个外角;
(4)如图,从点A出发的对角线是AC,AD
★【知识点2多边形的对角线】
例2在凸多边形中,四边形有2条对角线,五
边形有5条对角线,经过观察、探索、归纳,你认为凸
八边形有多少条对角线 并简要写出你的思考过程
解从特例出发,进行归纳如下
变
凸多边形四边形五边形六边形
n边形
从一个顶点作
对角线的条数
n边形中,从每个顶点出发,可以画(n-3)条对角线,
n个顶点可以画n(n-3)条对角线,但每条对角线被
计算了两次,所以n边形一共有n(n-3)条对角线
故凸八边形有×8×(8-3)=20条对角线
规律与方法①n边形的对角线条数为n(n-3);
②连接多边形的对角线也是一种常见的辅助线方法
它可将多边形问题转化成三角形问题解决
浮课堂达标检测
从十边形的一个顶点出发可以画出的对角线有
(A)
A.7条
B.8条
C.9条
D.10条
2.从十二边形的一个顶点出发,画出从这个顶点出
发的所有对角线,则这个十二边形分成的三角形
有
(B)
A.9个
B.10个C.11个D.12个(共26张PPT)
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§11.3多边形及其内角和
第2课时多边形的内角和
浮课前回顾预习
【旧知再现
自行车车架是三角形结构,这是利用了三角形的
稳定性,而活动挂架是四边形结构,这是利用
了四边形的不稳定性
2.正多边形的每条边都相等,每个内角都相等
3.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形
分成了8个三角形,这个多边形的边数是(C)
B.9
新知链接
4.如图,从多边形的一个顶点出发作对角线,将多边
形分割成若干个三角形,请根据规律归纳填表
多边形
角形个数
内角和
四边形
180×2
五边形
234
180×3
六边形
180×4
边形
2-2
180×(n-2)
课堂典例探究
★【知识点多边形的内角和与外角和】
例1解答下列问题.
(1)一个正n边形的每个内角都为120°,求这个
正n边形的边数
(2)已知一个多边形的外角和等于内角和的
求这个多边形对角线的条数
变
解(1)【方法一】由题意可得
(n-2)×180°=120×n,解得n=6
【方法二】∵每个内角都为120°,
∴每个外角都为60°,
又∴多边形的外角和为360°,
∴这个正n边形的边数n=360÷60=6
(2)设这个多边形的边数为n,
由题意可得(n-2)×180°=360°,解得n=8,
∴这个多边形的对角线有×8×(8-3)=20(条)
规律与方法①n边形的外角和为360°,内角和
为(n-2)×180°;②利用内角和公式建立方程是解决
此类问题的主要方法
例2如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+
∠F+∠G+∠H+∠Ⅰ的度数
E
G
H
E
B
D
G
角变式
解如图,连接AD,DG,
∴∠1+∠2=∠B+∠C
∠3+∠4=∠E+∠F
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H
∠I=∠IAB+∠1+∠2+∠CDE+∠3+∠4
∠HGF+∠H+∠I=∠IAD+∠ADG+∠DGH+
∠H+∠I=(5-2)×180°=540
规律与方法利用辅助线构造多边形,通过“转
化思想”将问题变为求多边形的内角和
课堂达标检测
根据图示信息填空
10
D1x+20
60△
70
B
B
图①
图②
(1)在图①中,∠A的度数为100°;
(2)在图②中,∠D的度数为105
2.十边形的内角和为1440(共19张PPT)
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课时滚动训练卷(—)
训练范围:11.1~11.2时间:45分钟满分:100分
选择题(每小题4分,共32分)
如图,图中的三角形有
(B)
A.8
B.9个
C.10个
(1题图)
E
D
B
(2题图
2.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定矩形门
框ABCD使其不变形,这种做法的依据是(D)
A.两点之间,线段最短
B.矩形的对称性
C.矩形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性
3.下列长度的三条线段中,能组成三角形的一组是
A.3
cm.5
cm.
8
cm
B.
8
cm.
8
cm.18
cm
C3
cm,4
cm.5
cm
D.3
cm,14
cm.8
cm
角变式
4.(成都·中考)如图,把三角板的直角顶点放在直
尺的一边上若∠1=30°,则∠2的度数为(A
A.60°
B.50
C.40°
D.30°
B
(4题图)
3415
6
(5题图)
5.(泰安·中考)如图,把一直尺放置在一张三角形
纸片上,则下列结论正确的是
A.∠1+∠6>180°
B.∠2+∠5<180
C.∠3+∠4<180°
D.∠3+∠7>180°
角变式
6.如图,在△ABC中,D为BC边上任意一点,DE是
△ACD的中线,DF是△ABD的中线若△ABC的
面积为a,则四边形AFDE的面积为
4
E
B
C
(6题图)
角变式
B
E
(7题图)
7.(威海·中考)如图,在△ABC中,∠ABC=50°,
∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的
平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,
连接AD.下列结论中,不正确的是
A.∠BAC=70°
B.∠DOC=90°
C.∠BDC=35°
D.∠DAC=55
8.在等腰三角形ABC中,AB=AC,一边上的中线
BD将这个三角形的周长分为15和12两部分,则
这个等腰三角形的底边长为
B.11
C.7或11
7或10
填空题(每小题4分,共24分)
9.若三角形三个内角的度数之比为4:5:6,则最大内
角的度数为72
0.已知实数x,y满足x-4+(y-8)2=0,则以x,y
的值为两边长的等腰三角形的周长是20
图,在△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,
∠A=50°,∠B=60°,则∠BDC的度数为
E
B
45
(11题图)
(12题图)
2.(2018·衡阳)将一副三角板如图放置,使点A落在
DE上若BC∥DE,则∠AFC的度数为75(共29张PPT)
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§11.1与三角形有关的线段
第1课时三角形的边
浮课前回顾预习
【旧知再现】
如图,点C、D在线段AB上,则图中有6条线
段,分别是AC,AD,AB,CD,CB,DB
B
(1题图)
C
B
O
D
B
(2题图)
(3题图)
2.如图,射线OC、OD是∠AOB内部任意两条射
线,则图中有6个角,分别是AOC,∠AOD,
∠AOB,∠COD,∠COB,∠DOB
3.如图,从A到B有3条路线,则最近的路线是
理由是两点之间,线段最短
新知链接】
4.观察下列三角形①~⑥的形状,试将它们进行分
类,并与同学交流一下你的分类方法
2
cm
2
cm
2
cm
3
cm
cm
I
cm
解【分类方法一】
锐角三角形:①②;直角三角形:③⑤;钝角三角形:④⑥
【分类方法二】
等腰三角形:②④⑤;不等边三角形:①③⑥
5.如图,现已有两根长度分别为10cm和20cm的
纸条,请你再做一根任意长度的纸条.试一试,将
根纸条首尾顺次相接;看一看,它们能否摆成
三角形;想一想,第三根纸条的长度满足什么条
件,就一定能摆出一个三角形
10
cm
20
cm
解要摆出一个三角形,第三根纸条的长度应大于10cm,
且小于30cm
角变式
课堂典例探究
★【知识点1三角形的表示及相关概念】
例1如图,则图中共有8个三角形,分别
是△ABC,△ABF,△ACE,△BCE,△BCG,△BEG,
△FGC,△FBC;以BC为边的三角形有△BCG
△ABC,△BEC,△BFC;△FGC的三边是FG,FC
CG,三个内角是FGC,∠FCG,∠GFC;∠BEC
是△BEG和△BEC的内角
F
B
C
规律与方法①由不在同一条直线上的三条线
段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形,由相邻两
边组成的角叫做三角形的内角;②在进行三角形计数
时,要按一定的顺序,避免重计或漏计
★【知识点2三角形三边关系的运用】
例2解答下列问题
(1)(2018·长沙)下列长度的三条线段,能组成
角形的是
A4
cm.5
cm.
9
cm
B8
cm.8
cm.15
c
C5
cm.5
cm.10
cm
D6cm.7
cm.14
cm
(2)若三角形三条边的长度分别是3,4,x,则x
的取值范围是1第
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§11.1与三角形有关的线段
第2课时三角形的高、中线与角平分线
课前回顾预习
【旧知再现】
如图,点C为线段AB上一点,点M、N分别为线
段AC、CB的中点.若AB=6cm,则线段MN的
长为3cm
AM
C
N
B
(1题图)
D
B
(2题图)
2.(大连·中考)如图,点O在直线AB上,射线OC平
分∠DOB.若∠COB=35°,则∠AOD=110°
3.一个三角形的两边长分别为3和7,且第三边长为
整数,则三角形周长的最小值是
(B)
A.14
B.15
C.16
D.17
新知链接
4.(1)画一个△ABC,作出△ABC的高AD
(2)做一张三角形纸片ABC,将其折叠,使点B,C
重合,折痕与BC交于点E,点E是
的中
点,连接AE,则△ABE与△ACE面积的数量关
系是
你能给AE起个名字吗
(3)做一张三角形纸片ABC,将其折叠,使AC与
AB所在直线重合,折痕与BC交于点F,连接
AF,则∠CAF与∠BAF的数量关系是
你能给AF起个名字吗
解(1)作图略
(2)BC,相等,AE是△ABC的中线
(3)相等,AF是△ABC的角平分线
角变式
课堂典例探究
★【知识点1三角形的三线及运用】
例1如图,已知△ABC
(1)画出AC边上的高,标出垂足D
(2)画出AB边上的中线CE,写出两条相等的线
段,它们与边AB有什么数量关系
(3)画出∠A的平分线AF,写出两个相等的角,
它们与∠A有什么数量关系
B
A
B
解(1)如图所示
(2)如图所示,AE=BF1
AB
(3)如图所示,∠BAF=∠CAF1
∠BAC
E
B
B
规律与方法①三角形的高、中线和角平分线都是
线段,②锐角三角形的三条高都在三角形的内部;钝角三
角形有两条高在三角形的外部,有一条高在三角形的内
部;直角三角形有两条高恰为两条直角边,有一条高在三
角形的内部
角变式
例2如图,一块三角形的稻田ABC,顶点A恰
好靠在小河边上,AC=30m,AB=40m,BC=50m
∠BAC=90
(1)若要从取水口点A,向稻田边BC铺设一条
最短的输水管,应怎样铺 试画图说明,并求出铺设
最短输水管的长度
(2)若要将稻田平分给两家人,且共用取水口点
A,应怎样分 试作图说明(共26张PPT)
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§112与三角形有关的角
第1课时三角形的内角
浮课前回顾预习
【旧知再现】
如图,点O为直线AB上一点,OE平分∠AOP,
OF平分∠BOP,则∠EOF=90°
E、
F.B
(1题图)
B
P
(2题图)
2.如图,已知AB∥CD
(1)若∠B=20°,∠D=45°,则∠BPD=65°;
(2)若∠B=a,∠D=B,则∠BPD=a+B
新知链接】
3.如图,直线MN经过△ABC的顶点A,且MN∥
BC,请完成下面的推理填空
B
解:∵MN∥BC
∠B=∠MAB,∠C
∠NAC
又∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180
∴∠B+∠BAC+∠C=180
4.如图,在△ABC中,D为BC上一点,DE∥AB,
DF∥AC,是否仍能说明∠A+∠B+∠C=180°
若能,请写出推理过程
解∵DE∥B,
∴∠EDC=∠B,∠DEC=∠A,
E
又∵DF∥AC
∴∠FDB=∠C,
B
C
∠FDE=∠DEC=∠A,
又∵∠FDB+∠FDE+∠EDC=180°,
∴∠A+∠B+∠C=180
课堂典例探究
★【知识点三角形的内角和定理】
例题如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平
分线相交于点O
(1)若∠ABC=70°,∠ACB=50°,求∠BOC的
度数;
(2)若∠ABC+∠ACB=120°,求∠BOC的
度数;
变
(3)若∠A=70°,求∠BOC的度数;
(4)由上面的计算,直接写出∠A与∠BOC的
关系
解(1)∵∠ABC=70°,∠ACB=50
BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠OBC
∠ABC=3
∠OCB1
∠ACB=25
∴∠BOC=1800-∠OBC-∠OCB=120
(2)∵∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠OBC+∠OCB≈1
(∠ABC+∠ACB)=60
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=120°
(3)∵∠A=70°,∠ABC+∠ACB=110°,
由(2)可得∠BOC=125
(4)∠BOC=90°+∠A
A
B
规律与方法①已知三角形两个角的度数或两
个角的度数和可求出第三个角的度数;②已知三角形
三个角之间的关系时,可根据三角形的内角和定理建
立方程求相关角度(共33张PPT)
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§112与三角形有关的角
第2课时三角形的外角
课前回顾预习
【旧知再现】
如图是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,
∠B=40°,则三角形木板第三个角是40度
C
B
(1题图)
B
(2题图)
2.如图,点D、B、C在同一直线上,点E在线段AB
上,∠A=60°,∠D=25°,∠C=50°,那么∠DEB
45°
新知链接
3.如图,根据图中所给信息进行计算和猜想
60°
40
B
C
D
图①
图②
图③
(1)分别求出图①②③中∠ACD的度数;
(2)通过计算,猜想∠ACD与∠A、∠B的关系
并说明理由
解(1)140°,70°,125°;
(2)∠ACD=∠A+∠B,理由如下:
∠ACD+∠ACB=180
(∠A+∠B)+∠ACB=180
∠ACD=∠A+∠B
课堂典例探究
★【知识点三角形外角的性质定理】
例题如图是一个“箭头型”四边形ABCD
求证:∠BCD=∠A+∠B+∠D
D
角变式
B
图①
即∠BCD=180°-∠ABD-∠ADB+∠ABC+∠ADC
∴∠BCD=∠A+∠ABC+∠ADC
即∠BCD=∠A+∠B+∠D
解【方法一】连接BD(如图①)
∠BCD=180°-∠1-∠2,
∠1=∠ABD-∠ABC
∠2=∠ADB-∠ADC
∴∠BCD=180°-(∠ABD-∠ABC)-(∠ADB
∠ADC),
方法二】连接AC并延长至点E(如图②),
∴∠BCD=∠BCE+∠DCE
∵∠BCE=∠B+∠BAC
∠DCE=∠D+∠DAC
∴∠BCD=∠B+∠BAC+∠D+∠DAC,
∠BCD=∠BAD+∠B+∠D
即∠BCD=∠A+∠B+∠D;
C
E
D
B
图②
D
B
图③
【方法三】延长DC交AB于点F(如图③),
∠BCD=∠B+∠BFC,
∵∠BFC=∠A+∠D,
∠BCD=∠A+∠B+∠D
规律与方法①三角形的外角等于与它不相邻
的两个内角的和②外角可以把不在同一个三角形中
的几个角联系起来,解决问题的关键:一是确定角的
“身份”,即是内角还是外角;二是添加辅助线构造三
角形的外角(共22张PPT)
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章未专题整合复习
专题
角形三边关系
99999999
99999999999999999999999999
知识精要(1)已知三角形的两边长,可求第三39
边长的取值范围“已知两边长之差(长边一短边)意
<第三边长<已知两边长之和”;(2)涉及等腰三
角形的问题,常常需要分情况讨论,看是否满足
三角形三边关系,并做出取舍;(3)在解有关三角
形三边关系的问题时,常与不等式的知识相
联系
6b8°686666b8°68666668°6868668°66868668°68°6866668°686686b6°668°68
如果线段a,b,c能组成三角形,那么它们的长度
比可能是
A.1:2:4
B.2:3:4
C.3:4:7
2.已知a,b,c是△ABC的三条边长,则(a-b+c)
(a-b-c)的值是
A.正数
B.0
C.负数
D.无法确定
3.若有理数x,y满足x-5
y-8=0,则以x
的值为两边长的等腰三角形的周长是(A
A.21或18
B.21
C.18
D.以上均不对
变
角变式
4.若三角形的一边长为2cm,另一边长为11cm,且
周长为偶数,则这个三角形的周长为24cm
5.用一根长20cm的细绳围成一个三角形,已知第
条边长为xcm,第二条边长比第一条边长的2
倍少4cm.若第一条边最短,则x的取值范围是
14
<6
变
6.如图,某处有4口油井,现在要建一个维修站P,
求P建在何处才能使它到4口油井的距离和(PA
PB+PC+PD)最小,并说明理由
解应建在AC,BD连线的交点P
处,理由如下:如图,若不建在
P处,建在P1处,由三角形两
边之和大于第三边可知
B
PA+PCAC
即P1A
PB+PIDBD
P1C+P1B+P1D>AC+BD,故应建在P处
B
专题
角形的高、中线与角平分线
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知识精要(1)三角形的高、中线与角平分线都
3是线段,每个三角形都有3条高,3条中线,3条
角平分线,且它们分别可以交于一点;(2)在解决
三角形面积的相关问题时,要注意三角形中线
三角形的中线将三角形的面积两等分)和高的
性质特点的运用,同时注意等积思想、方程思想
2和分类思想的运用
6b8°686666b8°68666668°6868668°66868668°68°6866668°686686b6°668°68
