沪科版数学九年级下24.5三角形的内切圆教学设计
课题
三角形的内切圆
单元
24
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
1．学会作三角形的内切圆．?
2．理解三角形内切圆的有关概念
过程与方法目标
1．通过作图，经历三角形内切圆的产生过程，培养作图能力．?
2．类比三角形内切圆和三角形的外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质
情感态度与价值观目标
通过探究三角形的内切圆知识，逐步培养学生的研究问题能力；
培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识
重点
三角形内切圆的有关性质和探究作三角形内切圆的过程.
难点
如何将实际问题转化成作三角形内切圆的问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
提问
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
学生思考问题
引发学生思考，激发学生的学习兴趣
讲授新课
师：有一块三角形材料，如何从中剪下一个面积最大的圆？同学们可以试试
师：如果最大圆存在，它与三角形的各边应有怎样的位置关系？
生：我认为要使剪下的圆面积最大，这个圆应与三角形三边都相切
师：求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切
怎么找圆心呢？
生：如果半径为r的圆I与△ABC的三边都相切，那么其圆心I应与△ABC的三边距离相等，都等于半径r，所以圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
生：作法
1.如图，作△ABC的∠B，∠C平分线BE，CF，设它们交于点I
2.过点I作ID⊥BC于点D
3.以点I为圆心，ID为半径作○I
则○I即为所作
师：请类比三角形的外接圆给三角形的内切圆下个定义：
生：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
师：请类比三角形的外心性质归纳 三角形的内心性质.
填表：
课件展示：
例 如图，在△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
学生结合问题，试着作出最大的圆，并总结特点
学生思考，得出圆心的位置，并写出作法.
学生类比外接圆，得出内切圆的性质，并填表
学生动手练习，教师及时展示学生练习结果，并及时给予点评.
通过学生自己动手找出最大圆，能更好的理解概念
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
培养学生运用类比的方法，总结归纳的能力.
通过例题讲解，让学生加深对新知识的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力.
课堂练习
1. 已知P是三角形的两条角平分线的交点,则这个点( )
A.是这个三角形的外心
B.是这个三角形的内心
C.到各边中点距离相等
D.与顶点的连线垂直于该顶点的对边
答案：B
2.如图,等边三角形的内切圆半径为1,那么这个等边三角形的边长为( )
A.2 B.3 C.3 D.23
答案：D
3.如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数
是 .
答案：70°
4.如图,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥BC,与AB,AC分别交于点E,F,则线段EF,BE,CF三者间的数量关系是 .?
答案：EF=BE+CF
5.如图，△ABC中，O是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DO＝DB
答案：
证明：连接BO，
∵ AD是∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2，
同理 ∠3=∠4，
而 ∠BOD=∠1+∠3，
∠ OBD=∠4+∠5，
又∵∠2=∠5，
∴∠BOD=∠OBD.
∴DO=DB.
拓展提升
如图,点I是△ABC的内心,BI的延长线与△ABC的外接圆☉O交于点D,与AC交于点E,延长CD,BA相交于点F,∠ADF的平分线交AF于点G,连接AI.
(1)求证:DG∥CA;
(2)求证:AD=ID;
(3)若DE=4,BE=5,求BI的长.
答案：
(1)证明:如图所示,
∵点I是△ABC的内心,
∴∠2=∠7.
∵DG平分∠ADF,
∴∠1=12∠ADF.
∵∠ADF=∠ABC,
∴∠1=∠2.
∵∠3=∠2,
∴∠1=∠3,
∴DG∥CA.
(2)证明:∵点I是△ABC的内心,
∴∠5=∠6.
由(1)知∠3=∠7.
∴∠4=∠7+∠5=∠3+∠6,
即∠4=∠DAI,
∴AD=ID.
(3)∵∠3=∠7,∠ADE=∠BDA,
∴△DAE∽△DBA,
∴AD∶DB=DE∶DA.
∵BD=DE+BE=9,DE=4,
∴AD∶9=4∶AD,
∴AD=6,
∴DI=6,
∴BI=BD-DI=9-6=3.
中考链接
1.(盐城中考)如图，AB为圆O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为( )
A.35° B.45 ° C.55° D.65°
答案：C
2.(黄石中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC的内切圆的周长为 。
答案：4??
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
分层练习，可以照顾全体学生，让学有余力的学生有更大的进步.
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
三角形内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
性质
内心是三角形三条角平分线的交点，所以内心到角的各边的距离相等
课件22张PPT。24.5三角形的内切圆沪科版 九年级下 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？情境导入探究 有一块三角形材料，如何从中剪下一个面积最大的圆？(1)如果最大圆存在，它与三角形的各边应有怎样的位置关系？新知讲解与三边都不相切只与一边相切与两边相切与三边都相切要使剪下的圆面积最大，这个圆应与三角形三边都相切猜想新知讲解新知讲解(2)求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切如果半径为r的圆I与△ABC的三边都相切，那么其圆心I应与△ABC的三边距离相等，都等于半径r，所以圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.作法： ABCIEF?1.如图，作△ABC的∠B，∠C平分线BE，CF，设它们交于点I2.过点I作ID⊥BC于点D3.以点I为圆心，ID为半径作⊙I则⊙ I即为所作新知讲解1. 请类比三角形的外接圆给三角形的内切圆下个定义：2.请类比三角形的外心性质归纳 三角形的内心性质.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.新知讲解三角形三边
中垂线的交
点1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条
角平分线的
交点1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．新知讲解例 如图，在△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数. 例题解析解：连接IB，IC因为点I是△ABC的内心，所以IB，IC分别是∠B，∠C的平分线??B课堂练习D3.如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是 .?4.如图,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥BC,与AB,AC分别交于点E,F,则线段EF,BE,CF三者间的数量关系是 .?70 ° EF=BE+CF 课堂练习 5.如图，△ABC中，O是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DO＝DB证明：连接BO，
∵ AD是∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2，
同理 ∠3=∠4，
而 ∠BOD=∠1+∠3，
∠ OBD=∠4+∠5，
又 ∵∠2=∠5，
∴∠BOD=∠OBD.
∴DO=DB.课堂练习拓展提升如图,点I是△ABC的内心,BI的延长线与△ABC的外接圆☉O交于点D,与AC交于点E,延长CD,BA相交于点F,∠ADF的平分线交AF于点G,连接AI.
(1)求证:DG∥CA;
(2)求证:AD=ID;
(3)若DE=4,BE=5,求BI的长.?课堂练习(2)证明:∵点I是△ABC的内心,
∴∠5=∠6.
由(1)知∠3=∠7.
∴∠4=∠7+∠5=∠3+∠6,
即∠4=∠DAI,
∴AD=ID.课堂练习(3)∵∠3=∠7,∠ADE=∠BDA,
∴△DAE∽△DBA,
∴AD∶DB=DE∶DA.
∵BD=DE+BE=9,DE=4,
∴AD∶9=4∶AD,
∴AD=6,
∴DI=6,
∴BI=BD-DI=9-6=3.课堂练习1.(盐城中考)如图，AB为圆O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为( )
A.35° B.45 ° C.55° D.65°
2.(黄石中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC的内切圆的周长为 。中考链接C?课堂总结三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内心概念及性质应用板书设计三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内心是三角形三条角平分线的交点，所以内心到角的各边的距离相等性质作业布置如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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24.5三角形的内切圆导学案
课题
三角形的内切圆
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1．学会作三角形的内切圆．?
2．理解三角形内切圆的有关概念
重点难点
重点：三角形内切圆的有关性质和探究作三角形内切圆的过程.
难点：如何将实际问题转化成作三角形内切圆的问题.
教学过程
知识链接
1.切线长定理
2.三角形角平分线的性质
合作探究
一、教材第42页
探究
(1)有一块三角形材料，如何从中剪下一个面积最大的圆？同学们可以试试
师：如果最大圆存在，它与三角形的各边应有怎样的位置关系？
。
(2)求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切
如果半径为r的圆I与△ABC的三边都相切，那么其圆心I应与△ABC的三边距离相等，都等于半径r，所以圆心I应是三角形的三条 的交点.
二、教材第43页
求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切
作法
1.如图，
作△ABC的∠B，∠C平分线BE，CF，设它们交于点I
2.过点I作ID⊥BC于点D
3.以点I为圆心，ID为半径作⊙I
则⊙I即为所作
三角形的内切圆： 。
内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 .
三角形的内心性质：
填表：
三、教材第43页
例 如图，在△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
自主尝试
1.下列说法错误的是( )
A.三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B.一个圆一定有唯一一个外切三角形
C.一个三角形一定有唯一一个内切圆
D.等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
2.如图,☉O与三角形各边都相切,☉O是三角形的 ,圆心O叫做三角形的 ,△ABC叫做☉O的 .?
3.三角形的内心是( )
A.三条垂直平分线的交点
B.三条内角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
【方法宝典】
根据三角形的内切圆定义以及性质解题.
当堂检测
1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是今有直角三角形,勾( 短直角边 )长为8步,股( 长直角边 )长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形( 内切圆 )直径是多少?( )
A.3步 B.5步 C.6步 D.8步
2.如图,点I为△ABC的内心,点D在边BC上,且ID⊥BC.若∠B=44°,∠C=56°,则∠AID=( )
A.174° B.176° C.178° D.180°
3.如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为( )
A.4.5 B.4 C.3 D.2
4.已知☉O是Rt△ABC的内切圆,∠ACB=90°,AB=13,AC=12,则△ABC的面积与☉O的面积之差等于 .?
5.如图,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的内切圆,它与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.
( 1 )求证:BE=CE;
( 2 )若∠A=90°,AB=AC=2,求☉O的半径.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1. C 2. A 3. B 4. 30-4π
5.解:( 1 )连接OB,OC,OE.
∵☉O是△ABC的内切圆,∴OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC.
又∵☉O是△ABC的内切圆,切点为E,
∴OE⊥BC,∴BE=CE.
( 2 )连接OD,OF.∵☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,
∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°,
又∵OD=OF,∴四边形ODAF是正方形.
设OD=AD=AF=r,则BE=BD=CF=CE=2-r,
在△ABC中,∠A=90°,∴BC=AB2+AC2=22.
又∵BC=BE+EC,
∴( 2-r )+( 2-r )=22,解得r=2?2.
∴☉O的半径是2?2.
