24.6.1正多边形与圆导学案
课题
正多边形与圆
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.使学生理解正多边形的概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一定理
2.会利用等分圆周的方法画正多边形
重点难点
重点：正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一定理.
难点：对定理的理解以及定理的证明方法.
教学过程
知识链接
1.等边三角形 的边、角各有什么性质？
2.正方形的边、角各有什么性质？
3.什么是正多边形？
合作探究
一、教材第47页
1、什么样的图形是正多边形？
。
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接或外切 ，这个圆就是这个正多边形的 .
2、已知：如图,点A、B、C、D、E在⊙O上，且TP、PQ、QR、RS、ST分别是以点A、B、C、D、E为切点的⊙O的切线。
求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形
/
从中得出什么结论呢？
通过 的方法能做出正多边形
二、教材第48页
我们怎样等分圆周呢？
(1)用量角器等分圆周
由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在一个圆中，先用量角器作一个等于 的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的 ，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形(正五角星就是这样作出的)
你能用以上方法画出正四边形、正六边形吗？
(2)用尺规等分圆周
你能尺规作出正八边形吗？据此你还能作出哪些正多边形？
只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
以半径长在圆周上截取 相等的弧，依次连结各 ，则作出 .
先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………
4、作正多边形的方法有哪些?
画正多边形的方法：
1.用量角器等分圆。
2.尺规作图等分圆
（1）正四、正八边形的尺规作图
（2）正六、正三 、正十二边形的尺规作图
自主尝试
1、等边三角形各边都________，各角都________，等边三角形又叫正三角形；正方形的各边都________，各角都________，正方形又叫正四边形．
2、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，给出下列三个条件：①＝＝＝；②AB＝BC＝CD＝DA；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D.在这些条件中，能够判定四边形ABCD是正方形的共有( )
/
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3、正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等份点而得，这种画法的理论依据应该是( )
A．把圆n等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形
B．把圆n等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
C．各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形
D．用量角器等分圆是一种简单而常用的方法
【方法宝典】
正多边形的概念以及正多边形的作法.
当堂检测
1．下列正多边形，通过直尺和圆规不能作出的是( )
A．正三角形 B．正四边形
C．正五边形 D．正六边形
2．如图24－6－2，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，AB，CD过圆心O，且AB⊥CD，则图中阴影部分的面积是( )
/
A．4π B．2π C．π D.
3．若P是正六边形ABCDEF外接圆上的一点，则∠APB的度数为____________．
4．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，且＝＝＝＝，BD和CE相交于点F，不添加辅助线，则图中有________个等腰三角形．
/
5． 在一个半径为2 cm的圆内，作出它的内接正六边形及正十二边形．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1．C 2．C 3．30°或150°
4．5
5．解：如图所示，以点O为圆心，2 cm长为半径作圆，在⊙O上任找一点A，以点A为圆心，2 cm长为半径作弧，交⊙O于点B，然后在⊙O上依次截取等弧(都等于弧AB)，将圆六等分，顺次连接这6个等份点，得到圆的内接正六边形；作线段AB的垂直平分线交⊙O于点C，按此方法将圆十二等分，顺次连接各点得到圆的内接正十二边形．
/
/
沪科版数学九年级下24.6.1正多边形与圆教学设计
课题
正多边形与圆
单元
24
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
1.使学生理解正多边形的概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一定理
2.会利用等分圆周的方法画正多边形
过程与方法目标
1.通过正多边形定义教学，培养学生的归纳能力
2.通过正多边形与圆关系定理的教学，培养学生的观察、猜想、推理、迁移能力
情感态度与价值观目标
培养学生与人合作、与人交流的良好品质
重点
正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一定理.
难点
对定理的理解以及定理的证明方法.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
观察下列图形他们有什么特点？
/
学生思考问题
引发学生思考，激发学生的学习兴趣
讲授新课
课件展示：
师：什么样的图形是正多边形？
生：各边相等,各角也相等的多边/形是正多边形.
师：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
生：不是，因为矩形不符合各边相等；
生：不是，因为菱形不符合各角相等；
师：注意，正多边形边相等，角相等，缺一不可
师：你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接或外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆或内切圆.
课件展示：
已知：如图,点A、B、C、D、E在⊙O上，且TP、PQ、QR、RS、ST分别是以点A、B、C、D、E为切点的⊙O的切线。
求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；
/
师：同学们，从中得出什么结论呢？
生：通过等分圆周的方法能做出正多边形
师：我们怎样等分圆周呢？
生：用量角器等分圆周
由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在一个圆中，先用量角器作一个等于
360°
??
的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的
1
??
，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形(正五角星就是这样作出的)
师：你能用以上方法画出正四边形、正六边形吗？
你还有什么方法画正四边形、正六边形？
生：用尺规等分圆周
师：你能尺规作出正八边形吗？据此你还能作出哪些正多边形？
生：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
师：你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
生：以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.
生：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………
师：说说作正多边形的方法有哪些?
画正多边形的方法：1.用量角器等分圆。2.尺规作图等分圆
（1）正四、正八边形的尺规作图
（2）正六、正三 、正十二边形的尺规作图
学生结合问题，得出正多边形和圆的关系，明确内接，外切的含义.
学生思考，如何作正多边形，并动手画出图形，总结出作正多边形的方法.
通过问答以及自主学习的方式，让学生自己得出概念，理解更深刻.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
课堂练习
1.如果一个正多边形的内角和等于720°,那么这个正多边形是( )
A.正六边形 B.正五边形
C.正方形 D.正三角形
答案：A
2.如图,在圆内接正五边形ABCDE中,∠ADB等于( )
/
A.35° B.36° C.40° D.54°
答案：B
3.△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A,B与它的中心O为顶点的三角形,若△OAB的一个内角为70°,则该正多边形的边数为 .?
答案：9
4.用4个全等的正八边形进行拼接,使相邻的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形,如图①.用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接,如图②,若围成一圈后中间形成一个正多边形,则n的值为 .?
/
答案：6
5.如图,正方形ABCD的外接圆为☉O,点P在
????
上(不与点C重合).
(1)求∠BPC的度数;
(2)若☉O的半径为8,求正方形ABCD的边长.
/
答案：
解:(1)如图,连接OB,OC.
/
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BOC=90°,∴∠BPC=
1
2
∠BOC=45°.
(2)由题意可知△OBC是等腰直角三角形,
∴BC=
2
OB=8
2
.
即正方形ABCD的边长为8
2
.
拓展提升
如图所示,已知正六边形ABCDEF的对角线DF与对角线AE,CE分别交于点G和H.
求证:FG=GH=HD.
/
答案：
证明：
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AF=EF=DE=CD,∠AFE=∠DEF=∠CDE=120°,
∴∠GEF=∠GFE=∠HED=∠HDE=30°,
∴FG=EG,HD=HE,∠EGH=60°,
∠EHG=60°,
∴△EGH是等边三角形,
∴GH=EG=HE,
∴FG=GH=HD.
中考链接
1.(攀枝花中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,P为
????
上一点,则tan∠APC的值为( )
A.
3
B.
3
2
C.
3
3
D.1
答案：A
2.(辽宁中考)如图,正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于☉O,则∠BOM的度数是 .?
答案：48°
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
分层练习，可以照顾全体学生，让学有余力的学生有更大的进步.
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
/
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
有关概念
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
把一个圆分成n等份,顺次连接各分点就可以作出这个圆的内接正n边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
画法
用量角器等分圆周
用尺规等分圆周
/
课件22张PPT。24.6.1正多边形与圆沪科版 九年级下观察下列图形他们有什么特点？情境导入什么叫做正多边形？各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？不是，因为矩形不符合各边相等；不是，因为菱形不符合各角相等；正多边形各边相等各角相等缺一不可新知讲解你知道正多边形与圆的关系吗？ 把一个圆分成n等份,顺次连接各分点就可以作出这个圆的内接正n边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.新知讲解?∴ AB=BC=CD=DE=EA,同理∠2=∠3=∠4=∠5∵顶点A，B，C,D，E都在⊙O上∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，五边形PQRST是⊙O的外切正五边形??∴∠1=∠2新知讲解连接OA，OB，OC，则∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB新知讲解∵TP，PQ,QR分别是以点A，B，C为切点的圆O的切线?同理，得
∠Q=∠R=∠S=∠T
QR=RS=ST=TP=2PA
∵五边形PQRST的各边都与圆O相切
∴五边形PQRST是圆O的外切五边形通过等分圆周的方法能做出正多边形归纳新知讲解新知讲解(1)用量角器等分圆周?(2)用尺规等分圆周对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规来等分圆周①正方形的作法如图，用直尺和圆规作圆O的两条互相垂直的直径，就可以把圆O分成4等份，从而作出正四边形.我们再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等.新知讲解②正六边形的作法如图，设⊙O的半径是R，通常先作出⊙O的一条直径AB，然后分别以点A，B为圆心、R为半径作弧，与⊙O交于C，D，E，F，从而得到⊙O的6等份点，作出正六边形.我们可以连接6等份圆周的相间两个点，得到正三角形.新知讲解1.如果一个正多边形的内角和等于720°,那么这个正多边形是( )
A.正六边形 B.正五边形 C.正方形 D.正三角形
2.如图,在圆内接正五边形ABCDE中,∠ADB等于( )
A.35° B.36° C.40° D.54°
A课堂练习B3.△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A,B与它的中心O为顶点的三角形,若△OAB的一个内角为70°,则该正多边形的边数为 .?
4.用4个全等的正八边形进行拼接,使相邻的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形,如图①.用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接,如图②,若围成一圈后中间形成一个正多边形,则n的值为 .?9课堂练习6?课堂练习??课堂练习拓展提升如图所示,已知正六边形ABCDEF的对角线DF与对角线AE,CE分别交于点G和H.
求证:FG=GH=HD.证明:∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AF=EF=DE=CD,∠AFE=∠DEF=∠CDE=120°,
∴∠GEF=∠GFE=∠HED=∠HDE=30°,
∴FG=EG,HD=HE,∠EGH=60°,
∠EHG=60°,
∴△EGH是等边三角形,
∴GH=EG=HE,
∴FG=GH=HD.课堂练习?中考链接A48°课堂总结正多边形与圆用量角器等分圆周有关概念各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.画法把一个圆分成n等份,顺次连接各分点就可以作出这个圆的内接正n边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.用尺规等分圆周板书设计有关概念各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.用量角器等分圆周画法把一个圆分成n等份,顺次连接各分点就可以作出这个圆的内接正n边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.用尺规等分圆周作业布置如图,在△AFG中,AF=AG,∠FAG=108°,点C,D在FG上,且CF=CA,DG=DA,过点A,C,D的☉O分别交AF,AG于点B,E.连接BC,DE.
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