沪科版数学九年级下24.4.1直线与圆的位置关系教学设计
课题
直线与圆的位置关系
单元
24
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用
过程与方法目标
通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想
情感态度与价值观目标
体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；
通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想
重点
理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系.
难点
切线的性质与判定.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
提问
1、点和圆的位置关系有几种？
2.用数量关系如何来判断呢？
如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那太阳在升起或降落的过程中它与地平线有几种位置关系？
观察：三种不同位置的区别在哪里？
学生思考问题
引发学生思考，激发学生的学习兴趣
讲授新课
师：直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的，即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。
师：思考：一条直线和一个圆，公共点能不能多于两个呢？
填一填：
师：只有一个交点的称为什么？
生：直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.
师：上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？
生：直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分）
师：总结：判定直线与圆的位置关系的方法有：
生： （1）根据定义:由直线与圆的公共点的个数来判断；
生：（2）根据性质:由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断。
师：在实际应用中，常采用：圆心到直线的距离d与半径r
课件展示：
练习：1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：
1)若d=4.5cm ,则直线与圆 , 直线与圆有____个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
3)若d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 ；
2)若AB和⊙O相切, 则 ;
3)若AB和⊙O相交,则 .
师：为什么点A是切点？
生：在图中，当直线l与圆O相切时，切点为A，连接OA，这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点P，连接OP，因为点P在圆O外，所以OP>OA,这就是说，OA是点O到直线l上任一点的连线中最短的，故OA⊥l.
师：总结切线的性质
生：圆的切线垂直于经过切点的半径.
课件展示：
例1、如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm，∠A=30°
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与圆C相切？
(2)以点C为圆心，半径r分别为4cm，和5cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
师：思考，1.如图，经过圆上一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？
2.如图，经过圆外一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？
课件展示：
例2、如图，点P为圆O上任一点，过点P作直线l与圆O相切
师：总结，切线的判定定理
生：经过半径外端点并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
课件展示：
例3、已知：如图，∠ABC=45°，AB是圆O的直径，AB=AC
求证：AC是圆O的切线
师：总结证切线时辅助线的添加方法
生：(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
师：有切线时常用辅助线添加方法
生：见切点，连半径，得垂直.
学生结合问题，填表总结直线与圆的位置关系
学生类比点与直线的位置关系来探究直线与圆的位置关系中的数量关系.
学生动手练习，教师及时展示学生练习结果，并及时给予点评.
通过证明得出切线的性质
学生自己解答，教师及时展示学生练习结果，并及时给予点评.
根据问题，学生动手作出圆的切线，并证明圆切线的判定定理.
学生自己解答，教师及时展示学生练习结果，并及时给予点评.
通过观察，使学生形象、直观地理解相离、相交、相切
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
巩固所学知识
培养学生自主探究推理的能力.
通过例题讲解，让学生加深对新知识的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
通过例题讲解，让学生加深对新知识的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力.
课堂练习
1、直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（ ）
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
答案：B
2. ☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系
是（ ）
A. 相交或相切 B. 相交或相离
C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能
答案：A
3.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是 .
答案：相切
4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的圆与直线BC的位置关系是 ,以A为圆心, 为半径的圆与直线BC相切.
答案：相离，3
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
答案：
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
拓展提升
已知☉O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
答案：
解：（1） l2与l1在圆的同一侧：m=9-7=2 cm
（2）l2与l1在圆的两侧：m=9+7=16 cm
中考链接
1.【梅州中考】如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B=20°，则∠C的大小为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
答案：D
2.如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心与AB相切，则圆C的半径为( )
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
答案：B
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
分层练习，可以照顾全体学生，让学有余力的学生有更大的进步.
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
直线与圆的位置关系
（1）根据定义:由直线与圆的公共点的个数来判断；
（2）根据性质:由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断。
切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径
切线的判定
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
课件28张PPT。24.4.1直线与圆的位置关系沪科版 九年级下点和圆的位置关系有几种？dr用数量关系如何来判断呢？(令OP=d )复习旧知 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那太阳在升起或降落的过程中它与地平线有几种位置关系？“海上生明月，天涯共此时”观察：三种不同位置的区别在哪里？情境导入 直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的，即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。思考：一条直线和一个圆，公共点能不能多于两个呢？相离相交相切切点切线割线新知讲解2个交点1个切点切线0个相离相切相交位置关系公共点个数填一填：新知讲解新知讲解直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.相交相切相离上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？新知讲解数形结合：位置关系数量关系直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分）新知讲解总结：判定直线与圆的位置关系的方法有：（1）根据定义:
由________________ 的个数来判断；（2）根据性质:
由 的关系来判断。在实际应用中，常采用：直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r圆心到直线的距离d与半径r新知讲解相交相切相离d > 5cmd = 5cmd < 5cm0cm≤210自主练习在图中，当直线l与圆O相切时，切点为A，连接OA，这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点P，连接OP，因为点P在圆O外，所以OP>OA,这就是说，OA是点O到直线l上任一点的连线中最短的，故OA⊥l.新知讲解切线性质：归纳：圆的切线垂直于经过切点的半径.例1、如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm，∠A=30°(1)以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与圆C相切？
(2)以点C为圆心，半径r分别为4cm，和5cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？例题解析解：(1)过点C作边AB上的高CD??思考1.如图，经过圆上一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？新知讲解2.如图，经过圆外一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？能作1条能作2条例2、如图，点P为圆O上任一点，过点P作直线l与圆O相切作法
1、连接OP，l例题解析2、过点P作直线l⊥OP
则直线l即为所作新知讲解切线判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.归纳：例3、已知：如图，∠ABC=45°，AB是圆O的直径，AB=AC
求证：AC是圆O的切线证明：∵AB=AC，∠ABC=45°
∴∠ACB=∠ABC=45°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°
∵AB是圆O的直径
∴AC是圆O的切线.例题解析(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径. 见切点，连半径，得垂直.证切线时辅助线的添加方法有切线时常用辅助线添加方法新知讲解1、直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（ ）
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
2. ☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系
是（ ）
A. 相交或相切 B. 相交或相离
C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能
B当堂练习课堂练习A课堂练习3.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是 .
4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的圆
与直线BC的位置关系是 ,以A为圆心, 为半径的圆与直线BC相切.
相切相离?课堂练习证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.ABCEPO拓展提升已知☉O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.解：（1） l2与l1在圆的同一侧：
m=9-7=2 cm
（2）l2与l1在圆的两侧：
m=9+7=16 cm1.【梅州中考】如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B=20°，则∠C的大小为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
2.如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心与AB相切，则圆C的半径为( )
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6中考链接DB直线与圆的位置关系定义性质判定相离相切相交公共点的个数d与r的数量关系定义法性质法相离:0个,相切：1个,相交：2个相离:d>r
相切:d=r
相交:dr：相离
d=r:相切
d欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
24.4.1直线与圆的位置关系导学案
课题
直线与圆的位置关系
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义
2.会用定义来判断直线与圆的位置关系
3.通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。
重点难点
重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系.
难点：切线的性质与判定.
教学过程
知识链接
1、点和圆的位置关系有几种？
2.用数量关系如何来判断呢？
合作探究
一、教材第33页
1、观察
如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那太阳在升起或降落的过程中它与地平线有几种位置关系？
2、观察圆O与直线l的公共点个数，有几种情况？
填表
二、教材第34页
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的 （如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？
直线和圆相交： 。
直线与圆相切： 。
直线与圆相离： 。
总结：判定直线与圆的位置关系的方法有：
（1）根据定义:由________________ 的个数来判断；
（2）根据性质:由 的关系来判断。
为什么点A是切点？
总结：切线的性质： 。
三、教材34页
例1、如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm，∠A=30°
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与圆C相切？
(2)以点C为圆心，半径r分别为4cm，和5cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系
四、教材35页
思考：
1.如图，经过圆上一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？
2.如图，经过圆外一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？
例2、如图，点P为圆O上任一点，过点P作直线l与圆O相切
总结：总结切线的判定定理
。
五、教材36页
例3、已知：如图，∠ABC=45°，AB是圆O的直径，AB=AC
求证：AC是圆O的切线
自主尝试
1.已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，以C为圆心，以9cm长为直径的⊙C与直线AB的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相离或相交
3.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．
（1）求证：BC平分∠ABD．
（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．
【方法宝典】
根据交点个数和数量关系判断直线与圆的位置关系，并用切线的判定定理解题.
当堂检测
1．已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相离、相切、相交都有可能
2．圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则（ ）
A．当d=8cm时，直线与圆相交 B．当d=4.5cm时，直线与圆相离
C．当d=6.5cm时，直线与圆相切 D．当d=13cm时，直线与圆相切
3.如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP=5 B．OE=OF
C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
5.如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为 ．
6.如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1. A 2. C 3. C 4. D
5. 40°
6.解：（1）如图，连接OA；
∵OC=BC，AC=OB，
∴OC=BC=AC=OA．
∴△ACO是等边三角形．
∴∠O=∠OCA=60°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
又∠OCA为△ACB的外角，
∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，
∴∠B=30°，又∠OAC=60°，
∴∠OAB=90°，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：作AE⊥CD于点E，
∵∠O=60°，
∴∠D=30°．
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中，CE=AE=；
∵∠D=30°，
∴AD=2，
∴DE=AE=，
∴CD=DE+CE=+．
