24.5三角形的内切圆 导学案
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文档简介
24.5三角形的内切圆导学案
课题
三角形的内切圆
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1．学会作三角形的内切圆．?
2．理解三角形内切圆的有关概念
重点难点
重点：三角形内切圆的有关性质和探究作三角形内切圆的过程.
难点：如何将实际问题转化成作三角形内切圆的问题.
教学过程
知识链接
1.切线长定理
2.三角形角平分线的性质
合作探究
一、教材第42页
探究
(1)有一块三角形材料，如何从中剪下一个面积最大的圆？同学们可以试试
师：如果最大圆存在，它与三角形的各边应有怎样的位置关系？
。
(2)求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切
如果半径为r的圆I与△ABC的三边都相切，那么其圆心I应与△ABC的三边距离相等，都等于半径r，所以圆心I应是三角形的三条 的交点.
二、教材第43页
求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切
作法
1.如图，
作△ABC的∠B，∠C平分线BE，CF，设它们交于点I
2.过点I作ID⊥BC于点D
3.以点I为圆心，ID为半径作⊙I
则⊙I即为所作
三角形的内切圆： 。
内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 .
三角形的内心性质：
填表：
三、教材第43页
例 如图，在△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
自主尝试
1.下列说法错误的是( )
A.三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B.一个圆一定有唯一一个外切三角形
C.一个三角形一定有唯一一个内切圆
D.等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
2.如图,☉O与三角形各边都相切,☉O是三角形的 ,圆心O叫做三角形的 ,△ABC叫做☉O的 .?
3.三角形的内心是( )
A.三条垂直平分线的交点
B.三条内角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
【方法宝典】
根据三角形的内切圆定义以及性质解题.
当堂检测
1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是今有直角三角形,勾( 短直角边 )长为8步,股( 长直角边 )长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形( 内切圆 )直径是多少?( )
A.3步 B.5步 C.6步 D.8步
2.如图,点I为△ABC的内心,点D在边BC上,且ID⊥BC.若∠B=44°,∠C=56°,则∠AID=( )
A.174° B.176° C.178° D.180°
3.如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为( )
A.4.5 B.4 C.3 D.2
4.已知☉O是Rt△ABC的内切圆,∠ACB=90°,AB=13,AC=12,则△ABC的面积与☉O的面积之差等于 .?
5.如图,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的内切圆,它与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.
( 1 )求证:BE=CE;
( 2 )若∠A=90°,AB=AC=2,求☉O的半径.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1. C 2. A 3. B 4. 30-4π
5.解:( 1 )连接OB,OC,OE.
∵☉O是△ABC的内切圆,∴OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC.
又∵☉O是△ABC的内切圆,切点为E,
∴OE⊥BC,∴BE=CE.
( 2 )连接OD,OF.∵☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,
∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°,
又∵OD=OF,∴四边形ODAF是正方形.
设OD=AD=AF=r,则BE=BD=CF=CE=2-r,
在△ABC中,∠A=90°,∴BC=AB2+AC2=22.
又∵BC=BE+EC,
∴( 2-r )+( 2-r )=22,解得r=2?2.
∴☉O的半径是2?2.
课题
三角形的内切圆
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1．学会作三角形的内切圆．?
2．理解三角形内切圆的有关概念
重点难点
重点：三角形内切圆的有关性质和探究作三角形内切圆的过程.
难点：如何将实际问题转化成作三角形内切圆的问题.
教学过程
知识链接
1.切线长定理
2.三角形角平分线的性质
合作探究
一、教材第42页
探究
(1)有一块三角形材料，如何从中剪下一个面积最大的圆？同学们可以试试
师：如果最大圆存在，它与三角形的各边应有怎样的位置关系？
。
(2)求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切
如果半径为r的圆I与△ABC的三边都相切，那么其圆心I应与△ABC的三边距离相等，都等于半径r，所以圆心I应是三角形的三条 的交点.
二、教材第43页
求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切
作法
1.如图，
作△ABC的∠B，∠C平分线BE，CF，设它们交于点I
2.过点I作ID⊥BC于点D
3.以点I为圆心，ID为半径作⊙I
则⊙I即为所作
三角形的内切圆： 。
内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 .
三角形的内心性质：
填表：
三、教材第43页
例 如图，在△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
自主尝试
1.下列说法错误的是( )
A.三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B.一个圆一定有唯一一个外切三角形
C.一个三角形一定有唯一一个内切圆
D.等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
2.如图,☉O与三角形各边都相切,☉O是三角形的 ,圆心O叫做三角形的 ,△ABC叫做☉O的 .?
3.三角形的内心是( )
A.三条垂直平分线的交点
B.三条内角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
【方法宝典】
根据三角形的内切圆定义以及性质解题.
当堂检测
1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是今有直角三角形,勾( 短直角边 )长为8步,股( 长直角边 )长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形( 内切圆 )直径是多少?( )
A.3步 B.5步 C.6步 D.8步
2.如图,点I为△ABC的内心,点D在边BC上,且ID⊥BC.若∠B=44°,∠C=56°,则∠AID=( )
A.174° B.176° C.178° D.180°
3.如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为( )
A.4.5 B.4 C.3 D.2
4.已知☉O是Rt△ABC的内切圆,∠ACB=90°,AB=13,AC=12,则△ABC的面积与☉O的面积之差等于 .?
5.如图,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的内切圆,它与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.
( 1 )求证:BE=CE;
( 2 )若∠A=90°,AB=AC=2,求☉O的半径.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1. C 2. A 3. B 4. 30-4π
5.解:( 1 )连接OB,OC,OE.
∵☉O是△ABC的内切圆,∴OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC.
又∵☉O是△ABC的内切圆,切点为E,
∴OE⊥BC,∴BE=CE.
( 2 )连接OD,OF.∵☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,
∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°,
又∵OD=OF,∴四边形ODAF是正方形.
设OD=AD=AF=r,则BE=BD=CF=CE=2-r,
在△ABC中,∠A=90°,∴BC=AB2+AC2=22.
又∵BC=BE+EC,
∴( 2-r )+( 2-r )=22,解得r=2?2.
∴☉O的半径是2?2.