3.2 辅助角公式 同步练习（含答案解析）

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辅助角公式同步练习
班级:____________ 姓名:______________
( )1．可化为
A． B．
C． D．
( )2．函数的最大值是
A．2 B．1 C． D．0
( )3．计算：
A． B． C． D．
( )4．已知函数，则在区间上的最大值为
A．3 B．2 C．1 D．
( )5．已知
A． B． C．－ D．－
( )6．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
( )7．设函数，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则的最小值是
A． B． C． D．
8．若函数的最大值为3，则的值为_____
9．函数的最小正周期为__________.
10．已知函数,若对任意均有,则_________.
11．设当时，函数取得最大值，则______.
12．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域。





13．已知函数，.
（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求的最大值及取得最大值的x的集合.






14．已知定义在上的函数,图象上相邻两个最低点之间的距离为,且.
（1）求的解析式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.




1．A
【解析】
【分析】
逆用二倍角的正弦公式和降幂公式，再利用辅助角公式即可.
【详解】
.故选A.
【点睛】
本题考查了二倍角的正弦公式和降幂公式，考查了辅助角公式.
2．A
【解析】
【分析】
由函数即可得解.
【详解】
函数.
当，即时，函数有最大值2.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的“辅助角公式”，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
运用辅助角公式和两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】
原式.故选C.
【点睛】
本题考查了辅助角公式和两角差的余弦公式，考查了特殊角的三角函数值.
4．A
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析形式，最后利用正弦型函数的单调性求出在区间上的最大值，选出正确答案.
【详解】
,
因为，所以，
即函数在区间上的最大值为3，故本题选A.
【点睛】
本题考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式，考查了正弦型三角函数的单调性质，考查了数学运算能力.
5．C
【解析】
【详解】
试题分析：，，

，，

.
考点：二倍角公式的运用，同角三角函数间的关系.
6．C
【解析】
【分析】
化简函数，然后根据三角函数图象变换的知识选出答案.
【详解】
依题意，故只需将函数的图象向左平移个单位.所以选C.
【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.
7．A
【解析】
【分析】
利用诱导公式、辅助角公式化简，求得向左平移个单位后的的解析式，根据为偶函数，求得的表达式，由此求得的最小值.
【详解】
，向左平移，得，又为偶函数，令，得，由于，，∴最小值为，
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查诱导公式、辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.
8．
【解析】
【分析】
由三角函数辅助角公式可得，由三角函数的有界性可得函数的最大值为，再结合已知条件运算即可得解.
【详解】
解：因为，
即函数的最大值为，
由已知有，
即，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了辅助角公式及三角函数的有界性，重点考查了三角函数的最值，属基础题.
9．
【解析】
【分析】
用辅助角公式把函数解析式化成正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的最小正周期的公式求出最小正周期.
【详解】
,
函数的最小正周期为.
【点睛】
本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最小正周期公式，考查了数学运算能力.
10．
【解析】
【分析】
由题意可知是函数的最小值，化简函数 （，），利用 求.
【详解】

（，），
由题意可知，是函数的最小值，
，
当时，函数取值最小值，
，

.
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数性质的综合应用，属于中档题型，本题的关键是通过化简得到，并且已知，.
11．；
【解析】
f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.

12．(1);(2)
【解析】
【分析】
（1）利用降幂公式、辅助角公式，对进行化简，得到正弦型函数，然后求其单调区间.
（2）根据（1）中求出的正弦型函数，求出在区间的值域.
【详解】
（1）

单调递增 ，
解得：，
所以单调递增区间为
（2）由（1）知
因为，所以
所以
【点睛】
本题考查通过公式的运用对三角函数进行化简，以及正弦型函数的单调区间和值域，属于简单题.
13．（1）0；（2）最小正周期为；（3）最大值为2，取得最大值的x的集合为.
【解析】
【分析】
（1）直接代入求值；
（2）运用辅助角公式化简函数解析式，运用最小正周期公式求解即可；
（3）由（2）可知函数化简后的解析式，可利用正弦函数的性质，可以求出函数的最大值以及此时x的集合.
【详解】
（1）；
（2）；
最小正周期为；
（3）因为；
所以当时，即时，函数 的最大值为2，取得最大值的x的集合为.
【点睛】
本题考查了正弦型函数的最小正周期和最大值问题，运用辅助角公式是解题的关键.
14．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据图象上相邻两个最低点之间的距离可得周期,进而求得的值,将代入可得的值,进而得函数的解析式.
（2）代入的解析式,根据降幂公式和辅助角公式,化简即可得不等式,根据自变量的取值范围求得的值域,根据恒成立问题即可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为图象上相邻两个最低点之间的距离为
即
所以
则
因为,带入可得
,
可解得
所以
（2）由（1）可知
则

由降幂公式可知
所以不等式可化为恒成立
即
由辅助角公式化简可得
即
因为,则
由正弦函数图像可知
即恒成立
所以只需
解不等式可得
【点睛】
本题考查了三角函数解析式的求法,根据自变量取值范围求得三角函数的值域,由恒成立问题求参数的取值范围,属于中档题.




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