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第6单元
分数的加法和减法
教材简析
本单元的内容是在学生掌握了整数、小数的加、减法的意义及其计算方法，分数的意义和性质以及三年级上册学习的简单的同分母分数加、减法的基础上进行教学的。分数加、减法是数学运算的重要基础知识之一，能否掌握分数加、减法的计算方法是评价学生是否具备良好的运算能力、拥有良好数感的一项重要指标。本单元教学内容包括：同分母分数加、减法，异分母分数加、减法，分数加减混合运算，整数加法的运算定律推广到分数以及分数加减混合运算的应用。
同分母分数加、减法：教学同分母分数加、减法的含义，同分母分数加、减法的计算方法。教材选择学生熟悉的日常生活（分吃圆形大饼）作为素材，引出两个问题，分别教学同分母分数加、减法。异分母分数加、减法：这是本单元学习的重点。教材特别突出转化的思想，即利用通分将异分母转化为同分母来计算。与同分母分数加、减法一样，教材也是选取“生活垃圾”这一素材引出两个问题，分别教学异分母分数加、减法。加减混合运算是分数加减运算的发展，是解决现实中许多问题的需要。本单元的教学重点是在理解算理的基础上，抽象概括出分数加、减法的计算方法。
学情分析
1.学生已经学习了整数加减法的意义及其计算方法，分数的意义和性质，简单的同分母分数的加、减法，有一定的知识基础。
2.本单元的学习内容是通过解决实际问题来理解和掌握分数加、减法的计算方法，与学生的生活实际联系十分紧密，有利于激发学生的学习兴趣。
3.通过前面的学习活动，学生具备了一定的学习能力，积累了一定的学习方法。
目标导向
知识与技能
1.理解分数加、减法的算理，掌握分数加、减法的计算方法，并能够正确地计算。
2.理解整数加法的运算定律对分数同样适用，并会运用这些运算定律进行分数加、减法的简便计算,进一步提高简算的能力；会运用分数加减法来解决实际问题。
过程与方法
经历分数加、减法的计算和解决生活中数学问题的过程，体验小组交流、合作探究、知识迁移的学习方法。
情感态度与价值观
在学习活动中,体验数学知识的广泛应用，激发学生学习数学知识的兴趣，培养应用数学知识的意识，提高运用知识的能力。同时在学习中培养学生热爱生活保护环境的良好思想情感。
教法与学法
根据本单元的知识特点，按照”合作交流—归纳概括—实践应用”的模式进行教学，即通过小组合作交流解决实际问题，归纳总结出计算的方法，再把计算的方法运用到具体的分数加减法计算中。教学中，首先有意识地引导学生认识分数加减法与整数加、减法之间的联系，紧密结合学生的知识经验，逐步概括出分数加、减法的一般计算方法，让学生在学习活动中理解算理、掌握算法。在教学将整数加法运算定律推广到分数时，应充分利用知识之间的密切联系，引导学生进行知识迁移，理解和掌握分数加法的一些简便计算方法。还要充分利用好有关数学文化的阅读材料，将学生的好奇心转化成探究欲，激发学生学习数学知识的兴趣。
课时安排
本单元建议用5课时安排教学。中小学教育资源及组卷应用平台
第6单元 分数的加法和减法
第1课时 同分母分数加、减法
课题 同分母分数加、减法 新授课
教学目标 一、知识与技能 1.理解分数加、减法的意义，初步理解同分母分数相加减的算理。 2.掌握同分母分数加、减法的计算法则。 二、过程与方法 经历同分母分数加、减法计算法则的探究，掌握同分母分数加、减法的计算方法。 三、情感态度与价值观 培养数形结合的思想，提高学生迁移类推的能力和计算能力和仔细计算的良好习惯。
教学重点 理解分数加、减法的意义，初步理解同分母分数相加减的算理。
教学难点 掌握同分母分数加、减法的算理和计算方法。
教学准备 多媒体课件。
课时安排 1课时。
教学过程 一、复习导入 1.填空。 （1）34的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位。 （2）（ ）个18是58，712里有（ ）个112。 （3）3个15是（ ），47是4个（ ）。 2.今天我们运用之前学过的知识来学习同分母分数的加、减法。 二、新课讲授 1.同分母分数加法。 出示教材第89页例1。 （1）观察图，从图中你都知道了哪些数学信息？ （把一张饼平均分成8份，爸爸吃了 张饼，妈妈吃了张饼） 师：求爸爸和妈妈共吃了多少张饼，怎样列式？为什么？ 生：“共”表示把这两个数合起来，所以用加法，列式＋。 师：你能算出结果吗？怎样思考的？ 学生思考： 是1个 ， 是3个 ，合起来也就是4个，也就是 。 师：＋的和是，为什么分母没变？分子是怎样得到的？ 引导学生思考同分母分数加法的算理。 师：因为和的分母相同，也就是它们的分数单位相同，所以可以直接用两个分子相加，分母不变。 板书：＋＝＝＝ 提示：计算的结果，能约分的要约成最简分数。 （2）小结：分数加法的含义与整数加法相同，都是表示把两个数合并成一个数的运算。在计算同分母分数加法时，分母不变，分子相加。 2.同分母分数减法。 出示教材第90页例1第（2）问：爸爸比妈妈多吃多少张饼？ （1）讨论：应该用什么方法计算？如何列出算式？计算的结果是多少？ （2）学生反馈讨论结果。 （3）归纳同分母分数减法的计算方法：分母不变，分子相减。 3.小结：观察例1的第（1）问和第（2）问，它们有什么共同点？同分母分数加、减法应怎样计算？（学生分组讨论，共同概括） 教师总结板书：同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加、减。 4.巩固练习。 教材第90页的“做一做”。学生独立完成，集体订正。 三、课堂作业 完成教材第91页练习二十三的第1、2、3、4题。 四、课堂小结 今天我们学习了同分母分数的加、减法。谁能具体的说一说，怎样计算同分母分数的加、减法呢？
板书设计 同分母分数加、减法 在分数算式中，计算的结果，能约分的要约成最简分数。 同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加、减。
教学反思 本节课的教学目标是使学生掌握同分母分数相加、减的计算法则。在学习同分母分数的加法时，我引导学生观察到两个分数的分母相同，表示分数单位相同，从这一点出发，学生很清楚地知道当两分数相加时，就是几个几分之一和另外几个几分之一的相加，而这个“几分之一”是一样的，所以把份数相加，也就是分子相加即可。接着学习同分母分数的减法，我放手让学生自学，学生很快举一反三总结出了方法。总之，在教学中，我们不能满足于教材设计，而是要创造性地使用教材，充分挖掘教材与学生生活经验的联系，变枯燥无味的教学为生动的教学，让学生在轻松的数学课堂氛围中，充分体验、感悟数学知识的来龙去脉。
教师点评和总结：(共13张PPT)
同分母分数加、减法
分数的加法和减法
一、情境导入，引出课题
（1）从图中，你获得了哪些数学信息？
（2）根据这些信息，你能提出什么数学问题？
二、探究新知，明确算法
问题1：爸爸和妈妈一共吃了多少张饼？
你能计算出结果吗？请试一试。
二、探究新知，明确算法
计算的结果，能约分的要约成最简分数。
2
1
二、探究新知，明确算法
我吃了3块饼。
我吃了1块饼。
问题2：爸爸比妈妈多吃了多少张饼？
二、探究新知，明确算法
2
1
（1）思考： 和 可以直接相减吗？为什么？
（2）请你试着算一算。
二、探究新知，明确算法
问题：
1．观察两个算式，有什么共同点吗？
2．你能用一句话概括同分母分数加、减法的计算法则吗？
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加、减。
计算的结果，能约分的要约成最简分数。
三、知识应用，巩固提升
1．列式并计算。
三、知识应用，巩固提升
2．计算。
3
2
5
3
三、知识应用，巩固提升
3．春蕾小学图书馆中各类图书情况如图所示。 （1）社会科学、自然科学和文艺类图书共占图书总量的几分之几？ （2）其他图书占图书总量的几分之几？
答：社会科学、自然科学和文艺类图书共占图书总量的 ；
其他图书占图书总量的 。
三、知识应用，巩固提升
4．拓展练习。
3+4=
30+40=
四、回顾总结，完善认知
通过本节课的学习，你有什么收获？
你对自己在本节课的表现，如何评价？
五、随堂作业
独立完成：
教材第91页练习二十三第3、4、5题。中小学教育资源及组卷应用平台
第6单元 分数的加法和减法
第2课时 异分母分数加、减法
课题 异分母分数加、减法 新授课
教学目标 一、知识与技能 1.让学生经历异分母分数加、减法的计算方法的探究过程，认识到将新知识转换成旧知识是获得知识的重要途径。 2.掌握异分母分数加、减法的一般计算方法和验算方法，会正确地进行计算和验算。 二、过程与方法 经历异分母分数加、减法计算法则的探究，掌握异分母分数加、减法的计算方法。 三、情感态度与价值观 培养学生的探究精神。通过学习回收有用垃圾的计算，唤起学生的环保意识。
教学重点 掌握异分母分数加、减法的一般计算方法。
教学难点 理解异分母分数不能直接相加、减的原因。
教学准备 多媒体课件。
课时安排 1课时。
教学过程 一、复习导入 1.计算下列各题。 说一说同分母分数加、减法计算的法则。 2.将下列各组分数通分。 说一说通分过程中的几个要点： （1）通分的依据（分数的基本性质）。 （2）求分母最小公倍数的方法。 前面，我们学习了同分母分数的加、减法计算，同学们都掌握了它们的计算法则。今天，我们要一起来学习异分母分数加、减法。 二、新课讲授 1.异分母分数加法。 出示教材第93页例1（呈现教材例题图）。 （1）学生自主探索。教师巡视课堂，观察学生解决问题的情况，适时引导学生。 ①当学生列出算式＋时，教师：你能用学过的知识解决吗？尝试计算“＋”。 ②教师巡视，然后将学生的几种不同算法列举在黑板上。 （2）甲： 乙： 丙： 第一种算法正确，但不简便，将和通分时，没有找10和4的最小公倍数，而是找它们的公倍数，所以计算时数据较大，结果还要约分； 第二种算法既正确又简便，先找10和4的最小公倍数，通分后再相加； 第三种算法不对，算理弄错了。两个分数的分数单位不同，是不能直接相加的。 （3）归纳异分母分数加法的计算方法。 先通分，找出不同分母的最小公倍数作为公分母，再按同分母分数相加的法则进行计算。 （4）即时练习：完成教材第93页“做一做”。学生独立计算，教师巡视抽查。 2.异分母分数减法。 （1）如何比较和的大小？（分子相同，分母大的分数小。） （2）要求比多多少，怎么计算 学生用自己的话说一说异分母分数加、减法的计算方法。 3.异分母分数加、减法的计算方法。 先通分，然后按同分母分数加、减法的计算方法进行计算。 4.巩固练习：完成课本第94页“做一做”的第1题。 三、课堂作业 完成教材第95页练习二十四的第1~4题。 第4题：利用四则运算的关系解方程。一定要让学生说出每一步变化的根据是什么。 四、课堂小结 今天我们学习了异分母分数的加、减法，谁愿意说说异分母分数的加、减法如何计算呢？
板书设计 异分母分数加、减法 -＝-＝ 异分母分数相加、减，先通分，然后按照同分母分数加、减法的法则进行计算。
教学反思 异分母分数加、减法在实际计算中经常遇到，是分数加、减法教学的重点。它是在学生掌握了通分的意义和方法，掌握了分数加、减法的意义和同分母分数加、减法计算法则的基础上进行教学的。本课的教学目的就是通过例1的教学，使学生初步掌握异分母分数加、减法的计算法则，培养学生的计算能力和抽象概括能力以及善于思考、勇于探索的精神。教学的重点在于分母不同的分数不能直接相加、减，以及把异分母分数转化为同分母分数的方法。本次课堂，我采用了举例、讨论等方法，让每个学生都有发言的机会，都能感受到自己是学习的主人，体现出“以学生为主体”的思想。
教师点评和总结：(共9张PPT)
异分母分数加、减法
分数的加法和减法
一、复习旧知
8
5
＝
＋
8
1
8
1
5
＋
＝
＝
4
3
4
3
8
6
＝
9
7
-
9
2
9
2
7
-
＝
9
5
30
30
-
30
11
＝
30
11
30
-
＝
30
19
＝
1
-
30
11
4
1
＝
＋
4
4
4
1
（1）纸张和废金属等是垃圾回收的主要对象，它们在生活垃圾中共占几分之几？
人们在日常生活中产生的垃圾叫做生活垃圾。
10
3
＝
＋
4
1
二、情境导入，引出课题
20
6
＋
20
5
＝
20
5
6
＋
＝
20
11
10
3
＝
＋
4
1
做一做
8
5
＝
＋
3
1
24
15
＋
24
8
＝
24
8
15
＋
＝
24
23
4
1
＝
＋
8
3
8
2
＋
8
3
＝
8
3
2
＋
＝
8
5
4
3
＝
＋
7
1
5
1
＝
＋
8
1
28
21
28
4
＋
＝
28
4
21
＋
＝
28
25
40
8
40
5
＋
＝
40
5
8
＋
＝
40
13
20
3
＝
10
3
＝
-
20
3
20
6
-
20
3
20
3
＜
10
3
（2）危险垃圾多还是食品残渣多？它们的差占生活垃圾总量的几分之几？
异分母分数相加、减，先 ，然后按照同分母分数加、减法进行计算。
通分
问题：怎样验算？
1.先计算，然后任选两题进行验算。
12
5
24
10
＝
6
1
＝
＋
4
1
8
7
＝
-
8
3
2
1
8
4
＝
12
1
2
1
24
1
＋
8
3
24
11
8
7
10
9
12
5
7
5
-
4
1
12
5
6
1
20
13
28
13
做一做
（千克）
（千克）
2.妈妈用黄豆面和玉米面做饼子。玉米面用了 kg，黄豆 面用了 kg，用的玉米面比黄豆面多多少千克？玉米面 和黄豆面一共用了多少千克？
5
4
4
3
5
4
＝
-
4
3
＝
20
1
-
20
16
20
15
5
4
＝
＋
5
4
4
3
＝
（千克）
检验：
＋
20
1
4
3
＝
＋
20
1
20
15
＝
20
16
＋
20
16
20
15
＝
20
31
答：用的玉米面比黄豆面多 kg，玉米面和黄豆面一共用了 kg。
四、布置作业
作业：第95页练习二十四，
第1题、第3题、第4题。第6单元 分数的加法和减法
第3课时 分数加减混合运算（1）
课题 分数加减混合运算（1） 新授课
教学目标 一、知识与技能 1.通过教学，使学生掌握分数加减混合运算的顺序和计算方法，以及带有小括号的分数加减混合运算的顺序及算法。 2.培养学生迁移、类推和归纳、概括的能力。 二、过程与方法 经历讨论分数加减混合运算的过程，掌握分数加减混合运算的顺序和方法。 三、情感态度与价值观 使学生养成用简明、灵活的方法解决问题的习惯。
教学重点 掌握分数加减混合运算的顺序和计算方法。
教学难点 掌握带小括号的分数加减混合运算的顺序和算法。
教学准备 多媒体课件。
课时安排 1课时。
教学过程 一、复习导入 1.口算练习。 2.先说出计算顺序，再计算出结果。 3.揭示课题：我们学过了分数加、减法，掌握了分数加、减法的计算法则，这一节课，我们来学习分数加减混合运算。 二、新课讲授 1.出示教材第97页例1的第（1）问表格。 （1）让学生读懂表格的内容，并用自己的语言表达出来。 （2）老师提问：森林部分指的是什么？怎样列式？ （3）请学生试着算一算，集体交流计算方法。 老师巡视，请不同算法的同学板演。 让学生将这两种计算方法进行比较，看哪一种更简单。 （4）小结：计算分数加减混合运算时，可以分步通分也可以一次通分进行计算，计算时，可以根据题目的特点和自己的情况灵活选择方法。 2.出示例1的第（2）问表格。 问题：“裸露地面储存的地下水占降水的几分之几？” （1）先让学生看懂表格内容，然后老师提问：在这个问题中，把什么看作单位“1”？ （2）请学生列出算式： （3）请学生试着计算，并指名板演这两种方法的计算过程。 （4）这两种方法有什么不同？带有小括号的分数加减混合运算该怎样计算？ 没有括号的：从左往右依次计算。带括号的：先算小括号里的数。 3.你能说一说分数加减混合运算的顺序吗？引导学生归纳概括出： 分数加减混合运算与整数加减混合运算的顺序相同，也是按照从左往右的顺序计算，带有小括号的先算小括号里面的，再算小括号外面的。 4.即时练习：完成教材第98页“做一做”第1题。 三、课堂作业 完成教材第100页练习二十五的第1~4题。 四、课堂小结 我们今天学习了分数加减混合运算的计算方法，你有什么收获？
板书设计 分数加减混合运算（1） 计算分数加减混合运算时，可以分步通分也可以一次通分进行计算，计算时，可以根据题目的特点和自己的情况灵活选择方法。 分数加减混合运算与整数加减混合运算的顺序相同，也是按照从左往右的顺序计算，带有小括号的先算小括号里面的，再算小括号外面的。
教学反思 本节课主要是学习分数加减混合运算的算理和方法。我从情境入手，先复习整数加减混合运算的运算法则，再从解题过程中比较不同的学生的思维优劣，提炼出分数加减混合运算的顺序。在完成教学后，我发现因为本课时内容较多，学生掌握效果并不理想。这节课让我感受到：在今后的教学中，一定要根据本班学生的认知水平确定好教学目标，不要局限于教材的编排，这也说明，作为教学第一线的一名教师，要学会深入挖掘教材，灵活运用教材，使教材更好地为教学服务。
教师点评和总结：(共13张PPT)
分数加减混合运算
分数的加法和减法
一、创设情境，引入新课
今天，老师带同学们一起去国家级景区云梦森林公园参观3。
一、创设情境，引入新课
以下是有关云梦森林公园的一些资料。
地貌类型 占公园面积的几分之几
乔木林
灌木林
草地
（乔木林占公园面积的 ，灌木林占公园面积的 ，
草地占公园面积的 。）
2
1
10
3
5
1
云梦森林公园地貌情况对比
2
1
10
3
5
1
1.从表中你能获得哪些数学信息？
一、创设情境，引入新课
以下是有关云梦森林公园的一些资料。
2.根据这些数学信息你能提出哪些两步计算的数学问题？
（乔木林和灌木林比草地多几分之几？灌木林和草地比乔木林多几分之几？……）
3.引导：乔木林和灌木林统称为森林，刚才的问题就可以改成
“森林比草地多几分之几？”
地貌类型 占公园面积的几分之几
乔木林
灌木林
草地
云梦森林公园地貌情况对比
2
1
10
3
5
1
二、合作交流，探究新知
1.学生先独立解答，再在小组内交流算法。
（1）森林部分比草地部分多占公园面积的几分之几？
＋
10
3
5
1
-
2
1
你会算吗？
这是分数加减混合运算，应
该和整数加减混合运算一
样，从左往右算就可以了。
这是异分母分数的加减混合运算，得先通分。怎样通分好呢？
2.小组汇报算法。
方法一：
＋
10
3
5
1
-
2
1
＝
＋
10
3
5
1
-
10
5
10
8
5
1
-
5
4
＝
5
3
＝
方法二：
＋
10
3
5
1
-
2
1
＝
＋
10
3
10
2
-
10
5
＝
10
8
10
2
-
＝
10
6
5
3
＝
5
3
3.这两种算法有什么不同？你喜欢哪种算法？
（方法一是先把前两个数通分，计算出结果后再和第三个数通分，也就是分步通分计算的；而方法二则是一次性把三个数都通分，然后再按照从左往右的顺序计算，第二种方法相对要简便一些。）
二、合作交流，探究新知
二、合作交流，探究新知
4.总结：分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算
的计算顺序相同；三个分数是异分母分数，可以分步通分
也可以一次通分进行计算，但先一次通分比较简便。计算
时，可以根据题目的特点和自己的情况灵活选择方法。
5.出示练习：第98页，“做一做”，第1题第一行。
分步通分：
＋
10
3
5
1
-
2
1
＝
＋
10
3
5
1
-
10
5
10
8
5
1
-
5
4
＝
5
3
＝
一次通分：
＋
10
3
5
1
-
2
1
5
3
＝
10
8
10
2
-
10
6
5
3
＝
＝
＝
＋
10
3
10
2
-
10
5
二、合作交流，探究新知
2.从表中你能发现那些数学信息？
（2）裸露地面储存的地下水占降水量的几分之几？
1.老师这里还有一些信息，请看：
地貌类型 储存为
地下水 地表水 其他
森林
裸露地面
森林和裸露底面降水量转化情况对比
20
7
4
1
5
2
5
2
20
11
（ ）
（ ）
（预设1：降水量都分成了三部分，在森林中，储存为地下水占 ，地表水占 ，其他占 ；在裸露地面中，地表水占 ，其他占 ，问题是裸露地面储存的地下水占降水量的几分之几？
预设2：三种情况的总和是1，所以要求储存为地下水占几分之几，用1减去其他两种情况就可以了。）
20
7
6
7
2
5
2
5
20
11
二、合作交流，探究新知
4.这两种方法有什么不同
（方法一是先求储存为地下水和其他一共占几分之几，再求储存为地下水占几分之几；方法二是先求地表水和其他一共占几分之几，再求储存为地下水占几分之几。）
3.学生独立列式解答。
（2）裸露地面储存的地下水占降水量的几分之几？
20
11
1
-
5
2
-
＝
20
20
20
11
-
20
8
-
20
9
20
8
-
＝
20
1
＝
1
-
20
11
5
2
＋
（ ）
1
＝
-
20
11
20
8
＋
（ ）
20
19
1
-
＝
20
1
＝
二、合作交流，探究新知
6.小结：加减混合运算中有小括号时，要先算小括号里的。
7.出示练习：第98页，“做一做”，第1题第二行。
5.追问：在计算方法上有什么注意的地方呢？
20
11
1
-
5
2
-
＝
20
20
20
11
-
20
8
-
20
9
20
8
-
＝
20
1
＝
1
-
20
11
5
2
＋
（ ）
1
＝
-
20
11
20
8
＋
（ ）
20
19
1
-
＝
20
1
＝
（2）裸露地面储存的地下水占降水量的几分之几？
二、合作交流，探究新知
（3）总结分数加减混合运算顺序
1.你能说说分数加减混合运算的运算顺序吗？
2.学生先在小组内互相说一说，再在全班交流。
3.根据学生交流情况归纳概括出：
分数加减混合运算与整数加减混合运算的顺序相同，也是按照从左往右的顺序计算，带有小括号的先算小括号里面的，再算小括号外面的。
三、巩固运用，实践创新
1.比一比，算一算。
出示第100页练习二十五第1题。
比一比，看谁算得又对又快，集体交流计算过程，重点看运算顺序情况。
把你编出的题给同桌算一算。
2.用 ， ， 这三个分数编一道加减混合的计算题，看看
你能编出几道来？
2
1
5
2
8
5
四、布置作业
作业：第100页练习二十五，
第2题、第3题、第4题。中小学教育资源及组卷应用平台
第6单元 分数的加法和减法
第4课时 分数加减混合运算（2）
课题 分数加减混合运算（2） 新授课
教学目标 一、知识与技能 1.通过教学，使学生理解整数加法的运算定律对分数加法同样适用，并能灵活运用加法运算定律进行简算。 2.使学生理解运用分数加减混合运算来解决实际问题的解题思路。 二、过程与方法 从整数加法运算定律推理得出分数加法的简便运算方法。通过对实际问题的分析推理，独立思考解决问题的方法。 三、情感态度与价值观 1.培养学生计算的灵活性和知识迁移的能力。 2.引导学生养成认真审题、自主探索的良好习惯。
教学重点 把整数加法运算定律推广到分数，能正确应用加法运算定律进行简算。
教学难点 灵活应用加法运算定律进行简算。掌握相关应用题的解题方法。
教学准备 多媒体课件。
课时安排 1课时。
教学过程 一、复习导入 1.下面各题，怎样简便就怎样算。 16＋25＋75 215＋1083＋285＋917 要求学生说说：上面各题进行简便计算的根据是什么？ 引导学生说出：加法交换律a＋b＝b＋a 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 2.提问：整数加法交换律中，所指的两个数的范围是什么？整数加法结合律中所指的三个数的范围是什么？（使学生明确都是在整数范围内） 3.回忆学过的整数加法运算定律，想一想：这些运算定律对分数加法适用吗？ 整数加、减法的运算定律对分数加、减法也适用，这节课我们就来一起学习“整数加法运算定律推广到分数加法。” 二、新课讲授 1.整数加法运算定律对分数加法的适用情况。 师：这些运算定律中，用字母表示的两个数或三个数，它们的范围都包括了什么样的数？ 生：整数和小数，还有分数。 （1）出示教材第98页例2。 组织学生学习，并相互交流。 师：你发现了什么？ 生：整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。 （2）计算：；。 观察这些加数，注意分母和分子有什么特点并讨论怎样可以使计算简便？ 把和结合起来，和结合起来，能使计算简便。 ①独立练习。 ②说说哪里应用了加法交换律，哪里应用了加法结合律。 ③应用加法运算定律，可以把分母相同的分数先加起来，或凑成整数再进行计算。 （3）即时练习：完成教材第98页“做一做”的第2题。 2.分数加减混合运算的应用。 （1）出示教材第99页例3。 （2）喝了几次牛奶？第一次喝了多少？第二次呢？加了多少水？水全喝完了吗？ （3）分析：喝了两次：第一次喝完后，喝了杯纯牛奶，剩（1-）杯纯牛奶，加满水，纯牛奶还是只有杯，第二次喝，喝了加水后的半杯，也就是把杯的纯牛奶再平均分成2份，喝的纯牛奶占其中的1份，就是杯纯牛奶。因为纯牛奶和水一共喝了一整杯，所以喝的水是杯。教师可以借助画图帮学生理解题意。 三、课堂作业 完成教材第100~101页练习二十五第5、6、7题。 四、课堂小结 请同学们谈谈今天的学习体会。
板书设计 分数加减混合运算（2） ＝＝ 整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。 喝纯牛奶：＋＝＋＝（杯） 喝水：1－＝（杯）
教学反思 本节课探究了两个问题，一个是将整数加法运算律推广到分数，一个是分数加减混合运算的应用。对于第一个问题，先复习整数加法的运算定律，把这些定律用字母表示出来，使学生明确，适用于加法交换律、结合律的数，既包括了整数，也包括了小数和分数。再通过举出教材上两组算式的例子，让他们判断每组算式是否相等，从而进一步巩固整数加法运算定律对分数加法同样适用的结论。然后通过相应的习题使学生学会灵活地运用结合律和交换律对分数的加法进行简算。对于第二个问题，我鼓励学生独立思考，引导他们从不同的角度提出问题，选择多种方法来解答。学生经过旧知识的迁移，可以自主探索出结果。应用题教学不仅仅是讲授方法，还应突出对学生的独立探索、操作发现、总结规律等各种数学思维能力的培养。
教师点评和总结：(共8张PPT)
——整数加减运算定律推广到分数
分数的加法和减法
分数加减混合运算
一、复习引入，揭示课题
1. 用简便方法计算下面各题，并说出简算的依据。
53＋36＋47 1.5＋3.8＋6.2
2. 学生独立完成，集体交流。（说出加法运算定律的字母表示形式。）
3. 加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
4. 式中的字母可以表示什么数？
5. 我们知道加法交换律和结合律适用于整数和小数，是否也适用于分数呢？这节课我们就一起来研究。
（整数、小数、分数）
3. 说说你这样填的理由。
2. 大胆猜想一下○里应该填什么符号？
4. 验证规律。
（学生动手计算验证，然后汇报结果相等的结论。教师随即
在○中板书出“＝”）
二、猜想验证，探索规律
（等号）
（第一个算式左右两边的数都一样，就是交换了位置，很像整数中的加法交换律；）
（第二个算式只是改变了加的顺序，很像加法结合律。）
1. 下面每组算式的左右两边有什么样的关系？
7
3
＋
5
2
5
2
＋
7
3
( )
3
2
＋
4
1
＋
4
3
3
2
＋
( )
4
1
＋
4
3
5. 观察这些算式，你发现了什么？
6. 仅通过计算这两组题就下结论，有点为时过早。请你再举几个
分数加法的例子来验证一下，看看我们得出的结论是否正确。
7. 学生举例，教师巡视指导，然后学生汇报通过验证得到的结论。
8. 小结：整数加法的交换律和结合律对分数加法同样适用。利用
运算定律可以使一些分数计算变得简便。
二、猜想验证，探索规律
（整数加法的运算定律也可以在分数中使用。）
2. 怎样简便就怎样计算。
6
5
＋
＋
12
1
12
7
3
1
＋
7
2
＋
5
1
＋
3
2
＝
35
17
1
三、应用规律，巩固深化
1. 在○里填上合适的运算符号，在（ ）里填上合适的数。
○ ＝ ＋
4
1
5
2
5
2
4
1
＋ ＋ ＝ ＋（ ○ ）
2
1
7
4
7
3
2
1
7
4
7
3
＋ ＝ ＋
3
1
8
3
3
1
（ ）
（ ）
＋ ＋ ＝ ＋（ ○ ）
12
7
12
5
5
3
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
＝
1
2
1
3. 修一条5千米的水渠，第一天修了1 千米，第二天修了1 千米，
还剩多少千米没有修？
4
1
4
3
＋
＋
8
3
3
5
12
7
12
5
＋
5－1 －1 ＝5－（1 ＋1 ）＝5－3＝2（km）
＋ ＋ ＋ ＝
2
1
6
1
12
1
20
1
＝1－
5
1
4. 完成101页练习二十五第8题。
观察四个算式有什么特点？你发现了什么规律？简单的方式把你的发现表示出来。
三、应用规律，巩固深化
学生分组讨论交流归纳出：
－ ＝ n≠0）
n
1
n＋1
1
n×（n＋1 ）
1
应用规律计算： ＋ ＋ ＋
2
1
6
1
12
1
20
1
4
1
3
1
3
1
1 － ＋ － ＋ － ＋ －
2
1
2
1
4
1
5
1
6
1
12
1
20
1
2
1
2
1
3
1
＝
－
1－ ＝
2
1
3
1
－
4
1
＝
4
1
－
5
1
＝
5
4
＝
三、应用规律，巩固深化
5. 思维训练
请将 、 、 、 、 和 填在圆圈中，使每条线上的
三个数的和都相等。
12
1
6
1
4
1
3
1
12
5
2
1
4
1
3
1
6
1
2
1
12
1
12
5
第98页“做一做”，第2题。
第100页练习二十五，第5题。
第101页练习二十五，第7题。
四、布置作业第6单元 分数的加法和减法
第5课时 打电话
课题 打电话 活动课
教学目标 一、知识与技能 1.使学生通过日常生活中的一些简单事例，初步感受运筹思想以及对策论在解决实际生活问题中的作用。 2.使学生体验数学与生活的密切联系，在生活中应用优化思想解决问题。 二、过程与方法 通过画图的方式发现事物隐含的规律。经历设计方案的过程，体会最优方案的特点。 三、情感态度与价值观 培养学生归纳推理的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
教学重点 让学生探讨最优方案。
教学难点 通过画图的方式发现事物隐含的规律。
教学准备 多媒体课件。
课时安排 1课时。
教学过程 一、情景导入 师：我们的生活离不开电话，你们知道吗？打电话也有很多学问。今天这节课我们就从数学的角度一起来研究打电话的奥秘。 二、探讨实践 1.提出问题，学生小议。 师：一个合唱队共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请帮助老师设计一个打电话的方案。 （设计意图：充分利用学生的生活经验，提出各种各样的解决方法，从中选择最好的方法。） 2.小组活动，探讨方法。 师：请同学们以小组为单位设计一个打电话的方案。充分利用叙述、图式、颜色等方式表达出来，并算一算用几分钟。 （小组活动，教师参加研究，活动后汇报，交流辨析） 生1：我们是这样想的，老师先给3个组长打电话用了3分钟，然后由组长分别给4个同学打电话用了4分钟，一共用了7分钟。 生2：我们是这样标上时间的： 图1 生3：第5分钟第1小组的组长给所有的组员打完电话了，但第3小组还有两个同学没接到电话。 生4：有办法，把第3小组的最后1个同学调到第1小组，可以使每个小组同时打完电话。我们组是这样画图的： 图2 3.讲求策略，优化方案。 师：到底分几组，每组多少人才能最省时间呢？请同学们分组讨论，画一画，算一算。（小组活动后汇报） 生1：我们把15个同学平均分成5个小组，每组3人，用了7分钟。 生2：我们组也把15个同学分5个组打电话，每个小组的人数分别是5人、4人、3人、2人、1人，又节省了2分钟。 图3 生3：我们组分成4组来打电话，分别是3人、4人、4人、4人，用了7分钟。 生4：我们也是分4组，但比上一组少用了1分钟即6分钟，我们是这样安排：5人、4人、3人、3人。 生5：分组太少也不行，这样组长给组员打电话的时间越多。 生6：最省时间的是分成5组，依次是5人、4人、3人、2人、1人。 生7：我发现需要的时间是分组数和最后一组组员数加起来。 4.大胆设想，有所创新。 师：同学们分析得很好，想了很多办法。我们回顾一下，为什么一次次地节省了时间呢？ 生1：因为想办法使更多人同时打电话。 生2：以上的方法组员在接到电话后是闲着的，其实他们也可以帮忙打电话呀。 生3：对，我们小组原来就是这样设计的。（见右图）第1分钟由老师打给1个同学，有1个同学收到通知；第2分钟由老师和这个同学同时打电话，有2个同学新收到通知；第3分钟由老师和这3个同学同时打电话，有4个同学新收到通知；第4分钟由老师和这7个同学同时打电话，有8个同学新收到通知，这时收到通知的一共15个同学，所以4分钟就通知完15个同学。 5.发表见解，评选方案。 师：你会选择哪种方案呢？请说说理由。 生1：当然是最后一种，因为这样打电话最省时间。 生2：安排打电话的先后顺序用去的时间也不少，当你安排好了，可能用分组的方法已经打完电话，还是分组打电话比较快。 生3：我认为选择哪种方法还要看需要通知的人数，人数多就应该分组，人数少就用最后一种方案。 生4：可以这样，分组由老师安排，小组内打电话的先后顺序由我们安排。 师：你们的见解都有道理。在安排好先后顺序的情况下，后一种方案的速度是很快的，当中还隐含着数学规律，你们找找看。 生1：我发现每一分钟新接到通知的人数分别是1、2、4、8，每一个数都是前一个数的2倍。 师：按照这样的规律，下一分钟新收到通知的人数有多少？ 生2：16人。 （板书：第4分钟共有1＋2＋4＋8＝15人收到通知） 师：还有别的方法算出这个总和吗？大家讨论一下。 生5：我发现用每一分钟新得到通知的人数乘2减1就是到这分钟的时候收到通知的学生总数。例如第4分钟接到通知的学生的总数是8×2-1＝15人。 （板书：第4分钟共有8×2-1＝15人收到通知） 师：同学们真用心。按照上面的规律计算，如果时间是5分钟，最多可以通知多少人？ 生6：31人，刚才第4分钟有15人收到通知，第5分钟有16人新收到通知，15加16等于31人。（板书：第5分钟共有15＋16＝31人收到通知） 生7：我的算法不同，第4分钟有16人新收到通知，第5分钟共有16×2-1＝31人收到通知。（板书：第5分钟共有16×2-1＝31人收到通知） 师：如果要通知50人，最少需要多少时间？ 生1：第5分钟时有31人收到通知，加上老师共有32人再同时打电话，说明第6分钟有32人新收到通知，31加32一共是63人收到通知，所以通知50人需要6分钟。 三、课堂小结 通过这节课的活动，你有什么收获？（学生畅谈感受）
教学反思 这是一节综合实践课，题材非常好，和学生的实际生活密切相关。本节课的设计，首先是要“活”，能主动引导学生灵活处理问题，活跃数学思维，课堂学习气氛浓厚，学生参与度高。再次是要“动”，这节课不仅要关注结果，更要关注过程，关注学生在整个过程中的表现，能否积极动手、动脑、动口，把问题解决好。学生把不同的分组法用表格的形式展现出来的时候，要充分让学生通过观察分析寻找规律的过程去体验数学的乐趣，再将学生发现的问题应用到实际中去。
教师点评和总结：(共7张PPT)
——解决问题
分数的加法和减法
分数加减混合运算
复习：计算下面各题。
8
5
＝
＋
8
1
8
1
5
＋
＝
＝
4
3
4
3
8
6
＝
9
7
-
9
2
9
2
7
-
＝
9
5
30
30
-
30
11
＝
30
11
30
-
＝
30
19
＝
1
-
30
11
4
1
＝
＋
4
4
4
1
8
5
＝
＋
3
1
24
15
＋
24
8
＝
24
8
15
＋
＝
24
23
4
1
＝
＋
8
3
8
2
＋
8
3
＝
8
3
2
＋
＝
8
5
例3：一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
分析与解答
第一次喝完后，剩 杯纯牛奶。喝了（1－ ）杯。
2
1
2
1
加满水，纯牛奶还是只有原来的 杯。
2
1
又喝了加满水后的 ，也就是把 杯的纯牛奶再平均分成2份，喝的纯牛奶就是其中的1份了。
2
1
2
1
水
奶
二、合作交流，探究新知
（二）分析与解答
把 平均分成2份，就是把“1”平均分成4份，其中的1份就是 。第二次喝的纯牛奶是 杯，水是 杯。
一共喝的纯牛奶： ＋ ＝ （杯）。
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
3
1. 一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。又喝了半杯，觉得还是有些凉，就又兑满了热水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
巩固运用
一共喝的纯牛奶：
一共喝的水：
＋
＋
2
1
4
1
8
1
＝
8
7
（杯）
4
1
8
3
＋
＝
8
5
（杯）
2. 一杯纯牛奶，乐乐喝了 杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
5
1
一共喝的纯牛奶：
一共喝的水：
10
1
（杯）
5
1
5
2
＋
＝
5
3
（杯）(共15张PPT)
打电话
一、创设情境，引入新课
1.谈话：生活中经常发生突发事件，需要迅速通知有关人员到场。
例如：一个合唱团共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师
需要尽快通知到每一个队员。可以用什么方式通知他们呢？
（打电话，发短信，QQ留言，微信）
2.为了确保每位队员都迅速得到通知，“打电话”是个不错的选
择。今天我们 一起来探讨打电话中的数学问题。
二、联系生活，探究新知
1.出示问题：如果用打电话的方式，每分钟通知1人，通知完15人，最少要用多少分钟？
（一）提出问题，学生小议
2.先通知几个人，这几个人再通知其他队员，这其实是分组的思想。怎样分组通知用时少呢？
3.是不是分的组越多用的时间越少呢？
（老师先通知几个人，这几个人再通知其他队员，这样用的时间比较少。）
（分成3个组，用时是3＋4＝7分钟。）
（分成5个组，用时也是5＋2＝7分钟。）
（老师一个接一个的通知，至少需要15分钟。）
二、联系生活，探究新知
1.介绍图示法。
我们可以把同学们想到的分组的办法用图来表示。
（二）小组合作，探究方法
老师
队员
线上的数
第几分钟
1
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
2
3
4
5
老师
队员
线上的数
第几分钟
1
2
3
4
5
6
7
4
5
5
2
3
3
4
6
二、联系生活，探究新知
2.想一想，还有更快的方法吗？请大家独立思考，再小组合
作，然后用写一写，画一画，用图示法表示出你的想法。
（二）小组合作，探究方法
3.小组合作探究方法，教师巡视收集资源。
4.汇报交流。
分成3个小组：12个人分成5、4 、 3的（6分钟）。
分成5个小组：10个人分成4 、 3 、 2 、 1 、 0的（5分钟）。
二、联系生活，探究新知
5.交流最优方案。
（二）小组合作，探究方法
监控问题：
（1）这个方案是怎么打的？通知到最后一个人用几分钟？
（2）为什么这么打就节省时间了？（人人都没闲着）
二、联系生活，探究新知
6.利用列表的方法分析规律。
（二）小组合作，探究方法
时间 共知道总人数 新通知人数 已经通知总人数
1 2 1 1
2 4 2 3
3 8 4 7
4 16 8 15
…… …… …… ……
二、联系生活，探究新知
6.利用列表的方法分析规律。
（二）小组合作，探究方法
监控问题：
（1）第1分钟，通知了几个人？已经通知的总人数是多少？
7.总结：新通知的人数是前1分钟的2倍，而已经通知的总人数
是新通知人数的2倍减1。
（2）第2分钟，通知了几个人？已经通知的总人数是多少？
为什么是3人？
（3）按照这样的规律，第5分钟，通知了几个人？已经通知
的总人数是多少？第6分钟，通知了几个人？已经通知
的总人数是多少？
（4）你发现什么规律了吗？
到第n分钟接到通知的学生和老师一共有：2 人。
n
如果n表示时间（分钟），那么第n分钟可以通知的学生数是：(2 -1)人。
n
例：打电话的方式3分钟最多可以通知多少人？
2 －1＝7（人）
答：3分钟最多可以通知7人。
用打电话的方式通知100人，最至需要多少分钟才可以通知完？
2－1＝63（人）
2－1＝127（人）
63<100<127
答：至少需要7分钟才能通知完所有的人。
二、联系生活，探究新知
有一件事情老师需要通知学生，一共有32名学生，那老师多少时间能通知到所有的学生？
答：至少需要5分钟才能通知完所有的学生。
2 ＝32（人）
5
错误分析：通知到的所有人数是2的时间次方减1。
正确解答：
2 －1＝31（人）
2 －1＝63（人）
答：6分钟能通知完所有的学生。
5
6
二、联系生活，探究新知
三、运用规律，解决问题
1.按上面的方式5分钟最多可以通知多少人？要通知50人，至少用多少分钟？
2.阿米巴原虫（一种主要寄生于结肠内的虫，会引起阿米巴痢疾或阿米巴结肠炎）是用简单分裂的方式繁殖的，每分裂一次要用3分钟。请问一个阿米巴原虫18分钟后变成了几个阿米巴原虫？
3.“斐波那契兔子问题”。
4.介绍 “斐波那契数列”。
印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明人——大臣西萨·班·达依尔。
这位聪明的大臣跪在国王面前说：“陛下，请你在这张棋盘的第1个小格内，赏给我一粒麦子，在第2个小格内，赏给我两粒麦子，第3个小格内，赏给我四粒麦子，照这样下去每小格内都比前一格加一倍，像这样把棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的。”说着命人把一袋麦子扛到宝座前，心想这一袋麦子就足够了，计数麦粒的工作开始了：第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，还没到20格，袋子就已经空了。袋子一袋又一袋地扛到国王面前，不一会儿，王宫里的麦子堆积如山，管粮库的大臣急忙跑来报告说，粮库中的麦子已经不多了。这时国王才发现，就是把全印度麦子全都拿来，也满足不了面前这位宰相的要求。
你知道这位国王要给这位国际象棋的发明人多少粒麦子吗？
1+2+4+8+16……+263
＝264 －1
＝18 446 744 073 709 551 615（粒）
国王应给大臣的麦粒：
据估计，全世界需要500年才能生产这么多麦子！
四、布置作业
1.金帆管乐团共有54人，寒假期间有一个紧急的演出，韩老
师需要尽快通知每一个人。用打电话的方式，每分钟通知
一个人，请帮老师设计一个能够快速通知每一个人的打电
话方案。
2.下班后电信公司老板要召开一个紧急会议，需要叫78个员
工回来开会，如果用打电话的方式，每通知一个人要半分
钟，最少要多少分钟才能通知完？
