高中数学人教版必修1课件：3．1．1方程的根与函数的零点（共28张PPT）

(共28张PPT)
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，
日用之繁，无处不用数学。
--------华罗庚
3.1.1
《方程的根与函数的零点》
重点：
方程的根与函数的零点的关系。
难点：
判断函数零点的个数问题。
了解零点的概念，理解方程的根与零点的关系，会判断函数零点的所在区间。
教学目 标
自主学习 ：阅读p86~88, 理解下列问题：
1. 函数零点的概念?

2. 函数零点与方程的根有什么关系?

3. 怎样判断函数在某区间上存在零点?
对于一般的函数 与相应方程 呢？
一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴的交点的横坐标。
方程的实数根
x1=－1,x2=3
函数的图像与x轴交点
(－1,0)、(3,0)
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
方程f(x)=0有实数根
函数零点的定义：
等价关系
1.
2.
1
0个
1个
巩固训练 ：
有
有
<
<
3. 如何判断函数在某个区间内有无零点
合作交流 ：
猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有 成立，那么函数区间(a,b)上有零点。
f(a)·f(b)< 0
有
<
有
<
有
<
如果函数
的一条曲线，并且 ，
（a,b）内有零点，即存在
3. 零点存在性定理：
连续不断
那么
c也就是方程
f(a)·f(b)<0
(1)f(a)·f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。
(2) 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点f(a)·f(b)<0。
(3) f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。
注意：
1 函数是连续的。
定理辨析：
错
错
错
2 定理不可逆。
3 至少存在一个零点。
2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：
??
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（? ）个?
?A.5个?????? B.4个??? ??? C.3个?????? D.2个
C
巩固训练
1. f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有零点( )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
B
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 23 9 -7 11 -5 -12 -26
3.方程 在下列哪个区间上有零点( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
C
解法二:
三、求函数零点或零点个数的方法：
(1)定义法：解方程 f(x)=0，
得出函数的零点。
(3)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标。
(2)定理法：函数零点存在性定理。
观察如上三个函数图像
思考：函数要满足什么条件在区间［a，b］上至多只有一个有零点？
函数在区间［a，b］上是单调连续的，则函数在区间［a，b］至多只有一个零点。
探究2：
0
0
0
a
b
y
x
y
x
y
x
一元二次方程的根及其相应
二次函数的图象与x轴交点的关系;
函数零点的概念;
函数零点与方程的根的关系;
函数零点存在性定理.
小结



布置作业：
P92 习题3.1 第2题
随堂检测
1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为( ? )
Ａ. (0,0),(4,0)?? ?? Ｂ.0,4????
Ｃ. (–4,0),(0,0),(4,0)??? Ｄ.–4,0,4
D
3.已知函数f(x)是定义域为Ｒ的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为(?? )
Ａ.３????? Ｂ.２???? Ｃ.１???? Ｄ.不确定
A
4.若函数 仅有一个零点，求实数a的取值范围。
练习：
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）－x2＋3x＋5＝0；
（2）2x(x－2)＝－3；
（3） x2 ＝4x－4；
（4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)= －x3－3x+5；
（2）f(x)=2x · ln(x－2)－3；
（3）f(x)=ex－1+4x－4;
（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.
有
没有
有
没有
有
没有
有
没有
1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,
作出函数f(x)的图象，如下：
它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。
(1) －x2＋3x＋5＝0
1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为
2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下：
它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。
(2) 2x(x－2)＝－3
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x＋4 ＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出
函数f(x)的图象，如下：
它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实数根。
(3) x2 ＝4x－4
1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为
2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)= 2x2 ＋2x－5, 作出函数f(x)的图象，
如下：
它与x轴有两个交点，所以
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不
相等的实数根。
(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5
2(1)解：作出函数的图象，如下：
因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,
所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5)
上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）
上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有
且只有一个零点。
2(1) f(x)= －x3－3x+5
2(2)解：作出函数的图象，如下：
因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=
2x · ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为
f(x) =2x · ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，
所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
2(2) f(x)=2x · ln(x－2)－3
2(3)解：作出函数的图象，如下：
因为f(0)≈－3.63<0,f(1)
＝1>0,所以f(x)= ex－1+4x－4
在区间(0,1)上有零点。又因
为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ，
＋∞）上的增函数，所以在
区间(0,1)上有且只有一个零
点。
2(3) f(x)=ex－1+4x－4
2(4)解：作出函数的图象，如下：
因为f(－4)＝－4<0,f(－ 3)＝15>0,
f(－2)＝－2<0,f(2)＝－70<0, f(3)＝3>0,
所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在区间
(－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有
一个零点。
2(4) f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x