人教版八年级下册数学18.2.3正方形的性质课件（共52张）

(共58张PPT)
乘法公式（2）
完全平方公式
几种特殊四边形的定义及性质
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行
，四边都
相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，邻角互补
对角线
互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相
垂直平分，
每条对角线
平分一组对角
中心对
称图形
轴对称
图形、
中心对
称图形
轴对称
图形、中
心对称图形
两组对边
分别平行
的四边形
有一个角
是直角的
平行四边
形
有一组邻
边相等的
平行四边
形
定义 边 角 对 角 线 对 称 性
平行
四边形
矩 形

菱 形

激趣导入
激趣导入
激趣导入
激趣导入
激趣导入
思考：
你能说说它的特征吗？
自主学习
认识正方形
(1)怎样用1个长方形纸片折出1个正方形？
(2)怎样将1个菱形木框变成1个正方形木框？
矩 形
正方形
〃
〃
矩形怎样变化后就成了正方形呢?
探究（一）
实验与观察一：折叠矩形纸片
怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？
自主学习
∟
∟
∟
∟
正方形
菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
实验与观察二：转动菱形模型
怎样将一个菱形的木框变成一个正方形的木框？
矩形
菱形
一组邻边相等
正方形
有一个直角
有一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角为直角的菱形是正方形
特殊的矩形
特殊的菱形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系!
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，也是特殊的平行四边形。
正方形的性质=
1、正方形的边有什么特征？
2、四个角有什么特点？
3、对角线有什么特征？
思考问题：
正方形具有哪些性质？
边
角
对角线
性质
对边平行且相等
四条边都相等
对角相等邻角互补
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线相等且互相重直
对角线平分一组对角
旋转1800
是中心对称图形
正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
正方形具有哪些性质？
边
角
对角线
性质
对边平行且相等
四条边都相等
对角相等邻角互补
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线相等且互相重直
对角线平分一组对角
对称性
既是轴对称图形又是中心对称图形
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟

对边平行， 四条边都相等
四 个 角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OB=OC=OD,
∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠5= ∠6= ∠7= ∠8
轴对称图形 中心对称图形
1
2
3
4
5
6
7
8
正方形性质
边 角 对角线 对称性
图形语言

文字语言

符号语言
四、归纳总结
一个角是直角
对角线互相垂直相等
一组邻边相等
一组邻边相等
一个角是直角
正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直.
C、对角互补.
D、对角线相等.
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
B
D
互动深化
例
求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
第一步:根据题意画出图形
第二步:写出已知
第三步：写出求证
第四步:进行证明
O
已知:如图,四边形ABCD是正方形,对 角线AC、BD相交于点O.
求证:△ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD, AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO
都是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
分析: 利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.
平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,
于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.
怎么求正方形的面积呢？
正方形的面积等于对角线之积的一半。
基础训练
2.如右图，正方形ABCD中，延长AB到E，
使AE=AC，则∠BCE的度数是 °．
1.如左图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，
则∠AEB的度数为是 °．
22.5
15
1、在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．
A
D
C
B
E
∟
∟
提示：寻找直角三角形，
运用直角三角形求边长和对角线.
面积=800m2
对角线AC=40m
还可以怎样求对角线呢？
例2 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别
在边BC、CD上，AE、BF交于点O，AE=BF.
判断AE、BF的位置关系，说明理由.
例2 正方形ABCD，两条对角线AC、BD相交
于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别
做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.
(1)如图1，当P点在线段AB上时，线段PE、
PF、OB有怎样的等量关系，说明理由.
例2 正方形ABCD，P是射线AB上任意一点，
过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF.
(2)如图2，当P点在线段AB的延长线上时，
线段PE、PF、OB又有怎样的等量关系，说
明理由.
细心练一练
1.下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下
一个角.为得到一个正方形,裁剪线与折痕所
成的角α的度数应为( )
A.60° B.30°
C.45° D.90°
D
C
如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、
G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH
交于点O，EF=GH.判断EF、GH的位置关系，
说明理由.
拓展与延伸
3、已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，P为AC上一点，求PE+PB的最小值.
P
E'
P
已知：正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F
求证：OE=OF

学后反思小结：
平行四边形有哪些性质？矩形有哪些性质？菱形有哪些性质？正方形有哪些性质？你能用表格的形式列出它们吗
★从角上来谈；
●从边上来谈；
▲从对角线上来谈；
几种特殊四边形的性质
边 角 对 角 线 对 称 性
平 行
四边形
矩 形
菱 形
正方形
几种特殊四边形的性质
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行，四边都相等
对边平行，
四条边
都相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角线互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
边 角 对 角 线 对 称 性
平 行
四边形
矩 形
菱 形
正方形
谈谈你的收获！
１.这节课你的收获是什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
２. 你能用正方形解决一些简单的问题吗？
补充练习：
1、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．
拓展延伸
1、如图，分别以△ABC的边AB,AC为一边向外画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE,BG.求证：BG=CE. Z```x``xk
证明：在正方形ABDE中， AE=AB，∠EAB=90°， 又在正方形ACFG中， AG=AC，∠GAC=90°， ∴∠EAB=∠GAC=90°.
∴∠EAC=∠GAB， ∴△EAC≌△GAB，
∴EC=GB．
∵∠EAC=∠EAB+∠BAC， ∠GAB=∠GAC+∠BAC，
2．如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O， MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN.
例题赏析
⒊在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．
⑴求证： DQ=CP；
⑵OP与OQ有何关系？试证明你的结论．
一展身手
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中点．
求证：
⑴CE=BG；
⑵EG=2AM．
M
E
D
F
G
B
C
A
求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形．
3、 在正方形ABCD中，点E、F、G、H
分别在各边上，且AE=BF=CG=DH．四边
形EFGH是正方形吗?为什么?
天空的幸福是穿一身蓝
森林的幸福是披一身绿
老师的幸福是因为认识了你们
愿你们
努力进取，永不言败
致亲爱的同学们: