19.2 二次函数y=ax2 bx c（a≠0）的图象 教案（4课时）

《二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象》教案
第一课时
教学目标
知识与技能
1.能正确画出二次函数y=x2和y=-x2的图象，探究出二次函数的图象的形状；
2.理解二次函数y=x2和y=-x2中y随x的变化规律及二次函数图象的对称性；
3.掌握二次函数y=x2和y=-x2图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和应用能力.
过程与方法
1.通过动手操作画二次函数y=x2和y=-x2的图象，发展几何直观，培养学生的动手能力，掌握其操作方法和技巧；
2．通过对二次函数y=x2和y=-x2图象的探究，理解这种形式的二次函数的特征，掌握解题的方法和技巧.
情感、态度与价值观
经过操作、探究、总结和应用等数学活动，让学生感受数学中数形变化美，让学生感受到数学的严谨性和科学性，让学生感受到数学的应用在生活中无处不在.
教学重点与难点
重点：使学生会画二次函数y=x2和y=-x2的图象，能概括它们的性质.
难点：理解并把握二次函数y=x2和y=-x2的图象的形状和性质特征.
教学过程
一、知识回顾，导入新课
问题1：什么叫做二次函数？
生：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.
问题2：画函数图象的主要步骤是什么？
生：(1)列表，(2)描点，(3)连线
问题3：你能说说我们已经学习过的一次函数有哪些性质吗？
生：一次函数y=kx+b(k，b都是常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小.
思考：在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？
二、探究交流，获取新知
操作：请你画出二次函数y=x2的图象.
(1)观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)在直角坐标系中描点：
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.
议一议：
对于二次函数y=x2的图象.
(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.
生：抛物线.
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
生：图象与x轴有交点.交点坐标是(0，0).
(3)当x取什么值时，y的值最小？
最小值是什么？你是如何知道的？
生：当x=0时，y的值最小，最小值是0.
因为抛物线上的最低点坐标是(0，0).
(4)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
生：图象是轴对称图形.它的对称轴是y轴.
对称点：(-3，9)与(3，9)关于y轴对称；(-2，4)与(2，4)关于y轴对称……
师生共同总结：1.函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称.
2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.
做一做：
二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流.
(1)列表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
(2)在直角坐标系中描点：
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=-x2的图象.
议一议：说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，与同伴交流.
(1)图象与x轴交于原点(0，0).
(2)y≤0.
(3)当x=0时，y最大值=0.
(4)图象关于y轴对称.
例1 在同一坐标系中，做出下列函数的图象：

三、知识拓展
1.画出二次函数y=2x2的图象，根据图象回答下列问题：
(1)抛物线y=2x2的开口方向是怎样的？
(2)抛物线y=2x2顶点坐标、对称轴各是多少？
(3)函数y有最大值还是最小值？为什么？
四、自我小结，获取感悟
1.二次函数y=±x2的图象是什么形状？
2.二次函数y=±x2有哪些性质？
(1)位置与开口方向；
(2)顶点坐标与对称轴.
第二课时
教学目标
知识与技能
1.能正确画出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会比较这两种二次函数的图象的不同点；
2.把握系数a、c对二次函数图象的影响，理解二次函数y=ax2和y=ax2+c中y随x的变化规律及抛物线的平移规律；
3.能说出二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
4.通过操作、探究的过程，提高学生对基础知识的理解和运用能力.
过程与方法
1.通过动手操作画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，培养学生的比较、鉴别能力；
2．通过对二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的探究，理解这两种形式的二次函数的性质特征.
情感、态度与价值观
经过操作、探究、总结和应用等数学活动，有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.
教学重点与难点
重点：使学生会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会进行比较异同，能根据图象概括出它们的性质特征.
难点：正确理解二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与系数的关系，能灵活运用其性质解决相关函数问题.
教学过程
一、知识回顾，导入新课
1.如图是二次函数y=x2和y=-x2的图象，填写下表：
函数
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x2
抛物线
向上
y轴
(0，0)
y=-x2
抛物线
向下
y轴
(0，0)
2.画一画
在同一坐标系中，画出二次函数y=x2和y=2x2，
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
二、探究交流，获取新知
思考：二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
函数
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2x2
抛物线
向上
y轴
(0，0)
y=2x2
抛物线
向上
y轴
(0，0)
画一画：在刚才的坐标系中再画出二次函数y=x2的图象.
探索交流：二次函数y=x2的图象与y=2x2、y=x2的图象有什么相同和不同？
相同点：
函数
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x2
抛物线
向上
y轴
(0，0)
y=2x2
抛物线
向上
y轴
(0，0)
y=x2
抛物线
向上
y轴
(0，0)
不同点：a的绝对值越大，抛物线的开口越小.
做一做：
在下列平面直角坐标系中，作出y=-x2和y=-2x2的图象.
生：动手操作画图，
思考：它们与二次函数y=x2和y=2x2的图象又有什么异同？
生：它们形状、对称轴和顶点坐标都是相同的，只是y=-x2和y=-2x2的图象开口向下.
探究：函数y=3x2及y=-3x2的图象会有哪些特点？
点拨：从二次函数的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标几个方面回答.
师生共同总结：y=ax2 (a≠0)的图象与性质特征，
探究：二次函数y=2x2+2、y=2x2-2与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？你是怎样想的，动手验证你的想法.
生：学生动手操作，老师巡视，
结论：1.二次函数y=2x2+2由二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位；
2.二次函数y=2x2-2由二次函数y=2x2的图象向下平移2个单位.
共同交流：二次函数y=-3x2+， y=-3x2-的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？
生：让学生总结出它们之间的关系.
思考：二次函数y=ax2(a≠0)的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象有什么异同？
老师点拨：y=ax2及y=ax2+c(a≠0)的图象和性质：
y=ax2+c的图象是由y=ax2的图象上下平移得到的，
当c＞0时，向上平移c个单位；
当c＜0时，向下平移︱c︱个单位.
函数
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
抛物线
a＞0向上
a＜0向下
y轴
(0，0)
y=ax2+c
抛物线
a＞0向上
a＜0向下
y轴
(0，c)
四、随堂练习
1.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ).
A.y=-(x+2)2 B.y=-x2+2 C.y=-x2+2 D.y=-(x-2)2
2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1 与x轴的交点的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
3.坐标平面上有一函数y=24x2-48的图象，其顶点坐标为( )
A.(0，-2) B.(1，-24) C.(0，-48) D.(2，48)
4．将抛物线y=x2+1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________．
五、自我小结，获取感悟
1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？
2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？
3.对老师说，你还有哪些困惑？
第三课时
教学目标
知识与技能
1.能正确画出形如y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的二次函数的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响；
2.能正确地说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
3.能灵活运用二次函数的图象和性质解决相关问题；
4.通过对知识点的探究以达到灵活运动知识解答相关问题的技能.
过程与方法
1.通过对二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的画法的操作，性质的探究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；
2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.
情感、态度与价值观
1.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，培养学生合情推理能力和初步的演绎推理能力，能在条理地、清晰地阐述自己的观点；
2.让学生学会与人合作，并能与他人进行交流思维的过程和结果.
教学重点与难点
重点：使学生能准确地作出这两种形式的二次函数图象，理解它们与y=ax2的图象关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响，能正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，准确把握二次函数的性质特点.
难点：理解并把握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的性质特征，并会运用性质解决相关问题.
教学准备
多媒体课件.
教学过程
一、知识回顾，导入新课
问题1：根据你所学知识回答下列各问题，
1.函数y=x2+3的图象的顶点坐标是___________；开口方向是______；最_____值是________.
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数_____________的图象向____平移_________个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数_________________的图象.
问题2：你会用类比法画二次函数y=2(x-1)2的图象吗？它与y=2x2有什么异同吗？它有哪些性质呢？
二、探究交流，获取新知
请你在同一坐标系中画出下列函数的图象：
(1)y=2x2 (2)y=2(x-1)2
完成下表：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
2x2
…
…
2(x-1)2
…
…
观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？
生：在同一坐标系中画出这两个函数图象，
议一议：(1)二次函数y=2(x-1)2的图象与y=22的图象有什么关系？
生：二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的.
(2)二次函数y=2(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
生：开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1，0)
(3)二次函数y=2(x-1)2当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
生：当x＜1时，y的值随x值的增大而增大；当x＞1时，y的值随x值的增大而减小.
(4)你能发现二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？
生：二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位得到的.
结论：二次函数y=2x2，y=2(x-1)2，y=2(x+1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度，就得到函数y=2(x-1)2的图像；将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y=2(x+1)2的图像.
想一想：由二次函数y=2x2的图象，你能得二次函数y=2x2-，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2-的图象吗？
生：由二次函数y=2x2的图象向下平移个单位长度可得二次函数y=2x2-的图象；由二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度能得二次函数y=2(x+3)2的图象；由二次函数y=2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移个单位长度，能得二次函数y=2(x-3)2-的图象.
归纳总结：二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系？
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是由二次函数y=ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度得到的.
h＜0时，图象向左平移；h＞0时，图象向右平移.
k＜0时，图象向下平移；k＞0时，图象向上平移.
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象.因此，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示：
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=a(x-h)2+k
向上(a＞0)
直线x=h
(0，0)
向下(a＜0)
三、随堂练习
1.回答下列问题：
二次函数y=3(x+2)2的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
2.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( )
A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x+2)2-3
3.将抛物线y=2(x-1)2向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为___________.
4.将抛物线y=-x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为____________．
5.若把函数y=x的图象用 E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用 E(x，2x+1)记，…，则E(x，x2-2x+1)可以由 E(x，x2)怎样平移得到( )
A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位
C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位
例2 已知二次函数.
(1)指出它的图象可以看做是函数的图象经过怎样的变换而得到的；
(2)指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)求出图象与坐标轴的交点坐标，并画出它的示意图.
六、自我小结，获取感悟
1.y=a(x-h)2+k的图象特征.
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
第四课时
教学目标
知识与技能
1.会用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k形式，体会建立二次函数的对称轴和顶点坐标公式的必要性；
2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决有关函数问题；
3.掌握系数a、b、c对二次函数图象的影响和作用；
4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和把握能力.
过程与方法
1.通过对二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的探究，培养学生的概括能力，解决实际问题的能力；
2．通过学生的合作交流来解决函数问题，培养学生的合作交流能力.
情感、态度与价值观
1.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题；
2.初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
教学重点与难点
重点：使学生会运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.
难点：理解并把握数学问题与实际问题相联系的过程.
教学准备：
多媒体课件
教学过程
一、知识回顾，导入新课
问题1：二次函数y=-2(x-3)2+5的开口_______，对称轴是_________，顶点坐标是____.它是由二次函数y=-2x2先向_____平移____个单位长度，再向_____平移____个单位长度得到的.
问题2：对于二次函数y=a(x-h)2+k
(1)当a＞0时，它的开口______，对称轴是___________，顶点坐标是__________________.
(2)当a＜0时，它的开口________，对称轴是____________，顶点坐标是_________________.
问题3：我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象吗？
二、探究交流，获取新知
请你利用已学过的知识将二次函数y=2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式.
解： y=2x2-4x+5
=2(x2-2x)+5
=2(x2-2x+1-1)+5
=2(x-1)2-2+5
=2(x-1)2+3
三、知识讲解
1.求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解析：要求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 只需将它化为y=a(x-h)2+k的形式.
解：y=2x2-8x+7
=2(x2-4x)+7
=2(x2-4x+4)-8+7
=2(x-2)2-1
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2，-1).
做一做：
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1)y=3x2-6x+7 (2)y=2x2-12x+8
生：学生解答，教师巡视，发现问题即时解答.
2.求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
生：指点一名学生上黑板解答，教师点拨.
解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得：
y=ax2+bx+c
=a(x2+x)+c
=a[x2+2·x+()2-()2]+c
=a(x+)2+
因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线 x=-，顶点坐标为(-，).
点拨：由此我们把此称之为求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的公式
四、随堂练习
1.用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标
(1)y=2x2-12x+3； (2)y=-5x2+80x-319；
(3)y=2(x-)(x-2)； (4)y=3(2x+1)(2-x).
合作交流：二次函数图象与系数a、b、c之间有何关系？
a决定抛物线的形状、开口方向.
当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下，越大抛物线的开口越小.
b影响对称轴的位置.
当ab＞0时，抛物线的对称轴在y轴的左侧；当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，当ab＜0时，抛物线的对称轴在y轴的右侧.
c确定抛物线与y轴的交点位置.
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，当c=0时，抛物线经过坐标原点，当c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上
例3 已知：抛物线y=-3x2+12x-8.(1)求出它的对称轴和顶点坐标；(2)求出图象与坐标轴的交点坐标，并画出示意图.
例4 已知某抛物线的顶点坐标为(-2，1)，且与y轴相交于点(0，4)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.
五、挑战自我：
1.(2014?遵义)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是( )

A. B. C. D.
2.若一次函数y=x2-2x+c的图象与y轴的交为(0，-3)，则此二次函数有( )
A.最小值-2 B.最小值-3 C.最小值-4 D.最大值-4
六、自我小结，获取感悟
1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？
2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？
3.对老师说，你还有哪些困惑？