高中数学人教A版必修二3．2直线方程教学讲义

授课主题 直线方程
教学目的 掌握直线方程的表达式，直线的交点坐标与距离公式
重、难点 重点：直线的表达式及距离公式 难点：综合应用
授课时间
教学内容
课程导入回顾初中学过的一次函数 本节知识点讲解直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点＝与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距＋＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线例题解析【例2】已知直线过点,且与轴,轴正半轴分别交于，两点,求△面积的最小值及此时的方程 ：．【变式训练】(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；即4x＋3y－13＝0.(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.(3)已知直线：，无论取何值时，直线恒过定点___________(4)求与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程(5)求经过点，且和两坐标轴围成的三角形的面积为的直线方程.(6)过两点和的直线在轴上的截距为（ ）.A． B． C． D．2 (7)过点和的直线与直线的位置关系是（ ）.A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对(8)直线的截距式方程是 .本知识点小结 本节知识点讲解直线的一般式方程关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程四、两直线的交点坐标已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2： A2x+B2y+C2=0如何判断这两条直线的关系(1)若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。(2)若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。(3)若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。例题解析类型一：两条直线的位置关系【例3】判断下列各组两条直线的位置关系：和； 和. 【审题指南】：将直线化成斜截式，用斜截式形式下直线平行判断的等价条件，，垂直的等价条件；或直接在一般式下，运用直线平行的等价条件，垂直的等价条件. 1.判断下列两条直线的位置关系（1）与 与 类型二：两条平行垂直等价条件的应用【例4】如果直线：与直线：互相垂直，求的值. 【审题指南】：斜截式方程下两条直线垂直的等价条件，本题还应考虑斜率是否存在的问题；或一般式下，两条垂直的等价条件. 2.已知直线和，试问当为何值时，（1）∥；（2） 类型三：对称问题【例5】求点关于直线：的对称点的坐标. 【审题指南】：两个隐含条件：一是所在直线垂直于直线；二是的中点在直线上.点与关于过原点的直线对称，求直线的方程 巩固练习1． 直线在轴和轴上的截距分别是（ ）． A. B. C. D.2. 与直线：关于轴对称的直线的方程为（ ）．A. B. C. D. 3. 若方程表示一条直线，则实数满足的条件为 ．4. 方程表示的直线恒过点 ． 1．B 2．A 3． 4． 5. 两条直线与互相垂直，则实数 _____ . 　6. 已知直线：．（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围．7． 8．（1）略; （2） 本知识点小结 课堂总结 家庭作业一．解答题（共11小题）1．已知直线l的倾斜角为30°，（结果化成一般式）（1）若直线l过点P（3，﹣4），求直线l的方程．（2）若直线l在x轴上截距为﹣2，求直线l的方程．（3）若直线l在y轴上截距为3，求直线l的方程． 　2．已知直线y=﹣x+5的倾斜角是所求直线l的倾斜角的大小的5倍，且直线l分别满足下列条件：（结果化成一般式）（1）若过点P（3，﹣4），求直线l的方程． （2）若在x轴上截距为﹣2，求直线l的方程．（3）若在y轴上截距为3，求直线l的方程． 3．已知直线经过点A（3，﹣2），斜率为﹣，求该直线方程．　 4．已知直线l经过点P（2，1），且斜率为2，（1）求直线l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且在y轴上的截距为3，求直线m的方程．　 5．已知直线l经过点（0，﹣2），斜率为2，（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积． 　6．根据条件写出直线的方程（1）经过点A（8，﹣2），斜率是．（2）经过点P1（3，﹣2），P2（5，﹣4）． 　7．已知直线l经过点A（1，3），求：（1）直线l在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程．　 求经过点A（2，﹣1），B（5，1）的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式． 　9．在△ABC中，∠C的平分线所在直线l的方程为y=2x，若点A（﹣4，2），B（3，1）．（1）求点A关于直线l的对称点D的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线方程；（3）求△ABC的面积． 10．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线方程为x+2y﹣4=0，AC边上的中线BE所在直线方程为2x+y﹣3=0（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程． 　11．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3）．（1）求直线BC的方程；（2）求边BC上高AD所在的直线方程．　 1、【解答】解：直线l的倾斜角为30°，则直线的斜率为：．（1）过点P（3，﹣4），由点斜式方程得：y+4=（x﹣3），∴y=x﹣﹣4，即x﹣3y﹣3﹣12=0；（2）在x轴截距为﹣2，即直线l过点（﹣2，0），由点斜式方程得：y﹣0=（x+2），则y=x+，即x﹣3y+2=0；（3）在y轴上截距为3，由斜截式方程得：y=x+3．即：x﹣3y+9=0．2、【解答】解：由直线y=﹣x+5得：k=﹣，即tanα=﹣，∴α=150°．故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′=．（1）过点P（3，﹣4），由点斜式方程得：y+4=（x﹣3），∴y=x﹣﹣4，即x﹣3y﹣3﹣12=0…（3分）（2）在x轴截距为﹣2，即直线l过点（﹣2，0）．由点斜式方程得：y﹣0=（x+2），y=x+，即x﹣3y+2=0．…（3分）．（3）在y轴上截距为3，由斜截式方程得：y=x+3，即：x﹣3y+9=0．…（4分）．3、【解答】解：∵直线经过点A（3，﹣2），斜率为﹣，由直线方程的点斜式得：y+2=，化为一般式得：4x+3y﹣6=0．4、【解答】解：（1）直线l的方程为：y﹣1=2（x﹣2）即y=2x﹣3，（2）因为直线m与直线l平行，所以直线m斜率为2．又因为直线m在y轴上的截距为3所以直线m方程为：y=2x+3． 5、【解答】解；（1）由于直线l经过点（0，﹣2），斜率为2，可得直线l的方程为y+2=2（x﹣0），即2x﹣y﹣2=0．（2）由于直线l和x轴的交点A（1，0），和y轴的交点为B（0，﹣2），故直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 ×1×2=1．6、【解答】解：（1）由题意得：直线方程为y+2=﹣（x﹣8），整理得：x+2y﹣4=0；（2）由题意得：直线方程为y+2=（x﹣3），整理得：x+y﹣1=0． 7、【解答】解：（1）若直线l的截距为0，则直线方程为y=3x；若直线l的截距不为零，则可设直线方程为：x+y=k，由题设有1+3=k，所以直线方程为：x+y﹣4=0 综上，所求直线的方程为3x﹣y=0或x+y﹣4=0．（2）设直线方程为：，，而面积，又由得　等号当且仅当成立，即当a=2，b=6时，面积最小为12所求直线方程为3x+y﹣6=08、【解答】解：过A（2，﹣1），B（5，1）两点的直线方程为=化为点斜式方程可得：y+1=（x﹣2），化为斜截式为：y=x﹣截距式为：+=19、【解答】解：（1）△ABC中，设点A关于l的对称点D（m，n），则，∴D（4，﹣2）．（2）∵D点在直线BC上，∴直线BC的方程为3x+y﹣10=0，因为C在直线y=2x上，所以，所以C（2，4）．∴，所以AC边上的高所在的直线的斜率为﹣3，再结合B（3，1），可得AC边上的高所在的直线的方程为 y﹣1=﹣3（x﹣3），即 3x+y﹣10=0．（3）由于AC的斜率为=，BC的斜率为 =﹣3，故AC⊥BC．再根据AC==2，BC==，∴．10、【解答】解：（1）∵AB边上的高CD所在直线方程为x+2y﹣4=0，其斜率为，∴直线AB的斜率为2，且过A（0，1）所以AB边所在的直线方程为y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0；（2）联立直线AB和BE的方程：，解得：，即直线AB与直线BE的交点为B（，2），设C（m，n），则AC的中点D（，），由已知可得，解得：，∴C（2，1），BC边所在的直线方程为，即2x+3y﹣7=0．11、【解答】解：（1）因为B（1，﹣2），C（﹣2，3）．所以直线BC的方程：整理得5x+3y+1=0；（2）因为边BC上高AD，所以AD 的斜率为，又A（2，4），所以AD的方程为y﹣4=（x﹣2），整理得所求方程：3x﹣5y+14=0．