21.4 圆周角 第一课时 教案

教学基本信息
课题
21.4圆周角（第一课时）
是否属于
地方课程或校本课程
是
学科
数学
学段：第三学段
年级
九年级
相关
领域
空间与图形
教材
书名：数学九年级上册出版社：北京出版社出版日期：2015年7月
【教材分析】
本节教学内容源于北京版九年级上册“21.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。
圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。
圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。
教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。
基于上述分析，确定本节教学重点是：直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法
【教学目标】
知识与技能目标：
1．理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
2．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．
过程与方法：
通过回忆圆心角，引出圆周角概念，经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；
通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。最后运用定理及其推论解决问题．
情感、态度和价值观：
引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。
【重点与难点】
教学重点：圆周角的概念及定理的推导
教学难点：探索圆周角的性质，分情况证明圆周角定理。
【学生分析】
从知识储备上看：学生已学习了垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理，这为学生学好本节课做好了铺垫。但是从学生的思维发展和认知水平上看，学生思维正处于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思维发展、内部心理上逐步朝着自我反省的思维发展。虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经验和操作技能，会进行简单的说理，但他们的逻辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱。从一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点.
【教学方法】
鉴于教材特点及九年级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“观察---猜想---实验---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用几何画板、PPT白板等教学工具，提高教学效果，在经历实验、演示、操作、观察、交流，例题及练习等活动中，启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，采用直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展学生的推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法
【问题与对策】
圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角内部，圆心在圆周角外部。所以，圆周角定理要采用完全归纳法，分情况证明。学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏。因此，教学的关键是①在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系，为后面证明的分类讨论做好铺垫，②学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想它们之间的数量关系，然后教师再利用计算机软件来验证，让学生进一步明确它们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。③从特殊的位置关系----圆心在圆周角的一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角的一边上的情形。
【技术准备】
教学中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用《几何画板》的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程。感受过程的真实性，增强了学生的参与程度，提高了学习的积极性。
【教学流程图】
【教学过程】
教学过程
教学阶段
教师活动
学生活动
设置意图
时间安排
一、复习回顾，引入新知
1．圆周角定义的引入
师：上节课我们学习了圆心角，哪位同学来说一说：什么是圆心角？
师：今天我们学习圆中的另一类角“圆周角”，顶点在圆周上，角的两边与圆周相交的角叫做圆周角，如图中的∠BAC.教师引入课题：“圆周角”.
师：归纳得很准确，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
（教师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点。学生在学案上写出圆周角的定义）
师：请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？
生：回忆圆心角的概念并口答。
顶点在圆心的角叫圆心角。
学生仿照圆心角概念，归纳出圆周角的概念及特征。
1.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2.特征：① 角的顶点在圆上② 角的两边都与圆相交。
学生思考片刻之后，教师就每个图形请一个学生作答。
渗透类比的思想，使学生体会数学概念规定的一致性.
为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现正例和反例，可以有利于学生对本质属性与非本质属性进行比较。
5’
二、动手操作，探究定理
师：下面我们重点研究弧BC所对的圆周角∠ BAC与圆心角∠ BOC之间的关系,请大家先观察图形，再猜想二者之间的关系，然后拿量角器量一量，验证你的猜想。
师：下面，老师用计算机进一步验证我们刚才所得到的结论：（教师开始在计算机上进行验证。）
然后教师分别从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化：①拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；②改变圆心角的度数；
师：观察完老师的演示，我请一位同学把所发现的结论用文字语言表述一下。
命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
师：这位同学总结得很好，为了更好地说明结论的正确性，下面我们探究其论证方法。先请同学们在右图的⊙O中尽可能多地画弧AB所对的圆周角，并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系？
师：巡视并展示圆周角与圆心的三种位置关系：
师：在上述三种情况中我们先选择其中的一种情况进行证明，选哪种情况，如何证明？（学生先独立思考，然后在同伴间悄悄交流自己的思路）
师：证明的非常好，掌声给予鼓励！
师：当圆心在圆周角的内部时，你能把第二种及第三种情况，转化到第一种情况去证明吗？
师：很好！ 请同学们在学案上写出这种情况下的证明过程，之后完成最后一种情况的证明，同伴之间交流自己的证明思路。
师：通过上述证明，我们得到：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
教师板书：圆周角定理：1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
师：做思路和规范性点评，辅助线的添加方法：以圆周角的顶点为端点的直径
由圆周角定理引出：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角____，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的_________。
生：先观察图形，再猜想二者之间的关系，然后拿量角器量一量，验证自己的猜想。
学生认真观察，体会①一条弧所对的圆周角和圆心角的关系；②圆心与圆周角的位置关系。
生：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
生：认真画图，体会图形分为三类，初步寻找解题方法
生：我发现，圆心与圆周角有三种位置关系，即圆心可能在圆周角的一边上，可能在圆周角的内部，也可能在圆周角的外部。
生：选择第一种情况进行证明，因为圆心在圆周角的一边上，是最简单也是最特殊的一种情况。因为圆心角在圆周角的一边上，所以AB是圆的直径，由同圆半径相等可知，OA=OC，所以∠A=∠C，根据定理“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得，∠BOC=∠A+∠C=2∠A，即同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半
生：开始先，观察、分析、独立思考，然后和同组的同学进行交流······）
生：在学案上写出圆周角定理的三种语言“文字语言、图形语言、符号语言”
观察图形，思考老师提出的问题
引导学生经历观察、猜想、操作、分析、验证、交流等基本教学活动，探索圆周角的性质，感知基本几何事实，教师使用《几何画板》做进一步演示与验证，以动态演示的方式，帮助学生发现并理解圆心与圆周角的三种位置关系，为分情况证明圆周角定理奠定基础。此处分类的标准是关键
这里把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。
，教学中，让学生通过合作探究，学会运用分类讨论的教学思想研究问题，培养学生思维的完整性和深刻性。
从教学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，以强化对数学知识的学习与理解，加强数学语言的运用与表达。
5’
3’
10’
3’
三、定理应用
四、巩固练习
五、课堂小结，巩固反思
六、课堂达标检测
七、作业
例题：如图OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
1..试找出下图中所有相等的圆周角。
2、如图，在⊙O中∠ABC=50°，则∠AOC等于（）
A、50°；B、80°；
C、90°；D、100°
3、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等（）
A、30°；B、60°；
C、90°；D、45°
4.求圆中角X的度数
教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果）
师：下面我们进行课堂小结与反思：请你选择下面一个或几个关键词谈本节课的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功······
师：同学们都反思总结得很好，真诚希望在今后的学习中，能一如既往地养成勤反思、多总结的学习习惯，使我们的学习成绩更上一层楼。
1、一条弧所对的圆周角的度数为60°,它所对的圆心角的度数为 _____
2、一条弧所对的圆心角的度数为60°,它所对的圆周角的度数为 ______
3、圆被弦分成1：3的两条弧,则这条弦所对的圆周角的度数 ___________
4、已知OA,OB为⊙O的半径，
∠AOB=80°点C在AB上，则∠ACB = ______
七、作业
A组：数学书第128页第1题的（1），（2）
B组：数学书第128页第1题的（3）和第4题
C组：数学书第128页第3题和第6题
认真读题，找出题目中的重要条件，完成标图，分析得出所给条件是圆心角，所求结论是圆周角，借助圆周角定理，寻找解题思路。
学生独立思考，在课堂练习本上书写解题过程
生：各抒己见，进行课堂小结
一个学生从知识的角度去说；一个学生从方法和思想的角度去说；另一个学生从情感态度价值观去说。
生：独立完成检测
通过例题考查了学生对定理的理解和应用，并使学生在从复杂的图形中分解出基本图形的训练中，培养空间识图能力。
设计意图:通过这5道题的练习，让学生体会在解决与圆有关的问题时，首先要牢牢抓住
圆中出现的弧，找到同弧所对的圆周角或圆心角，再利用它们之间的关系解决问题．
通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，有利于培养学生数学思想、教学方法、数学能力和对数学的积极情感。
检验本节课所学知识。培养学生数学思想、方法、及各方面的能力，对数学学习充满自信，从而提高了学习的积极性。
6，
5’
4’
5’
1’
板书设计：
圆周角概念：我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
２．圆周角定理：1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
３.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
完成特殊情况的证明
例题
如图8，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.