专题4：概率统计、随机变量及其分布word

概率统计、随机变量及其分布
一．选择题（共22小题）
1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　）
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
2．根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（　　）

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
3．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（　　）

A．93 B．123 C．137 D．167
4．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi+a（a为非零常数，i＝1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（　　）
A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a
5．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（　　）
A．，s2+1002 B．+100，s2+1002 C．，s2 D．+100，s2
6．甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率（　　）
A． B． C． D．
7．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（　　）

A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2+p3
8．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）
A． B． C． D．
11．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（　　）
A． B． C． D．
13．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）
A． B． C． D．
14．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
15．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　）
A． B． C． D．
16．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）
A． B． C． D．
17．有5本数学书，3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每类都有1本的概率为（　　）
A． B． C． D．
18．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　）
A． B． C． D．
19．设复数z＝（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（　　）
A．+ B．+ C．﹣ D．﹣
20．8把不同的钥匙中只有1把能打开某锁，那么从中任取2把能将该锁打开的概率为（　　）
A． B． C． D．
21．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P（x＝4）＜P（X＝6），则p＝（　　）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
22．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x﹣6.423；②y与x负相关且＝﹣3.476x+5.648；
③y与x正相关且＝5.437x+8.493；④y与x正相关且＝﹣4.326x﹣4.578．
其中一定不正确的结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二．填空题（共2小题）
23．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　 　．
24．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX＝　 　．
三．解答题（共16小题）
25．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） [0.6，0.7）
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6）
频数 1 5 13 10 16 5
（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；


估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）


27．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；


（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．


附注：参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646．
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．
28．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表

B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数 2 8 14 10 6
做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
29．从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115） [115，125）
频数 6 26 38 22 8
（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；

估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？

30．袋中有m个白球和n个黑球，m≥n≥1．
（1）若m＝6，n＝5，一次随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率；

有放回地抽取两次，每次随机抽取一个球，若两次取出的球的颜色相同的概率为，求m：n．

31．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；

（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．

32．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

33．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附：K2＝，


34．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：P（K2≥K） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
35．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；



（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．
36．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．


（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；


（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？


37．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；


（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；



（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得＝＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．



附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．
38．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；



设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？



39．某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为，且每次投篮是否命中相互独立．
（Ⅰ）求该同学在三次投篮中至少命中2次的概率；


（Ⅱ）若该同学在10次投篮中恰好命中k次（k＝0，1，2，…，10）的概率为Pk，k为何值时，Pk最大？



40．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；




（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；


（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？



2019年04月04日张建辉的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共22小题）
1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　）
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
【考点】BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解．
【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，
故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，
故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．
故选：B．
【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．
2．根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（　　）

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；
B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；
C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．
【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；
B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；
C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．
3．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（　　）

A．93 B．123 C．137 D．167
【考点】B5：收集数据的方法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．
【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%＝77；高中部女教师的人数为150×40%＝60，
∴该校女教师的人数为77+60＝137，
故选：C．
【点评】本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．
4．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi+a（a为非零常数，i＝1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（　　）
A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a
【考点】BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．
方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．
【解答】解：方法1：∵yi＝xi+a，
∴E（yi）＝E（xi）+E（a）＝1+a，
方差D（yi）＝D（xi）+E（a）＝4．
方法2：由题意知yi＝xi+a，
则＝（x1+x2+…+x10+10×a）＝（x1+x2+…+x10）＝+a＝1+a，
方差s2＝[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]＝s2＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y＝ax+b，则Ey＝aEx+b，Dy＝a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．
5．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（　　）
A．，s2+1002 B．+100，s2+1002
C．，s2 D．+100，s2
【考点】BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．
【解答】解：由题意知yi＝xi+100，
则＝（x1+x2+…+x10+100×10）＝（x1+x2+…+x10）＝+100，
方差s2＝[（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]＝s2．
故选：D．
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．
6．甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率（　　）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】基本事件总数n＝＝120，甲不在两端包含的基本事件个数m＝＝72，由此能求出甲不在两端的概率．
【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊站成一排，基本事件总数n＝＝120，
甲不在两端包含的基本事件个数m＝＝72，
∴甲不在两端的概率p＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（　　）

A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2+p3
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】如图：设BC＝2r1，AB＝2r2，AC＝2r3，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到答案．
【解答】解：如图：设BC＝2r1，AB＝2r2，AC＝2r3，
∴r12＝r22+r32，
∴SⅠ＝×4r2r3＝2r2r3，SⅢ＝×πr12﹣2r2r3，
SⅡ＝×πr32+×πr22﹣SⅢ＝×πr32+×πr22﹣×πr12+2r2r3＝2r2r3，
∴SⅠ＝SⅡ，
∴P1＝P2，
故选：A．
【点评】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题．
8．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．
【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，
所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15＝0.4．
故选：B．
【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查．
9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，
从中选2个不同的数有＝45种，
和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，
则对应的概率P＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键．
10．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
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【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S＝，
则对应概率P＝＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
11．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】先求出基本事件总数n＝5×5＝25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n＝5×5＝25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m＝10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
12．从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（　　）
A． B． C． D．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π?12，从区间[0，1】随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），对应的区域的面积为12．
∴＝
∴π＝．
故选：C．

【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．
13．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4B：试验法；5I：概率与统计．
【分析】列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．
【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：
（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．
其中只有一个是小敏的密码前两位．
由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题．
14．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．
【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，
∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，
∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础．
15．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．
【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有＝6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为＝．
另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，
即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），
则P＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
16．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）
A． B． C． D．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：设小明到达时间为y，
当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，
小明等车时间不超过10分钟，
故P＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．
17．有5本数学书，3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每类都有1本的概率为（　　）
A． B． C． D．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】先求出基本事件总数n＝＝220，再求出每类都有1本包含的基本事件个数m＝5×3×4＝60，由此能求出每类都有1本的概率．
【解答】解：有5本数学书，3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，
基本事件总数n＝＝220，
每类都有1本包含的基本事件个数m＝5×3×4＝60，
∴每类都有1本的概率为p＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．
【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，
其中只有（3，4，5）为勾股数，
故这3个数构成一组勾股数的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．
19．设复数z＝（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（　　）
A．+ B．+ C．﹣ D．﹣
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．
【解答】解：∵复数z＝（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，
∴|z|＝≤1，即（x﹣1）2+y2≤1，
∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，
而y≥x表示直线y＝x左上方的部分，（图中阴影弓形）
∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，
∴所求概率P＝＝
故选：D．

【点评】本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．
20．8把不同的钥匙中只有1把能打开某锁，那么从中任取2把能将该锁打开的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】从中任取2把，基本事件总数n＝，从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数m＝＝7，由此能求出从中任取2把能将该锁打开的概率．
【解答】解：8把不同的钥匙中只有1把能打开某锁，
从中任取2把，基本事件总数n＝，
从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数m＝＝7，
∴从中任取2把能将该锁打开的概率p＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，考古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．
21．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P（x＝4）＜P（X＝6），则p＝（　　）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．
【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），
P（x＝4）＜P（X＝6），可得，可得1﹣2p＜0．即p．
因为DX＝2.4，可得10p（1﹣p）＝2.4，解得p＝0.6或p＝0.4（舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力．
22．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x﹣6.423；
②y与x负相关且＝﹣3.476x+5.648；
③y与x正相关且＝5.437x+8.493；
④y与x正相关且＝﹣4.326x﹣4.578．
其中一定不正确的结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】29：规律型．
【分析】由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项．
【解答】解：①y与x负相关且＝2.347x﹣6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；
②y与x负相关且；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；
③y与x正相关且； 此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；
④y与x正相关且．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．
综上判断知，①④是一定不正确的
故选：D．
【点评】本题考查线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键，本题是记忆性的基础知识考查题，较易
二．填空题（共2小题）
23．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　分层抽样　．
【考点】B3：分层抽样方法；B4：系统抽样方法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解．
【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，
为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，
可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
则最合适的抽样方法是分层抽样．
故答案为：分层抽样．
【点评】本题考查抽样方法的判断，考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
24．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX＝　1.96　．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．
【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p＝0.02，n＝100，
则DX＝npq＝np（1﹣p）＝100×0.02×0.98＝1.96．
故答案为：1.96．
【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键．
三．解答题（共16小题）
25．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） [0.6，0.7）
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6）
频数 1 5 13 10 16 5
（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
【考点】B7：分布和频率分布表；B8：频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．
（2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率．
（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水．
【解答】解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，
作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：

（2）根据频率分布直方图得：
该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为：
p＝（0.2+1.0+2.6+1）×0.1＝0.48．
（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：
（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）＝0.48，
使用节水龙头50天的日均用水量为：
（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）＝0.35，
∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）＝47.45m3．
【点评】本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
26．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：＝﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：＝99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据模型①计算t＝19时的值，根据模型②计算t＝9时的值即可；
（2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，
即可得出模型②的预测值更可靠些．
【解答】解：（1）根据模型①：＝﹣30.4+13.5t，
计算t＝19时，＝﹣30.4+13.5×19＝226.1；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；
根据模型②：＝99+17.5t，
计算t＝9时，＝99+17.5×9＝256.5；．
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；
（2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，
从2010年到2016年间递增的幅度较大些，
所以，利用模型②的预测值更可靠些．
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．
27．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646．
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝﹣．

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【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．
【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；
（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：
∵r＝＝≈≈≈0.993，
∵0.993＞0.75，
故y与t之间存在较强的正相关关系；
（2）＝＝≈≈0.103，
＝﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，
∴y关于t的回归方程＝0.10t+0.92，
2016年对应的t值为9，
故＝0.10×9+0.92＝1.82，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．
【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．
28．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表

B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数 2 8 14 10 6
（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．
（II）计算得出?A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，?B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，
P（?A），P（?B），即可判断不满意的情况．
【解答】解：（Ⅰ）

通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，
B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．
（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记?A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，?B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，
由直方图得P（?A）＝（0.01+0.02+0.03）×10＝0.6
得P（?B）＝（0.005+0.02）×10＝0.25
∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．
29．从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115） [115，125）
频数 6 26 38 22 8
（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；

（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
【考点】B8：频率分布直方图；BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；
（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可．
（3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可．
【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：

（2）质量指标的样本平均数为＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100，
质量指标的样本的方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104，
这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08＝0.68，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图，样本平均数和方差，考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力．
30．袋中有m个白球和n个黑球，m≥n≥1．
（1）若m＝6，n＝5，一次随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率；
（2）有放回地抽取两次，每次随机抽取一个球，若两次取出的球的颜色相同的概率为，求m：n．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（1）记“一次随机抽取两个球，两个球颜色相同”为事件A，利用古典概型概率计算公式能求出两个球颜色相同的概率．
（2）记“有放回地抽取两次，每次随机抽取一个球，若两次取出的球的颜色相同”为事件B，则两次取出的颜色都是白色的概率为，则两次取出的颜色都是黑色的概率为，利用两次取出的球的颜色相同的概率为，能求出m：n．
【解答】解：（1）记“一次随机抽取两个球，两个球颜色相同”为事件A，则；
（2）记“有放回地抽取两次，每次随机抽取一个球，若两次取出的球的颜色相同”为事件B，
则两次取出的颜色都是白色的概率为，
则两次取出的颜色都是黑色的概率为，
由题意，，化简得3m2﹣10mn+3n2＝0，
即，解得或，由m≥n≥1，故．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
31．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
【考点】B2：简单随机抽样．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；5I：概率与统计．
【分析】（I）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值；
（Ⅱ）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P（B）的估计值；
（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．
【解答】解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保，
P（A）的估计值为：＝；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30＝60，P（B）的估计值为：＝；
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为＝＝1.1925a．
【点评】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．
32．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；
（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．
【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；
（2）记CA1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，
记CA2表示事件“A地区用户满意度等级为不满意”，
记CB1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，
记CB2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，
则C＝CA1CB1∪CA2CB2，
P（C）＝P（CA1CB1）+P（CA2CB2）＝P（CA1）P（CB1）+P（CA2）P（CB2），
由所给的数据CA1，CA2，CB1，CB2，发生的频率为，，，，
所以P（CA1）＝，P（CA2）＝，P（CB1）＝，P（CB2）＝，
所以P（C）＝×+×＝0.48．
【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．
33．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2＝，
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．
【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m＝＝80；
由此填写列联表如下；
超过m 不超过m 总计
第一种生产方式 15 5 20
第二种生产方式 5 15 20
总计 20 20 40
（3）根据（2）中的列联表，计算
K2＝＝＝10＞6.635，
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
34．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P（K2≥K） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
K2＝．
【考点】B8：频率分布直方图；BL：独立性检验．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案；
（2）由频率分布直方图可以将列联表补全，进而计算可得K2＝≈15.705＞6.635，与附表比较即可得答案；
（3）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得：
P（A）＝（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5＝0.62；
（2）根据题意，补全列联表可得：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计
旧养殖法 62 38 100
新养殖法 34 66 100
总计 96 104 200
则有K2＝≈15.705＞6.635，
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）由频率分布直方图可得：
旧养殖法100个网箱产量的平均数1＝（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5＝5×9.42＝47.1；
新养殖法100个网箱产量的平均数2＝（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5＝5×10.47＝52.35；
比较可得：1＜2，
故新养殖法更加优于旧养殖法．
【点评】本题考查频率分布直方图、独立性检验的应用，涉及数据平均数、方差的计算，关键认真分析频率分布直方图．
35．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，＝×（1+2+3+4+5+6+7）＝4，
＝×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）＝4.3，
∴＝＝＝0.5，
＝﹣＝4.3﹣0.5×4＝2.3．
∴y关于t的线性回归方程为＝0.5t+2.3；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t＝9代入＝0.5t+2.3，得：
＝0.5×9+2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．
36．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）求出f（p）＝，则＝，利用导数性质能求出f （p）的最大值点p0＝0.1．
（2）（i）由p＝0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），再由X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，能求出E（X）．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E（X）＝490＞400，从而应该对余下的产品进行检验．
【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），
则f（p）＝，
∴＝，
令f′（p）＝0，得p＝0.1，
当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，
当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，
∴f （p）的最大值点p0＝0.1．
（2）（i）由（1）知p＝0.1，
令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），
X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，
∴E（X）＝E（40+25Y）＝40+25E（Y）＝40+25×180×0.1＝490．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，
∵E（X）＝490＞400，
∴应该对余下的产品进行检验．
【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
37．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得＝＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．
【分析】（1）通过P（X＝0）可求出P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；
（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；
（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知＝（9.334，10.606），进而需剔除之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．
【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，
则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974＝0.0026，
因为P（X＝0）＝×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，
所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，
又因为X～B（16，0.0026），
所以E（X）＝16×0.0026＝0.0416；
（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ⅱ）由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出一个
零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为
（16×9.97﹣9.22）＝10.02，
因此μ的估计值为10.02．
2＝16×0.2122+16×9.972≈1591.134，
剔除之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为
（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，
因此σ的估计值为≈0.09．
【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
38．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200≤n≤500，根据300≤n≤500和200≤n≤300分类讨论经，能得到当n＝300时，EY最大值为520元．
【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，
P（X＝200）＝＝0.2，
P（X＝300）＝，
P（X＝500）＝＝0.4，
∴X的分布列为：
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，
∴只需考虑200≤n≤500，
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y＝6n﹣4n＝2n；
若最高气温位于区间[20，25），则Y＝6×300+2（n﹣300）﹣4n＝1200﹣2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，
∴EY＝2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2＝640﹣0.4n，
当200≤n≤300时，
若最高气温不低于20，则Y＝6n﹣4n＝2n，
若最高气温低于20，则Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，
∴EY＝2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2＝160+1.2n．
∴n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题．
39．某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为，且每次投篮是否命中相互独立．
（Ⅰ）求该同学在三次投篮中至少命中2次的概率；
（Ⅱ）若该同学在10次投篮中恰好命中k次（k＝0，1，2，…，10）的概率为Pk，k为何值时，Pk最大？
【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式和对立事件概率计算公式能求出该同学在三次投篮中至少命中2次的概率．
（Ⅱ）Pk＝＝，当Pk最大时，，由此能求出k为8时，Pk最大．
【解答】解：（Ⅰ）∵该同学每次投篮命中的概率都为，且每次投篮是否命中相互独立．
∴该同学在三次投篮中至少命中2次的概率：
p＝1﹣+＝．
（Ⅱ）∵该同学在10次投篮中恰好命中k次（k＝0，1，2，…，10）的概率为Pk，
∴Pk＝＝，
当Pk最大时，，
∴，
∴，即，
解得，
∵k∈Z，∴k＝8．
故k为8时，Pk最大．
【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．
40．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）＝，P（X≤19）＝．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．
（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）＝．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．
法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n＝19时，费用的期望和当n＝20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
P（X＝16）＝（）2＝，
P（X＝17）＝，
P（X＝18）＝（）2+2（）2＝，
P（X＝19）＝＝，
P（X＝20）＝＝＝，
P（X＝21）＝＝，
P（X＝22）＝，
∴X的分布列为：
X 16 17 18 19 20 21 22
P
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
P（X≤18）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）
＝＝．
P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）
＝+＝．
∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）
＝+＝．
买19个所需费用期望：
EX1＝200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×＝4040，
买20个所需费用期望：
EX2＝+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×＝4080，
∵EX1＜EX2，
∴买19个更合适．
解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，
另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当n＝19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04＝4040，
当n＝20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04＝4080，
∴买19个更合适．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
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日期：2019/4/4 9:53:41；用户：张建辉；邮箱：18293445733；学号：19651797









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