人教版九年级数学下册教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：62【基础】《相似》全章复习与巩固含答案
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：62【基础】《相似》全章复习与巩固含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 351.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-21 21:21:52 | ||
图片预览
文档简介
《相似》全章复习与巩固--知识讲解（基础）
【学习目标】
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段； 2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题； 3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化； 4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点诠释：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
要点二、相似三角形
相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点三、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点诠释：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
【典型例题】
类型一、相似图形及比例线段
1. （2019?崇明县一模）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC=14；
（1）求AB、BC的长；
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
【思路点拨】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长，得出BC的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．
【答案与解析】 解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=14，∴AB=4，
∴BC=14﹣4=10；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
举一反三
【变式】（2019?眉山）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（ ）
A．4 B． 5 C． 6 D．8
【答案】C.
类型二、相似三角形
2. 如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)∠ABC=________，BC=________； (2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.
【答案与解析】
(1)135°， (2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF). 因为，，所以. 又因为∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.
【总结升华】根据正方形的性质和格点三角形的特点，从边角方面去探究两三角形有关角的度数和边的长度，利用两边对应成比例且夹角相等证明两三角形相似．
举一反三：
【变式】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B.
3. 在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
【答案与解析】
∵BP=3PC，Q是CD的中点，
∴，
又∵∠ADQ=∠QCP=90°， ∴△ADQ∽△QCP.
【总结升华】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，以及相似三角形的判定.
4. 如图所示，在△ABC和△DBE中，若. (1)△ABC与△DBE的周长差为10 cm，求△ABC的周长； (2)△ABC与△DBE的面积之和为170 cm2，求△DBE的面积．
【答案与解析】
(1)∵ ， ∴ △ABC∽△DBE. ∴ ，设△ABC的周长为5k cm，△DBE的周长为3k cm， ∴ ，，， ∴ △ABC的周长为. (2)∵ △ABC∽△DBE，∴ . 设，. ∴ ，解得k=5， ∴ . 【总结升华】相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
举一反三 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（ ）
A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25
【答案】D.
5. 如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°，设，. (1)求y与x的函数解析式； (2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【答案与解析】
(1)在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°， 所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°. 因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°， 所以∠ABE=∠DEF. 所以△ABE∽△DEF，所以. 因为，，所以， 所以y与x的函数解析式是. (2)， 所以当时，y有最大值，最大值为.
【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的最值问题.
举一反三 【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y． (1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?
【答案】
(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC， 所以. 又因为AB=8，AC=6，，， 所以，即， 自变量x的取值范围为. (2) . 所以当时，S有最大值，且最大值为6.
类型三、位似
6. 将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化． (1)沿y轴负方向平移1个单位； (2)关于x轴对称； (3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．
【答案与解析】
变换后的图形如下图所示． (1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1， A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1)． 即横坐标不变，纵坐标减小． (2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0)． 即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数． (3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3(有2个三角形)， 显然，A3(-5×1.5，0)，B3(0，3×1.5)，C3(0，0)， 即A3(-7.5，0)，B3(0，4.5)，C3(0，0),或A3（7.5,0）、B3（0，-4.5）、C3（0,0）.
【总结升华】本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，
第(3)问可先求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．
《相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1．（2019?乐山）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2. （2019?奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（ ）
A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍
B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍
C．△ABC放大后，周长是原来的4倍
D．△ABC放大后，面积是原来的16倍
3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )
4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（ ） A． B． C． D．
5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( ) A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点 D．BP：BC=2：3 7. 如图，在△ABC中，EF∥BC，,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
8.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）
A．∠E=2∠K B．BC=2HI
C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
二、填空题
9. （2019?衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为 ．
10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE与△ABC的面积之比为_______，△CFG与△BFD的面积之比为________.
11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.
12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在
面上的影长为40米，则古塔高为________.
13. （2019?金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是 ．
14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.
15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_________.
第14题 第15题
16. －油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为 .
三、解答题
17. 如图，等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线上有点E、F，且∠E+∠F=45°，AE=3，设AB=x，BF=y，求y关于x的函数解析式.
18.（2019?岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
19. 如图，圆中两弦AB、CD相交于M，且AC=CM=MD，MB=AM=1，求此圆的直径的长.
20. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么: (1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ (2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论； (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】D. 【解析】∵l1∥l2∥l3，，
∴===，故选：D．
2.【答案】A.
【解析】∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，
则A错误，符合题意．
3．【答案】A
【解析】考点：相似三角形的判定.
4．【答案】D.
5．【答案】B. 【解析】提示：①③.
6．【答案】C.
7.【答案】A.
【解析】 求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出，把S四边形BCFE=8代入求出即可．
8.【答案】B.
【解析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
二．填空题
9.【答案】5：4．
【解析】∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，
∴△ABC与△DEF的相似比为5：4；
∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4．
10．【答案】2，1:4，1:6.
11．【答案】1:3 .
【解析】∵S△AOD:S△COB=1:9，，∵△AOD与△DOC等高，∴S△AOD:S△DOC=1:3， ∴S△DOC:S△BOC=1:3.
12．【答案】30m.
13．【答案】5.
【解析】∵l3∥l6，
∴BC∥EF，
∴△ABC∽△AEF，
∴=，
∵BC=2，
∴EF=5．
14．【答案】68°，1:2.
【解析】首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果.
15.【答案】10.
【解析】∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴，DE=10.
16.【答案】0.64m.
【解析】将实际问题转化为几何问题是解题的关键，即由题意可得Rt△ABC，其中AB=1m，AC=0.8m，BD=0.8m，DE//BC，将问题转化为求CE的长，由平行线分线段成比例定理计算即得.
三. 解答题
17．【解析】解：△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=∠CBA=45°，∠E+∠F=45°， ∠E+∠ECA=∠CAB=45°，∠F+∠BCF=∠CBA=45°， 所以∠ECA=∠F，∠E=∠BCF， 所以△ECA∽△CFB，，3y=CA2=x2，即y=x2.
18.【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9．
19．【解析】连结BD，由∠CAM=∠BDM，∠AMC=∠DMB，△ACM∽△DBM，， 又DM=CM，CM2=AM·BM=2，CM=DM=，AC=. 又AC2+CM2=AM2，所以∠ACD=90°， 所以圆的直径为AD==.
20.【解析】(1)对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t， 当QA=AP时，△QAP是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒. (2) 四边形QAPC的面积=S△QAC+S△APC =(36-6t)+6t=36cm2， 在P、Q两点移动的过程中， 四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变) (3)分两种情况: ①当时△QAP∽△ABC，则，从而t=1.2， ②当时△PAQ∽△ABC，则，从而t=3.
【学习目标】
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段； 2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题； 3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化； 4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点诠释：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
要点二、相似三角形
相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点三、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点诠释：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
【典型例题】
类型一、相似图形及比例线段
1. （2019?崇明县一模）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC=14；
（1）求AB、BC的长；
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
【思路点拨】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长，得出BC的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．
【答案与解析】 解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=14，∴AB=4，
∴BC=14﹣4=10；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
举一反三
【变式】（2019?眉山）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（ ）
A．4 B． 5 C． 6 D．8
【答案】C.
类型二、相似三角形
2. 如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)∠ABC=________，BC=________； (2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.
【答案与解析】
(1)135°， (2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF). 因为，，所以. 又因为∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.
【总结升华】根据正方形的性质和格点三角形的特点，从边角方面去探究两三角形有关角的度数和边的长度，利用两边对应成比例且夹角相等证明两三角形相似．
举一反三：
【变式】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B.
3. 在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
【答案与解析】
∵BP=3PC，Q是CD的中点，
∴，
又∵∠ADQ=∠QCP=90°， ∴△ADQ∽△QCP.
【总结升华】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，以及相似三角形的判定.
4. 如图所示，在△ABC和△DBE中，若. (1)△ABC与△DBE的周长差为10 cm，求△ABC的周长； (2)△ABC与△DBE的面积之和为170 cm2，求△DBE的面积．
【答案与解析】
(1)∵ ， ∴ △ABC∽△DBE. ∴ ，设△ABC的周长为5k cm，△DBE的周长为3k cm， ∴ ，，， ∴ △ABC的周长为. (2)∵ △ABC∽△DBE，∴ . 设，. ∴ ，解得k=5， ∴ . 【总结升华】相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
举一反三 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（ ）
A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25
【答案】D.
5. 如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°，设，. (1)求y与x的函数解析式； (2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【答案与解析】
(1)在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°， 所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°. 因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°， 所以∠ABE=∠DEF. 所以△ABE∽△DEF，所以. 因为，，所以， 所以y与x的函数解析式是. (2)， 所以当时，y有最大值，最大值为.
【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的最值问题.
举一反三 【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y． (1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?
【答案】
(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC， 所以. 又因为AB=8，AC=6，，， 所以，即， 自变量x的取值范围为. (2) . 所以当时，S有最大值，且最大值为6.
类型三、位似
6. 将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化． (1)沿y轴负方向平移1个单位； (2)关于x轴对称； (3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．
【答案与解析】
变换后的图形如下图所示． (1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1， A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1)． 即横坐标不变，纵坐标减小． (2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0)． 即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数． (3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3(有2个三角形)， 显然，A3(-5×1.5，0)，B3(0，3×1.5)，C3(0，0)， 即A3(-7.5，0)，B3(0，4.5)，C3(0，0),或A3（7.5,0）、B3（0，-4.5）、C3（0,0）.
【总结升华】本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，
第(3)问可先求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．
《相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1．（2019?乐山）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2. （2019?奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（ ）
A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍
B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍
C．△ABC放大后，周长是原来的4倍
D．△ABC放大后，面积是原来的16倍
3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )
4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（ ） A． B． C． D．
5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( ) A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点 D．BP：BC=2：3 7. 如图，在△ABC中，EF∥BC，,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
8.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）
A．∠E=2∠K B．BC=2HI
C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
二、填空题
9. （2019?衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为 ．
10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE与△ABC的面积之比为_______，△CFG与△BFD的面积之比为________.
11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.
12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在
面上的影长为40米，则古塔高为________.
13. （2019?金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是 ．
14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.
15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_________.
第14题 第15题
16. －油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为 .
三、解答题
17. 如图，等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线上有点E、F，且∠E+∠F=45°，AE=3，设AB=x，BF=y，求y关于x的函数解析式.
18.（2019?岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
19. 如图，圆中两弦AB、CD相交于M，且AC=CM=MD，MB=AM=1，求此圆的直径的长.
20. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么: (1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ (2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论； (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】D. 【解析】∵l1∥l2∥l3，，
∴===，故选：D．
2.【答案】A.
【解析】∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，
则A错误，符合题意．
3．【答案】A
【解析】考点：相似三角形的判定.
4．【答案】D.
5．【答案】B. 【解析】提示：①③.
6．【答案】C.
7.【答案】A.
【解析】 求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出，把S四边形BCFE=8代入求出即可．
8.【答案】B.
【解析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
二．填空题
9.【答案】5：4．
【解析】∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，
∴△ABC与△DEF的相似比为5：4；
∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4．
10．【答案】2，1:4，1:6.
11．【答案】1:3 .
【解析】∵S△AOD:S△COB=1:9，，∵△AOD与△DOC等高，∴S△AOD:S△DOC=1:3， ∴S△DOC:S△BOC=1:3.
12．【答案】30m.
13．【答案】5.
【解析】∵l3∥l6，
∴BC∥EF，
∴△ABC∽△AEF，
∴=，
∵BC=2，
∴EF=5．
14．【答案】68°，1:2.
【解析】首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果.
15.【答案】10.
【解析】∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴，DE=10.
16.【答案】0.64m.
【解析】将实际问题转化为几何问题是解题的关键，即由题意可得Rt△ABC，其中AB=1m，AC=0.8m，BD=0.8m，DE//BC，将问题转化为求CE的长，由平行线分线段成比例定理计算即得.
三. 解答题
17．【解析】解：△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=∠CBA=45°，∠E+∠F=45°， ∠E+∠ECA=∠CAB=45°，∠F+∠BCF=∠CBA=45°， 所以∠ECA=∠F，∠E=∠BCF， 所以△ECA∽△CFB，，3y=CA2=x2，即y=x2.
18.【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9．
19．【解析】连结BD，由∠CAM=∠BDM，∠AMC=∠DMB，△ACM∽△DBM，， 又DM=CM，CM2=AM·BM=2，CM=DM=，AC=. 又AC2+CM2=AM2，所以∠ACD=90°， 所以圆的直径为AD==.
20.【解析】(1)对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t， 当QA=AP时，△QAP是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒. (2) 四边形QAPC的面积=S△QAC+S△APC =(36-6t)+6t=36cm2， 在P、Q两点移动的过程中， 四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变) (3)分两种情况: ①当时△QAP∽△ABC，则，从而t=1.2， ②当时△PAQ∽△ABC，则，从而t=3.