人教版九年级数学下册教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：56【基础】图形的相似与比例线段含答案
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：56【基础】图形的相似与比例线段含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 92.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-21 21:27:41 | ||
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文档简介
图形的相似和比例线段--知识讲解（基础）
【学习目标】
1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；
2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；
3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.
【要点梳理】
要点一、比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
要点二、相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
要点三、相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
【典型例题】
类型一、比例线段
1.（2019?甘肃模拟）若==（abc≠0），求的值．
【答案与解析】解：设===k，
则a=2k，b=3k，c=5k，
所以===．
【总结升华】本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设===k，得出a=2k，b=3k，c=5k，降低计算难度．
举一反三：
【变式】（2019?兰州一模）若3a=2b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵3a=2b，
∴=，
设a=2k，则b=3k，
则==﹣．
故选A．
类型二、相似图形
2.（2019?江北区模拟）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（ ）
（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C.
【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；
（2）等腰直角三角形都相似，正确；
（3）正方形都相似，正确；
（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；
（5）正六边形都相似，正确，
故符合题意的有3个．故选：C．
【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
举一反三： 【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ ?
【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.
类型三、相似多边形
3. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长. 【思路点拨】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长
【答案与解析】∵四边形相似于四边形 ∴，即 ∴ ∴四边形的周长.
【总结升华】观察一下可以发现，周长比等于边的比.
举一反三： 【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.
【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得 ?，解得 ?.
4. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
【答案与解析】 解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似 当时，S有最大值，最大值为.
【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一.
图形的相似和比例线段--巩固练习（基础）
【巩固练习】
一．选择题
1.（2019秋?慈溪市期末）如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（ ）
A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转
2. 下列四条线段中，不能成比例的是 （ ） A. ＝2，＝4，＝3，＝6 B. ＝，＝，＝1，＝
C. ＝6，＝4，＝10，＝5 D. ＝，＝2，＝，＝2
3. 下列命题正确的是( ) A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的菱形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的等腰直角三角形都相似
4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( ) A．(-2a，-2b) B．(-a，-2b) C．(-2b，-2a) D．(-2a，-b)
5. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边的和是（ ）A．19 B．17 C．24 D．21
6. .△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( ) A． B． C．或 D．
二. 填空题
7. 两地实际距离为1 500 m，图上距离为5 cm，这张图的比例尺为_______.
8. 若，则________
9．判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_______,对应角_______时，两个多边形相似.
10.已知则
11.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40°，60°，则另一个三角形的最大角为______,最小角为____________.
12.（2019春·庆阳校级月考） 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一条最短边长为2，则另外一个三角形的周长为 .
三 综合题
13. （2019春?徐州校级月考）（1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长；
（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项，求线段c的长．
14. 如图，依次连接一个正方形各边的中点所形成的四边形与正方形相似吗？若相似，求出相似比；若不相似，说明理由.
15. 市场上供应的某种纸有如下特征：每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，则纸张(矩形)的长与宽应满足什么条件？
【答案与解析】
一、选择题 1．【答案】A
【解析】根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A．
2．【答案】C．
【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例．
3．【答案】 D
4．【答案】 A
【解析】 由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.
5．【答案】C
【解析】相似三角形对应边的比相等
6．【答案】A
【解析】 相似比AB︰A1B1=，A1B1︰A2B2=，计算出AB︰A2B2.
二、填空题 7.【答案】.1：30 000
【解析】比例尺=图上距离︰实际距离.
8.【答案】?
【解析】由可得，故填.
9.【答案】成比例；相等.
10.【答案】
【解析】提示：设
11.【答案】80°，40°.
12.【答案】 7.5.
【解析】设另一个三角形周长是x.
∵一个三角形的三边长是4,5,6，
∴这个三角形的周长为：4+5+6=15.
∵与它相似的另一个三角形最短的一边长是2，
∴，
解得：x=7.5.
∴另一个三角形的周长是7.5.
三、解答题
13.【解析】解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b=c：d，
∵a=3cm，b=2cm，c=6cm，
∴d=4cm；
(2)∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm,b=9cm.
∴c2=ab=36，
解得：c=±6，
又∵线段是正数，
∴c=6cm.
14.【解析】要探究正方形是否与四边形相似，需知道四边形是否是正方形，若是正方形，则两正方形一定相似，若不是正方形，则不相似，因为所有的正方形都是相似的. 设正方形的边长为，由题意可知， 同理 由，可得 同理45°， ，四边形是正方形 ∴正方形?与正方形相似， 即两正方形的相似比是.
15.【解析】如图，为了方便分析可先画出草图，根据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比.
设矩形的长为，宽为，由相似多边形的特征得 ，即纸张的长与宽之比为.
【学习目标】
1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；
2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；
3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.
【要点梳理】
要点一、比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
要点二、相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
要点三、相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
【典型例题】
类型一、比例线段
1.（2019?甘肃模拟）若==（abc≠0），求的值．
【答案与解析】解：设===k，
则a=2k，b=3k，c=5k，
所以===．
【总结升华】本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设===k，得出a=2k，b=3k，c=5k，降低计算难度．
举一反三：
【变式】（2019?兰州一模）若3a=2b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵3a=2b，
∴=，
设a=2k，则b=3k，
则==﹣．
故选A．
类型二、相似图形
2.（2019?江北区模拟）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（ ）
（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C.
【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；
（2）等腰直角三角形都相似，正确；
（3）正方形都相似，正确；
（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；
（5）正六边形都相似，正确，
故符合题意的有3个．故选：C．
【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
举一反三： 【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ ?
【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.
类型三、相似多边形
3. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长. 【思路点拨】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长
【答案与解析】∵四边形相似于四边形 ∴，即 ∴ ∴四边形的周长.
【总结升华】观察一下可以发现，周长比等于边的比.
举一反三： 【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.
【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得 ?，解得 ?.
4. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
【答案与解析】 解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似 当时，S有最大值，最大值为.
【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一.
图形的相似和比例线段--巩固练习（基础）
【巩固练习】
一．选择题
1.（2019秋?慈溪市期末）如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（ ）
A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转
2. 下列四条线段中，不能成比例的是 （ ） A. ＝2，＝4，＝3，＝6 B. ＝，＝，＝1，＝
C. ＝6，＝4，＝10，＝5 D. ＝，＝2，＝，＝2
3. 下列命题正确的是( ) A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的菱形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的等腰直角三角形都相似
4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( ) A．(-2a，-2b) B．(-a，-2b) C．(-2b，-2a) D．(-2a，-b)
5. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边的和是（ ）A．19 B．17 C．24 D．21
6. .△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( ) A． B． C．或 D．
二. 填空题
7. 两地实际距离为1 500 m，图上距离为5 cm，这张图的比例尺为_______.
8. 若，则________
9．判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_______,对应角_______时，两个多边形相似.
10.已知则
11.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40°，60°，则另一个三角形的最大角为______,最小角为____________.
12.（2019春·庆阳校级月考） 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一条最短边长为2，则另外一个三角形的周长为 .
三 综合题
13. （2019春?徐州校级月考）（1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长；
（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项，求线段c的长．
14. 如图，依次连接一个正方形各边的中点所形成的四边形与正方形相似吗？若相似，求出相似比；若不相似，说明理由.
15. 市场上供应的某种纸有如下特征：每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，则纸张(矩形)的长与宽应满足什么条件？
【答案与解析】
一、选择题 1．【答案】A
【解析】根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A．
2．【答案】C．
【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例．
3．【答案】 D
4．【答案】 A
【解析】 由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.
5．【答案】C
【解析】相似三角形对应边的比相等
6．【答案】A
【解析】 相似比AB︰A1B1=，A1B1︰A2B2=，计算出AB︰A2B2.
二、填空题 7.【答案】.1：30 000
【解析】比例尺=图上距离︰实际距离.
8.【答案】?
【解析】由可得，故填.
9.【答案】成比例；相等.
10.【答案】
【解析】提示：设
11.【答案】80°，40°.
12.【答案】 7.5.
【解析】设另一个三角形周长是x.
∵一个三角形的三边长是4,5,6，
∴这个三角形的周长为：4+5+6=15.
∵与它相似的另一个三角形最短的一边长是2，
∴，
解得：x=7.5.
∴另一个三角形的周长是7.5.
三、解答题
13.【解析】解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b=c：d，
∵a=3cm，b=2cm，c=6cm，
∴d=4cm；
(2)∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm,b=9cm.
∴c2=ab=36，
解得：c=±6，
又∵线段是正数，
∴c=6cm.
14.【解析】要探究正方形是否与四边形相似，需知道四边形是否是正方形，若是正方形，则两正方形一定相似，若不是正方形，则不相似，因为所有的正方形都是相似的. 设正方形的边长为，由题意可知， 同理 由，可得 同理45°， ，四边形是正方形 ∴正方形?与正方形相似， 即两正方形的相似比是.
15.【解析】如图，为了方便分析可先画出草图，根据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比.
设矩形的长为，宽为，由相似多边形的特征得 ，即纸张的长与宽之比为.