人教版九年级上册数学21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 复习课课件 (共23张PPT)

(共23张PPT)
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系
推论1
推论2
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0
(3) 2x2 - 6x =0
(4) 3x2 = 4
x1+x2=2
x1x2=-1
x1+x2=
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=
x1x2=0
x1x2= -
在使用韦达定理时，应注意：
⑴、不是一般式的要先化成一般式；
⑵、在使用X1+X2=－ 时，注意“－ ”不要漏写。
（3） 前提是方程有实数根即Δ≥0
几种常见的求代数式的值
引申:1、若ax2?bx?c?0 (a?0 ??0)
（1）若两根互为相反数,
（2）若两根互为倒数,
（3）若一根为0,
（4）若一根为1,
（5）若一根为?1,
（6）若a、c异号,
补充规律：


则b?0;
则a?c;
则c?0 ;
则a?b?c?0 ;
则a?b?c?0;
方程一定有两个实数根.
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值。
解法一：
设方程的另一个根为x1.
由韦达定理，得
x1 ＋2= k+1
x1 ●2= 3k
解这方程组，得
x1 =－3
k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值。
解法二：
设方程的另一个根为x1.
把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2
由韦达定理，得x1●2＝3k
即2 x1 ＝－6
∴ x1 ＝－3
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。
解：设方程的两根分别为 和 ，
则：
而方程的两根互为倒数
即
所以：
得：
例2.方程 的两根互为倒数，求k的值。
例3.方程3x2+x+k=0的两根之积为-3,求k的值。
解：设方程的两根分别为x1和x2，

则：x1·x2=
∴ k=-9
例1.已知两个数的和是1，积是-2，求这两 个数。
解法一:设两数分别为x,y则:
{
解得:
x=2
　y=－1
{
或
ｘ＝－1
y=2
{
解法二:设两数分别为一个一元二次方程
的两根则:
求得
∴这两个数为2和-１
作用2：已知两个数的和与积，求两数　
例2.已知两数之和为14，乘积为-51，求这两数.
设这两数为 m, n，
解：
m, n可以看作是方程 x2-14x-51=0的两个根
∴这两数为17，-3
作用2：已知两个数的和与积，求两数　
作用3：求代数式的值
例1、已知2x2-x-2=0的两根是x1 , x2 。求下列代数式的值。
(1) x12+x22 （2） （3） （x1-x2)2
解：⑴∵x1+x2= , x1 · x2=-1
∴x12+x22 ＝(x1＋x2)2 -2x1x2
（2）∵x1+x2= , x1 · x2=-1
（3）∵x1+x2= , x1 · x2=-1
∴（x1-x2)2=x12+x22-2x1x2
=(x1+x2)2-4x1x2
例2.已知方程　　　　　　　　的两个实数根
是　　　且　　　　　 求k的值。
解：由根与系数的关系得
x1+x2=-k， x1·x2=k+2
又 x12+ x2 2 = 4
即(x1+ x2)2 -2x1x2=4
K2 -2(k+2）=4
K2 -2k-8=0

解得：k=4 或k=-2
∵ △= K2-4k-8
当k=4时， △=-8＜0
∴k=4(舍去）
当k=-2时，△=4＞0
∴ k=-2
1.已知a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根，求代数式a2+4a+b的值
解：∵a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根
∴a2+3a-7=0，a+b=-3，
则a2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4．

课堂练习
作业：已知m、n是方程x2-3x+1=0的两根，求2m2+4n2-6n+2014的值。
2.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+2=0的两个实数根，求(2+mx1+x12)(2+mx2+x22)的值。
解：∵x12+(m-2)x1+2=0 , x22+(m-2)x2+2=0
∴x12+2=2x1-mx1 , x22+2=2x2-mx2
又∵x1x2=2
原式=(2x1-mx1+mx1)(2x2-mx2+mx2)
=2x1·2x2
=4x1x2
=4×2
=8
3.已知：x1、x2是方程x2-x+a=0的两个实数根，

且 ，求a的值.
解：据题意得x1+x2=1；x1·x2=a
∴a=1/3舍去，∴a= -1.
*4. (孝感中考)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m的取值范围；
(2)当x－x＝0时，求m的值．
5.已知关于 x 的方程 x2+2（m-2）x+m2+4=0
有两个实数根，并且这两个根的平方和比
两根的积大21。求m的值。
解∵△=4(m-2)2-4(m2+4) =-16m≥0
∴m≤0
设方程两个根为x1、x2，则由题意：
x1+x2 = -2(m-2) , x1x2 = m?+4
x12+x22 - x1x2=21
(x1+x2)2 - 3x1x2 = 21
4(m-2)2 - 3(m2+4) = 21
m2 - 16m - 17 = 0
∴m1 = -1 ，m2=17（不符合m≤0，舍去）
∴m = -1
6.当m为何值时，2x2-3mx+2m+3=0的一个根是另一个根的两倍.
解：设两根分别为
则由韦达定理得：
①
②
∴①2÷ ②得
7.已知一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和是 ，求的m值 。
解：设方程两根为x1,x2. 则
解得：m1=-11, m2=3
当m=-11时，方程为2x2+11x+23=0, ⊿=112-4×2×23＜0,方程无实数根，∴m=-11不合题意，舍去
当m=3时，方程为2x2－3x－5=0, ⊿=(-3)2-4×2×(-5) ＞0,方程有两个不相等的实数根.
∴m的值为3
解：①　⊿＝42-4k·(-3) ＞0　且k≠0
∴k＞ 且k≠0
∴存在满足条件的k值，且k=4
例1：已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0
解：
（1）设方程的两个根为x1,x2，
则x1 < 0 ，x2 < 0
作用5：研究方程根的情况
（1）k 为何值时，方程有两个负数根？
例1：已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0
（2）k 为何值时，方程有一正根和负根？
解：
(2)设方程的两个根为x1,x2，
则x1 < 0 ，x2 > 0
作用5：研究方程根的情况
补充规律：
一正根，一负根
{
△＞0
x1x2＜0
两个正根
{
△≥0
x1x2＞0
x1+x2＞0
两个负根
{
△≥0
x1x2＞0
x1+x2＜0
＜
＞0
＞0
例2：方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
∴
△=
{
即
{
m>0
m-1<0
∴0解：设方程的两个根为x1,x2，
则x1 < 0 ，x2 > 0