第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
2．1 不等关系
1．理解不等式的意义．
2．能根据条件列出不等式．
3．能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义．
自学指导：阅读教材P37～38，完成下列问题．
知识探究
一般地，用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．
自学反馈
1．下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？
(1)－2＜5；(2)x＋3＞0；(3)4x－2y＜0；(4)a－2b；(5)x2－2x＋1＜0；(6)y＋2≠y－2；(7)5m＋3＝8.
解：(1)(2)(3)(5)(6)是不等式，(4)(7)不是不等式．
2．用不等式表示：
(1)a的相反数是正数；
(2)m与2的差小于；
(3)x的与4的和不是正数；
(4)y的一半与x的2倍的和不小于3.
解：(1)－a＞0.(2)m－2＜.(3)x＋4≤0.(4)y＋2x≥3.
活动1 小组讨论
例 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄．通常规定以树干离地面1.5 m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为6 cm，以后每年增加约为3 cm，这棵树至少生长多少年，其树围才能超过30 cm？(只列关系式)
解：3x＋6＞30.
活动2 跟踪训练
1．用适当的符号表示下列关系：
(1)a是非负数；
(2)直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长；
(3)x与17的和比它的5倍小；
(4)两数的平方和不小于这两数积的2倍．
解：(1)a≥0.(2)c>a，c>b.(3)x＋17<5x.(4)设这两个数分别为x，y，则x2＋y2≥2xy.
2．下列关系：①x2≥0；②2a＋4b≠3；③5m＋2n；④x＋y<0；⑤3x＋2＝9，其中是不等式的有①②④(填序号)．
3．八(1)班班长拿了76元钱去给班内20名优秀学生买奖品，奖品有两种：钢笔和笔记本．已知钢笔每支5元，笔记本每本3元，如果买x支钢笔，那么列出关于x的不等式是5x＋3(20－x)≤76．
活动3 课堂小结
能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”“不小于”等词语的理解．通过列不等关系的式子归纳出不等式的
概念.
2.2 不等式的基本性质
1．经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同．
2．掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式．
自学指导：阅读教材P40～41，完成下列问题：
知识探究
1．用“>”或“<”填空，并总结其中的规律：
(1)5>3 5＋2>3＋2，5－2>3－2；
(2)－1<3 －1＋2<3＋2，－1－3<3－3；
(3)6＞2 6×5>2×5，6×(－5)<2×(－5)；
(4)－2<3 (－2)×6<3×6，(－2)×(－6)>3×(－6)．
2．根据发现的规律填空：当不等式的两边都加或减同一个数(正数或负数)时，不等号的方向不变；当不等式的两边都乘同一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边都乘同一个负数时，不等号的方向改变．
不等式的性质1 不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向不变．
字母表示为：如果a＞b，那么a±c>b±c.
不等式的性质2 不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
字母表示为：如果a＞b，c>0，那么ac>bc(或>)．
不等式的性质3 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
字母表示为：如果a>b，c<0，那么ac自学反馈
1．设a＞b，用“＜”或“＞”填空，并口答是根据哪一条不等式基本性质得到的．
(1)a－3>b－3；不等式的基本性质1
(2)a÷3>b÷3；不等式的基本性质2
(3)0.1a>0.1b；不等式的基本性质2
(4)－4a<－4b；不等式的基本性质3
(5)2a＋3>2b＋3；不等式的基本性质1，2
(6)(m2＋1)a>(m2＋1)b(m为常数)．不等式的基本性质2
2．判断正误．
(1)如果a＞b，那么ac＞bc.(×)
(2)如果a＞b，那么ac2＞bc2.(×)
(3)如果ac2＞bc2，那么a＞b.(√)
在第(2)题当中，c可能为0，从而使ac2＝bc2，所以错．
活动1 小组讨论
例 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1)x－1＞2；(2)－x＜；(3)x≤3.
解：(1)x>3.(2)x>－.(3)x≤6.
(2)(3)的求解过程，类似于解方程两边都除以未知数的系数(未知数系数化为1)，要注意将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式时，若乘或除以同一个负数，不等号要改变方向．
活动2 跟踪训练
1．若a＞b，则下列不等式中，不成立的是(C)
A．a－3＞b－3 B．a＋3＞b＋3
C．－3a＞－3b D.>
2．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1)x＋5>－1；(2)4x<3x－5；(3)17x<67；(4)－8x>10.
解：(1)x＞－6.(2)x＜－5.(3)x＜.(4)x＜－.
活动3 课堂小结
本节课学了哪些知识？有哪些性质？在运用性质时应注意什么？
2.3 不等式的解集
1．理解不等式的解与解集的意义．
2．了解不等式解集的数轴表示．
自学指导：阅读教材P43～44，完成下列问题．
知识探究
(1)问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
解：设车速是x千米/时．
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到小时，用式子表示：＜.
从路程上看，汽车要在12：00这前驶过A地，则以这个速度行驶小时的路程要超过50千米，用式子表示：x>50.
(2)虽然以上两个式子从不同角度表示了车速应满足的条件，但是我们希望更明确地得出x应取哪些值．
对于不等式x>50我们给出当x＝78，x＝75，x＝72的不同取值，发现只有x＝78时，不等式成立，由此得出：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
(3)列表试值寻找不等式x>50的解，发现它有无数个解，而且x>75时的值都是不等式x>50的解，即当x＞75时，不等式总成立．进而得出：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．
求不等式解集的过程叫做解不等式．
自学反馈
1．判断下列说法是否正确：
(1)x＝2是不等式x＋3＜4的解；
(2)x＝2是不等式3x＜7的解集；
(3)不等式3x＜7的解是x＝2；
(4)x＝3是不等式3x≥9的解．
解：(1)不正确．(2)不正确．(3)不正确．(4)正确．
2．在数轴上表示出下列不等式的解集：
(1)x＞－1；(2)x≥－1；(3)x＜－1；(4)x≤－1.
解：
(1)数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包括这一点．(2)数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”这一原则．
活动1 小组讨论
例 利用数轴来表示下列不等式的解集．
(1)x＞－1；(2)x＜.
解：(1)
(2)
活动2 跟踪训练
1．下列x的值中，是不等式x＞3的解的是(D)
A．－3 B．0 C．2 D．4
2．在数轴上表示不等式x≥－2的解集，正确的是(C)
活动3 课堂小结
本节课学了哪些知识？在运用时应注意什么？
2.4 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式与一次函数
1．掌握一元一次不等式的概念，会解一元一次不等式，能在数轴上表示一元一次不等式的解集．
2．通过类比理解一元一次不等式的解法．
自学指导：阅读教材中P46～47，完成下列问题．
知识探究
想一想：观察下列不等式，有什么共同点？并试着给它们起名．
(1)2x＜8；(2)y－2＞0；(3)x＞50.
像这样，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
类比一元一次方程进行记忆．
自学反馈
1．观察下列不等式：
(1)2x－2.5≥15；(2)x≤8.75；(3)x＜4；(4)5－3x>240.
这些不等式有哪些共同特点？
解：这些等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式．
2．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
(1)≥；
解：去分母，得3(x－2)≥2(7－x)．
去括号，得3x－6≥14－2x.
移项、合并同类项，得5x≥20.
两边都除以5，得x≥4.
这个不等式的解集在数轴上表示如图：
(2)≥3＋.
解：x≤－.
其解集在数轴上表示如图：
活动1 小组讨论
例1 解不等式－≥，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：y≤3.
这个不等式的解集在数轴上表示如图：
例2 y取何正整数时，代数式2(y－1)的值不大于10－4(y－3)的值．
解：根据题意列出不等式：
2(y－1)≤10－4(y－3)．
解这个不等式，得y≤4，解集y≤4中的正整数解是：1，2，3，4.
例3 解关于x的不等式：k(x＋3)＞x＋4.
解：去括号，得kx＋3k＞x＋4.
移项、合并同类项，得(k－1)x＞4－3k.
若k－1＝0，即k＝1时，0＞1不成立，则不等式无解．
若k－1＞0，即k＞1时，x＞.
若k－1＜0，即k＜1时，x＜.
活动2 跟踪训练
1．一元一次不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示为(A)
2．下列解不等式>的步骤中，错误的是(D)
A．去分母，得5(2＋x)＞3(2x－1)
B．去括号，得10＋5x＞6x－3
C．移项、合并同类项，得－x＞－13
D．系数化为1，得x＞13
3．不等式2x＜4x－6的最小整数解为4．
活动3 课堂小结
本节课我们学了什么？
第2课时 一元一次不等式的应用
1．能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题．
2．初步体会一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题和解决问题的能力．
自学指导：阅读教材P48～49，完成下列问题．
知识探究
利用一元一次不等式解决实际问题的步骤：①审题，找不等关系；②设未知数；③列不等式；④解不等式；⑤检验作答．
自学反馈
1．小军的期末总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比1∶1∶8组成，现小军平时考试得90分，期中考试得60分，要使他的总评成绩不低于79分，那么小军的期末考试成绩x(分)应满足的条件是90×0.1＋60×0.1＋0.8x≥79．
2．小颖准备用21元钱买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2个笔记本，则她还可能买几支笔？
解：设小颖还可能买n支笔．根据题意，得
3n＋2.2×2≤21.
解这个不等式，得n≤5.
因为n表示笔的支数，所以应取不等式的正整数解．
因此小颖还可能买1支，2支，3支，4支或5支笔．
活动1 小组讨论
例1 某人问一位老师，他所教的班有多少名学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6位同学在操场上踢足球．”求这个班共有多少名学生？
解：设这个班有x名学生．根据题意，得
x－x－x－x＜6，解得x＜56.
∵x，，，都是正整数，
∴x是2，4，7的公倍数，即x＝28.
∴这个班共有28名学生．
例2 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，A型设备的价格是每台12万元，B型设备的价格是每台10万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．请你设计该企业有几种购买方案．
解：设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10－x)台，依题意，得
12x＋10(10－x)≤105，解得x≤2.5.
因为x取非负整数，所以x取0，1，2.
所以有三种购买方案：①A型0台，B型10台；②A型1台，B型9台；③A型2台，B型8台．
活动2 跟踪训练
1．在一次社会实践活动中，八年级二班可筹集到的活动经费不超过900元，此次活动租车需300元，每个学生活动期间所需经费为20元，则参加这次活动的学生人数最多为30人．
2．一次环保知识竞赛，共有25道题，规定答对一题得4分，答错或不答一题扣1分．
(1)小明得了85分，他答对了多少题？
(2)小立在这次竞赛中被评为优秀(85分或85分以上)，小立可能答对了多少题？她至少答对了多少题？
解：(1)设小明答对了x道题，那么答错或不答(25－x)道题．
根据题意，得4x－(25－x)＝85.
解这个方程，得x＝22.
所以小明答对了22道题．
(2)设小立可能答对了x道题，那么答错或不答(25－x)道题．
根据题意，得4x－(25－x)≥85.
解这个不等式，得x≥22.
因为x是答对题的个数，所以取不等式的正整数解，又只有25道题，因此小立可能答对了22，23，24，25道题，她至少答对了22道题．
活动3 课堂小结
列一元一次不等式解应用题的一般步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式，求得不等式的解集；
(5)答：写出答案并检验是否符合题意.
2.5 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数
1．理解一元一次不等式与一次函数的关系．
2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较．
自学指导：阅读教材P50，完成下列问题：
知识探究
解关于x的不等式kx＋b>0或kx＋b<0的转化思想：
(1)kx＋b>0可以转化为直线y＝kx＋b在x轴的上方的点所对应的x的取值；
(2)kx＋b<0可以转化为直线y＝kx＋b在x轴的下方的点所对应的x的取值．
自学反馈
作出函数y＝2x－5的图象，观察图象回答下列问题：
(1)x取哪些值时，2x－5＝0?
(2)x取哪些值时，2x－5＞0?
(3)x取哪些值时，2x－5＜0?
(4)x取哪些值时，2x－5＞3?
解：(1)当y＝0时，2x－5＝0，∴x＝，
∴当x＝时，2x－5＝0.
(2)要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y＝0时，则有2x－5＝0，解得x＝.当x＞时，由y＝2x－5可知y＞0.因此当x＞时，2x－5＞0.
(3)同理可知，当x＜时，有2x－5＜0.
(4)要使2x－5＞3，也就是y＝2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y＝2x－5相交于一点B(4，3)，则当x＞4时，有2x－5＞3.
活动1 小组讨论
例1 用画图象的方法解不等式：2x＋1>3x＋4.
解法一：原不等式可化为－x－3>0，画出直线y＝－x－3，可以看出，当x<－3时这条直线上的点在x轴的上方，即这时y＝－x－3>0，所以不等式的解集为x<－3.
解法二：画出直线y＝2x＋1和y＝3x＋4的图象，可以看出，它们的交点的横坐标为－3，当x<－3时，对于同一个x，直线y＝2x＋1上的点在直线y＝3x＋4上相应点的上方，这时2x＋1>3x＋4，所以不等式的解集为x<－3.
对于解法二，两条直线的交点将图象分成了两部分，当x>－3时直线y＝2x＋1的图象位于直线y＝3x＋4的下方，当x<－3时直线y＝2x＋1的图象位于直线y＝3x＋4的上方．
例2 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
(1)何时弟弟跑在哥哥前面？
(2)何时哥哥跑在弟弟前面？
(3)谁先跑过20 m？谁先跑过100 m?
(4)你是怎样求解的？与同伴交流．
解：设哥哥跑的时间为x秒．哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得y1＝4x，y2＝3x＋9.
函数图象如图：
从图象上来看：
(1)当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面．
(2)当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面．
(3)弟弟先跑过20 m，哥哥先跑过100 m.
(4)从图象上直接可以观察出(1)、(2)小题，在回答第(3)题时，过y轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1＝4x，y2＝3x＋9各有一个交点，每一个交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短．同理可知谁先跑过100 m.
活动2 跟踪训练
作出函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象，并观察图象回答下列问题：
(1)x取何值时，2x－4＞0?
(2)x取何值时，－2x＋8＞0?
(3)x取何值时，y1>y2?
(4)你能求出函数y1＝2x－4，y2＝－2x＋8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程．
解：图象如下：
(1)当x＞2时，2x－4＞0.
(2)当x＜4时，－2x＋8＞0.
(3)当x>3时，y1>y2.
(4)由2x－4＝0，得x＝2，
由－2x＋8＝0，得x＝4，∴AB＝4－2＝2.
由得交点C(3，2)．
∴三角形ABC中AB边上的高为2.
∴S＝×2×2＝2.
活动3 课堂小结
用函数图象解一元一次不等式的一般步骤：先把不等式化成ax＋b>0或ax＋b<0的形式；画出y＝ax＋b的图象，
确定图象与x轴的交点，再确定不等式的解集．
第2课时 一元一次不等式与一次函数的应用
进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用．
自学指导：阅读教材P51～52，完成下列问题．
知识探究
函数、方程、不等式都是刻画实际问题中量与量之间变化规律的重要模型，其中：
(1)刻画运动变化规律需要用函数模型；
(2)刻画运动变化过程中同类量之间的大小，需要用不等式模型；
(3)刻画运动变化过程中的某一时刻，需要用方程模型．
在解决实际问题时，应合理选择这三种重要的数学模型．
自学反馈
某单位要制作一批宣传材料．甲公司提出每份材料收费20元，另收3 000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．
(1)什么情况下选择甲公司比较合算？
(2)什么情况下选择乙公司比较合算？
(3)什么情况下两公司的收费相同？
解：设宣传材料有x份，选择甲公司所需费用为y1元，选择乙公司所需费用为y2元，则
y1＝20x＋3 000，y2＝30x.
当y1＜y2时，20x＋3 000＜30x，解得x＞300；
当y1＞y2时，20x＋3 000＞30x，解得x＜300；
当y1＝y2时，20x＋3 000＝30x，解得x＝300.
所以，当材料超过300份时，选择甲公司比较合算；
当材料少于300份时，选择乙公司比较合算；
当材料等于300份时，两公司的收费相同．
活动1 小组讨论
例 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需费用为y2元，则y1＝200×0.75x＝150x，y2＝200×0.8(x－1)＝160x－160.
当y1＝y2时，150x＝160x－160，解得x＝16；
当y1＞y2时，150x＞160x－160，解得x＜16；
当y1＜y2时，150x＜160x－160，解得x＞16.
因为参加旅游的人数为10～25人，所以当x＝16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少．
活动2 跟踪训练
某电信公司有甲、乙两种手机收费业务．甲种业务规定月租费10元，每通话1 min收费0.3元；乙种业务不收月租费，但每通话1 min收费0.4元．你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
解：设顾客每月通话时长为x min，那么甲种业务每个月的消费额为y1，乙种业务每个月的消费额为y2，根据题意可知y1＝10＋0.3x，y2＝0.4x.
由y1＝y2，得10＋0.3x＝0.4x，解得x＝100；
由y1>y2，得10＋0.3x>0.4x，解得x<100；
由y1100.
所以当顾客每个月的通话时长等于100 min时，选择甲、乙两种业务一样合算；如果通话时长大于100 min，选择甲种业务比较合算；如果通话时长小于100 min，选择乙种业务比较合算．
活动3 课堂小结
本节课进一步巩固了不等式在现实生活中的应用，通过这节课的学习，我们学到了不少知识，真正体会到了学有所
用.
2.6 一元一次不等式组
第1课时 解较简单的一元一次不等式组
1．理解有关不等式组的概念．
2．会解由两个一元一次不等式组成的不等式组．
自学指导：阅读教材P54～55内容，完成下列问题．
知识探究
1．什么是一元一次不等式组的解集？
解：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分．
2．怎样求一元一次不等式组的解集？
解：(1)分别求出两个一元一次不等式的解集．
(2)在同一条数轴上确定它们的公共部分．
(3)写出不等式组的解集．
3．一元一次不等式组的解集有哪几种情形(用语言表述)?
解：两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形：
设a＜b，那么
(1)不等式组的解集是x＞b；
(2)不等式组的解集是x＜a；
(3)不等式组的解集是a＜x＜b；
(4)不等式组的解集是无解．
这是用式子表示，也可以用语言简单表述为：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解不了．
设a＞b 解集在数轴上表示 解集
x＞a
x＜b
b＜x＜a
无解
自学反馈
1．如图所示的是下面哪一个不等式组的解集(D)
A. B.
C. D.
本题主要考查不等式的解集在数轴上的表示方法，注意“空心圆圈”与“实心圆点”的意义．
2．不等式组的解集是－＜x＜4．
活动1 小组讨论
例 解不等式组：
解：解不等式2x－1>－x，得x＞.
解不等式x<3，得x＜6.
在同一条数轴上表示不等式的解集为：
因此，原不等式组的解集为＜x＜6.
不等式组的解集是每个不等式解集的公共部分，首先必须求出每个不等式的解集，然后才能求它们的公共部分．
活动2 跟踪训练
解下列不等式组：
(1) (2)
解：(1)解不等式①，得x＞.
解不等式②，得x＜3.
在同一条数轴上表示不等式的解集为：
因此，原不等式组的解集为＜x＜3.
(2)解不等式①，得x＞1.
解不等式②，得x＜.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集为：
因此，原不等式组的解集为1＜x＜.
活动3 课堂小结
1．理解有关不等式组的有关概念．
2．会解有两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，并会用数轴确定解集．
第2课时 解较复杂的一元一次不等式组
1．进一步巩固解一元一次不等式组的过程，总结解一元一次不等式组的步骤及情形．
2通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养全面系统的总结概括能力．
3．加强运算的熟练性与准确性，培养思维的全面性．
自学指导：阅读教材P56～58内容，完成下列问题：
知识探究
解一元一次不等式的步骤为：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化成1.要注意的是在去分母和系数化成1这两步中不等号方向是否改变．
解一元一次不等式组的步骤为：分别求出两个一元一次不等式的解集，在数轴上确定它们的公共部分，从而得出不等式组的解集．
自学反馈
解下列不等式组：
(1)
(2)
(3)
解：(1)x＞1.(2)x＜.(3)无解．
活动1 小组讨论
例 解不等式组：
解：解不等式①，得x>.
解不等式②，得x≤4.
所以原不等式组的解集是活动2 跟踪训练
解下列不等式组：
(1)
(2)
解：(1)原不等式组无解．(2)原不等式组的解集为x＞3.
活动3 课堂小结
1．小结解一元一次不等式组的一般步骤．
2．不等式组的解集有四种情况，可以用口诀，但不要死记硬背，一定要画数轴来确定不等式组的解集．
3．在解题过程中最容易出错的地方是去分母和系数化为1，尤其是系数为负的时候．
第六章 平行四边形
6．1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的性质
1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯．
2．探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用．
3．在探索活动过程中发展学生的探究意识．
自学指导：阅读教材P135～136，完成下列问题．
知识探究
1．解读平行四边形的定义：
(1)定义中的关键词：两组对边 分别平行 四边形
(2)几何语言表述定义：∵AD∥BC，DC∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形．
(3)定义的双重作用：具备“两组对边分别平行”的四边形，才是“平行四边形”．反过来，“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”性质．
2．(1)两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．
(2)若AD∥HE，AH∥FC，BG∥DE，用正确的方法表示图中的平行四边形：?AHFC，?BGED．
(3)平行四边形是一种特殊的四边形，由定义可知它的边有什么特殊性质？通过观察或测量，从边的角度看，平行四边形还有什么性质？从角的角度看，平行四边形还有什么性质？
对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；
边：对边平行且相等；
角：对角相等．
自学反馈
如图，四边形ABCD是平行四边形．
(1)若周长为30 cm，CD＝6 cm，则AB＝6cm，BC＝9cm，AD＝9cm；
(2)若∠A＝70°，则∠B＝110°，∠C＝70°，∠D＝110°；
(3)若∠A＋∠C＝80°，则∠A＝40°，∠D＝140°．
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在?ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠BAE＝∠DCF.
∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF.
∴BE＝DF.
活动2 跟踪训练
1．如图，?ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为(A)
A．35° B．55° C．25° D．30°
2．如图，在?ABCD中，若∠A＝50°，则∠C＝(B)
A．40° B．50° C．130° D．150°
3．已知，?ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为12．
4．如图，在?ABCD中，AD＝5，AB＝3，BE平分∠ABC，则DE＝2．
5．如图，BD是?ABCD的一条对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，试猜想AE和CF的数量关系，并对猜想进行证明．
解：CF＝AE.理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°.
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB(AAS)．
∴CF＝AE.
活动3 课堂小结
1．经历了对平行四边形的特征探索，你有什么感受和收获？给自己一个评价．
2．本节学习到了什么？(知识上、方法上)
第2课时 平行四边形的对角线的性质
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
2．利用平行四边形对角线的性质解决有关问题．
自学指导：阅读教材P137～138，完成下列问题．
知识探究
1．是否对于任何平行四边形对角线的交点就是每一条对角线的中点？如果是，请说明理由．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
又∵AB＝DC，
∴△AOB≌△COD．
∴AO＝CO，BO＝DO．
2．用一句话把平行四边形的这条性质表达出来．
解：平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分．即：如果四边形ABCD是平行四边形，那么OA＝OC，OB＝OD.
自学反馈
在?ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，指出图形中相等的线段．
解：AB＝DC，AD＝BC，AO＝OC，BO＝OD.
活动1 小组讨论
例 如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AB∥CD.
∴∠ABO＝∠CDO.
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF.
∴OE＝OF.
活动2 跟踪训练
1．平行四边形的对角线一定具有的性质是(B)
A．相等 B．互相平分
C．互相垂直 D．互相垂直且相等
2．如图，在?ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
3．如图，?ABCD的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，则这个平行四边形各边的长AB＝CD＝cm，AD＝BC＝cm.
4．如图，?ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
在△OFD和△OEB中，
∴△OFD≌△OEB.
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF.
∴BE∥DF.
活动3 课堂小结
1．到目前为止，你知道了平行四边形的哪些性质？
2．这些性质的简单应用，你会了吗？
6.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1、2
1．掌握“对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法．
2．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．
3．平行四边形判定定理的综合应用．
自学指导：阅读教材P140～142，完成下列问题．
知识探究
1．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
自学反馈
1．在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(D)
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AB＝CD
D．AB∥CD，AD＝BC
2．四边形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四边形，需要增加条件AD＝BC(只需填一个条件即可)．
3．?ABCD中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，则当AD＝6时，四边形ABCD是平行四边形．
活动1 小组讨论
例1 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△CDA.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵△ABC≌△CDA，
∴AB＝DC，AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
例2 已知：如图，在?ABCD的边BC，AD上分别取一个点E，F，使得BE＝BC，FD＝AD，连接BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵BE＝BC，FD＝AD，
∴BE＝FD.
∴四边形BEDF是平行四边形．
活动2 跟踪训练
1．在四边形ABCD中，AB＝CD，要判定此四边形是平行四边形，还需要满足的条件是(D)
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠D＝180°
2．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
∵DF∥BE，
∴∠AFD＝∠CEB.
又∵AF＝CE，DF＝BE，
∴△AFD≌△CEB(SAS)．
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE.
∴AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形．
4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接BF，DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠BAC＝∠DCA.
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
(2)四边形BFDE是平行四边形，理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴AE＝FC，BE＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB.
∴∠DAC＝∠BCA.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF.
∴DE＝BF.
∴四边形BFDE是平行四边形．
活动3 课堂小结
平行四边形的判定定理：
1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
2．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
第2课时 平行四边形的判定定理3
1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2.
2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题．
自学指导：阅读教材P143～144，完成下列问题．
知识探究
动手：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，四边形ABCD的形状可能是？
思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？
已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，并且OA＝OC，OB＝OD.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，
∴△AOB≌△COD.
∴AB＝DC，∠BAO＝∠DCO.
∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
归纳：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
自学反馈
1．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列结论不一定成立的是(D)
A．AD＝BC B．AB∥CD
C．∠DAB＝∠BCD D．∠DAB＝∠ABC
2．已知，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：BO＝OD(只需填一个你认为正确的条件即可)．
活动1 小组讨论
例 如图，E，F是?ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形．
活动2 跟踪训练
1．已知，如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD(AAS)．
(2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E，F分别是OC，OD的中点，
∴OF＝OD，OE＝OC.
∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA＝OC，OB＝OD.
因为E，F分别是OA，OC的中点，
所以OE＝OF.
所以四边形BFDE是平行四边形．
所以BE＝DF，BE∥DF.
活动3 课堂小结
平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
第3课时 平行线之间的距离及平行四边形判定方法的选择
1．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．
2．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2、3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题．
自学指导：阅读教材P146～147，完成下列问题．
知识探究
1．在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？
解：略．
归纳：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离．
2．如图，以方格纸的格点为顶点画几个平行四边形，并说明你画图的方法和其中的道理．
解：略．
自学反馈
1．如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝2 cm，则AD与BC之间的距离为3cm.
2．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有4种．
活动1 小组讨论
例1 如图，直线a∥b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别是C，D.求证：AC＝BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1＝∠2＝90°.
∴AC∥BD.
∵AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形．
∴AC＝BD.
例2 已知：如图，在?ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM＝BN，DF＝BE.
求证：四边形MENF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠MDF＝∠NBE.
∵DM＝BN，DF＝BE，
∴△MDF≌△NBE.
∴MF＝NE，∠MFD＝∠NEB.
∴∠MFE＝∠NEF.
∴MF∥NE.
∴四边形MENF是平行四边形．
活动2 跟踪训练
1．如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等．
证明：∵l1∥l2，
∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.
∴S△EGH＝GH·h，
S△FGH＝GH·h，
∴S△EGH＝S△FGH.
∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH.
∴S△EGO＝S△FHO.
2．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CE∥AF，∠DAB＝∠DCB.
∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，
∴∠2＝∠3.
又∵∠3＝∠CFB，
∴∠2＝∠CFB.
∴AE∥CF.
又∵CE∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
活动3 课堂小结
1．平行线的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．
2．平行四边形判定和性质的综合．
6．3 三角形的中位线
1．掌握中位线的定义以及中位线定理．
2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．
自学指导：阅读教材P150～151，完成下列问题．
知识探究
探索一：1.思考：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你是怎么做的？请画出草图．
解：略．
2．如果连接三角形每两边的中点，能得到四个全等的三角形吗？
解：可以．
定义：连接三角形两边的中点叫做三角形的中位线．
探究二：你能猜想出三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
解：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
自学反馈
如图，点E，F，H分别是△ABC三边上的中点，则有：
(1)△ABC的中位线有EF，HF，HE；
(2)HF∥AB，HF＝AE＝EB＝AB；
(3)HE∥BC，HE＝BF＝CF＝BC；
(4)EF∥AC，EF＝HC＝AH＝AC．
活动1 小组讨论
例1 如图，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，DE＝BC.
证明：延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.
∴CF∥AB.
∵BD＝AD，∴CF＝BD.
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF∥BC，DF＝BC.
∴DE∥BC，DE＝BC.
例2 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
解：四边形EFGH是平行四边形．
理由：连接AC.
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC且EF∥AC.
同理，GH＝AC且GH∥AC.
∴EF∥GH且EF＝GH.
∴四边形EFGH为平行四边形．
活动2 跟踪训练
1．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(C)
A. B．3 C．6 D．9
2．如图，C，D分别为EA，EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(A)
A．80° B．90° C．100° D．110°
3．如图所示，在四边形ABCD中，AC＝BD，E，F分别为AB，CD的中点，AC与BD交于点O，EF分别交AC，BD于M，N.求证：∠ONM＝∠OMN.
证明：取AD的中点P，连接EP，FP，则EP为△ABD的中位线．
∴EP∥BD，EP＝BD.
∴∠PEF＝∠ONM.
同理可知PF为△ADC的中位线，
∴FP∥AC，FP＝AC.
∴∠PFE＝∠OMN.
∵AC＝BD，
∴PE＝PF.
∴∠PEF＝∠PFE.
∴∠ONM＝∠OMN.
在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题．
4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线．
∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB.
∴CE＝BF.∴CD＝2CE.
恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
活动3 课堂小结
1．熟记三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．
2．理解并掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
3．能应用三角形中位线的性质解决有关问题.
6.4 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想．
自学指导：阅读教材P153～154，完成下列问题．
知识探究
1．三角形的三个内角的和等于180°．
2．在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫做正多边形．
3．多边形与三角形的关系：
四边形可以被从同一顶点出发的对角线分成2个三角形；
五边形可以被从同一顶点出发的对角线分成3个三角形；
六边形可以被从同一顶点出发的对角线分成4个三角形；
……
n边形可以被从同一顶点出发的对角线分成(n－2)个三角形．
归纳：多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°．正n边形的一个内角为．
自学反馈
1．六边形的内角和等于720度．
2．已知多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为7．
3．四边形ABCD中，如果∠A＋∠C＋∠D＝280°，则∠B的度数是(A)
A．80° B．90° C．170° D．20°
4．一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加(C)
A．180° B．90° C．360° D．540°
活动1 小组讨论
例1 如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠B与∠D有怎样的关系？
解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，
∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°.
例2 剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？
解：如图，因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．
当截线为经过长方形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形，内角和为180°；
当截线为经过长方形一组对边的直线时，剩余图形是四边形，内角和360°；
当截线为只经过长方形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形，内角和为540°.
活动2 跟踪训练
1．十边形的内角和为(B)
A．360° B．1 440° C．1 800° D．2 160°
2．若一个多边形的内角和是1 080度，则这个多边形的边数为(C)
A．6 B．7 C．8 D．10
3．已知两个多边形的内角和为1 080°，且这两个多边形的边数之比为2∶3，求这两个多边形的边数．
解：设这两个多边形的边数分别为2x和3x.
由题意，得(2x－2)·180°＋(3x－2)·180°＝1 080°.
解得x＝2.
故这两个多边形的边数分别是4和6.
4．如图所示，回答下列问题：
(1)小华是在求几边形的内角和？
(2)少加的那个内角为多少度？
解：(1)因为1 125÷180＝6，∴n－2≥6，n为整数，∴n－2＝7，n＝9，故小华求的是九边形的内角和．
(2)因为1 125÷180的余数为45，故小华少加的那个内角度数为180°－45°＝135°.
活动3 课堂小结
本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式．即：n边形的内角和等于(n－
2)·180°，它揭示了多边形内角和与边数之间的关系．
第2课时 多边形的外角和
1．理解和掌握多边形外角和定理的推导过程．
2．多边形内角和、外角和定理的综合运用．
自学指导：阅读教材P155～156，完成下列问题．
知识探究
1．多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的一个外角．
2．在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
3．任意多边形的外角和等于360°.
自学反馈
1．多边形的外角和等于(B)
A．180° B．360° C．720° D．(n－2)·180°
2．正八边形的每个外角的度数为45°．
活动1 小组讨论
例 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？
解：设多边形的边数为n，则它的内角和等于(n－2)·180°.
由题意，得(n－2)·180°＝5×360°，
解得n＝12.
所以这个多边形是十二边形．
活动2 跟踪训练
1．下列多边形中，内角和与外角和相等的是(A)
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
2．如图，小陈从点O出发，前进5 m后向右转20°，再前进5 m后又向右转20°，…这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走了(C)
A．60 m B．100 m
C．90 m D．120 m
3．已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是5．
4．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝120°.求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．
解：∵与∠A相邻的外角的度数是180－120＝60°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－60°＝300°.
活动3 课堂小结
本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式．知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题，有时直接应用外角和公式会比较简便．
第三章 图形的平移和旋转
3．1 图形的平移
第1课时 平移的认识
1．通过具体实例理解平移的概念，掌握平移的基本性质(重点)．
2．通过观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，体会平移来源于生活．
自学指导：阅读教材P65～66内容，完成下列问题．
知识探究
1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫平移．平移不改变图形的形状和大小，改变的是位置．
2．平移的性质：(1)平移前后的两个图形大小、形状一样；
(2)经过平移，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等．
自学反馈
1．下列现象中，属于平移的是(1)(3)(5)．
(1)火车在笔直的铁轨上行驶；(2)冷水受热过程中小气泡上升变成大气泡；(3)人随电梯上升；(4)钟摆的摆动；(5)飞机起飞前在直线跑道上滑动．
2．如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的，则线段CD、AB关系是平行且相等．
活动1 小组讨论
例1 如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，作出平移后的三角形．
解：如图，过点B、C分别作线段BE、CF，使得它们与线段AD平行并且相等，连接DE，DF，EF，则△DEF就是△ABC平移后的图形．
设顶点B、C分别平移到了点E、F，根据“经过平移，对应点所连的线段平行且相等”，可知线段BE、CF与AD平行且相等．
例2 如图，点A，B，C，D分别平移到了点E，F，G，H；点A与点E，点B与点F，点C与点G，点D与点H分别是一对对应点，AB与EF是一对对应线段，∠BAD与∠FEH是一对对应角．
(1)在下图中，线段AE、BF、CG、DH有怎样的位置关系？
(2)在下面图中，有哪些相等的线段、相等的角？
(3)由(1)(2)两个问题，你能归纳出什么结论？
解：(1)四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，由演示可知：线段AE、BF、CG、DH是互相平行的，并且这四条线段又相等．
(2)图中相等的线段：AB＝EF、BC＝FG、CD＝GH、AD＝EH、AE＝BF＝CG＝DH.
图中相等的角：∠ABC＝∠EFG、∠BAD＝∠FEH、∠ADC＝∠EHG、∠BCD＝∠FGH.
(3)平移的基本性质：经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等．
这个性质也从局部刻画了平移过程中的不变因素：图形的形状和大小．
活动2 跟踪训练
如图，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH.
填空：
(1)CD＝GH；
(2)∠F＝∠B；
(3)HE＝DA；
(4)∠D＝∠H．
活动3 课堂小结
1．通过本节课的学习，我们明白了什么叫平移．(在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．)
2．总结出了平移的性质．(平移不改变图形的形状和大小．经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平
行且相等，对应角相等．)
第2课时 沿x轴或y轴方向平移的坐标变化
探究横向或纵向平移一次，其坐标变化的规律，认识图形变换与坐标之间的内在联系．(重点)
自学指导：阅读教材P68～69内容，完成下列问题．
知识探究
在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴正(负)方向平移a(a＞0)个单位长度后的图形与原图形相比，对应点的横坐标加上(减去)a，纵坐标不变；图形沿y轴正(负)方向平移a(a＞0)个单位长度后的图形与原图形相比，对应点的横坐标不变，纵坐标加上(减去)a．
自学反馈
1．如图，在平面直角坐标系中，将点A(－2，3)向右平移3个长度单位，那么平移后对应的点A′的坐标是(C)
A．(－2，－3) B．(－2，6) C．(1，3) D．(－2，1)
2．将点M(－1，－5)向左平移3个单位长度得到点N，则点N所处的象限是(C)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
活动1 小组讨论
例1 在平面直角坐标系中，点A(－2，3)平移后能与原来的位置关于y轴对称，则应把点A(C)
A．向右平移2个单位长度
B．向左平移2个单位长度
C．向右平移4个单位长度
D．向左平移4个单位长度
解析：关于y轴成轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，∴点A(－2，3)平移后的坐标为(2，3)．∵横坐标增大，∴点A是向右平移得到，平移距离为|2－(－2)|＝4.故选C.
例2 点P(－2，1)向下平移2个单位长度后，关于x轴对称的点P′的坐标为(C)
A．(－2，－1) B．(2，－1)
C．(－2，1) D．(2，1)
沿x轴或y轴方向平移的坐标变化可简记为“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”．
活动2 跟踪训练
1．将△ABC的各顶点的横坐标分别加上3，纵坐标不变，连接所得三点组成的三角形是由△ABC(B)
A．向左平移3个单位长度得到的
B．向右平移3个单位长度得到的
C．向上平移3个单位长度得到的
D．向下平移3个单位长度得到的
2．将点P(2m＋3，m－2)向上平移1个单位长度得到P′，且P′在x轴上，则m＝1．
3．线段AB是由线段CD平移得到，点A(－2，1)的对应点为C(1，1)，则点B(3，2)的对应点D的坐标是(6，2)．
活动3 课堂小结
1．图形沿x轴平移的坐标变化：在平面直角坐标系中，如果把图形中点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原来的图形沿着x轴向右(或向左)平移a个单位长度．
2．图形沿y轴平移的坐标变化：在平面直角坐标系中，如果把图形中点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原来的图形沿着y轴向上(或向下)平移a个单位长度．
第3课时 沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化
探究一次平移既有横向又有纵向时坐标的变化特点．(重点)
自学指导：阅读教材P71～73内容，完成下列问题．
知识探究
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的．
自学反馈
1．将点A(3，2)沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标是(D)
A．(1，2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(－1，－2)
2．在平面直角坐标系中，将点P(－3，2)向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度后，得到的点位于(D)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
活动1 小组讨论
例 如图所示，四边形ABCD各顶点的坐标为A(－3，5)，B(－4，3)，C(－1，1)，D(－1，4)，将四边形ABCD先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形A′B′C′D′.
(1)四边形A′B′C′D′与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点A′，B′，C′，D′的坐标；
(2)如果将四边形A′B′C′D′看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．
解：(1)四边形A′B′C′D′与四边形ABCD相比，对应点的横坐标分别增加了4，纵坐标分别增加了3，A′(1，8)，B′(0，6)，C′(3，4)，D′(3，7)．
(2)连接AA′，由图可知，AA′＝＝5，四边形A′B′C′D′可认为是由四边形ABCD沿着由A到A′的方向，平移5个单位长度得到的．
一个图形一次沿x轴方向，y轴方向平移后所得的图形，可以看成是由原来图形经过一次平移得到的．
活动2 跟踪训练
1．如果将平面直角坐标系中的点P(a－3，b＋2)平移到点(a，b)的位置，那么下列平移方法中正确的是(C)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度
2．在平面直角坐标系中，将点(3，－1)向下平移3个单位长度，可以得到对应点(3，－4)；将得到的点向右平移2个单位长度，可以得到对应点(5，－4)．
3．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(－2，3)，B(－4，－1)，C(2，0)，将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1，且点A1的坐标为(3，1)，请分别写出点B1，C1的坐标．
解：B1(1，－3)，C1(7，－2)．
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
3．2 图形的旋转
第1课时 旋转的认识
掌握旋转、旋转中心和旋转角的概念，并理解旋转的性质．(重点)
自学指导：阅读教材P75～76内容，完成下列问题．
知识探究
1．在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．旋转不改变图形的形状和大小．
2．一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所组成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等．
自学反馈
1．下面生活中的实例，不是旋转的是(A)
A．传送带传送货物 B．螺旋桨的运动
C．风车风轮的运动 D．自行车车轮的运动
2．线段MN绕点P进行旋转后，得到线段M1N1，则点M与点P距离＝点M1与点P的距离．(填“＞”“＜”或“＝”)
活动1 小组讨论
例1 如图，点A，B，C，D都在方格纸的点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(C)
A．30° B．45° C．90° D．135°
对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，∠BOD，∠AOC都是旋转角．由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以旋转角∠BOD＝90°.
例2 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)AF的长度是多少？
解：(1)旋转中心是A点．
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，∴B是D的对应点．又∵∠DAB＝90°，∴旋转了90°.
(3)∵AD＝4，DE＝1，∴AE＝＝.∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，∴AF＝AE＝.
正确的理解旋转的定义和性质．
活动2 跟踪训练
如图，已知P是等边△ABC内的一点，连接AP，BP，将△ABP旋转后能与△CBP′重合，根据图形回答：
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转角是几度？
(3)连接PP′后，△BPP′是什么三角形？
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°.
又∵将△ABP旋转后能与△CBP′重合，
∴AB与CB重合．
∴旋转中心是点B.
(2)∵将△ABP绕点B顺时针旋转后能与△CBP′重合，
∴旋转角等于∠ABC＝60°.
(3)△BPP′是等边三角形．理由如下：
∵旋转角为60°，
即∠PBP′＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′是等边三角形．
活动3 课堂小结
1．旋转的概念：将一个图形绕一个顶点按照某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
2．旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等．
第2课时 旋转作图
能画出简单图形旋转后的对应图形．(重点)
自学指导：阅读教材P78～79内容，完成下列问题．
知识探究
旋转作图的步骤：
(1)确定旋转中心，旋转方向，旋转角；
(2)找出图形的关键点；
(3)作出关键点经旋转后的对应点；
(4)按图形的顺序连接对应点，得到旋转后的图形．
自学反馈
1．如图，将左边叶片图案旋转180°后，得到的图形是(D)
2．把如图所示的图形绕着O点顺时针旋转90°后，得到的图形是(C)
活动1 小组讨论
例 如图，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段．
解：(1)如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX＝60°；
(2)在射线AX上取点C，使得AC＝AB.
线段AC就是线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段．
解决这类作图题，紧扣旋转的特征即可．
活动2 跟踪训练
1．对如图所示的图形，下列说法错误的是(C)
A．图1绕点“O”顺时针旋转270°到图4
B．图1绕点“O”逆时针旋转180°到图3
C．图3绕点“O”顺时针旋转90°到图2
D．图4绕点“O”顺时针旋转90°到图1
2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是(C)
A．(1，4) B．(4，1) C．(4，－1) D．(2，3)
3．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1，请用直尺和圆规作出旋转中心O.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示，点O为所作．
4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′.
解：如图所示，△A′BC′即为所求．
活动3 课堂小结
根据旋转的性质，掌握旋转作图的步骤．
3．3 中心对称
1．理解中心对称、对称中心、中心对称图形等概念，能识别中心对称图形．(重点)
2．通过作图探索成中心对称的两个图形的性质．(重点)
3．能运用中心对称的性质作出一个图形关于某点对称的图形，并确定对称中心的位置．(重点)
自学指导：阅读教材P81～82内容，完成下列问题．
知识探究
1．如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心．
2．成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．
3．把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
自学反馈
1．下列手机软件图标中，属于中心对称图形的是(D)
2．关于中心对称的两个图形中，对应线段的关系是(D)
A．相等 B．平行 C．相等且平行 D．相等且平行或相等且在同一直线上
活动1 小组讨论
例1 如图，在中心对称的两个图形中，对称点A，A′和对称中心O在一直线上，并且AO＝OA′，另外分别在一直线上的三点还有B，O，B′和C，O，C′，并且BO＝B′O，CO＝C′O．
在成中心对称的两个图形中，连接对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．也就是：
(1)对称中心在任意两个对称点的连线上．
(2)对称中心到一对对称点的距离相等．
根据这个，可以找到关于中心对称的两个图形的对称中心，通常只需连接中心对称图形上的一对对应点，所得线段的中点就是对称中心，同时在证明线段相等时也有应用．
例2 如图，四边形ABCD和点O，画出四边形A′B′C′D′，使它与已知四边形关于点O成中心对称．
解：(1)连接AO并延长AO到A′，使OA′＝OA，于是得到点A的对称点A′.
(2)同样画出点B、点C和点D的对称点B′，C′和D′.
(3)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.
四边形A′B′C′D′即为所求的四边形．
活动2 跟踪训练
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(B)
2．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称，则AD＝EF，∠ABC＝∠FGH．
3．如图，已知六边形ABCDEF是以点O为对称中心的中心对称图形，画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．
解：作法如下：
图中A的对应点是D，B的对应点是E，C的对应点是F；AB对应线段是DE，BC对应线段是EF，CD对应线段是AF.
4．下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？
解：线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形．
活动3 课堂小结
1．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心．
2．识别中心对称的方法：如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形
一定关于这一点成中心对称.
3.4 简单的图案设计
1．能利用平移、旋转或轴对称以及它们的组合解决一些简单的图案设计问题，并会利用它们分析图案．(重点)
2．通过观察、交流、创作，培养学生的动手操作能力和创新能力．(难点)
自学指导：阅读教材P85的内容，完成下列问题．
自学反馈
1．平移、旋转、对称的联系：都是平面内的变换，都不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置．
2．如图所示的图案由四部分组成，每部分都包括两个小“十”字，其中一部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？能经过轴对称吗？还有其他方式吗？
解：可以．
归纳：图形的平移、旋转、对称是图形变换中最基本的三种变换方式．
活动1 小组讨论
例 欣赏图中的图案，并分析这个图案形成的过程．
解：图中的图案是由三个“基本图案”组成的，它们分别是三种不同颜色的“爬虫”(形状、大小完全相同)．
在图中，同色的“爬虫”之间是平移关系，所有同色的“爬虫”可以通过其中一只经过平移而得到的；相邻的不同色的“爬虫”之间可以通过旋转而得到，其中，旋转角为120°，旋转中心为“爬虫”头上、腿上或脚趾上一点．
活动2 跟踪训练
1．国旗上的四个小五角星，通过怎样的移动可以相互得到(D)
A．轴对称 B．平移
C．旋转 D．平移和旋转
2．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是(C)
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和旋转等．
活动3 课堂小结
充分运用平移、旋转或轴对称，按照所要表达的意思，对基本图案进行操作，设计出相应图案．
第四章 因式分解
4．1 因式分解
了解因式分解的意义，体会因式分解与整式乘法之间的联系与区别．
自学指导：阅读教材P92～93，完成下列内容．
知识探究
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．因式分解也可称为分解因式．
自学反馈
把左右两边对应的式子连起来，并说明哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法．
解：x2－y2＝(x－y)(x＋y)，xy－y2＝y(x－y)是因式分解．
(3－5x)(3＋5x)＝9－25x2，(x＋1)2＝x2＋2x＋1是整式乘法．
活动1 小组讨论
例 下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
(1)4a(a＋2b)＝4a2＋8ab；
(2)6ax－3ax2＝3ax(2－x)；
(3)a2－4＝(a＋2)(a－2)；
(4)x2－3x＋2＝x(x－3)＋2；
(5)36a2b＝3a·12ab；
(6)bx＋a＝x(b＋)．
解：(2)(3)是因式分解．
分解因式注意：(1)因式分解结果要是整式的积的形式．
(2)分解后每个因式的次数要低于原来多项式的次数．
活动2 跟踪训练
1．如果多项式x2－mx－35因式分解为(x－5)(x＋7)，那么m的值为(A)
A．－2 B．2 C．12 D．－12
2．下列变形：①(x＋1)(x－1)＝x2－1；②9a2－12a＋4＝(3a－2)2；③3abc3＝3c·abc2；④3a2－6a＝3a(a－2)中，是因式分解的有②④(填序号)．
3．计算：0.582×8.69＋1.136×8.69＋8.282×8.69.
解：原式＝(0.582＋1.136＋8.282)×8.69＝86.9.
活动3 课堂小结
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与因式分解的关系是
相反方向的变形.
4.2 提公因式法
第1课时 提单项式因式分解
1．能确定多项式各项的公因式．
2．会用提公因式法把单项式分解因式．
自学指导：阅读教材P95～96，完成下列内容．
知识探究
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式；如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．
自学反馈
1．多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是(C)
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
公因式的系数取多项式中各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项相同字母的最低次幂的积．
2．把下列各式因式分解：
(1)ma＋mb＝m(a＋b)；
(2)a2b－2ab2＋ab＝ab(a－2b＋1)．
活动1 小组讨论
例 将下列各式分解因式：
(1)3x＋x3；
(2)7x2－21x；
(3)8a3b2－12ab3c＋ab；
(4)－24x3＋12x2－28x.
解：(1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2)．
(2)7x2－21x＝7x·x－7x·3＝7x(x－3)．
(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝ab(8a2b－12b2c＋1)．
(4)－24x3＋12x2－28x＝－(24x3－12x2＋28x)
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
＝－4x(6x2－3x＋7)．
当多项式第一项的系数是负数时，通常提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．
活动2 跟踪训练
1．因式分解2x＋x3的正确结果是(B)
A．2(x＋x3) B．x(2＋x2)
C．2x(1＋x) D．x(2＋x3)
2．已知x＋y＝6，xy＝－4，则x2y＋xy2的值为(C)
A．12 B．－12 C．－24 D．24
3．把多项式－16x3＋40x2y提出一个公因式－8x2后，另一个因式是2x－5y．
4．把下列各式因式分解：
(1)3xy－5y2＋y；
(2)－6m3n2－4m2n3＋10m2n2；
(3)4x3yz2－8x2yz4＋12x4y2z3.
解：(1)y(3x－5y＋1)．
(2)－2m2n2(3m＋2n－5)．
(3)4x2yz2(x－2z2＋3x2yz)．
活动3 课堂小结
学生试述：本节课你学到了什么？
第2课时 提多项式因式分解
1．会用提公因式法把多项式分解因式．
2．从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展类比思想．
自学指导：阅读教材P97，完成下列内容．
自学反馈
1．将3x(a－b)－9y(b－a)因式分解，应提的公因式是(D)
A．3x－9y B．3x＋9y
C．a－b D．3(a－b)
2．将m2(a－2)＋m(a－2)因式分解的结果是(C)
A．(a－2)(m2－m) B．m(a－2)(m－1)
C．m(a－2)(m＋1) D．m(2－a)(m－1)
活动1 小组讨论
例1 把下列各式因式分解：
(1)a(x－3)＋2b(x－3)；
(2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2.
解：(1)a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)(a＋2b)．
(2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]＝y(x＋1)(xy＋y＋1)．
例2 把下列各式分解因式：
(1)a(x－y)＋b(y－x)；
(2)6(m－n)3－12(n－m)2.
解：(1) a(x－y)＋b(y－x)
＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b)．
(2) 6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)3－12[－(m－n)]2
＝6(m－n)3－12(m－n)2
＝6(m－n)2(m－n－2)．
活动2 跟踪训练
1．把下列各式因式分解：
(1)7(a－1)＋x(a－1)；
(2)3(a－b)2＋6(b－a)；
(3)a(a2＋b2)－b(a2＋b2)；
(4)18(a－b)2－12b(b－a)2.
解：(1)(a－1)(7＋x)．
(2)3(a－b)(a－b－2)．
(3)(a2＋b2)(a－b)．
(4)6(a－b)2(3－2b)．
2．先因式分解，再计算求值：4a(b－2)－3a(b－2)2，其中a＝1.5，b＝6.
解：原式＝a(b－2)(10－3b)．
当a＝1.5，b＝6时，
原式＝1.5×(6－2)×(10－3×6)＝－48.
活动3 课堂小结
学生试述：通过本节课的学习，你有哪些收获？
4.3 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
1．了解用公式法分解因式的意义．
2．能熟练运用平方差公式因式分解．
自学指导：阅读教材P99，完成下列问题．
知识探究
运用平方差公式因式分解：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
自学反馈
下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是(A)
A．－a2－4b2 B．－1＋25a2
C.－9a2 D．－a4＋1
活动1 小组讨论
例1 把下列各式分解因式：
(1)25－16x2； (2)9a2－b2.
解：(1)25－16x2＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x)．
(2)9a2－b2＝(3a)2－(b)2＝(3a＋b)(3a－b)．
例2 把下列各式分解因式：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2)2x3－8x.
解：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2
＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]
＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n)．
(2) 2x3－8x
＝2x(x2－4)＝2x(x2－22)＝2x(x＋2)(x－2)．
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解．
活动2 跟踪训练
把下列各式因式分解：
(1)25x2y2－1；
(2)－a2＋b2；
(3)16(a－b)2－25(a＋b)2；
(4)x4－16.
解：(1)(5xy＋1)(5xy－1)．(2)(b＋a)(b－a)．
(3)－(9a＋b)(a＋9b)．(4)(x2＋4)(x＋2)(x－2)．
活动3 课堂小结
这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
第2课时 运用完全平方公式因式分解
1．了解完全平方式的概念，能判断一个多项式是不是完全平方式．
2．能熟练运用完全平方公式因式分解．
自学指导：阅读教材P101～102，完成下列问题．
知识探究
1．形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．
2．运用完全平方公式因式分解：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
自学反馈
把x2－4x＋4因式分解，结果正确的是(A)
A．(x－2)2 B．(x＋2)2
C．(x－4)2 D．(x＋4)2
活动1 小组讨论
例1 把下列完全平方式分解因式：
(1)x2＋14x＋49； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
解：(1) x2＋14x＋49
＝x2＋2×7x＋72
＝(x＋7)2.
(2) (m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝[(m＋n)－3]2
＝(m＋n－3)2.
例2 把下列各式分解因式：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)－x2－4y2＋4xy.
解：(1) 3ax2＋6axy＋3ay2
＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2.
(2) －x2－4y2＋4xy
＝－(x2＋4y2－4xy)
＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝－(x－2y)2.
活动2 跟踪训练
1．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的有(A)
①x2＋2x＋1；②4a2－4a－1；③m2＋m＋；④4m2＋2mn＋n2；⑤1＋16y2.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．把下列各式因式分解：
(1)81a2＋16b2－72ab； (2)－a2＋6ab－9b2；
(3)2mx2－4mxy＋2my2； (4)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2.
解：(1)原式＝(9a－4b)2.
(2)原式＝－(a2－6ab＋9b2)＝－(a－3b)2.
(3)原式＝2m(x－y)2.
(4)原式＝(a－b－c)2.
活动3 课堂小结
1．因式分解的方法：提公因式法、公式法．
2．因式分解的步骤：
(1)若有公因式，应先提公因式；
(2)看是否可用公式法；
(3)检查各因式能否继续分解．
第五章 分式与分式方程
5．1 认识分式
第1课时 认识分式
1．理解分式的定义，能根据定义判断一个式子是不是分式．
2．能确定一个分式有意义、无意义、值为零的条件．
3．能用分式表示现实情境中的数量关系．
自学指导：阅读教材P108～109，完成下列问题．
知识探究
1．式子，，，有什么特点？
它们与分数的相同点是：形式相同，都有分子和分母；
不同点是：分式中分母含有字母．
它们与整式的相同点是：都是代数式；
不同点是：代数式的分母中不含字母，就是整式；代数式的分母中含有字母，就是分式．
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零．
2．思考：
(1)分式的分母有什么限制？
当B＝0时，分式无意义；当B≠0时，分式有意义．
(2)当＝0时，分子和分母应满足什么条件？
当A＝0且B≠0时，分式的值为零．
自学反馈
1．独立思考：下列各式中，哪些是分式？
①；②；③；④；⑤；⑥2x2＋；⑦；⑧－5；⑨3x2－1；⑩；5x－7.
解：分式有①②④⑦⑩.
判断分式主要看分母是否含有字母，这是判断分式的唯一条件．
2．当x取何值时，下列分式有意义？当x取何值时，下列分式无意义？
(1)； (2).
解：(1)当x＋2≠0，即x≠－2时，分式有意义；当x＝－2时，分式无意义．(2)当3－2x≠0，即x≠时，分式有意义；当x＝时，分式无意义．
分母是否为零，决定分式是否有意义．
3．当x为何值时，下列分式的值为零？
(1)； (2).
解：(1)7x＝0且21－3x≠0，即x＝0.
(2)x＋7＝0且5x≠0，即x＝－7.
活动1 小组讨论
例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需小时；
(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是(a＋b)千米/时，轮船的逆流速度是(a－b)千米/时；
(3)x与y的差除以4的商是．
解：是分式；a＋b，a－b，是整式．
例2 当x取何值时，下列分式有意义？当x取何值时，下列分式无意义？当x取何值时，下列分式值为零？
(1)； (2).
解：(1)有意义：x2－4≠0，即x≠±2；无意义：x2－4＝0，即x＝±2；值为0：2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝.
(2)有意义：x2－x≠0，即x≠0且x≠1；无意义x2－x＝0，即x＝0或x＝1；值为0：x2－1＝0且x2－x≠0，即x＝－1.
(1)分式有意义的条件：分式的分母不能为0.(2)分式无意义的条件：分式的分母等于0.(3)分式值为0的条件：分式的分子等于0，分母不能等于0；分式的值为零一定是在分式有意义的条件下才成立的．
活动2 跟踪训练
1．下列各式中，哪些是分式？
①；②；③；④；⑤x2.
解：①③是分式．
2．当x取何值时，分式有意义？
解：当3x－2≠0，即x≠时，分式有意义．
3．当x为何值时，分式的值为零？
解：|x|－1＝0且x2－x≠0，即当x＝－1时，分式的值为零．
活动3 课堂小结
1．分式的定义及根据条件列分式．
2．分式有意义、无意义、值为零的条件．
第2课时 分式的基本性质及约分
1．理解分式的基本性质．
2．利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形．
3．了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法．
4．使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式．
自学指导：阅读教材P110～112，完成下列问题．
知识探究
1．分数的基本性质：分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．
2．问题：你认为分式与；分式与相等吗？
3．类比分数的基本性质得到：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
4．用式子表示分式的基本性质：＝；＝(m≠0)．
5．把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
6．经过约分后的分式，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式．
自学反馈
1．下列分式的右边是怎样从左边得到的？
(1)＝(y≠0)； (2)＝.
解：(1)由y≠0，得＝＝.
(2)＝＝.
2．约分：.
解：＝－.
3．填空，使等式成立：
(1)＝(其中x＋y≠0)；
(2)＝.
解：(1)3(x＋y)．(2)y－2.
在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形．
活动1 小组讨论
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)＝(c≠0)； (2)＝.
解：(1)由c≠0，知＝＝.
(2)由x≠0，知＝＝.
想一想：为什么(1)给出c≠0；而(2)没有给出x≠0?
因为(1)等号左边的分母没有出现c，所以要明确c≠0；而(2)等号左边的分式中分母已经出现x，若x＝0，则给出的分式没有意义．
应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用．
例2 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号．
(1)； (2)； (3)－.
解：(1)＝－.(2)＝.(3)－＝.
例3 约分：
(1)； (2).
解：(1)公因式为：ab，所以＝ac.
(2)公因式为：8a2b2，所以＝－.
活动2 跟踪训练
1．填空：
(1)＝；
(2)＝.
解：(1)2x2＋2xy.(2)y＋3.
2．判断下列各组中分式，能否由第一式变形为第二式？
(1)与； (2)与.
解：(1)不能判定．因为不能判定a＋b≠0.
(2)能判定．因为分式本身y≠0，并且无论x为何值，x2＋1永远大于0.
3．化简下列分式：
(1)； (2).
解：(1)＝.
(2)＝＝.
约分的过程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的应用．像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分．
活动3 课堂小结
1．分式的基本性质、分式的约分．
2．分式的化简.
5.2 分式的乘除法
1．理解分式乘除法的法则．
2．会进行分式乘除运算．
自学指导：阅读教材P114～115，完成下列问题．
知识探究
1.·，÷怎么计算？
2．复习回顾：
(1)×＝＝.
(2)×＝＝.
(3)÷＝×＝＝＝.
(4)÷＝×＝＝.
分数的乘除运算法则：
1．(1)两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
(2)两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘．
2．类比分数的乘除运算法则，总结出分式的乘除运算法则：
(1)两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
(2)两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．
用式子表达为：·＝，÷＝·＝.
自学反馈
计算：
(1)·； (2)÷8x2y； (3)－3xy÷.
解：(1)原式＝＝.
(2)原式＝·＝＝.
(3)原式＝－3xy·＝－＝－.
(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式．
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)·； (2)÷.
解：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝·＝－＝－.
例2 计算：
(1)·；
(2)÷.
解：(1)原式＝·
＝
＝.
(2)原式＝·
＝·
＝＝－.
整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式，另外，注意变换过程中的符号．
活动2 跟踪训练
1．下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
(1)·＝1； (2)÷a＝b；
(3)·＝； (4)÷＝.
解：(1)对．
(2)错．正确的是.
(3)错．正确的是－.
(4)错．正确的是.
2．计算：
(1)÷；
(2)÷(x＋3)·.
解：(1).(2)－.
分式的乘除要严格按法则运算，除法必须先转化成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么需把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式，另外，运算过程中一定要注意符号．
活动3 课堂小结
1．分式的乘除运算法则．
2．分式的乘除法法则的运用.
5.3 分式的加减法
第1课时 同分母分式的加减法
1．类比同分母分数加减法法则归纳出同分母分式加减法法则．
2．理解同分母分式加减法的运算法则，能进行同分母分式加减运算及分母互为相反式的分式加减法运算．
自学指导：阅读教材P117～118，完成下列问题．
知识探究
观察思考：
(1)＋＝；
(2)－＝－；
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减．
类比分数的加减，你能说出同分母分式的加减法则么？
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用字母表示为：±＝.
自学反馈
计算：
(1)＋； (2)－.
解：(1).(2)1.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)＋； (2)－；
(3)－； (4)－＋.
解：(1).(2)x＋2.(3)－3.(4).
在进行运算时，若分子是多项式，分子要先带括号，再去括号后合并同类项；运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的所有公因式——化简．
例2 计算：
(1)＋； (2)－.
解：(1)1.(2)a－1.
活动2 跟踪训练
计算：
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋－.
解：(1)a＋b.(2)－3.(2)0.
活动3 课堂小结
1．同分母分式加减法则．
2．学会用转化的思想将分母互为相反式的分式加减运算转化成同分母分式的加减运算．
3．分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体．
4．分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式)．
第2课时 异分母分式的加减法
1．会找最简公分母，能进行分式的通分．
2．理解并掌握异分母分式加减法的法则．
3．经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，提高分式运算能力．
自学指导：阅读教材P119～121，完成下列问题．
知识探究
观察思考：
(1)＋＝＋＝；
(2)－＝－＝.
异分母分数相加减，先通分，再把分子相加减．
类比异分母分数的加减，你能说出异分母分式的加减法则么？
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．
用字母表示为：±＝±＝.
自学反馈
填空：
(1)＋＝；
(2)－＝．
活动1 小组讨论
例1 计算：(1)－； (2)－.
解：(1)－＝.(2)－＝.
例2 将下列各式通分：，－，.
解：∵最简公分母是12a2b2c2.
∴＝＝，－＝－＝－，＝＝.
例3 甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，甲每次购买1 000 kg，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？
(2)谁的购货方式更合算？
解：(1)设两次购买的饲料单价分别m元/kg和n元/kg(m、n是正数，且m≠n)．
甲两次购买饲料的平均单价为
＝(元/kg)．
乙两次购买饲料的平均单价为
＝(元/kg)．
(2)甲、乙所购饲料的平均单价的差是
－＝＞0，
所以乙的购货方式更合算．
活动2 跟踪训练
计算：
(1)＋；
(2)－；
(3)－.
解：(1)原式＝＋＝.
(2)原式＝－＝.
(3)原式＝－＝.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式．
2．注意：过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式．
活动3 课堂小结
1．异分母分式相加减的法则．
2．通分的关键就是找最简公分母，对于分母是多项式且能够进行分解因式的，要先分解后再类比最小公倍数找最简公分母．
3．通分前是单项式的分子通分后就可能是多项式了，运算时记得添括号．
4．运算结果要约分，有一些运算律仍然适用．
第3课时 分式的加减混合运算
1．会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算．
2．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值．
自学指导：阅读教材P122～123，完成下列问题．
知识探究
1．同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．
异分母的分式相加减：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，分式加减的结果要化为最简分式．
2．分式的加减混合运算顺序是：有括号则先算括号里的，再按顺序计算．
自学反馈
计算：
(1)－1；
(2)＋；
(3)＋＋.
解：(1).(2).(3).
严格按照计算顺序进行，在计算过程中，分式前面是“－”号时，计算时一定要注意符号变化．
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)＋；
(2)－x＋1；
(3)＋－.
解：(1).(2).(3).
例2 已知＝2，求－－的值．
解：原式＝，
因为＝2，所以x＝2y.
所以原式＝＝.
活动2 跟踪训练
1．先化简，再求值：
(1)已知a＝，求－的值；
(2)已知x＝3y，求－的值．
解：略．
2．某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可分别进水a t，b t．若单独开放A进水管，p h可将该水池注满．如果A，B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？
解：略．
在运算过程中，要注意分式乘方不要漏乘；加减计算要注意符号；和整数或整式相加减时注意把整式或整数看成分母是1的整式或整数，通分后再计算；化简求值，一定要换成最简分式再求值．
活动3 课堂小结
1．异分母分式相加减的法则及通分注意事项．
2．分式的化简求值及变形．
3．实际问题中能正确把握分式所表示的意义将更有助于解题.
5.4 分式方程
第1课时 分式方程的概念及解法
1．理解分式方程的意义．
2．理解解分式方程的基本思路和方法．
3．了解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法．
自学指导：阅读教材P125～127，完成下列问题．
知识探究
1．填空：
(1)分母中不含未知数的方程叫做整式方程；
(2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．判断下列说法是否正确：
①＝5是分式方程；
②＝是分式方程；
③＝1是分式方程；
④＝是分式方程．
解：①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程．因为分母中含有未知数．③是分式方程．因为分母中含有未知数．④是分式方程．因为分母中含有未知数．
自学反馈
1．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
①＝；②＋＝7；③＝；④＝－1；⑤＝；⑥2x＋＝10；⑦x－＝2；⑧＋3x＝1.
解：①⑤⑥是整式方程，因为分母中没有未知数．
②③④⑦⑧是分式方程，因为分母中含有未知数．
判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数．
2．解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)写出结果．
活动1 小组讨论
例1 解方程：＝.
解：方程两边乘x(x－3)，得2x＝3(x－3)．
解得x＝9.
检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝9.
例2 解方程：－1＝.
解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得
x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0.
所以x＝1不是原方程的解．
所以原方程无解．
活动2 跟踪训练
1．解方程：
(1)＝； (2)＝＋1；
(3)＝； (4)－＝0.
解：略．
方程中分母是多项式的，要先分解因式再找公分母．
2．解方程：
(1)＝－2；
(2)＋1＝；
(3)＝1－.
解：略．
活动3 课堂小结
解分式方程的思路是：
第2课时 分式方程的应用
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结．
自学指导：阅读教材P129，完成下列问题．
知识探究
1．列方程解应用题的一般步骤：
(1)审题设未知数．
(2)找等量关系列方程．
(3)解方程．
(4)验根是否符合实际意义．
(5)答题．
2．类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审题设未知数．
(2)找等量关系列方程．
(3)去分母化分式方程为整式方程．
(4)解整式方程．
(5)验根是否符合实际意义．
(6)答题．
自学反馈
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
解：甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖÷4＝．
如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖.
两台挖土机一天共挖＋，两台一天完成另一半，
所以列方程为：＋＝．解得x＝.
经检验，x＝是原分式方程的根．
答：乙型挖土机单独挖这块地需要天．
认真分析题意．根据等量关系列方程．
活动1 小组讨论
例1 甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
分析：
路程 速度 时间
甲 18＋1×2 x＋0.5
乙 18 x
等量关系：t甲＝t乙．
解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为(x＋0.5)千米/小时．
根据题意，列方程，得
＝.
解得x＝4.5.
检验：当x＝4.5时，x(x＋0.5)≠0.
所以x＝4.5是原方程的解，则x＋0.5＝5.
答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时．
等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米．
例2 一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天，根据题意，列方程得
＋＝1.
解得x＝6.
检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.
所以x＝6是原方程的解．
答：规定日期是6天．
活动2 跟踪训练
A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟．已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度．
解：设大汽车的速度为2x千米/小时，小汽车的速度为5x千米/小时．
根据题意，列方程得＝.
解得x＝9.
检验：当x＝9时，10x≠0.所以x＝9是原方程的解．
则2x＝18，5x＝45.
答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时．
等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间．
活动3 课堂小结
1．列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤．
2．列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可设间接)的前提下找出等量关系．
3．解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系．
4．注意不要遗漏检验和写答案．
第一章 三角形的证明
1．1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质．
2．运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题．
自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题．
知识探究
1．在△ABC和△DEF中，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF，则△ABC与△DEF全等，AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F．
2．在△ABC中，若AB＝AC，则AB，AC叫做这个三角形的腰，BC叫做这个三角形的底边，∠A是这个三角形的顶角，∠B，∠C是这个三角形的底角．
探究一：做一张等腰三角形的纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD.通过动手操作，你能发现什么现象吗？(利用动画片演示对折前后的变化)
答：折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕所在的直线就是它的对称轴．由于AB与AC重合，因此点B与点C重合，这样线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C.
结论：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)．
(多媒体展示)用数学语言表示：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C(等边对等角)．
探究二：请画出等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线这三条线并比一比，能发现什么特征．
结论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，简称“三线合一”．
(强调：必须认清是哪三条线合一)
总结：
1．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
2．全等三角形的对应边相等、对应角相等．
3．等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)．
4．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．
自学反馈
1．如图，已知∠1＝∠2，要判定△ACO≌△BCO，则需要补充的条件为∠A＝∠B．(只需补充一个即可)
2．在△ABC中，若AC＝AB，则∠B＝∠C．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上．
①∵AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，BD＝CD；
②∵AD是中线，
∴AD⊥BC，∠1＝∠2；
③∵AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD．
活动1 小组讨论
例1 如图，PA＝PB，∠M＝∠N.求证：AM＝BN.
证明：在△PMB和△PNA中，
∴△PMB≌△PNA(AAS)．
∴PM＝PN.
∴PM－PA＝PN－PB，即AM＝BN.
例2 已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．
解：①当∠A为顶角时，则∠B＝∠C，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，
∴∠C＝50°.∴∠A＝80°.
②当∠C为顶角时，则∠A＝∠B，
∵∠A＋∠B＝130°，∴∠A＝65°.
③当∠B为顶角时，则∠A＝∠C，
∵∠C＝50°，
∴∠A＝50°.
利用等腰三角形的性质解题时易犯考虑不周全的错误，解题时应认真审题，分析已知条件，分清是顶角还是底角．
例3 如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAD＝2∠DBC.
证明：过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝2∠EAC.
∵BD⊥AC于点D，
∴∠BDC＝90°.
∴∠EAC＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°.
∴∠DBC＝∠EAC.
∴∠BAD＝2∠DBC.
利用等腰三角形三线合一的性质求证．
活动2 跟踪训练
1．等腰三角形有两条边长分别为4 cm和9 cm，则该三角形的周长是22_cm．
等腰三角形在分类讨论的同时，还要注意三边关系．
2．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是40°．
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为60°或120°．
4．已知等腰三角形的腰长比底边长多2 cm，并且它的周长为16 cm，则它的底边长为4_cm．
5．已知，如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF：
(1)若以“SAS”为依据，还要添加的条件为BC＝EF；
(2)若以“ASA”为依据，还要添加的条件为∠A＝∠D；
(3)若以“AAS”为依据，还要添加的条件为∠C＝∠F．
6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O为△ABC内一点，且OB＝OC.求证：AO⊥BC.
证明：延长AO交BC于点D.
∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，
∴△ABO≌△ACO(SSS)．
∴∠BAO＝∠CAO，即AO平分∠BAC.
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BC.
延长AO交BC于点D，要证AO是等腰△ABC边BC上的高，根据“三线合一”，只要证AO是∠BAC的平分线即可．
活动3 课堂小结
在等腰三角形中，常常需要作底边上的高，运用等腰三角形“三线合一”的性质，对于解决所有相关的问题能起到事半功倍的效果．
第2课时 等边三角形的性质
1．能运用综合法证明等腰三角形中一些相等的线段．
2．利用等腰三角形的性质证明等边三角形的性质，并且会用等边三角形的性质解决相关问题．
自学指导：阅读教材P5“例1”以及“议一议”，完成下列问题．
知识探究
1．例1中，你能用其他的方法证明BD＝CE吗？
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB.
∴∠ABD＝∠ACE.
在△ABD和△ACE中，
∵∠ABD＝∠ACE，AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．
2．在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明．
解：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的中线相等．证明略．
3．写出“议一议”中，你所得到的结论．
自学指导：阅读教材P6“想一想”，完成下列问题：
等边三角形的性质：
(1)定义：等边三角形的三条边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°．
自学反馈
下列关于等边三角形的说法，正确的有(D)
①等边三角形的三个角相等，并且每一个角都是60°；
②三边相等的三角形是等边三角形；
③三角相等的三角形是等边三角形；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①②③④
活动1 小组讨论
例 如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数．
解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAE＝∠ACD＝60°，AB＝AC.
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD(SAS)．
(2)∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.
∵∠BAF＋∠DAC＝∠BAC＝60°，
∠BFD＝∠ABE＋∠BAF，
∴∠BFD＝∠BAF＋∠DAC＝60°.
由等边三角形的性质，根据SAS证全等，然后利用全等的性质求∠BFD的度数．
活动2 跟踪训练
1．如图，△ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝90°，∠CBD＝30°．
2．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝3．
3．如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝75°．
活动3 课堂小结
对于等边三角形，它属于特殊的等腰三角形，特殊到三条边相等，三个角都等于60°，“三线合一”的性质就更能不受限制、淋漓尽致地发挥了．
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
1．探索并理解等腰三角形的判定定理，会运用其进行简单地证明．
2．了解反证法的基本证明思路，并能简单的运用．
自学指导：阅读教材P8，完成下列问题．
知识探究
1．阅读下面的证明过程，完成问题：
已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.
解法一：过点A作BC的垂直平分线AD，垂足为D.
解法二：作△ABC的角平分线AD.
数学老师看了两种辅助线的作法后，说：解法二是正确的，而解法一的作法需要订正．
(1)请你简要说明解法一辅助线作法错在哪里；
(2)根据解法二的辅助线作法，完成证明过程．
解：(1)AB＝AC是要证明的结论，无法说明点A一定在BC的垂直平分线上，所以解法一中作辅助线的方法不恰当．
(2)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(AAS)．
∴AB＝AC.
2．学习教材P9“例3”，回答下面的问题：
(1)写出该命题的条件和结论．
解：条件：如果一个图形是三角形；
结论：那么该三角形不能有两个角是直角．
(2)假设该命题的结论不成立，即：假设这个三角形中有两个角是直角．
3．小结：
(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”)．
(2)先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
自学反馈
1．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，那么△ABC的形状是等腰三角形．
2．用反证法证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，则
∠A＋∠B＋∠C<180°.
这与三角形内角和定理矛盾，
故假设错误．
所以在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
活动1 小组讨论
例1 如图，DB＝DC，∠ABD＝∠ACD，求证：AB＝AC.
证明：连接BC.
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB.
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＋∠DBC＝∠ACD＋∠DCB，
即∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC.
本题主要是通过连接BC，使AB，AC在同一个三角形中，最后通过证明它们所对的角相等，从而证得这两条线段相等．
例2 如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC.
证明：假设AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB.
∵AB＝AC，D，E分别是AC，AB的中点，
∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD.
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE(SAS)．
∴BD＝CE.这与BD≠CE相矛盾．
∴AB＝AC这个假设不成立．
∴AB≠AC.
此题先假设AB＝AC，然后推导出与条件不符的结论，说明假设不成立．
活动2 跟踪训练
1．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中(D)
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°
D．每一个内角都大于等于45°
2．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD＝3_cm．
3．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设四边形中没有一个角是钝角或直角．
4．如图，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E.若∠AFD＝145°，则∠EDF＝55°．
5．如图，△ABC中，BA＝BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F，且交BC于E.求证：△DBE是等腰三角形．
证明：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C.
∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠FEC＝90°.
∴∠D＝∠FEC.
∵∠BED＝∠FEC，∴∠D＝∠BED.
∴BE＝BD，即△DBE是等腰三角形．
活动3 课堂小结
1．对于判断三角形是不是等腰三角形这一类问题，常常是抓一个三角形有两个角相等，转化到对应的边相等，可以借助计算，运用平行线的性质，以及同角或等角的余角相等等方法去辅助证明．
2．运用反证法证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果．
第4课时 等边三角形的判定
1．理解并掌握等边三角形的判定定理，并会运用定理进行判定．
2．掌握含30°角的直角三角形的性质，并学会运用该结论进行相关的计算和证明．
自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题．
知识探究
1．等边三角形的判定：
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
自学反馈
1．在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠C＝60°．
2．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝60°，则BC＝2．
3．在Rt△ABC中，若∠BCA＝90°，∠A＝30°，AB＝4，则BC＝2．
活动1 小组讨论
例1 填空：
(1)如图1，BC＝AC，若BC＝AB或AC＝AB或∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°，则△ABC是等边三角形；
(2)如图2，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝4.若AB＝8，则△ABC是等边三角形；
(3)如图3，在Rt△ABC中，∠B＝30°.若AC＝6，则AB＝12；若AB＝7，则AC＝3.5．
例2 如图，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB.求证：AD＝AB.
证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.
∴∠DCB＝60°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°.
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°.
∴AD＝AC＝AB.
活动2 跟踪训练
1．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E，F，△OEF是等边三角形吗？为什么？
解：△OEF是等边三角形．理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∵OE∥AB，OF∥AC，
∴∠OEF＝∠B＝60°，∠OFE＝∠C＝60°.
∴△OEF是等边三角形．
根据三个角都相等的三角形是等边三角形或有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形判定．
2．如图，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为(B)
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
活动3 课堂小结
1．等边三角形的判定：
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
2．含30°角的直角三角形中存在线段与线段的比例关系，是今后证明线段倍分关系的重要途径．
1．2 直角三角形
第1课时 勾股定理及其逆定理
1．掌握“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”这两个定理，并学会运用．
2．会证明勾股定理及其逆定理．
3．了解逆命题和逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题并判断其真假．
自学指导：阅读教材P14～16，完成下列问题．
知识探究
1．定理：直角三角形的两个锐角互余．
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
2．你还记得勾股定理吗？请把勾股定理的内容写下来：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
3．定理：如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4．什么叫互逆命题、逆命题？什么叫互逆定理、逆定理？
解：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
5．你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？请你举出一些互逆定理的例子．
解：它的逆命题是：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数也相等．这个命题是真命题，它的逆命题不是真命题．
例子：“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”等．
自学反馈
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是(B)
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为(A)
A．－1－
B．1－
C．－
D．－1＋
3．下列命题中，是真命题的是(B)
A．同位角相等
B．邻补角一定互补
C．相等的角是对顶角
D．有且只有一条直线与已知直线垂直
4．下列命题：
①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．
它们的逆命题是真命题的有(B)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.求证：a2＋b2＝c2.
证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED，AE.则△ABC≌△BED.
∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
∴四边形ACDE是直角梯形．
∴S梯形ACDE＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋b)2.
∵∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，
AB＝BE＝c，
∴S△ABE＝c2.∵S梯形ACDE＝S△ABE＋S△ABC＋S△BED，
∴(a＋b)2＝c2＋ab＋ab，即a2＋ab＋b2＝c2＋ab.
∴a2＋b2＝c2.
利用割补法证明勾股定理．
例2 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．
(1)a＝15，b＝8，c＝17；
解：∵152＋82＝225＋64＝289，172＝289，
∴152＋82＝172，即a2＋b2＝c2.
∴这个三角形是直角三角形．
(2)a＝13，b＝14，c＝15.
解：∵132＋142＝169＋196＝365，152＝225，
∴132＋142≠152，即a2＋b2≠c2.
∴这个三角形不是直角三角形．
例3 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假．
(1)四边形是多边形；
解：原命题是真命题．逆命题：多边形是四边形，是假命题．
(2)两直线平行，同旁内角互补；
解：原命题是真命题．逆命题：同旁内角互补，两直线平行，是真命题．
(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.
解：原命题是假命题．逆命题：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0，是真命题．
活动2 跟踪训练
1．以下列各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是(D)
A．6，8，10 B．5，12，13
C．9，40，41 D．5，6，7
2．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(A)
A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
B．a∶b∶c＝1∶2∶
C．a∶b∶c＝3∶4∶5
D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
3．如果直角三角形的三条边分别为2，4，a，那么a的取值可以有(C)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示三个正方形的面积，S1＝81，S3＝225，则S2＝144．
5．一个直角三角形两条直角边的比是3∶4，斜边的长为10 cm，则这个直角三角形的面积是24cm2，斜边上的高为4.8cm.
活动3 课堂小结
这节课我们了解了勾股定理及其逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解了逆命题的概念．会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力．
第2课时 直角三角形全等的判定
1．通过探索判定直角三角形全等的条件，掌握利用“HL”判定直角三角形全等的方法．
2．能灵活运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等，并能通过已知斜边和直角边作直角三角形．
自学指导：阅读教材P18～20，完成下列问题．
1．判定两个直角三角形全等的定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．
2．判断：如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′(其中∠C＝∠C′＝90°)是否全等？如果全等，在( )里填写理由；如果不全等，在( )里打“×”．
(1)AC＝A′C′，∠A＝A′；(ASA)
(2)AC＝A′C′，BC＝B′C′；(SAS)
(3)AB＝A′B′，∠B＝∠B′；(AAS)
(4)∠A＝∠A′，∠B＝∠B′；(×)
(5)AC＝A′C′，AB＝A′B′.(HL)
活动1 小组讨论
例1 已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，BC＝B′C′，BD，B′D′分别是AC，A′C′边上的中线且BD＝B′D′(如图)．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明：在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中，
∵BD＝B′D′，BC＝B′C′，
∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′(HL)．
∴CD＝C′D′.
又∵AC＝2CD，A′C′＝2C′D′，
∴AC＝A′C′.
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∵BC＝B′C′，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SAS)．
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，∠CBA＝32°，求∠EFD的度数．
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
∴∠DEF＝∠ABC＝32°.∴∠EFD＝90°－32°＝58°.
活动2 跟踪训练
1．下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是(B)
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形
B．两个锐角对应相等的两个直角三角形
C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
D．有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形
2．下列命题是真命题的有(B)
①一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；
②一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
④两条边对应相等的两个直角三角形全等；
⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
⑥一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
3．如图，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP.
证明：∵PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，
∴∠ABP＝∠ACP＝90°.
∵PB＝PC，AP＝AP，
∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)．
∴∠APB＝∠APC.
在△PBD和△PCD中，
∴△PBD≌△PCD(SAS)．
∴∠BDP＝∠CDP.
活动3 课堂小结
1．“HL”公理是仅适用于直角三角形的特殊方法．
2．判断两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”外，还可以使用“HL”．
1．3 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理
1．会证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理．
2．能运用线段的垂直平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．
自学指导：阅读教材P22～23，完成下列问题．
知识探究
1．CD是线段AB的垂直平分线，E为垂足，点P是直线CD上的任意一点，连接PA，PB，则AE＝BE，PA＝PB，CD⊥AB，∠AEC＝∠BEC．
2．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
自学反馈
1．已知，如图，EF是线段AB的垂直平分线，M是EF上的一点．若MA＝6，则MB＝6；若∠AMF＝20°，则∠BMF＝20°．
2．如图，AB＝AC，MB＝MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
解：直线AM是线段BC的垂直平分线．
理由：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
同理，点M在线段BC的垂直平分线上．
∴直线AM是线段BC的垂直平分线．
活动1 小组讨论
例1 如图，AB＝AC＝8 cm，AB的垂直平分线交AC于D，若△ADB的周长为18 cm，求DC的长．
解：∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
设CD的长为x，则AD＝AC－CD＝8－x.
∵△ADB的周长为AB＋AD＋BD＝8＋(8－x)＋(8－x)＝18，
∴x＝3，即CD的长为3 cm.
由线段垂直平分线的性质得AD＝BD进而求解．
例2 如图，△ABC中，AC⊥BC于点C，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴∠EAD＝∠CAD，∠AED＝∠ACD＝90°.
又∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD(AAS)．
∴DE＝CD.
∴点D在CE的垂直平分线上．
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵AD＝AD，DE＝DC，
∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)．
∴AE＝AC.
∴点A在CE的垂直平分线上．
∴直线AD是CE的垂直平分线．
活动2 跟踪训练
1．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)
A．MA＝MB，NA＝NB
B．MA＝MB，MN⊥AB
C．MA＝NA，MB＝NB
D．MA＝MB，MN平分∠AMB
2．如图，MN是线段AB的垂直平分线，垂足是D，点P是MN上的一点．若AB＝10 cm，PA＝10 cm，则BD＝5cm，PB＝10cm，PD＝5cm.
3．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，AC＝5 cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长是7cm.
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A＝30°，CD＝2.
(1)求∠BDC的度数；
(2)求BD的长．
解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB.
∴∠DBE＝∠A＝30°.
∴∠BDC＝60°.
(2)在Rt△BDC中，∵∠BDC＝60°，
∴∠DBC＝30°.
∴BD＝2CD＝4.
活动3 课堂小结
1．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
2．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
第2课时 三角形三边的垂直平分线
1．能证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题．
2．能用尺规作已知线段的垂直平分线，培养使用直尺和圆规作图的技能．
自学指导：阅读教材P24～25，完成下列问题．
知识探究
探究一：三角形三边垂直平分线的性质．
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，然后说说你发现了什么？
发现：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
总结：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
探究二：分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置．
总结：锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内；直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边上；钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外．
自学反馈
1．到三角形三个顶点距离相等的点是(A)
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条高线的交点
C．三条边的中线的交点 D．三条角平分线的交点
2．三角形纸片上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定(D)
A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上
C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上
活动1 小组讨论
例1 如图，在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：点P在AC的垂直平分线上．
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
同理，PB＝PC.∴PA＝PC.
∴点P在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．
三角形三边垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
例2 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，两腰的垂直平分线相交于点P，则(C)
A．点P在△ABC内
B．点P在△ABC的底边上
C．点P在△ABC外
D．点P的位置与三角形的边长有关
钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外．
例3 运用圆规和直尺作出线段AB的垂直平分线．
解：作法：
(1)分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
(2)作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
活动2 跟踪训练
1．已知△ABC三边垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为(B)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
2．在锐角△ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC(D)
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点
3．已知直线l和l上一点O，利用尺规作l的垂线，使它经过点O.
解：作法：
(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，与直线l相交于点A和B；
(2)分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；
(3)作直线OC，则直线OC就是所求的垂线．
活动3 课堂小结
本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点”及“三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论．
1．4 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
1．探索并理解角平分线的性质和判定．
2．能灵活运用角平分线的性质和判定解决有关问题．
自学指导：阅读教材P28～29，完成下列问题．
知识探究
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
2．角平分线的性质定理的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
自学反馈
1．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是(A)
A．PD＝PE B．PE＝OE
C．∠DPO＝∠EOP D．PD＝OD
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠CAB，CM＝20 cm，那么M到AB的距离是(C)
A．10 cm B．15 cm
C．20 cm D．25 cm
3．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为(C)
A．60° B．45° C．30° D．75°
活动1 小组讨论
例1 已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：
(1)CF＝EB；
(2)AB＝AF＋2EB.
证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE.
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)．∴CF＝EB.
(2)由(1)得DC＝DE.
在Rt△ADC和△ADE中，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)．
∴AC＝AE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．
例2 如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线．
证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是证明射线上的点到角两边的距离相等．
活动2 跟踪训练
1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
2．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5 cm，则BC的长多少？
解：过点D作DE⊥AB于E，
∵点D到AB的距离等于5 cm，
∴DE＝5 cm.
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝5 cm.
∵BD＝2CD，
∴BD＝2×5＝10(cm)．
∴BC＝CD＋BD＝5＋10＝15(cm)．
3．如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线BF，CF相交于点F.求证：点F也在∠BAC的平分线上．
证明：过点F作FM⊥BC于点M，FG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，
∵BF，CF是∠CBD和∠BCE的平分线，
∴FG＝FM，FH＝FM.
∴FG＝FH.
∴点F也在∠BAC的平分线上．
活动3 课堂小结
这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线(或证明一条射线是角的平分线)时，过角平分线(或
射线)上的点向角两边作垂线段，利用角平分线的性质(或判定)则使问题迅速得到解决．
第2课时 三角形三个内角的平分线
1．能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
2．能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．
自学指导：阅读教材P30～31，完成下列的问题．
知识探究
从例2中我们可以知道：
(1)PD＝PE＝PF；
(2)点P同时在∠A，∠ABC，∠ACB的平分线上．
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
自学反馈
1．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是(D)
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC三边的距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D点，OD＝3 cm，则点O到边AB，AC的距离之和为6_cm．
活动1 小组讨论
例1 如图，已知△ABC内，∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，且PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB于D，E，F三点．求证：PD＝PE＝PF.
证明：∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥AB，PD⊥BC，
∴PF＝PD.
同理，PE＝PD.
∴PD＝PE＝PF.
例2 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
(1)若△ABC面积是40 cm2，AB＝12 cm，AC＝8 cm，求DE的长；
(2)求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC.
解：(1)∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵S△ABC＝40 cm2，AB＝12 cm，AC＝8 cm，
∴40＝×12·DE＋×8·DF.
∴DE＝DF＝4 cm.
(2)证明：∵S△ABD＝AB·DE，S△ACD＝AC·DF，DE＝DF，
∴S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC.
活动2 跟踪训练
1．到三角形三边距离相等的点是(C)
A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．不能确定
2．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(C)
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
3．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若△ABC面积是36 cm2，AB＝10 cm，AC＝8 cm，求DE的长．
解：(1)证明：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)．
∴AE＝AF.
(2)由(1)得DE＝DF.
∵△ABC面积是36 cm2，AB＝10 cm，AC＝8 cm，
∴S△ABC＝S△ADB＋S△ACD＝AB·DE＋AC·DF＝DE·(AB＋AC)，即×DE×(10＋8)＝36.
∴DE＝4 cm.
活动3 课堂小结
本节课我们利用角平分线的性质定理和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．
