苏科版九年级数学下册第五章二次函数：二抛物线与三角形面积综合复习学案（含答案）

初三数学二次函数与三角形面积
学员姓名 年 级 初三 上课时间
辅导科目 数学 学科教师
课 题 铅锤法求与二次函数有关的三角形面积

知 识 梳 理
1、二次函数的三种解析式（表达式）
①一般式：
②顶点式：，顶点坐标为
③交点式：

2、二次函数的图像位置与系数之间的关系
①：当越大，则抛物线的开口越小、符号与开口方向
②：决定抛物线与轴交点的位置
③：共同决定抛物线对称轴的位置，左同右异
④特别：当时，有、当，有

3、二次函数图像的平移：左加右减（针对）、上加下减；

4、二次函数的图像与性质
关系式
图像形状 抛物线
顶点坐标
对称轴

热 身 训 练
1．已知函数是二次函数，则。

2．无论为何实数，二次函数的图象总是过定点（ ）


3．二次函数的顶点为，则二次函数的解析式为________.

4．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（ ）



题 型 分 类
1、 二次函数的图像
例1．如图所示，二次函数的图像经过，且与轴的交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④，其中正确的选项有______________。



巩固练习：1. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6

2．二次函数（）的图象如图所示，下列说法：①，
②当时，，③若（，）、（，）在函数图象上，当时，，④，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④


2、 二次函数的性质
例2．已知二次函数，当时，的值随值的增大而增大，则实数 的取值范围是____________。


例3．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0

例4．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（　　）
A．或﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．或﹣








巩固练习：1.若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是_________。

2．已知是关于的二次函数，当的取值范围在时，在时取得最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．



3．已知实数m，n满足m﹣n2=2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（ ）
A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16




三、抛物线关于线段长度与三角形面积问题
例5.已知二次函数y=.
（1）在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标；
（2）在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标；
（3）连接AC,在抛物线第四象限图像上找一点P，使得面积最大， 求出P坐标。


















巩固练习：如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C。若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L，
（1）求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？
（2）当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？














例6．如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（－3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴，QD交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．










巩固练习：1.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．




2．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．












课 后 作 业
1．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
A m＞1 B． m＞0 C． m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0

2．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（ ）
A．3﹣或1+ B．3﹣或3+ C．3+或1﹣ D．1﹣或1+

3．已知二次函数与一次函数的图象相交于点A（－2，6）和B（8，3），如图所示，则能使﹤y2成立的的取值范围 .




4．如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．















5．如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出H的坐标；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．










6．如图，抛物线y=﹣x﹣4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）求抛物线y=﹣x﹣4的对称轴和顶点坐标；
（3）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．





参 考 答 案
热身训练：1.1 2.C 3. 4.D

例1.①②④ 巩固练习：1.B 2.B 例2. 例3.A 例4.A
巩固练习：1. 2.D 3.A

例5.（1）（1，－2）；（2）（1，－6）；（3）
巩固练习：（1）；（2）

例6.（1）（1,0）；（2）①（4,21）或（－4,5）；②
巩固练习：1.（1）；（2）（2,5）或（2，－1）；（3）
2.（1）；（2）；（3）

课后作业：1.B 2.C 3. 4.（1）；（2）

5.（1）；（2）；（3）K
6.（1）；（2）；（3），


O

x

y

A

B

C

D

y

x

B

A

F

P

x＝1

C

O

y

x

B

A

x

O

A



B

y

C

E

D

G

A

x

y

O

B

F